1
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Telah diketahui dalam teori modul, pengertian basis meliputi konsep membangun dan konsep bebas linear. Karakterisasi suatu himpunan bagian yang bersifat membangun dan bebas linear di dalam suatu modul dapat ditemukan di dalam Maclane-Birkhoff (1979), Adkins-Weintraub (1992), Passman (1991), dan Hungerford (1974). Konsep membangun oleh suatu himpunan bagian di dalam suatu modul telah diperumum dan dikembangkan oleh Wisbauer (1991) dan Anderson-Fuller (1992) ke dalam kategori 𝑅-modul (𝑅-Mod). Kelas 𝜎 𝑀 merupakan koleksi submodul-submodul dari suatu modul yang dibangun oleh 𝑅-modul 𝑀. Telah ditunjukkan bahwa 𝜎 𝑀 merupakan suatu subkategori dari kategori 𝑅-Mod dan memiliki sifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung.
Dari hasil-hasil yang diperoleh Wisbauer (1991) dan Anderson-Fuller (1992), penulis termotivasi untuk mendefinisikan pengertian keluarga modul bebas linear yang merupakan perumuman dari pengertian bebas linear suatu himpunan bagian di dalam suatu modul. Selanjutnya, diperkenalkan kelas modul 𝜏 𝑀 yakni koleksi submodul dari modul faktor 𝑀 𝐿 dengan 𝐿 submodul dari 𝑀 yang isomorfis dengan submodul dari koproduk keluarga modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan dinotasikan oleh 𝜏 𝑀 = 𝐾 𝐿 ≤ 𝑀 𝐿 | 𝐿 ≅ 𝑉 ≤ 𝑁Λ 𝜆, 𝜆 ∈
Λ dengan 𝑁𝜆 Λ adalah keluarga 𝑅-modul yang bebas linear maksimal terhadap
𝑀. Pembentukan kelas modul 𝜏 𝑀 ini termotivasi oleh pembentukan kelas modul 𝜎 𝑀 yang telah dilakukan oleh Wisbauer (1991). Selanjutnya diselidiki apakah 𝜏 𝑀 merupakan subkategori dari kategori 𝑅-Mod. Jika dapat dibuktikan bahwa 𝜏 𝑀 merupakan kategori, selanjutnya dilakukan kajian apakah kategori 𝜏 𝑀
2
memiliki sifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung seperti pada kategori 𝜎 𝑀 .
Di pihak lain, konsep ring herediter telah banyak diteliti dan dikembangkan dari berbagai pendekatan. Cartan-Eilenberg (1956) mengetengahkan karakterisasi ring herediter melalui modul. Tuganbaev (2003) telah mengkaji sifat-sifat ideal suatu ring herediter. Haily-Rahnaoui (2007) telah mengetengahkan karakterisasi baru dari ring herediter melalui endomorfisma. Telah diketahui bahwa perumuman definisi ring herediter di area modul telah diperkenalkan oleh Shrikhande (1973). Selain memperkenalkan modul herediter, Shrikhande memperkenalkan modul koherediter yang merupakan dual dari modul herediter. Dikatakan dual karena modul koherediter merupakan modul yang memiliki sifat injektif pada setiap modul faktornya, sedang modul herediter merupakan modul yang memiliki sifat proyektif pada setiap submodulnya. Hill (1977) telah menelaah struktur endomorfisma suatu modul herediter.
Pengembangan konsep modul herediter ke sifat herediter di suatu kelas modul, yakni kategori 𝜎 𝑀 , telah diperkenalkan oleh Wisbauer (1991). Selain itu, konsep modul koherediter juga dikembangkan di kategori 𝜎 𝑀 . Para peneliti yang melakukan kajian terhadap struktur modul koherediter di 𝜎 𝑀 antara lain: Wisbauer (1998), Tutuncu dkk. (2008), dan Garminia (2009).
Lebih jauh, penulis melakukan pendefinisian modul koherediter di dalam 𝜏 𝑀 yang pendefinisiannya sejalan dengan pengertian di dalam 𝜎 𝑀 . Selanjutnya dilakukan kajian terhadap sifat-sifat modul koherediter di dalam 𝜏 𝑀 . Hal ini termotivasi oleh hasil-hasil Wisbauer (1991) yang melakukan kajian awal terhadap modul herediter di dalam 𝜎 𝑀 yang merupakan keluarga submodul dari modul yang dibangun oleh 𝑅-modul 𝑀.
3
1.2. Rumusan Masalah
Dari latar belakang tersebut, penulis menyusun rumusan masalah penelitian sebagai berikut. Pertama, bagaimana membangun konsep keluarga modul bebas linear berdasarkan pengertian himpunan bagian yang bebas linear di dalam modulnya. Selanjutnya dikembangkan keluarga submodul bebas linear dan keluarga modul bebas linear maksimal. Mempelajari sifat berdasarkan sifat-sifat himpunan bagian yang bebas linear dan memberikan contoh-contoh.
Kedua, bagaimana membangun kelas modul 𝜏 𝑀 yang merupakan koleksi submodul dari modul faktor 𝑀 𝐿 dengan 𝐿 submodul dari 𝑀 yang isomorfis dengan submodul dari koproduk keluarga modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan dinotasikan oleh 𝜏 𝑀 = 𝐾 𝐿 ≤ 𝑀 𝐿 | 𝐿 ≅ 𝑉 ≤ 𝑁Λ 𝜆, 𝜆 ∈ Λ dengan 𝑁𝜆 Λ adalah keluarga 𝑅-modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀. Selanjutnya, diselidiki apakah 𝜏 𝑀 memenuhi aksioma-aksioma subkategori dari kategori 𝑅-Mod, melakukan kajian sifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung seperti yang dimiliki oleh 𝜎 𝑀 , dan memberikan beberapa contoh. Ketiga, menyelidiki sifat-sifat modul injektif dan modul koherediter di 𝜏 𝑀 .
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Membangun konsep keluarga submodul bebas linear dan keluarga modul bebas linear sebagai perumuman dari himpunan bagian yang bersifat bebas linear terhadap modulnya.
2. Membangun kategori 𝜏[𝑀] dan mendapatkan sifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung seperti pada kategori 𝜎[𝑀]. 3. Mendapatkan sifat-sifat dari modul injektif dan modul koherediter pada
4
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Dengan terbangunnya konsep keluarga modul bebas linear dan dengan memanfaatkan konsep modul membangun yang dilakukan oleh Wisbauer (1991), diharapkan dapat dilakukan pula kajian tentang “keluarga modul basis”.
2. Dengan terbangunnya kategori 𝜏 𝑀 , diharapkan dapat dilakukan kajian lebih lanjut, dengan memperhatikan hasil kajian pada kategori 𝜎 𝑀 .
3. Dengan mendapatkan sifat-sifat dari modul injektif dan modul koherediter pada kategori 𝜏[𝑀] diharapkan dapat melengkapi hasil-hasil pada Wisbauer (1991, 1998), Tutuncu dkk. (2008), dan Garminia (2009).
1.5. Tinjauan Pustaka
Pada 𝑅-modul 𝑁, himpunan tak kosong 𝑆 merupakan basis untuk 𝑁 jika dan hanya jika 𝑆 membangun dan bebas linear. Pembahasan suatu himpunan bagian yang bebas linear di dalam modulnya dapat dilihat pada Hungerford (1974), Maclane-Birkhoff (1979), Passman (1991), Anderson-Fuller (1992), Arifin (2001), dan Bland (2011). Dari pengertian 𝑆 membangun 𝑁, Wisbauer (1991) mengembangkan suatu kelas sebagai berikut. Kelas yang merupakan koleksi submodul-submodul dari modul yang dibangun oleh 𝑅-modul 𝑀 dinotasikan dengan 𝜎 𝑀 . Wisbauer menunjukkan bahwa 𝜎 𝑀 merupakan subkategori dari kategori R-Mod. Dibahas pula bahwa subkategori 𝜎 𝑀 mempunyai sifat tertutup (closed) terhadap submodul, modul faktor dan jumlah langsung luar (external direct sum).
Di dalam Shrikhande (1973) dan Wisbauer (1991, 1998) dibahas keterkaitan antara modul proyektif dan modul injektif. Kaitan tersebut antara lain; untuk 𝑅-modul 𝑃 dan 𝒬, jika 𝒬 adalah 𝑃-injektif dan setiap submodul dari 𝑃 merupakan 𝒬-proyektif, maka setiap modul faktor dari 𝒬 merupakan 𝑃-injektif.
5
Jika 𝑃 bersifat 𝒬-proyektif dan setiap modul faktor dari 𝒬 merupakan 𝑃-injektif, maka setiap submodul dari 𝑃 bersifat 𝒬-proyektif. Wisbauer (1991) juga menunjukkan karakterisasi dari modul-modul yang bersifat proyektif di dalam 𝜎 𝑀 yaitu jika 𝑃 adalah modul proyektif di dalam 𝜎 𝑀 , maka untuk setiap submodul dari modul 𝑃 adalah proyektif di dalam 𝜎 𝑀 jika dan hanya jika setiap modul faktor dari modul yang 𝑃-injektif di dalam 𝜎 𝑀 adalah 𝑃-injektif.
Tutuncu dkk. (2008) menunjukkan bahwa jumlah langsung luar suatu modul bersifat koherediter di dalam 𝜎 𝑀 jika dan hanya jika masing-masing modulnya bersifat koherediter di dalam 𝜎 𝑀 . Lebih jauh, jika modul 𝑀 pembangun di dalam 𝜎 𝑀 , maka 𝑀 bersifat koherediter di dalam 𝜎 𝑀 jika dan hanya jika 𝑀 merupakan modul semisederhana. Dari karakterisasi modul proyektif di dalam 𝜎 𝑀 , Garminia (2009) menunjukkan dual dari karakterisasi tersebut tetapi masih mempertahankan sifat proyektifitas modul, yaitu untuk setiap modul faktor dari modul 𝒬 adalah injektif di dalam 𝜎 𝑀 jika dan hanya jika setiap submodul dari modul yang 𝒬-proyektif di dalam 𝜎 𝑀 adalah 𝒬-proyektif.
Karakterisasi modul herediter di dalam 𝜎[𝑀] yang berkaitan dengan modul yang bersifat injektif dikemukakan Wisbauer (1991) antara lain suatu modul bersifat herediter di dalam 𝜎[𝑀] jika dan hanya jika setiap modul faktor dari modul yang injektif di dalam 𝜎[𝑀] adalah injektif. Dari karakterisasi tersebut, Wisbauer (1998) menunjukkan sifat-sifat dan karakterisasi dari modul koherediter di dalam 𝜎[𝑀], antara lain jika masing-masing modul bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀], maka jumlah langsung berhingga modul tersebut bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀]. Jika 𝑃 bersifat 𝑀-injektif Noether lokal, maka 𝑃 bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀] jika dan hanya jika setiap modul injektif di dalam 𝜎[𝑀] bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀]. Modul 𝑃 bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀] jika dan hanya jika setiap modul injektif di dalam 𝜎[𝑀] yang tak terdekomposisi bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀]. Tutuncu dkk. (2008) dan Garminia (2009) juga menunjukkan karakterisasi modul koherediter di dalam 𝜎[𝑀], yaitu 𝒬 modul di dalam 𝜎[𝑀], 𝒬 bersifat koherediter di dalam 𝜎[𝑀] jika
6
dan hanya jika setiap submodul dari modul yang 𝒬-proyektif di dalam 𝜎[𝑀] adalah 𝒬-proyektif.
Disertasi ini membahas konsep keluarga modul bebas linear dan keluarga modul bebas linear maksimal berdasarkan pengertian himpunan bagian bersifat bebas linear di dalam suatu modul. Selanjutnya akan dibahas juga kelas 𝜏 𝑀 yang merupakan koleksi submodul dari modul faktor 𝑀 𝐿 dengan 𝐿 submodul dari 𝑀 yang isomorfis dengan submodul dari koproduk keluarga modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan dinotasikan oleh 𝜏 𝑀 = 𝐾 𝐿 ≤ 𝑀
𝐿
| 𝐿 ≅ 𝑉 ≤ 𝑁Λ 𝜆, 𝜆 ∈ Λ dengan 𝑁𝜆 Λ adalah keluarga 𝑅-modul yang
bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan menyelidiki apakah pada 𝜏 𝑀 sifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung. Terakhir, melakukan kajian modul injektif dan modul koherediter di dalam 𝜏 𝑀 .
1.6. Metodologi Penelitian
Metode dan langkah-langkah penelitian ini adalah sebagai berikut. Pertama, mendefinisikan keluarga modul bebas linear berdasarkan pengertian himpunan bagian yang bebas linear di dalam suatu modul, mempelajari sifat-sifat, dan memberikan beberapa contoh. Berikutnya, mendefinisikan keluarga submodul bebas linear dengan memperumum submodul siklik yang dibangun oleh elemen dari himpunan bagian yang bebas linear di dalam suatu modul, mempelajari sifat-sifat berdasarkan sifat-sifat-sifat-sifat himpunan bagian yang bebas linear, dan memberikan contoh-contoh. Kajian ini dilakukan karena sepengetahuan penulis, tidak ada peneliti sebelumnya yang melakukan perumuman konsep “bebas linear”. Hal yang telah dilakukan barulah memperumum konsep “membangun” yakni oleh Wisbauer (1991).
Kedua, membangun kelas modul 𝜏 𝑀 yang merupakan koleksi submodul dari modul faktor 𝑀 𝐿 dengan 𝐿 submodul dari 𝑀 yang isomorfis dengan
7
submodul dari koproduk keluarga modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan dinotasikan oleh 𝜏 𝑀 = 𝐾 𝐿 ≤ 𝑀 𝐿 | 𝐿 ≅ 𝑉 ≤ 𝑁Λ 𝜆, 𝜆 ∈ Λ dengan
𝑁𝜆 Λ adalah keluarga 𝑅-modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀.
Selanjutnya, diselidiki apakah 𝜏 𝑀 memenuhi aksioma-aksioma subkategori dari kategori 𝑅-Mod, bersifat tertutup terhadap submodul, modul faktor, dan jumlah langsung seperti yang dimiliki oleh 𝜎 𝑀 , dan memberikan beberapa contoh. Kajian ini dilakukan karena sepengetahuan penulis, tidak ada peneliti sebelumnya yang membangun kelas modul yakni 𝜏 𝑀 . Wisbauer (1991) dan Andeson-Fuller (1992) telah membahas kelas modul dengan mengoleksi submodul-submodul dari modul yang dibangun oleh 𝑅-modul 𝑀.
Ketiga, melakukan kajian terhadap modul yang bersifat injektif dan modul koherediter di dalam 𝜏 𝑀 , mempelajari sifat-sifat, dan memberikan contoh-contoh. Kajian ini dilakukan dengan pertimbangan bahwa setelah membangun kelas modul 𝜎 𝑀 , Wisbauer (1991) melanjutkan dengan mengkaji modul herediter di dalam 𝜎 𝑀 . Untuk lebih jelasnya, alur penelitian diberikan pada diagram berikut.
Menemukan sifat-sifat modul injektif dan modul faktor yang bersifat injektif (koherediter)
pada kategori 𝜏 𝑀
Diperoleh sifat-sifat dan karakterisasi dari modul injektif
dan modul koherediter pada kategori 𝜏 𝑀
Tahap Proses Penelitian Indikator
Tahap 1
Tahap 2
Tahap 3
Membangun konsep keluarga modul bebas linear dan memberikan beberapa contoh.
Diperoleh konsep keluarga modul bebas linear dan
beberapa contoh.
Membangun suatu kategori baru (kandidat kategori 𝜏 𝑀 ) melalui keluarga modul bebas linear dan
menemukan sifat-sifatnya.
Diperoleh konsep kategori 𝜏 𝑀 dan memperoleh
sifat-sifatnya dan beberapa contoh.
8
1.7. Sistematika Penulisan
Disertasi ini disajikan dalam 5 (lima) bab. BAB I berisi PENDAHULUAN yang memaparkan: latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II berisi MODUL DAN KATEGORI MODUL yang memaparkan tentang: modul dan homomorfisma modul, kategori modul, produk dan koproduk pada kategori 𝑅-modul, modul injektif dan modul proyektif, modul herediter, modul koherediter, dan kebebaslinearan.
BAB III berisi MODUL MEMBANGUN DAN KELUARGA MODUL BEBAS LINEAR yang memaparkan tentang: modul membangun, keluarga submodul bebas linear, keluarga modul bebas linear, dan keluarga modul bebas linear maksimal.
BAB IV berisi MODUL KOHEREDITER PADA KATEGORI 𝜏[𝑀] yang memaparkan tentang: kategori 𝜏[𝑀] dan modul 𝜏[𝑀]-koherediter.
BAB V berisi PENUTUP yang memaparkan tentang: kesimpulan dari penelitian dan masalah terbuka, yakni topik-topik penelitian yang dapat dilakukan lebih lanjut.
Secara garis besar, untuk sifat-sifat yang didapat dari kajian pustaka atau dikutip dari literatur yang disebutkan dalam daftar pustaka, penulis menyertakan rujukan literaturnya, sedangkan untuk sifat-sifat yang diperoleh dari hasil penelitian, penulis menyertakan tanda “ 𝕲 ” di depan kata ”Definisi”, “Teorema” atau kata “Akibat”.
