Cabulea_3. 142KB Jun 04 2011 12:08:29 AM

MOMENTELE DISTRIBU

Ţ

IILOR MULTINOMIAL

Ă

,

POISSON MULTIPL

Ă

Ş

I HIPERGEOMETRIC

Ă

MULTIPL

Ă

Lucia Căbulea

Abstract. In this paper the author presents formula (7) for the calculus of the moment of order (r₁,r₂,...,rS) of the multinomial distribution. In formula (9) and (15) using the Stirling number of the second kind. Considering the limit case we obtain from the multinomial distribution the expression for the moment of order (r₁,r₂,...,rS) of the multiple Poisson distribution. Also in (14) and (15) we find the formula for the moment of order (r₁,r₂,...,rS) of the multiple hypergeometric distribution.

I. INTRODUCERE

Considerăm un şir de experienţe independente şi evenimentele posibile pentru fiecare din aceste experienţe

E

₁,

E

₂, ...,

E

_s+1şi presupunând că probabilitatea de realizare a fiecărui eveniment

E

_k este

p

_k ( k = 1, 2, ..., s+1) , avem

p

₁

+ + +

p

₂

...

p

_s+1

=

1

. Este cunoscut faptul că probabilitatea ca în n experienţe evenimentul

E

₁să se realizeze de

k

₁ori, evenimentul

E

₂să se realizeze de

k

₂ ori , ..., evenimentul

E

_s+1 să se realizeze de

k

_s+1ori, pentru orice numere întregi nenegative

k

_i care verifică condiţia

k

₁

+ + +

k

₂

...

k

_s+1

=

n

, este dată de expresia

n

k k

k

_s

p p

p

k k

s k_s

!

!

!...

!

...

1 2 1

1 2 1

1 2 1

+ +

+

Dacă

p

s+1

= − − −

1

p

1

...

p

s,

k

s+1

= − − −

n

k

1

...

k

s, această probabilitate poate fi

exprimată sub forma

P

p

p

n

k

k

n

k

k

p

p

p

p

n

k k

s

s s

k s

k

s

n k k

s s s

1 1 1

1

1 1

1

1

1

1

,..., ...

(

,....,

)

!

!...

!(

...

)!

...

(

...

)

( )

=

− − −

− − −

− − −

Această formulă ne dă cunoscuta distribuţie multinomială. Este uşor de văzut că formula (1) poate fi scrisăşi sub forma

P

n

p

p

k k

s s

1

1 ,...,

=





n









−









− − −

−





− − −

− − −

k

n

k

k

n

k

k

k

p

p

p

p

s

s

k s

k

s

n k k

s s

1

1 2

1 1

11

1

1 1

2

...

....

...

(

...

)

...

( )

Fie

r r

₁

, , ... ,

₂

r

_s numere întregi nenegative. Momentul de ordinul

( ,

r r

_{1 2}

, .. , )

r

_s al distribuţiei multinomiale este definit de

ν

r r s

r

k

n k k

k n k

k n

s r

n

k k

s s

s s

s s

n p

p

k

k P

p

p

1

1

1 1

2 1

1

1

1 1

0 0

0

1 ,...,

...

,..,

( ;

,...,

)

=

...

...

(

,..,

)

= − − −

= −

=

−

∑

∑

∑

(3) În continuare vom deduce o formulă pentru aceste momente care este mult mai utilă în calculul numeric şi care foloseşte diferenţele lui zero.

Este cunoscut faptul că diferenţa de ordinul k a funcţiei f(x), cu pasul h şi punctul iniţial a este dată de

∆

h

k i

i k

k i

i k

f a

k

i

f a

k

i h

k

i

f a

ih

( )

=

(

−

)



(

(

) )

(

)

(

)







+

−

=

−









+

=

− =

∑

1

∑

1

0 0

În cazul particular f(x) =

x

r, h = 1, a = 0 se obţine

∆

1

∆

0

0

0

0

1

1

k r k r i

i k

r

k i

i k

r

k

i

k

i

k

i

i

=

=

−







 −

=

−









=

− =

∑

∑

(

)

(

)

(

)

,

(4) care este diferenţa de ordinul k al lui zero la puterea r.

II. DISTRIBUŢIA TRINOMIALĂ.

Considerăm cazul s = 2, când formula (3) devine

ν

r r

k n k

k n

k k n k k r r

n p p n

k

n k

k p p p p k k

1 2

2 1

1

1 2 1 2 1 2

1 2

1 0 0

1 2

1 2 1 1 2 1 2 5

, ( ; , )= ( ) ( )

  

− 

  ⋅ − − =

−

=

− −

∑

∑

Dacă

(1 _{1 2}) ( 1) (1 )

0

1 2 2

1 2

1 2 2

2

1 2

1 2 2 2

− − − − = − _ − − _{ ⋅ −} =

− −

− − −

∑

p p n k k

i p p

n k k i

i

n k k

n k k i i

şi

(1 ₁) ( 1) 0

1 2 2

1

1

1 2 2 1

1

1 2 2

1

− − − − = − _ − − − _ =

− − −

∑

p n k k i

i p

n k k i i

i

n k k i

i

ν

r r k n k k n i i i

n k k i

i

n k k

k i k i r r

n p p

n

k

n

k

k

n

k

k

i

n

k

k

i

i

p

p

k k

1 2 2 1 1 1 2 1

1 2 2

2

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

1 0 0

1

2 0 0

1 2 2

1 2 2

1

1 2 1 2

1

,

( ;

,

)

=

(

)









−







 ⋅

−

− −







 ⋅

⋅





− −

−





= − = + = − − − = − − + +

∑

∑

∑

∑

Este uşor de văzut că aceste momente reprezintă un polinom de grad n în

p

₁ şi

p

₂, care este de forma

ν

r r j j

j n j

j n

j j

n p

p

A

p p

1 2 1 2

2 1 1 1 2 1 2 0 0 1 2 ,

( ;

,

)

=

, = − =

∑

∑

. În continuare vom determina coeficienţii

A

_{j j}

1, 2 , observând că termenii în care

apare produsul

p p

₁j1 ₂j2 _{se ob}ţ_{in dând perechilor}

(

k i

, ),(

k

, )

i

1 1 2 2 respectiv următoarele şiruri de valori

( , ),(

j

₁

0

j

₁

−

11

, ),...,(

j

₁

−

k k

₁

,

₁

),..., ( ,

1

j

₁

−

1

), ( ,

0

j

₁

)

(

j

₂

, ), (

0

j

₂

−

11

, ),...., (

j

₂

−

k k

₂

,

₂

),..., ( ,

1

j

₂

−

1

), ( ,

0

j

₂

)

Apoi luând

j

₁

=

0 1

, ,...,

n

şi

j

2

=

0 1

, ,...,

n

−

j

1_{, ob}ţ_inem:

ν

r r

k k k j k j j n j j n

j j r

n p p n

j k

n k j

j k

n k k j j

k

n k j j

k p p j k j k

1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1

1 2 1

1 2

0 0 0

0 1 1

1 1 2 2

1 2 1 2

1

2 1 2

2

1 2 1 1 2 2

1 , ( ; , ) ( ) ( ) ( ) = − _{ −} _{ ⋅} ⋅_ + −₋ __ + + − − _{ ⋅} ⋅_ + − − _ ⋅ ⋅ − − + = = = − =

∑

∑

∑

∑

r₂

Dar folosind relaţia

n

j

k

n

k

j

j

k

n

k

k

j

j

k

n

k

j

j

k

n

j

n

j

j

j

k

j

k

1 1 1 1 2 2

1 2 1 2

1

2 1 2

2 1 1 2 1 1 2 2

−









+ −

−







 ⋅

+ +

− −







 ⋅

+

− −







 =









−

























rezultă

ν

r r

j n j

j

n k k

k j k j r r j j

n p p n

j n j j j k j k

j k j k

p p 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 2 0 1 1 0 2 2

1 1 2 2

Având în vedere relaţia (4) avem

ν

r r

j r

j r

j r j r j j

n p p n

j

n j

j p p

1 2

2 2

1 1

1 1 2 2 1 2

1 2

1 0 0

1 2

1 2

0 0 6

, ( ; , )= ( )( ) .( )

  

− 

  ⋅ =

=

∑

∑

∆ ∆

dacă

∆

m

0

r

=

0

pentru m > r şi

m

k







 =

0

pentru k > m. III. DISTRIBUŢIA MULTINOMIALĂ.

În cazul general al distribuţiei multinomiale (1), după un calcul similar se obţine expresia pentru momentul de ordinul

( , , ... , ):

r r

_{1 2}

r

_s

ν

r r s

j r

j j

r

s

s

j r j r j

s j s

s s r

s s s

n p

p

n

j

n

j

j

n

j

j

j

p

p

1

2 2

1 1

1 1 1

1

1 0 0 0

1 2

1 1

1

0

0

7

,...,

( ;

,...,

)

...

...

...

(

)...(

)

...

( )

=













−





− − −









⋅

= = = −

∑

∑

∑

∆

∆

Pentru s = 1 această formulă se reduce la

ν

r

j r

j r j

n p n

j p

1

1 1

1 1 1

1 0

1 0 ( ; )=  ( ) ,

  =

∑

∆

(8)

care reprezintă expresia momentului de ordinul

r

₁pentru distribuţia binomială

P

p

n

k

p

p

n

k1 k1 n k1

1 1

1

1

1

(

)

=



(

)







−

−

Formula (8) a fost stabilită prima dată de G. Bohlmann [1], dar poate fi văzutăşi în [3]. În lucrarea [5], D.D. Stancu a dat două metode pentru obţinerea aceste formule.

Dacă

S

j

j

r

j r

= ∆

0

!

reprezintă numerele lui Stirling de speţa a doua şi

n

j

n

j

j

n

j

j

j

n n

n

j

j

j

j

j

s

s

s

s

1

1 2

1 1 1

1 2

1

1









−









− − −





−



 =

−

− − − +

...

...

(

)...(

...

)

!

!...

!

atunci formula (7) devine

ν

r r s s j

r

j r

j r

j

r j

s j

s

s s

s

s s

n p

p

n n

n

j

j

S

S p

p

1

1 1

1

1 1

1 1

0 0

1

1

1

9

,...,

( ;

,...

)

=

...

(

−

)...(

− − − + ⋅

...

)

...

...

.( )

= =

∑

∑

IV. DISTRIBUŢIA POISSON MULTIPLĂ

P a a a a

k k e

k k

s k

s k

s

a a

s

s

s

1

1

1

1

1 1

,..., ( ... )

( ,..., ) ... !... !

= − + +

Aceasta poate fi obţinută din distribuţia multinomială dacă presupunem că

p

k_{depinde de n astfel încât pentru}

n

→ ∞

_să _avem

np

a

k

→

k

f

0

( k = 1, 2, ..., s ).

Considerând acest caz limită obţinem din (9) expresia următoare pentru momentul de ordinul

( ,..., )

r

1

r

s al distribuţiei Poisson multiple

ν

r r a s

j

j r

j r

s j

j r

j r

r s

s s

s

j j

s

a

a

a

a S

S

,...,

(

,...,

)

=

...

...

...

, (

)

= =

∑

∑

1 0 0

1 1

1

1

10

dacă avem

n n

(

−

1

)...(

n

− − − +

j

...

j

_s

1

)

p

j

...

p

_sjS

→

a

j

...

a

_sjs

,

n

→ ∞

1 11 11

Formula corespunzătoare pentru cazul s = 1 a fost dată de T. Gerstenkorn [4]. V. DISTRIBUŢIA HIPERGEOMETRICĂ MULTIPLĂ

Distribuţia hipergeometrică multiplă este definită de

P

n p

p

Np

k

Np

k

Np

k

N

n

n

k k

s

s

s

s

s s

1

1 1

1 1

1 1 ,...,

( ;

,...,

)

....

+

+ +

=

































iar dacă

p

_s+1

= − − −

1

p

₁

...

p

_sşi

k

_s+1

= − − −

n

k

₁

...

k

_{saceastă probabilitate poate fi exprimată sub forma}

P

n p

p

Np

k

Np

k

N

p

p

n

k

k

N

n

n

k k

s

s

s

s

s s

1

1

1 1

1 1

1

,...,

( ;

,...,

)

...

(

...

)

...

=

















− − −

− − −

















Considerând

r r

₁

, ,....,

₂

r

_snumere întregi nenegative , momentul de ordinul

( , ,..., )

r r

1 2

r

s _{al distribu}ţ_{iei hipergeometrice multiple este dat de rela}ţ_ia

ν

r r s

r

k

n k k

k n k

k n

s r

n

k k

s s

s s

s s

n p p

k k P p p

1

1

1 1

2 1

1

1

1

1 0 0

0

1 11

,....,

...

,..., ( ; ,..., )

... ... ( ,..., )( )

=

⋅ =

− − −

= −

=

−

∑

∑

∑

ν

r r k n k k n r r

n p p

Np k Np k N n

N p p

n k k k k

1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2 1 2 1 , ( ; , ) ( ) =        ⋅_{ − −}− − _ = − =

∑

∑

(12) Dacă

k

k

j

k

k

j

r j j

r j r

r j

j

r j r

1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1

2 2

2

2 2 2

0

0

=

=

= =

∑

∑

[ } [ ]

!

!

∆

∆

şi

k

[ ]j

=

k k

(

−

1

)... (

k

− +

j

1

)

este puterea factorială a lui k avem

ν

r r

k n k k n j j

r j r

j

j

r j r

n p p

Np k Np k N n

N p p

n k k k j k j

1 2 2 1 1 1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

1 2 1 1 2 0 0 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

2 1 0 0

( ; , ) ( ) ! ! [ ] [ ] =            ⋅_{ − −}− − _ ⋅ = − =

∑

= =

∑

∑

∆

∑

∆

Folosind relaţiile adevărate

Np

k

Np

k

Np

j

k

j

j j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1







 =

−

−









(

)

[ ] [ ]

Np

k

Np

k

Np

j

k

j

j j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







 =

−

−









(

)

[ ] [ ] precum şi

Np j

k j

N p p

n k k

N p j

n k j

k n k 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2

1 − 1 1

−    − − − −    = − − − −    = −

∑

( ) ( ) Np j k j

N p j

n k j

N j j

n j j

k n 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 − −    − − − −    = − − − −    =

∑

( ) se obţine expresia

ν

r r

j r

j

r j j

j j

j r j r

n p p n

j n j j Np Np N 1 2 2 2 1

1 1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 1 1 1 2 1 2

În cazul general al distribuţiei hipergeometrice multiple printr-un calcul similar se obţine următoarea expresie a momentului de ordin

( , , ... , )

r r

_{1 2}

r

_s

ν

r r s

j r

j r

s

s

j

s j

j j

j r j s

s

s

s s

s

s s

n p p

n

j

n j

j

n j j

j

Np Np

N 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1 1

1 2

1 1 1

0 0 14 ,...,

[ ] [ ]

[ ... ] ( ; ,..., )

.... ... .... ( ) ...( ) ... ( )

= 

  

−  

 

− − − 



  =

=

−

+ +

∑

∑

∆ ∆

Pentru s = 1 această formulă se reduce la

ν

r

j

r j

j

j r

n p n

j Np

N 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

0

( ; ) ( )

[ ] [ ]

= _ _ =

∑

∆

care reprezintă momentul de ordinul

r

₁al distribuţiei hipergeometrice

P

p

Np

k

N

p

n

k

N

n

n k₁

1

1 1

1 1

1

(

)

(

)

=









−

−

















Folosind numerele lui Stirling de speţa a doua expresia momentului de ordinul

( , ,..., )

r r

1 2

r

s _{pentru distribu}ţ_{ia hipergeometric}ă _multiplă _devine

ν

r r s

j r

j r

s

j

s j

j j j

r j r s

s s

s

s s

s

n p

p

n n

n

j

j

Np

Np

N

S

S

1

1 1

1

1 1

1

1

1 1

1 1

1

1

15

,...,

[ ] [ ]

[ ... ]

( ;

,...,

)

...

(

)...(

....

)

(

)

...(

)

...

(

)

=

−

− − − +

= =

+ +

∑

∑

BIBLIOGRAFIE

[1] G. Bohlmann, Formulierung und Begründung zweier Hilfssätze der mathematische Statistik, Math. Ann., 74 (1913), 341 - 409.

[2] R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, 6th ed., London : Oliver and Boyd, 1963.

[3] M. Fréchet, Les probabilités associées à un systéme d’événements compatibles et dépendants, Actualités Sci. Ind. No. 859, Herman, Paris, 1940.

[4] T. Gerstenkorn, On the Formula for the Moments of the poisson Distribution, Bull. Soc. Sci. Lettres Lódz, 11 (1960), 1 - 5.

[6] D. D. Stancu, A Method for Computing the Moments of the Multinomial and Multiple Poisson Distributions, Studia Univ. Babeş-Bolyai Ser. Math. - Phys., 1964, 49 - 54. [7] E. T. Whittaker and G. Robinson, The Calculus of Observations, London - Glasgow, Blakie, 1929.

Autor