GESERAN (TRANSLASI) S = M M. Dalam Bab ini akan dibahas. hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

(1)

GESERAN (TRANSLASI)

Ketentuan dan Sifat-sifat

Dalam Bab setengah putaran, bahwa setengah putaran dapat ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka S_A =M_gM_h. Dalam Bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB maka _AA' = _BB"_dengan ) ( " M M A A = _h _g dan B"= M_hM_g(B) Bukti:

Ambil titik A dan B sebarang dengan A≠B dan , , , Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)

Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adala1h titik tengah . Andaikan persamaan garis h adalah x=h, k≠0.

Ambil titik P(x,y), P h

Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan P(x,y) maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah

Karena Q(k,y) dan P(x,y),maka dimisalkan P’=(x1,y2) maka diperoleh B X A A’ A’’ g B’’ B’ N h Y

(2)

      ₊ ₊ = 2 , 2 1 1 x y y x Q       ₊ ₊ = ⇔ 2 , 2 ,y x1 x y1 y k Sehingga : k x x = + 2 1 ⇔ x₁+x =2k ⇔ x₁ =2k−x y y y = + 2 1 ⇔ y₁+y=2y ⇔ y₁ = y Jadi, Mh(P)=P’=(2k-x,y)

Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka Mg(P)=P”=(-x,y) Jadi M_hM_g(p)=M_h[M_g(p)] ) , 2 ( ) ), ( 2 ( )] , [( y x k y x k y x M_h + = − − = − = Karena A=(a₁,a₂)dan B=(b₁,b₂) Maka A”=M_hM_g( A) ) , 2 ( ) , ( )] ( [ 2 1 2 1 a a k a a M A M M h g h + = − = = B”=MhMg(B) ) , 2 ( ) , ( )] ( [ 2 1 2 1 b b k b b M B M M h g h + = − = =

(3)

Karena N titik tengah , Maka

(

)

      + + ₊ = 2 , 2 2k a_! b₁ a₂ b₂ N Jika       + + + = 2 , 2 2k a₁ b₁ a₂ b₂ N dan A=(a1, a2) maka _      −       + −       + + = 2 2 2 1 1 1 2 2 , 2 2 2 ) (A k a b a a b a S_N

(

)

" 2 1, 2 B b b k = + =

Dengan demikian maka

Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuqh titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).

Teorema 10.2 Apabila = maka Bukti: Dipunyai AB=CD Ambil x sebarang Misalkan G_AB(x)= x₁ dan G_CD(x)= x₂₁ Maka xx1= AB dan xx2 =CD Karena AB=CD maka xx₁ =xx₂ Ini berarti bahwa x1 = x 2

(4)

Teorema 10.3

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan sebuah garis berarah tegak lurus pada g dengan C g dan D h. Apabila = maka GAB=MhMg

Bukti:

Ambil titik P sebarang

Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P) Akan dibuktikan P’=P”

Menurut definisi geseran Karena = , maka = Berhubung C∈g maka M_hM_g(C) " ) ( )] ( [ C c M c M M h g h = = =

Ini berarti D titik tengah , sehingga = Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh =

Jadi = , maka P’=P”

Jadi GAB(P)=MhMg(P)

Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg Catatan

1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada dan berjarak ½ AB.

2. Jika sebuah garis dan M titik tengah sedangkan g, h dan n tiga garis

masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada maka GAB=MhMg=MnMh.

3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran adalah suatu isometric langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan.

(5)

Teorema 10.4

Jika GAB sebuah geseran maka (GBA )-1 = GBA Bukti:

Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3) Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)

Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1) Maka setiap geseran memiliki balikan

Perhatikan gambar berikut:

Dari uraian diatas

Diperoleh GAB(A)=MhMg(A) =Mh[Mg(A)] =Mh(A) =B GAB(A)=MnMh(A) =Mn[Mh(A)] =Mn(B) =B

Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh Sedangkan GBA(B)=MhMn(B) =Mh[Mn(B)] =Mh(B) =A GBA(B)=MgMh(B) =Mg[Mh(B)] =Mg(A) =A Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh n h g A | B | C

(6)

Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1 = Mh-1Mn-1 = MhMn =GBA Jadi (GAB)-1=GBA Teorema 10.5

Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga

= 2 maka

GAB = SCSD

Bukti :

Andaikan g = , k ± g di C, m ± g di D (gambar 10.5)

Maka ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena = 2 maka GAB= MmMk sedangkan SD = MmMg dan SC = MgMk A B C D g k m Gambar 10.5 (Teorema 10.3) D g m

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )

(7)

Jadi :

SCSD = (MmMg)(MgMk)

= Mm (MgMg) Mk

= Mm I Mk

= MmMk Dengan demikian maka

GAB = SCSD

Teorema 10.6

Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran

Bukti:

Andaikan GAB suatu geseran.

Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga = . Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah , berarti = 2 . Menurut teorema 10. 5, GAB=SDSC GABSC=SDSCSC GABSC=SD[SCSC] GABSC=SD I GABSC=SD

Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.

C

g

k

(Sifat asosiatif hasil kali transformasi) (Transformasi identitas)

(8)

Akibat :

Andaikan SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC

Bukti :

Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC SCSBSA=GZBC SA Ambil titik X sebarang

Misal GZBC SA=SX

Sehingga diperoleh 2 = 2 atau =

Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik D maka diperoleh

GZBC SA=SX

SCSBSA= SD dengan AD=BC

Jadi, jika SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC

Teorema 10.7

Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi Bukti :

Andaikan dua buah geseran yaitu dan

Diperoleh dan

Jika dikomposisikan dengan melalui A maka didapa A B C _E E ’ E’’

(9)

Andaikan titik E sebarang Diperoleh

Berarti

Jika dikomposisikan dengan melalui titik E, maka diperoleh

Berarti sehingga diperoleh

AC

EE E E G

G "( )= "= Jadi

Atau

Pembuktian menggunakan teorema 10.5

Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2 dan titik R sehingga 2

Diperoleh

Jika dikomposisikan dengan maka diperoleh

(assosiatif)

(Identitas transformasi) (Identitas transformasi) Karena 2 maka diperoleh

Jadi

Teorema 10. 8

Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(x+a,y+b) maka T=GOA.

Bukti :

(10)

Missal GOA(P) = P’, berarti Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b) Jadi T(P) = P’= GOA(P), P V

Ini berarti T = GOA.

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7 Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH

Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan dan Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh

GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d) Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)

Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)

Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]

= GKH(x+a,y+b) = ((x+a)+c,(y+b)+d) = (x+(a+c),y+(b+d))

Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik (a+c,b+d).

(11)

SOAL TUGAS 1

1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.

a. Lukislah

b. Lukislah

c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan

d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga

2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :

a. Garis h sehingga

b. Garis k sehingga

c. Garis m sehingga m’ d. Titik C sehingga

3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis trersebut.

a. Lukislah titik B sehingga

b. Lukislah titik C sehingga

4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar

Lukislah : a.

A

B

D

P

g

C

(12)

b. Garis h sehingga g c.

d.

5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :

a. R

b. R

c. R

6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :

a. Jika maka

b. Setiap translasi adalah suatu involusi

c. dengan

d. Apabila M titik tengah , maka e. Apabila g’ (g), maka g’ // g

7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4) a. Tentukan C’

b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga

9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B. a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)

(13)

10.Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah : a. jika P = (x,y)

b. Titik D sehingga

(14)

SOAL TUGAS 2

1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P a. Tentukan GABSC(P)

b. Tentukan SCGAB (P)

c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE c. Tentukan F sehingga GABSC = SF

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah : a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE

b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X

4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b). Tentukan S-1 (P)

b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan

b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan

c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi) d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)

(15)

7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat, buktikan :

a. SBSA adalah suatu translasi

b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2 9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa 10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)

a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)

b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)

JAWABAN TUGAS 1

1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris

A B

(16)

a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)

b. Lukislah GAB(C)

c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A∈ g dan GAB=MhMg

d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C∈ g dan sehingga GAB=MhMg

2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g⊥AB. a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB

A B=GAB(A) A’=GAB(B) A B C C’=GAB(C) h g A B C A B g h GAB(A) =B MhMg(A)=B

}

GAB=MhMg h g A B C h g A B

}

(17)

A g k B m A m’ B b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB

c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)

GAB (m) = B

m’ = B

d. Titik C sehingga GBA(C) = B

GAB(C) = B GAB(A)= B MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B

}

MhMg=GAB GAB(A)= B MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B

}

MgMk=GAB m’ = GAB(m) A B C

(18)

A

B

P

C

D

3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.

a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B

b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C

4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g

Lukislah ! g h A Mg(A)=A’ B= Mh(A’) g h C= Mg(A’ ) _A Mh(A)=A’

(19)

P P’ P” P’ P” P h’ = GDC (h) h g = GABGDC (h) P”’ = G3AB (P) a) GCD GAB (P) GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB GCD (P) = P” dimana P’P” = CD b) GCD GBA (P) GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g d) G3AB (P)

(20)

P

P’

P”

5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:

a. GABGCD(P)=R

b. SAGBC(P)=R

c. (GAB)-1Mg(P)=R

Penyelesaian:

6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:

a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah) Bukti:

Dipunyai GAB=MgMh.

Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).

Jadi GAB ≠ MhMg.

Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg

b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah) Bukti:

(21)

Misal: GAB=MhMg.

Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1

= Mg-1Mh-1 = MgMh

≠ GAB. Jadi GAB bukan suatu involusi.

c. GABGAB= GCD dengan (Benar) Bukti:

Ambil sembarang titik P.

Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.

Karena GAB(P)=P2 maka

GAB(P2)=P4 maka dan

GABGAB(P)=P4 maka

Sehingga , akibatnya P₄ =P₅.

Jadi GABGAB(P)= GCD(P).

Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.

d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)

e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)

7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

Jawab :

Jelas g dan h ⊥ dan jarak antara g dan h Persamaan garis

(22)

Jadi

Misal A ∈ g maka persamaan garis g

Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint AB

)

Jadi C(-1,5)

Persamaan garis h ⊥ AB dan melalui C(-1,5)

(23)

Jadi g : y =

h : y =

8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).

a. Tentukan C'=G_AB(C). Penyelesaian: Karena C'=G_AB(C) maka Jelas Sehingga x₂ −2=−4⇔ x₂ =−2 dan y₂ −4=−4⇔ y₂ =0. Jadi C'=G_AB(C)=(−2,0).

b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C∈g dan sehingga MhMg= GAB. Penyelesaian: Jelas . 1 4 4 1 5 3 1 1 2 1 2 = − − = + − − − = − − = x x y y m_AB

Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan g ⊥ AB,h⊥ AB. Sehingga diperoleh

Karena g//h maka m_g =m_h =−1. Misal garis h melalui titik D maka

Sehingga diperoleh . 1 1 1 1 − = ⇔ − = ⋅ ⇔ − = ⋅ g g g AB m m m m 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 4 1 2 2 1 ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 3 1 ( ) 1 5 ( ) 4 ( ) 2 ( ] ) ( ) [( ) ( ) ( − ⋅ + − ⋅ = − + − ⇔ − − + + − = − + − ⇔ − + − = − + − ⇔ = ⇔ = y x y x y y x x y y x x AB CD AB CD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 3 1 ( ) 1 5 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' − + − = − + − ⇔ − − + + − = − + − ⇔ − + − = − + − ⇔ = ⇔ = y x y x y y x x y y x x AB CC AB CC

(24)

Jadi 2 ₂1 4 ₂ 0 2− = ⋅− ⇔x = x dan 4 ₂1 4 ₂ 2. 2 − = ⋅− ⇔ y = y Jadi titik D(0,2).

Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan mg =−1 adalah

6 2 4 ) 2 ( 1 4 ) ( ₁ 1 + − = ⇔ + − = − ⇔ − − = − ⇔ − = − x y x y x y x x m y y

dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan m_h =−1 adalah

. 2 2 ) 0 ( 1 2 ) ( ₁ 1 + − = ⇔ − = − ⇔ − − = − ⇔ − = − x y x y x y x x m y y 9. Diket A(2,1), B(5,-3) Ditanyakan a. misal maka sehinggga dan Jadi C’(7,-2) b. dengan misal maka sehingga dan _Jadi

10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.

(25)

a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y). Jawab: Jelas G_AB(A)=B ). 4 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) 4 , 3 ( ) 1 , 2 ( = + − + ⇔ = − ⇔ b a G_AB Sehingga 2+a=3⇔a=1 dan −1+b=4⇔b=5. Jadi G_AB(P)=G_AB(x,y)=(x+1,y+5).

b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3). Jawab:

Misal titik D(x₁,y₁) maka

). 3 , 1 ( ) 5 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) , ( ) 3 , 1 ( ) ( 1 1 1 1 = + + ⇔ = ⇔ = y x y x G D G AB AB Sehingga x₁+1=1⇔x₁ =0 dan y₁+5=3⇔ y₁ =−2. Jadi titk D(0,-2).

c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga h=G_AB(g). Jawab: . 3 2 4 2 2 5 4 ) 1 ( 2 5 ) 4 2 ( ) ( − = + ⇔ = + + + ⇔ = + + + ⇔ = + = = y x x y x y x y G g G h AB AB

JAWABAN TUGAS 2

1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P a) Tentukan GABSC(P)

Penyelesaian :

GABSC(P)=GAB[SC(P)]

=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah

=P” dengan

(26)

Penyelesaian :

SCGAB(P)=SC[GAB(P)]

=SC(P’) dengan

=P” dengan C titik tengah c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X

Penyelesaian :

Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD Ambil titik X sebarang

GABSC(X)=SD(X)

Diperoleh SD(X)=X, berartti X=

Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti

Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D) = GAB[SC(X)]

=GAB(D’) dengan C titik tengah D’, berarti

=D dengan

=X

Jadi titik X adalah titik tengah dimana 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana, 2

b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE Penyelesaian :

Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C

dimana,

(27)

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti dimana,

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah : a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE

b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X

4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S -1

(P).

Penyelesaian :

Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P) =(x+a,y+b)

b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1. Penyelesaian :

Ambil titik P sebarang Misal G1=GAB dan G2=GCD G1G2(P)=G1[G2(P)] =G1(P’) dengan =P” dengan Jadi, ………(1) G2G1(P)=G2[G1(P)] =G2(P’) dengan =P” dengan Jadi, ………(2)

Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB G1G2=G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?

a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan. Penyelesaian :

(28)

b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan Penyelesaian :

c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi) Penyelesaian :

d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) Penyelesaian :

e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan. Penyelesaian :

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G

Penyelesaian : SDSC(P)=G(P) SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3) Misalkan D(a,b) [2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3) 2a-(2-x)=x+2 2a=x+2+2-x 2a=4 a=2 2b-(-14-y)=y+3 2b=y+3-14-y 2b=-11 b=-5,5 Jadi titik D(2,-5,5)

7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.

(29)

Penyelesaian :

Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8]) =(4+x,y-8)

Apabila B titik tengah maka,

x=-1

y=18

Jadi koordinat D=(-1,18)

8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat. Buktikan :

a) SBSA adalah suatu translasi Penyelesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang SBSA(P)=SB[SA(P)]

=SB(2a1-x,2a2-y) =(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y) =[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka = Penyeleesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] =( b1–a1,b2-a2)

=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y] =[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]

(30)

=2

Jadi terbukti =

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap Penyelesaian :

b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi Penyelesaian :

c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA Penyelesaian :

10.Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5) a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)

Penyelesaian : SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y) =SA(-6-x,10-y) =2.2-(-6-x),2.1-(10-y) =(10+x,-8+y) Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)

b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L). Penyelesaian :

L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2 SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]

=SA(-6,10) =[2.2-(-6),2.1-10] =(10,-8)