BAB 4 Metode Crank-Nicolson Untuk European Barrier Option

(1)

BAB 4

Metode Crank-Nicolson Untuk European Barrier Option

4.1 Persamaan Diferensial Parsial European Barrier Option

Seperti yang telah dinyatakan dalam bab 3, persamaan diferensial parsial dari European barrier option adalah

2 2

2

2 0

2

C C C

S rS rC

t S S

σ

∂ + ∂ + ∂ −

∂ ∂ ∂ =

)

(4.1.1)

dengan

• ^{C S t}

(

^, : nilai option

• S : nilai underlying asset

• r : non-risk interest rate

• σ : volatilitas dari underlying asset

• t : waktu

Untuk mendapatkan PDP parabolik dari (4.1.1), maka akan digunakan transformasi variabel sebagai berikut:

ln ( )

py q

y S

T t C e ^τw

β τ τ

+

=

= −

=

(4.1.2)

dengan

2

2 2

1 2

2 p r

q p r

α σ σ

= + −

= − −

maka dapat diperoleh PDP parabolik dari European barrier option yaitu

(2)

2 2

w

y σ τ

∂ = ∂

∂ ∂

w (4.1.3)

Dengan menggunakan metode Crank-Nicolson, PDP (4.1.3) dapat diselesaikan secara numerik.

4.1.1 Syarat Batas

Syarat batas dari persamaan diferensial parsial (4.1.3) akan bergantung pada jenis barrier option yang akan dicari. Untuk tipe European down-and-out call maka syarat batasnya menjadi

( )

⁽ ^max ⁾

( )

min

max max

, ( )

, ,

q

py q

w y e R

w y e C y

τ τ

−

− +

=

= (4.1.4)

dimana

( ) ( )

min min

max max

ln ln 0

ln y S

y S

β τ

β τ β τ

β τ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

(4.1.5)

Untuk tipe European down-and-out call option, nilai adalah nilai barrier- nya, sedangkan nilai merupakan nilai batasan yang dapat diasumsikan cukup besar. Karena untuk nilai

Smin

Smax

S→Smax C y

(

max,τ

)

→Smax, maka syarat batas (4.1.4) menjadi

( )

(4.1.6)

( )

⁽ ^max ⁾ ⁽ ^max ⁾

( )

^max

min

max max

, ( )

,

q

py q py q y

w y e R

w y e S e e

τ

τ τ

τ β

−

− + − +

=

= = τ

)

4.1.2 Syarat Awal

Untuk European down-and-out call option, syarat awalnya adalah

( )

^{, 0} ^max

( (

^y ¹

)

^py ^{, 0}

w y = be − e⁻ K (4.1.7)

(3)

4.2 Metode Crank-Nicolson

Untuk mengaplikasikan metode Crank-Nicolson, perlu dibangun suatu grid untuk sumbu horizontal dan sumbu vertikal. Sumbu horizontal mewakili nilai diskrit dari variabel y sedangkan sumbu vertikal mewakili nilai diskrit dari variabel τ . Di setiap titik

( )

i j dapat dihitung nilai y dan ^, τ sebagai :

( )

^min

( ) 0,1, 2,...,

0,1, 2,...,

y i y i y i Ny

j j j N

τ τ τ

= + Δ =

= Δ = (4.1.8)

dimana

(

ymax ymin

)

y Ny

T τ N

τ Δ = −

Δ =

(4.1.9)

dengan Ny menyatakan banyaknya partisi variabel y sedangkan Nτ menyatakan banyaknya partisi variabel τ .

4.2.1 Penerapan Metode Crank-Nicolson pada PDP European Barrier Option

Pandang persamaan (4.1.3) yang menyatakan PDP European barrier option.

Metode Crank-Nicolson mengambil rata-rata dari beda maju pada langkah ke-j (dalam τ ) dan dengan beda mundur pada langkah ke- j+1 (dalam τ ).

Beda maju pada langkah ke-j :

2

, 1 , 1, , 1,

2

2 2

i j i j i j i j i j

u u u u u

y σ

τ

+ − + − + −

Δ = Δ (4.1.10)

Beda mundur pada langkah ke- j+1

2

, 1 , 1, 1 , 1 1, 1

2

2 2

i j i j i j i j i j

u u u u u

y σ

τ

+ − + + − + + − +

Δ = Δ (4.1.11)

(4)

Selanjutnya dapat diperoleh rata-rata dari (4.1.10) dengan (4.1.11) adalah ^, ¹ ^, ²2

(

^1, 2 ^, ^1, ^1, ¹ 2 ^, ¹ ^1, ¹

)

2

i j i j

i j i j i j i j i j i j

u u

u u u u u u

y σ τ

+

+ − + + +

− = − + + − +

Δ Δ ⁻ ⁺ (4.1.12)

Dalam bentuk matriks persamaan (4.1.12) dapat dituliskan sebagai :

( ¹) ( )

0,1, 2,...

j j

Au Bu

j

+ =

=

G G

(4.1.13) dengan

1 0

2

. .

2

. . .

. .

2

0 1

2 A

λ λ λ

λ

λ λ

⎛ + − ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

1 0

2 . . 2

. . . . . .

. . 2

0 1

2 B

λ λ λ

λ

λ λ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

dan

( )

2

2 y 2

σ τ

λ= ^Δ

Δ , ^u^G^{( )}^j ⁼

(

^u^1,^j^,...,^u^m⁻^1,^j

)

^t

Matriks A adalah matriks yang dominan diagonal sehingga matriks A memiliki invers. Dengan menggunakan invers matriks A maka sistem (4.1.13) dapat diselesaikan. Nilai eigen matriks A adalah

2

1 2 sin 2

i m λ^⎛ π ^⎞ + ⎜⎝ ⎟⎠ .

(5)

Matriks A dan B dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks tridiagonal konstan yaitu

1 2 A_{= +}λG

,

2 1 0

1 . . . . .

. . .

. . 1

0 1 2

⎟ B

⎛ − ⎞

⎜− ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

, B I λ2G

(4.1.14)

= −

Dengan bentuk (4.1.14), maka persamaan (4.1.13) dapat juga dituliskan menjadi

( )

⁽ ⁾

( )

^{( )}

(

^{( )}

( )

^{( )}

2 1 2

4 2

4

j j

C

j

I G u I G u

)

I I G u I C u

λ λ

λ

+ + = −

= − −

= −

G G

(4.1.15)

Karena C= A2 , dan nilai eigen matriks A adalah

2

1 2 sin 2

A i

i m μ = + λ^⎛⎜ π ^⎞⎟

⎝ ⎠ , i=1,...,m−1 maka nilai eigen matriks C adalah

2

2 4 sin 2 0

2

C i

i m

μ = + λ^⎛⎜⎝ π ^⎞⎟⎠ > >

Karena matriks C tak singular atau matriks C memiliki invers, maka (4.1.15) dapat dituliskan menjadi

(^j ¹)

(

⁴ ¹

)

^{( )}^j ^...

(

⁴ ¹

)

¹ ^{( )}

uG ⁺ = C⁻ −I uG = = C⁻ −I j 0 + uG

(4.1.16) Dengan memperhatikan (4.1.16), untuk mencapai kondisi stabil maka diperlukan syarat untuk semua i

4_C 1 1

μi ^{− <} (4.1.17)

Dari (4.1.17) dapat diperoleh 0 1

C 2 μi

< <1

(4.1.18)

(6)

Karena , maka (4.1.18) selalu dipenuhi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Crank-Nicolson stabil tanpa syarat untuk semua

C 2 μi >

λ > . 0

4.2.2 Hasil Numerik dan Analisis

Berikut ini akan dicari nilai European down-and-out call option dan European up-and-out put option dengan metode Crank-Nicolson yang dihitung dengan bantuan program Matlab 7.0. Pada perhitungan ini, diasumsikan semua option tidak memberikan rebate (^R

( )

τ = ). ⁰

European Down-and-out Call Option (nilai barrier konstan)

Yang menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut:

Masukan Simbol Nilai

Harga saham saat t₀ S ₀ 95

Maturity time _T 1

Volatilitas σ 0.25

Non-risk interest rate r 0.1 Nilai barrier (bawah) B_low 90

Strike price K 100

Tabel 4.1. Data masukan untuk European down-and-out call dengan barrier konstan

Kita harus menentukan banyaknya partisi dari waktu ( Nτ) dan banyaknya partisi dari saham (Ny).

Berikut ini solusi dari persamaan diferensial parsial European down-and-out call dengan Nτ = Ny= 213

(7)

1 1.5 2 2.5 3 0

100 200 300

0 50 100 150 200 250 300

S t

down-and-out call

Gambar 4.1 Solusi PDP European down-and-out call

Dengan masukan Nτ dan yang berbeda-beda maka didapat hasil yang berbeda-beda pula. Berikut hasil dari nilai European down-and-out call option yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson dengan pengambilan

Ny

Nτ dan Ny yang bervariasi.

Nτ Ny down-and-out call

64 64 5.9902 107 107 5.9914 213 213 5.9913 426 426 5.9914 640 640 5.9916 853 853 5.9915 1066 1066 5.9915

Nilai analitik 5.9968

Tabel 4.2. Hasil perhitungan European down-and-out call dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya

(8)

Nilai analitik dari European down-and-out call option diperoleh dengan menggunakan rumus analitik nilai European down-and-out call option yang telah dibahas pada bab 3.

European Up-and-out Put Option (nilai barrier konstan)

Yang menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut:

Maturity time T 1

Volatilitas σ 0.25

Non-risk interest rate _r 0.1 Nilai barrier (atas) _B_up 125

Strike price _K 100

Tabel 4.3 Data masukan untuk European up-and-out put dengan barrier konstan

Kita juga harus menentukan banyaknya partisi dari waktu ( Nτ) dan banyaknya partisi dari saham (Ny).

Berikut ini solusi dari persamaan diferensial parsial European up-and-out put dengan Nτ = Ny= 200

(9)

1

1.5 2

2.5 3

0 100

200 3000

50 100 150

t S

up-and-out put

Gambar 4.2. Solusi PDP European up-and-out put

Berikut hasil perhitungan nilai European up-and-out put option yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson dengan pengambilan Nτ dan yang bervariasi.

Ny

Nτ Ny up-and-out put

50 50 6.9796 100 100 6.9851 150 150 6.9856 200 200 6.9857 250 250 6.9856 500 500 6.9856 1000 1000 6.9857

Nilai analitik 6.9859

Tabel 4.4. Hasil perhitungan European up-and-out put dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya

Nilai analitik dari European up-and-out put option diperoleh dengan menggunakan rumus analitik nilai European up-and-out put option yang telah dibahas pada bab 3.

(10)

European Down-and-out Call Option (barrier merupakan fungsi terhadap waktu)

Berikut ini akan dihitung nilai dari European down-and-out call option dengan nilai barrier-nya merupakan fungsi terhadap waktu (t) yaitu . Yang menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut:

( )

90e^{− −}^{T t}

Maturity time T 1

Volatilitas σ 0.25

Non-risk interest rate _r 0.1 Nilai Barrier (bawah) B_low 90e^{− −}⁽^{T t}⁾

Strike price K 100

Tabel 4.5 Data masukan untuk European down-and-out call dengan barrier fungsi terhadap waktu (t)

Tabel berikut adalah hasil perhitungan nilai European down-and-out call option dengan nilai barrier-nya merupakan fungsi terhadap waktu (t) yaitu , yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson, lalu sekaligus dibandingkan dengan nilai analitiknya yang diperoleh dari rumus analitik pada bab 3.

( )

90e^{− −}^{T t}

t β(t)

Nilai_Crank-

Nicolson Nilai analitik 0 33,109 10,481 11,545 0,012 33,511 10,384 11,579 0,0241 33,917 10,287 11,411 0,0361 34,328 10,189 11,348 0,0482 34,744 10,091 11,180 0,0602 35,165 9,992 11,115

(11)

0,0723 35,591 9,893 10,981 0,0843 36,023 9,793 10,863 0,0964 36,459 9,693 10,748 0,1084 36,901 9,593 10,630 0,1205 37,349 9,491 10,514 0,1325 37,801 9,389 10,404 0,1446 38,259 9,287 10,285 0,1566 38,723 9,184 10,169 0,1687 39,193 9,080 10,053 0,1807 39,668 8,977 9,935 0,1928 40,148 8,876 9,817 0,2048 40,635 8,775 9,699 0,2169 41,128 8,672 9,580 0,2289 41,626 8,569 9,461 0,241 42,131 8,465 9,341 0,253 42,641 8,359 9,221 0,2651 43,158 8,254 9,100 0,2771 43,681 8,147 8,979 0,2892 44,211 8,039 8,857 0,3012 44,747 7,930 8,735 0,3133 45,289 7,825 8,612 0,3253 45,838 7,719 8,489 0,3373 46,394 7,611 8,365 0,3494 46,956 7,503 8,241 0,3614 47,525 7,393 8,116 0,3735 48,101 7,282 7,990 0,3855 48,684 7,170 7,864 0,3976 49,274 7,057 7,737 0,4096 49,871 6,947 7,609 0,4217 50,476 6,835 7,481 0,4337 51,088 6,722 7,352 0,4458 51,707 6,607 7,223 0,4578 52,334 6,491 7,092 0,4699 52,968 6,374 6,961 0,4819 53,610 6,259 6,830

(12)

0,494 54,260 6,143 6,697 0,506 54,918 6,025 6,564 0,5181 55,583 5,904 6,429 0,5301 56,257 5,783 6,294 0,5422 56,939 5,664 6,158 0,5542 57,629 5,542 6,021 0,5663 58,328 5,419 5,884 0,5783 59,035 5,294 5,745 0,5904 59,750 5,170 5,605 0,6024 60,474 5,044 5,464 0,6145 61,207 4,915 5,322 0,6265 61,949 4,788 5,179 0,6386 62,700 4,658 5,035 0,6506 63,460 4,525 4,890 0,6627 64,229 4,394 4,743 0,6747 65,008 4,259 4,595 0,6867 65,796 4,125 4,445 0,6988 66,593 3,987 4,294 0,7108 67,401 3,849 4,142 0,7229 68,218 3,708 3,988 0,7349 69,044 3,567 3,832 0,747 69,881 3,422 3,675 0,759 70,728 3,276 3,515 0,7711 71,586 3,129 3,354 0,7831 72,453 2,978 3,190 0,7952 73,332 2,826 3,025 0,8072 74,220 2,671 2,856 0,8193 75,120 2,513 2,686 0,8313 76,031 2,352 2,513 0,8434 76,952 2,188 2,336 0,8554 77,885 2,022 2,157 0,8675 78,829 1,852 1,974 0,8795 79,784 1,678 1,788 0,8916 80,752 1,500 1,598 0,9036 81,730 1,318 1,405

(13)

0,9157 82,721 1,132 1,207 0,9277 83,724 0,942 1,004 0,9398 84,738 0,748 0,798 0,9518 85,766 0,551 0,590 0,9639 86,805 0,356 0,383 0,9759 87,857 0,172 0,187 0,988 88,922 0,032 0,036

1 90 0 0

Tabel 4.6. Hasil perhitungan European down-and-out call (barrier fungsi terhadap waktu) dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

t

S

Barrier Cdo

Gambar 4.3. Pergerakan nilai barrier dan nilai European down-and-out call option terhadap waktu (t) dari data pada tabel 4.5

Dapat diamati pada tabel diatas dan pada gambar 6, semakin besar nilai barrier- nya maka nilai European down-and-out call option akan semakin kecil. Hal ini diakibatkan dengan membesarnya nilai barrier maka peluang European down- and-out call option untuk gagal semakin besar sehingga nilainya semakin kecil (harga jualnya semakin murah).