BAB II TEORI DASAR. Gelombang seismik pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan: (2.1) dengan (2.2)

5

BAB II

TEORI DASAR

2.1 Gelombang Seismik

Energi yang tersimpan di dalam bumi berbentuk tegangan pada batuan yang secara tiba-tiba terlepas sehingga ini disebut sebagai proses terjadinya gempabumi. Energi tersebut diteruskan ke bagian muka bumi melalui gelombang seismik. Gelombang seismik merupakan suatu energi berupa gelombang yang menjalar di dalam permukaan bumi disebabkan oleh adanya gangguan di dalam kerak bumi, misalnya terdapat ledakan atau deformasi struktur berupa tekanan ataupun tarikan karena sifat kerak bumi yang elastis[31]. Berdasarkan jenis gelombang yang merambat di dalam bumi, gelombang seismik dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P (primer) dan gelombang S (sekunder).

Gelombang seismik pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan: ∇²𝜓 = 1 𝑣² 𝜕²𝜓 𝜕𝑡² (2.1) dengan ∇ = 𝑖̂ 𝜕 𝜕𝑥+ 𝑗̂ 𝜕 𝜕𝑦+ 𝑘̂ 𝜕 𝜕𝑧 (2.2) dimana 𝜓 adalah fungsi gelombang yang menjalar, 𝑣 adalah kecepatan gelombang (m/s), t adalah waktu (s). Dapat dilihat pada Gambar 2. 1 bahwa komponen tegangan yang bekerja pada volume yang sangat kecil mengelilingi suatu titik di dalam suatu padatan yang elastis.

6

Gambar 2. 2 Perpindahan komponen regangan yang mengalami pergeseran (Shearing)[26]

Gambar 2. 3 Komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara rotasional[26]

7

Gambar 2. 4 Kombinasi komponen regangan yang mengalami pergeseran dan rotasional[26]

Untuk mempertahankan volume padat seperti yang digambarkan pada Gambar 2. 1 maka dibutuhkan sembilan komponen tegangan yang membentuk tensor tegangan (Stress)yaitu pada persamaan (2.3) dan tensor regangan (Strain) pada persamaan (2.4).

{𝑃ᵢⱼ} = ( 𝑃𝑥𝑥 𝑃𝑥𝑦 𝑃𝑥𝑧 𝑃𝑦𝑥 𝑃𝑦𝑦 𝑃𝑦𝑧 𝑃_𝑧𝑥 𝑃_𝑧𝑦 𝑃_𝑧𝑧 ) (2.3) {𝑒ᵢⱼ} = ( 𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑧 𝑒𝑦𝑥 𝑒𝑦𝑦 𝑒𝑦𝑧 𝑒_𝑧𝑥 𝑒_𝑧𝑦 𝑒_𝑧𝑧) (2.4) Dalam bentuk tiga dimensi, perpindahan komponen regangan (x, y, dan z) dituliskan dengan (u, v, dan w). Sehingga untuk regangan normal dapat dituliskan dengan persamaan: 𝑒_𝑥𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ; 𝑒𝑦𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ; 𝑒𝑧𝑧 = 𝜕𝑤 𝜕𝑧 (2.5)

Regangan yang mengalami pergeseran (Shearing) ditunjukan pada Gambar 2. 2 dan untuk persamaannya dapat dituliskan:

𝑒_𝑥𝑦 =1 2 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦) ; 𝑒𝑦𝑧 = 1 2 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑧) ; 𝑒𝑧𝑥 = 1 2 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑧+ 𝜕𝑤 𝜕𝑥) (2.6)

Sedangkan untuk komponen regangan yang mengalami perpindahan secara rotasional ditunjukkan pada Gambar 2. 3dan dapat dituliskan dalam persamaan:

𝜃𝑥𝑧 = − 1 2( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑧) ; 𝜃𝑥𝑦= − 1 2( 𝜕𝑣 𝜕𝑥− 𝜕𝑢 𝜕𝑦) ; 𝜃𝑦𝑧 = − 1 2( 𝜕𝑤 𝜕𝑦− 𝜕𝑣 𝜕𝑧) (2.7)

8

Perubahan dimensi yang disebabkan oleh regangan normal akan mengakibatkan perubahan volume. Perubahan volume per satuan volume disebut dilatasi (∆)[26]

∆ = 𝑒_𝑥𝑥+ 𝑒_𝑦𝑦+ 𝑒_𝑧𝑧= 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧 (2.8)

Hubungan antara tegangan dan regangan menimbulkan suatu perubahan geser yang disebut dengan modulus rigiditas dinyatakan dalam persamaan:

𝜇 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 = 𝑃𝑥𝑥 𝑒𝑥𝑥 = 𝑃𝑦𝑦 𝑒𝑦𝑦 = 𝑃𝑧𝑧 𝑒𝑧𝑧 (2.9)

Hubungan antara konstanta elastik pada medium homogen isotropik membentuk persamaan:

𝜎 = 𝜆

2(𝜆 + 𝜇) (2.10) dimana 𝜆 dan 𝜇 merupakan konstanta Lame, dan 𝜇 merupakan hambatan regangan geser. Persamaan untuk penjalaran gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke yang menyatakan hubungan tegangan (gaya per satuan luas) dan regangan (perubahan dimensi) yaitu:

𝜎_𝑖𝑖 = 𝜆∆ + 2𝜇 𝑒_𝑖𝑖 ; 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 (2.11) 𝜎_𝑖𝑗 = 𝜇 𝑒_𝑖𝑗 ; 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 (2.12) Berdasarkan Hukum II Newton, jika terjadi ketidaksetimbangan pada gaya-gaya yang bekerja maka akan terdapat perubahan momentum. Gaya adalah perkalian antara massa (m) dan percepatan (a).

∑ 𝐹_𝑥 = 𝑚 . 𝑎 = 𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 .𝜕²𝑢

𝜕𝑡² (2.13) dimana 𝜌 adalah densitas. Persamaan (2.14), (2.15) dan (2.16) adalah stress yang terjadi pada sumbu x dengan pergeseran u, sumbu y dengan pergeseran v, dan sumbu z dengan pergeseran w. 𝜌 𝜕²𝑢 𝜕𝑡² = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕∆ 𝜕𝑥+ 𝜇∇²𝑢 (2.14) 𝜌 𝜕²𝑣 𝜕𝑡² = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕∆ 𝜕𝑦+ 𝜇∇²𝑣 (2.15) 𝜌 𝜕²𝑤 𝜕𝑡² = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕∆ 𝜕𝑧 + 𝜇∇²𝑤 (2.16) Dimana ∇² merupakan Laplacian.

∇² = (𝜕² 𝜕𝑥²+ 𝜕² 𝜕𝑦²+ 𝜕² 𝜕𝑧²) (2.17)

9

Untuk menentukan persamaan gelombang, persamaan (2.14), (2.15), dan (2.16) masing-masing dideferensialkan terhadap x, y, dan z sehingga diperoleh beberapa persamaan: 𝜌 𝜕 𝜕𝑥( 𝜕²𝑢 𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕²∆ 𝜕𝑥²+ 𝜇 𝜕 𝜕𝑥( 𝜕²𝑢 𝜕𝑥²+ 𝜕²𝑢 𝜕𝑦²+ 𝜕²𝑢 𝜕𝑧²) (2.18) 𝜌 𝜕 𝜕𝑦( 𝜕²𝑣 𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕²∆ 𝜕𝑦²+ 𝜇 𝜕 𝜕𝑦( 𝜕²𝑣 𝜕𝑥²+ 𝜕²𝑣 𝜕𝑦²+ 𝜕²𝑣 𝜕𝑧²) (2.19) 𝜌 𝜕 𝜕𝑧( 𝜕²𝑤 𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇) 𝜕²∆ 𝜕𝑧²+ 𝜇 𝜕 𝜕𝑧( 𝜕²𝑤 𝜕𝑥² + 𝜕²𝑤 𝜕𝑦² + 𝜕²𝑤 𝜕𝑧²) (2.20)

Dari persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20) dilakukan penjumlahan, menjadi: 𝜌 𝜕 2 𝜕𝑡2( 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧) = ( 𝜆 + 𝜇) ( 𝜕2∆ 𝜕𝑥2+ 𝜕2∆ 𝜕𝑦2+ 𝜕2∆ 𝜕𝑧2) + 𝜇∇² ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧) (2.21) 𝜕2_∆ 𝜕𝑡2 = ( ( 𝜆 + 𝜇) 𝜌 ) + ∇²∆ (2.22) Sehingga didapatkan persamaan gelombang P yaitu:

𝑉𝑝 = √(𝜆 + 𝜇)

𝜌 (2.23) Untuk mendapatkan persamaan gelombang S pada sumbu x, maka persamaan (2.15) diturunkan terhadap z. 𝜌 𝜕² 𝜕𝑡²( 𝜕𝑣 𝜕𝑧) = (𝜆 + 𝜇) 𝜕²∆ 𝜕𝑦𝜕𝑧+ 𝜇∇² ( 𝜕𝑣 𝜕𝑧) (2.24) dan persamaan (2.16) diturunkan terhadap y.

𝜌 𝜕² 𝜕𝑡²( 𝜕𝑤 𝜕𝑦) = (𝜆 + 𝜇) 𝜕²∆ 𝜕𝑧𝜕𝑦+ 𝜇∇² ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦) (2.25) Dari persamaan (2.24) dan (2.25) dilakukan pengurangan menjadi:

2 𝜕² (𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧) 𝜕𝑡² = 2 𝜇 𝜌∇² ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧) (2.26) 𝜕² ∆_𝑥 𝜕𝑡² = 𝜇 𝜌∇² ∆𝑥 (2.27) Sehingga didapatkan persamaan gelombang S yaitu:

𝑉𝑠 = √𝜇

10

Berdasarkan tempat penjalaran gelombangnya, gelombang seismik dibagi menjadi dua yaitu gelombang tubuh (Body Wave) dan gelombang permukaan (Surface Wave).

Gambar 2. 5 Pembagian gelombang seismik pada media padat menurut arah perambatannya: gelombang tubuh P, gelombang tubuh S, gelombang permukaan love

dan gelombang permukaan Rayleigh[5]

2.1.1 Gelombang Badan

Gelombang badan merupakan gelombang yang merambat melalui bagian dalam bumi yang terdiri dari gelombang kompresional (longitudinal atau Primer wave dan transversal atau Sekunder Wave). Gelombang ini juga merupakan gelombang yang tiba sebelum gelombang permukaan dipancarkan oleh gempa bumi dan memiliki frekuensi yang besar. Ciri pada gelombang primer yaitu arah gerak partikel dalam medium bergerak searah dengan arah perambatan gelombangnya dapat dilihat pada Gambar 2.5. Kecepatan pada gelombang primer dapat mencapai 4-6 km per detik, tergantung dari sifat medium yang dilewatinya. Gelombang ini adalah gelombang yang pertama kali tiba di stasiun seismik. Kecepatan penjalaran gelombang P dinyatakan dalam persamaan (2.23).

Sedangkan gelombang sekunder yaitu arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan arah rambat gelombang. Kecepatan gelombang sekunder mencapai 3-4 per detik dan hanya mampu bergerak melalui batuan padat (tidak dapat melewati media cair). Kecepatan penjalaran gelombang S dinyatakan dalam persamaan (2.28).

11

Gelombang S terdiri dari dua komponen yaitu gelombang SV dan gelombang SH. Gelombang SV adalah gelombang S yang gerakan partikelnya terpolarisasi pada bidang vertikal, sedangkan gelombang SH adalah gelombang S yang gerakan partikelnya horizontal.

2.1.2 Gelombang Permukaan

Gelombang permukaan merupakan gelombang yang rambatannya hanya melalui permukaan bumi. Gelombang permukaan berdasarkan dari sifat gerakan partikel media elastik merupakan gelombang kompleks dengan amplitudo besar dan frekuensi rendah yang menjalar karena adanya efek free surface dan perbedaan sifat elastik. Gelombang permukaan dibagi menjadi dua jenis yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang Love[39].

Gelombang Love terjadi karena adanya refleksi total gelombang SH dalam lapisan antara permukaan bebas dan lapisan internal dan refleksi tersebut secara berulang dan berinterferensi membentuk gelombang baru.

Gambar 2. 6 Penjalaran Gelombang Permukaan (Love Wave)[39]

Sedangkan gelombang Rayleigh yaitu pergerakan partikelnya ke belakang (bawah maju atas mundur) dan gelombang ini menjalar melalui permukaan medium yang homogen. Gelombang Rayleigh terjadi karena adanya interaksi gelombang datang P dan SV dengan permukaan bebas dan berinterferensi membentuk gelombang baru yang menjalar sepanjang permukaan.

12

Gambar 2. 7 Penjalaran Gelombang Permukaan (Rayleigh Wave)[39]

Perubahan nilai densitas terhadap kedalaman biasanya kecil apabila dibandingkan dengan perubahan modulus geser[6]. Persamaan yang menggambarkan perambatan gelombang Rayleigh dalam bentuk homogen, isotropik, elastis media diperoleh dengan memecahkan persamaan gerak dengan tepat kondisi batas[20].

Gelombang Rayleigh diasumsikan selaras dengan frekuensi dominan 𝜔 dan bilangan gelombang k. Potensi perpindahan, 𝛷 dan 𝜓 dapat diasumsikan mempunyai persamaan[16]:

𝛷(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑓(𝑧)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) (2.29) 𝜓(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑔(𝑧)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) (2.30) di mana f (z) dan g (z) menggambarkan variasi antara amplitudo gelombang dengan kedalaman dan i = √−1. Dengan mengkorelasikan Persamaan (2.29) dan (2.30) ke dalam Persamaan (2.23) dan (2.28), maka diterapkan batas kondisi yang sesuai (misalnya tegangannya nol pada permukaan bebas) dan solusi yang memungkinkan untuk amplitudo gelombang menjadi tak terbatas dengan kedalaman, berikut ini persamaan karakteristik yang diperoleh:

𝜁6_{− 8𝜁}4_{+ (24 − 16𝜂}2_{) 𝜁}2_{+ 1(𝜂}2_{− 1) = 0 (2.31)} dimana 𝜁 = 𝑐 𝛽 dan 𝜂 = 𝛽 𝛼= ( 𝐺 𝜆+2𝐺) 0.5 = ( 1−2𝑣 2(1−𝑣)) 0.5 (2.32) Kecepatan rambat Gelombang Rayleigh dilambangkan dengan c. Solusi Persamaan (2.31) tidak bergantung pada frekuensi, yang menunjukkan bahwa gelombang Rayleigh tidak menyebar pada medium homogen. Solusi perkiraan Persamaan (2.31), yaitu[27]:

13 𝑐 ≈ 0.87 + 1.12𝑣

1 + 𝑣 𝛽 (2.33)

2.2 Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW)

Metode seismik adalah salah satu metode eksplorasi yang didasarkan pada pengukuran respon gelombang seismik (suara) yang dimasukkan ke dalam tanah dan kemudian direfleksikan atau direfraksikan sepanjang perbedaan lapisan tanah atau batas-batas batuan. Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW) adalah metode seismik konvensional yang memanfaatkan gelombang permukaan sebagai sinyal utamanya. Gelombang permukaan mempunyai amplitudo yang sangat besar dibandingkan dengan gelombang badan. Hal ini menyebabkan gelombang permukaan adalah gelombang yang paling kuat diantara gelombang lainnya. Selain itu, gelombang permukaan merambat sangat lambat dengan waktu rambat yang panjang di dalam tanah. Hal inilah yang menyebabkan MASW mempunyai S/N ratio lebih tinggi dibandingkan metode seismik lainnya [25].

Metode MASW dapat menghitung nilai kecepatan dari gelombang geser (Vs) berdasarkan kecepatan gelombang permukaan Rayleigh. Gelombang permukaan Rayleigh akan lebih mudah diamati menggunakan peralatan seismik dengan geophone vertikal, karena sifat ground roll pada gelombang Rayleigh memberikan energi seismik sebanyak 2/3 untuk membentuknya sehingga gelombang seismik akan menampung sebagian besar energi seismik[19]. Kecepatan gelombang Rayleigh yang terukur dalam pengukuran MASW akan sangat merepresentasi kecepatan gelombang geser, karena kecepatan fase pada gelombang Rayleigh sekitar 92% dari kecepatan gelombang geser[21].

Metode gelombang permukaan merupakan metode karakterisasi seismik yang berdasarkan analisis dispersi geometrik dari gelombang permukaan, di mana distribusi vertikal modulus geser dinamik suatu lapisan bawah permukaan dapat diperoleh dengan metode ini. Prosedurnya terdiri dari estimasi sifat dispersi suatu daerah, dan kemudian memodelkan data-data tersebut untuk mengestimasi sifat bawah permukaan. Hasil yang didapatkan merupakan profil vertikal dari kecepatan gelombang geser.

14

Gambar 2. 8 Profil vertikal dari gelombang geser[35]

Gelombang permukaan merupakan gelombang seismik yang merambat secara paralel ke permukaan bumi tanpa adanya penyebaran energi ke dalam interior bumi. Amplitudonya akan berkurang secara eksponensial terhadap kedalaman, dan kebanyakan energi merambat pada daerah dangkal yang setara dengan satu panjang gelombang. Gelombang permukaan Rayleigh sering menjadi hal yang dominan pada rekaman data seismik yang menyebarkan energi ke semua arah. Hal ini disebabkan energinya lebih banyak dan penyebaran secara geometri lebih rendah dari gelombang badan[2].

2.3 Dispersi Gelombang Rayleigh

Dalam menentukan kecepatan gelombang geser sebagai fungsi kedalaman maka digunakan gelombang permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan dimanfaatkan untuk memodelkan struktur bawah permukaan dikarenakan mudah dan dapat diaplikasikan pada bidang geoteknik yaitu memanfaatkan gelombang Rayleigh untuk karakterisasinya. Digunakannya gelombang Rayleigh karena gelombang ini mempunyai sifat yang unik, dimana gelombang akan mengalami dispersi pada setiap perambatan gelombangnya yang melewati batas lapisan material bumi. Sifat dispersi ini yaitu variasi panjang dan kecepatan gelombang yang memiliki velocity phase dan kecepatan grup yang berbeda sehingga kecepatan fase pada gelombang Rayleigh bergantung pada frekuensi.

15

Gelombang dengan berbagai frekuensi tersebut dapat saling interferensi dalam satu paket gelombang (wave packet) atau deret gelombang (wave train) yang merambat dalam kecepatan yang berkelompok yang dikenali sebagai kecepatan kelompok (group velocity). Kecepatan gelombang fase sendiri merupakan kecepatan dari setiap gelombang harmonik. Hubungan antara kecepatan kelompok (U) dan kecepatan fase (V) dapat dituliskan dalam ekspresi matematik[28]:

𝑈 = 𝑑𝜔 𝑑𝑘(𝜔) = 𝑉 + 𝑓 𝑑𝑉 𝑑𝑓 = 𝑉 − 𝜆 𝑑𝑉 𝑑𝜆 (2.34) Dari persamaan (2.34) dapat dijelaskan bahwa pada sifat dispersi gelombang permukaan yang normal dimana kecepatan fase merupakan fungsi berkurangan terhadap frekuensi, kecepatan fase merambat lebih cepat berbanding kecepatan kelompok. Pada kurva kecepatan fase yang tidak berdispersi (media homogen), kecepatan fase dan kelompok adalah bernilai sama dan bersifat konstan.

Gambar 2. 9 Kurva hubungan antara kecepatan fasa dan kecepatan grup dengan periode pada Gelombang Love dan Gelombang Rayleigh[9]

Gelombang seismik merambat secara mekanik ke dalam medium lapisan bumi yang merupakan gelombang elastis atau mekanis yang ditimbulkan akibat regangan medium elastis. Energi gelombang seismik 67% berupa energi gelombang permukaan[3]. Gelombang permukaan ini, digunakan untuk estimasi kecepatan gelombang geser sebagai fungsi kedalaman. Selanjutnya, nilai gelombang geser ini, dapat digunakan untuk mengetahui sifat (porositas, densitas, saturasi air dan jenis batuan) struktur bawah permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan dapat mencitrakan struktur bawah permukaan dengan mudah yang diaplikasikan pada karakterisasi geoteknik,

16

yakni gelombang Rayleigh. Sebab, gelombang Rayleigh mempunyai sifat yang unik, dimana setiap perambatan gelombang ini yang melewati batas lapisan material bumi mengalami dispersi.

Pembuatan kurva dispersi gelombang Rayleigh dapat dilakukan dengan cara mengkorelasikan gelombang Rayleigh pada fungsi frekuensi yang terdeteksi geophone dengan jarak sebesar D meter.

𝐺_𝑦1𝑦2= 𝑌₁(𝑓) ∗ 𝑌2 (2.35)

Dimana * menandakan kompleks konjugat. Estimasi selanjutnya berupa perbedaan sudut (f) dan t(f) waktu yang dibentuk oleh penjalaran kedua gelombang Rayleigh dengan pendekatan persamaan:

𝜃_𝑦1𝑦2 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑙𝑚(𝐺𝑦1𝑦2)

𝑅𝑒(𝐺_𝑦1𝑦2) (2.36) 𝑡(𝑓) =𝜃𝑦1𝑦2(𝑓)

2𝜋𝑓 (2.37) dimana 𝜃_𝑦1𝑦2(𝑓) adalah perbedaan sudut dan t(f) waktu penjalaran gelombang. Selanjutnya dilakukan estimasi kecepatan sudut gelombang Rayleigh dengan menggunakan persamaan berikut:

𝑐(𝑓) = 𝐷

𝑡(𝑓) (2.38) Dimana 𝑐(𝑓) adalah kecepatan sudut gelombang Rayleigh, D adalah jarak geophone dan t(f) waktu rambat gelombang. Kecepatan sudut gelombang Rayleigh jika dibuat grafik sebagai fungsi dari frekuensi, nampak seperti pada Gambar 14. Grafik yang demikian, sering kali disebut sebagai dispersi gelombang Rayleigh atau kurva dispersi.

17 2.4 Transformasi Fourier

Sebelum dilakukannya Transformasi Fourier, data seismik yang diperoleh dari lapangan perlu ditransformasikan terlebih dahulu untuk menghasilkan citra spektrum dispersi kecepatan fase. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam tahapan ini adalah metode transformasi geser fase (phase shift transformation) yang direkomendasikan oleh Park tahun 1998. Metode ini memiliki beberapa keunggulan untuk mengidentifikasi dan memisahkan jenis gelombang seismik dan sinyal derau. Setelah itu dilakukan Transformasi Fourier yang digunakan untuk mengubah data dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Transformasi Fourier membagi sebuah sinyal menjadi frekuensi yang berbeda-beda dalam fungsi eksponensial yang kompleks. Fungsi-fungsi ini terkait dengan persamaan:

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 (2.39) cos 𝜃 = 1 2 (𝑒 𝑖𝜃_{+ 𝑒}−𝑖𝜃_{) dan 𝑖 sin 𝜃 =} 1 2𝑖 (𝑒 𝑖𝜃_{− 𝑒}−𝑖𝜃₎

Misalnya 𝑓(𝜃)adalah sebuah fungsi yang bernilai kompleks

𝑓(𝜃) = 𝑓(𝜃 + 2𝜋) (2.40) Dimana 𝑓 periodik dengan periode 2𝜋, 𝑓(𝜃) dapat diuraikan dalam bentuk deret fourier sebagai[14]: 𝑓(𝜃) = 1 2 𝑎0+ ∑ (𝑎𝑛cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝜃) ∞ 𝑛=1 (2.41) Dimana 1

2 𝑎0 adalah koefisien, untuk n = 0 maka cos 0 = 1 dan sin 0 = 0, sehingga 𝑏0 =

0. Dengan menggunakan fungsi eksponensial, persamaan menjadi: 𝑓(𝜃) = 𝐶_𝑛 ∑∞ (

𝑛=−∞ 𝑒𝑖𝑛𝜃) (2.42)

Persamaan (2.42) digunakan untuk menentukan koefisien Fourier dengan mengalihkan kedua sisi dengan 𝑒−𝑖𝑘𝜃

𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃 = 𝐶_𝑛 ∑∞_𝑛=−∞(𝑒𝑖𝑛𝜃 𝑒−𝑖𝑘𝜃) (2.43) Sehingga koefisien Fourier dari sinyal periodik dengan interval 𝜋 sampai – 𝜋 diperoleh dengan mengintergralkan kedua sisi dengan batas 𝜋 sampai – 𝜋.

∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃 𝜋 −𝜋 𝑑𝜃 = ∫ ∑ 𝐶_𝑛 ∞ 𝑛=−∞ 𝑒𝑖(𝑛−𝑘)𝜃 _𝑑𝜃) 𝜋 −𝜋 (2.44) Dengan ∫ 𝑒𝑖(𝑛−𝑘)𝜃 𝑑𝜃) = {2𝜋, 𝑛 = 𝑘 0, 𝑛 ≠ 𝑘} 𝜋 −𝜋 (2.45)

18

Sehingga persamaan (2.44) hanya mempunyai nilai saat n = k, dengan 2 𝜋 = 𝑇₀, dan diperoleh persamaan:

∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃

𝜋 −𝜋

𝑑𝜃 = 𝐶_𝑘 𝑇₀ (2.46) Dengan 𝜃 = 𝜔₀𝑡 maka koefisien Fourier 𝐶_𝑘 dari sinyalperiodik dengan interval −𝑇0

2 < 𝑡 < 𝑇0 2 didefinisikan sebagai: 𝐶_𝑘 = 1 𝑇₀∫ 𝑓(𝜃)𝑒 −𝑖𝑘𝜔0𝑡 𝑇0 2 ⁄ −𝑇0 2 ⁄ 𝑑𝜃 (2.47) Saat 𝑇₀ bertambah besar, maka 𝜔₀ akan bertambah kecil sehingga jarak antar koefisien Fourier akan semakin kecil. Saat 𝑇0 mendekati tak hinga, maka koefisien Fourier dapat

dinyatakan menjadi:

𝐶𝑘𝑇0 = ∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡 ∞

−∞

𝑑𝜃 ; −∞ < 𝑘 < ∞ (2.48) Dengan k adalah indeks domain frekuensi, 𝜔₀ = 2𝜋

𝑇0 adalah frekuensi dalam radian per

sekon, 1

𝑇0 = 𝑓0 adalah frekuensi. Persamaan transformasi Fourier diperoleh dengan

mengubah 𝐶_𝑘𝑇₀ = 𝑋(𝑓) dan 𝜔 = 𝜔₀𝑘 menjadi:

𝑋(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 _𝑑𝑡 ∞

−∞

(2.49) Dengan x(t) adalah sinyal dalam domain waktu, 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 adalah fungsi kernel, X(f) adalah fungsi dalam domain frekuensi, serta f adalah frekuensi. Persamaan ini digunakan untuk mentransformasikan sinyal dari domain waktu ke dalam domain frekuensi.

Pada pertengahan hingga akhir tahun 1990-an, Park, Miller, Zia dan lainnya di Kansas Geological Survey mulai mengembangkan perangkat lunak SurfSeis yang sekarang populer untuk pemrosesan data gelombang permukaan multi-saluran dari aplikasi geoteknik. Selama perkembangan itu, ditemukan bahwa dua metode transformasi konvensional, f-k dan p-f, tidak memberikan resolusi yang memadai medan gelombang dalam kasus dimana ada sejumlah kecil saluran rekaman[7]. Karena itu aplikasi geoteknik diharapkan menggunakan array kecil.

19 Metode ini terdiri dari 4 langkah:

a. Menerapkan 1D Fourier Transform (FFT) ke bidang gelombang di sepanjang sumbu waktu, ini untuk memisahkan medan gelombang menjadi komponen dengan frekuensi yang berbeda. Data yang direkam diubah dari domain t) ke domain (x-f): U(x,t)→U(x,f)

b. Normalisasi U(x,f) ke satuan amplitudo: U(x,f)→𝑈(𝑥,𝑓)

|𝑈(𝑥,𝑓)| (2.50)

c. Ubah satuan amplitudo dalam domain (x-f) menjadi domain (k-f) sebagai berikut: untuk yang ditentukan frekuensi (f) dan bilangan gelombang (k), amplitudo dinormalisasi pada x dikalikan dengan 𝑒𝑖𝑘𝑥 dan kemudian dijumlahkan di seluruh sumbu offset. Ini diulangi pada kisaran bilangan gelombang untuk masing-masing frekuensi, dan kemudian semua frekuensi untuk menghasilkan spektrum 2D dari amplitudo yang dinormalisasi dalam domain f-k. ini dapat disajikan oleh:

𝑉(𝑘, 𝑓) = ∑ 𝑒𝑖𝑘𝑥

𝑥

. 𝑈(𝑥, 𝑓)

|𝑈(𝑥, 𝑓)| (2.51) d. Ubah V(k,f) ke fase domain kecepatan-domain frekuensi: V(k,f)→V(v,f) dengan

mengubah variabel sedemikian rupa sehingga: 𝑐(𝑓) =2𝜋𝑓

𝑘 (2.52)

2.5 Modulus Geser

Dalam masalah deformasi, modulus yang berlaku hanya Modulus Young (modulus elastisitas), Modulus Bulk dan Modulus Shear (modulus rigiditas). Modulus Young merupakan kemampuan suatu besar regangan yang ditunjukkan oleh perubahan panjang, sedangkan Modulus Bulk merupakan kemampuan suatu regangan yang dialami suatu benda yang ditunjukkan oleh perubahan volume dan Modulus Shear merupakan kemampuan antara regangan dan tegangan yang menimbulkan pergeseran sehingga mengalami perubahan bentuk.

Pada metode MASW, modulus yang sering digunakan adalah Modulus Shear dikarenakan Modulus Shear merupakan salah satu parameter penting yang diperlukan dalam analisis respon dinamik tanah. Parameter lainnya seperti kecepatan gelombang geser (Vs) dan rasio redaman (D). Sifat kekakuan dari lapisan tanah dapat ditentukan

20

dari kecepatan gelombang geser karena keduanya menunjukkan hubungan elastik yang linier. Jika nilai kecepatan gelombang geser yang semakin besar akan menyebabkan nilai kekakuan tanahnya semakin besar pula yang mengidentifikasikan semakin keras dan padat lapisan tanahnya. Kecepatan gelombang geser (Vs) hanya berkaitan dengan kekakuan dari struktur tanah, sedangkan untuk pengaruh tingkat kejenuhan tanahnya lebih berkaitan dengan kepadatan tanah. Semakin rendah tingkat kejenuhan tanah, maka akan semakin tinggi nilai Vs dan G[9].

Terdapat kurva yang menunjukkan modulus geser pada tanah bergantung pada tingkat regangan. Jika deformasi geser yang dihasilkan kecil maka perilaku tanah hampir mendekati elastis yaitu modulus geser dapat diasumsikan menjadi konstan pada nilai maksimumnya (Gmaks). Sedangkan jika deformasi mengalami peningkatan maka kekakuan tanah akan menjadi berkurang seperti ditunjukkan oleh kurva tegangan-regangan pada Gambar 2.11 yaitu:

Gambar 2. 11 Kurva tegangan-regangan dengan variasi modulus geser (G)[22]

Modulus geser tanah adalah salah satu parameter tanah yang harus diketahui untuk mengetahui penjalaran getaran akibat gempabumi. Parameter dinamis tanah modulus geser dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

𝐺ₘₐₓ = 𝜌𝑉ₛ² (2.53) dimana Gmaxadalah modulus geser, ρ adalah kerapatan massa dan Vs adalah kecepatan gelombang geser.

21 2.6 Kecepatan Gelombang Geser (Vs₃₀)

Vs₃₀ adalah kecepatan gelombang geser hingga pada kedalaman 30 meter dari permukaan tanah. Nilai Vs₃₀ dipergunakan dalam menentukan standar bangunan tahan gempa dan juga digunakan untuk penentuan klasifikasi batuan berdasarkan kekuatan getaran dari gempabumi akibat efek lokal[18]. Hal tersebut karena lapisan-lapisan batuan sampai kedalaman 30 meter saja yang menentukan pembesaran gelombang gempa[41]. Untuk menentukan nilai kecepatan gelombang geser hingga kedalaman 30 m (Vs₃₀) dihitung menggunakan persamaan:

𝑉𝑠₃₀ = 30 ∑𝑁_𝑖=1(ℎ𝑖_𝑣𝑖)

(2.54)

Dimana hᵢ adalah ketebalan (dalam meter) dan Vᵢ adalah kecepatan gelombang geser (dalam m/s) pada lapisan ke-i dari total N lapisan di atas 30 meter.

Tabel 1. 1 Klasifikasi Tanah menurut (NEHRP, 1998)

Site

Class Soil Profile Name

Average Properties in Top 100 feet (as per 2000 IBC section 1615.1.5)

Soil Shear Wave Velocity, Vs Feet/second Meters/second A Hard rock Vs > 5000 Vs > 1524 B Rock 2000 < Vs ≤ 5000 762 < Vs ≤ 1524 C Very dense soil and soft rock 1200 < Vs ≤ 2500 366 < Vs ≤ 762 D Stiff soil profile 600 < Vs ≤ 1200 183 < Vs ≤ 366 E Soft soil profile Vs < 600 Vs < 183

Tabel 1. 2 Stratigrafi berdasarkan tipe tanah (Eurocode, 2005) Tipe

Tanah Uraian Gambaran Stratigrafi

A Batuan atau formasi batuan lainnya

B

Endapan sand atau clay yang sangat padat, gravel pada ketebalan beberapa puluh meter, ditandai dengan peningkatan sifat mekanik terhadap kedalaman

C Endapan sand padat atau setengah padat yang sangat tebal, gravel atau clay padat hingga ketebalan beberapa puluh meter hingga

22 ratusan meter

D Endapan tanah kohesi rendah sampai sedang, atau terutama pada tanah kohesi rendah

E

Lapisan tanah terdiri atas alluvium pada permukaan tanah dengan nilai Vs pada tipe c dan d ketebalan bervariasi antara 5 m dan 20 m, di bawah tanah ini berupa material keras dengan Vs > 800 m/s

2.7 Forward Modelling

Pemodelan kedepan atau Forward Modelling adalah suatu proses perhitungan data secara teoritis yang akan teramati di permukaan bumi. Apabila diketahui parameter model bawah permukaan tertentu maka melalui proses pemodelan ke depan dapat dihitung data yang secara teoritis akan teramati di permukaan bumi. Jika respon suatu model sesuai dengan data, maka model yang digunakan untuk memperoleh respon tersebut dapat dianggap mewakili kondisi bawah permukaan di lokasi pengukuran.

Untuk perhitungan kurva dispersi teoritis, solusi dari persamaan Rayleigh yaitu:

𝐹_𝑅(λ(𝑧), 𝐺(𝑧), 𝜌(𝑧), 𝑘, 𝜔) = 0 (2.55) Dimana,

𝐹_𝑅 ( ) : Fungsi Dispersi

λ(𝑧) : Parameter Konstanta Lame (dari media elastis heterogen secara vertikal) 𝐺(𝑧) : Modulus Geser

𝜌(𝑧) : Kepadatan Massa (densitas)

𝑘 : Bilangan Gelombang

𝜔 : Frekuensi Sudut

Untuk model bumi berlapis yang digunakan dalam analisis pemodelan, persamaan Rayleigh dapat ditulis sebagai[9]:

𝐹𝑅,𝑞(𝑘𝑞, 𝐶𝑞, 𝛽, 𝛼, 𝜌, ℎ) = 0 𝑞 = 1, … , 𝑄 (2.56)

Dimana,

Q = Jumlah titik di mana kurva dispersi teoritis dihitung

n = Jumlah lapisan ketebalan hingga dalam model. (Lapisan n +1 adalah setengah spasi)

23 𝑓_𝑞 = Frekuensi titik q

𝑐𝑞 = Kecepatan fase gelombang Rayleigh pada frekuensi 𝑓𝑞

𝑘𝑞 = Panjang gelombang pada frekuensi 𝑓𝑞

𝑘𝑞 = 2𝜋𝑓_𝑞 𝑐𝑞 =𝜔𝑞 𝑐𝑞 (2.57) 𝛽 = [𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛, 𝛽𝑛+1]𝑇 Vektor kecepatan gelombang geser (gelombang S)

𝛼 = [𝛼1. 𝛼2, … , 𝛼𝑛, 𝛼𝑛+1]

𝑇 _{Gelombang vektor kecepatan gelombang (gelombang}

P)

𝜌 = [𝜌₁. 𝜌₂, … , 𝜌_𝑛, 𝜌_𝑛+1]𝑇 _{Vektor kepadatan massa}

ℎ = [ℎ₁. ℎ₂, … , ℎ_𝑛]𝑇 _{Vektor ketebalan lapisan}

Secara umum, matriks lapisan diperoleh untuk masing-masing dari lapisan n +1 dalam model, termasuk setengah ruang. Matriks lapisan kemudian dirakit untuk membangun sistem matriks (global) yang mengatur masalah. Metode yang bervariasi berdasarkan bagaimana matriks lapisan diformulasikan dan bagaimana dirakit untuk membentuk suatu sistem matriks. Perhitungan misfit untuk menyelesaikan permasalahan geofisika yaitu berdasarkan persamaan di bawah ini:

𝑚𝑖𝑠𝑓𝑖𝑡 = √1 𝑁 ∑ ( 𝐷ᵢ − 𝑀ᵢ 𝜎ᵢ ) 2 𝑁 𝑖=1 (2.58) Dimana N adalah jumlah titik data, Dᵢ adalah data hasil inversi, Mᵢ adalah model struktur tanah dan σᵢ adalah standar deviasi dari data hasil proses modelling dengan 1≤ i ≤ N.

Jika nilai misfit belum sampai ke nilai terkecil maka dilakukan proses data dari model awal kembali. Hal ini dikarenakan masalah utama pada pendekatan modelling adalah teknik optimisasi untuk mencari model awal yang paling mungkin diantara banyak model lain dengan seefisien mungkin.

24

Gambar 2. 12 Diagram Alir Proses Forward Modelling

Untuk teknis Forward Modelling pada MASWaves terbagi menjadi 3 tahap yaitu: A. Estimasi awal parameter model

1. Estimasi β dan h berdasarkan kurva dispersi eksperimental rata-rata (𝑐_𝑒,𝑞,λ_𝑒,𝑞) (q = 1,...,Q).

2. Estimasi ρ dan α (atau v) berdasarkan pengetahuan dari test site. B. Perhitungan kurva dispersi teoritis

Mendapatkan rentang bilangan gelombang Q yang mana kurva dispersi teoritis dihitung:

𝑘_𝑡,𝑞 = 2𝜋

𝜆𝑒,𝑞 (q = 1,…,Q). Ulangi nomor3 sampai 6 untuk q=1,…,Q.

3. 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 = menguji kecepatan fase (𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡,𝑚𝑎𝑥).

4. Menghitung matriks kekakuan di lapisan 𝑘𝑒,𝑖 untuk lapisan i=1,…,n+1 lalu

gabungkan ke dalam matriks sistem kekakuan K.

5. Variasikan 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 dan ulangi langkah nomor 2 untuk 𝐹𝑅(𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡, 𝑘𝑡,𝑞)=det(K)=0.

25

C. Estimasi error dan minimalisasi misfit (ketidakcocokan) 7. Hitung RMS error ϵ = √1 𝑄∑ (𝑐𝑡,𝑞 − 𝑐𝑒,𝑞) 𝑄 𝑞=1 2 (2.59) 8. ϵ𝑚𝑎𝑥= RMS error maksimum. Periksa jika ϵ < ϵ𝑚𝑎𝑥

9. Periksa apakah jumlah iterasi maksimum telah tercapai.

10. Jika langkah nomor 8 dan 9 benar maka berhenti, jika langkah nomor 8 dan 9 salah maka update β dan ulangi dari proses nomor 3 sampai 10.

2.8.1 Metode Thomson – Haskell (Metode matriks transfer)

Thomson dan Haskell pertama kali merumuskan dan mempresentasikan masalah propagasi dan dispersi gelombang permukaan dalam media berlapis vertikal. Metode Thomson-Haskell yaitu untuk menentukan kurva dispersi gelombang permukaan berdasarkan penggunaan matriks transfer dalam domain frekuensi-gelombang nomor (𝜔-k) dan dengan demikian juga sering disebut sebagai metode matriks transfer. Di sini, aspek utama dari notasi Buchen dan Ben-Hador akan dipraktekan. Untuk lapisan i, bidang perpindahan 𝑢𝑖 = [𝑢𝑖, 𝑣𝑖, 𝑤𝑖]𝑇 dapat diperoleh sebagai:

𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜕𝛷𝑖 𝜕𝑥 + 𝜕𝜓𝑖 𝜕𝑧 (2.60) 𝑣_𝑖 = 𝑣_𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 (2.61) 𝑤𝑖 = 𝑤𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜕𝛷_𝑖 𝜕𝑧 − 𝜕𝜓_𝑖 𝜕𝑥 (2.62) di mana potensi 𝛷𝑖 = 𝛷𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) dan 𝜓𝑖 = 𝜓𝑖 (x,z,t) adalah solusi dari persamaan

gelombang dua dimensi untuk lapisan ke-i ∇2_𝛷 𝑖 = 1 𝛼_𝑖2 𝛼2𝛷𝑖 𝜕𝑡2 ∇2𝜓𝑖 = 1 𝛽_𝑖2 𝛼2𝜓𝑖 𝜕𝑡2 (2.63)

Bidang tegangan vertikal terkait 𝜎_𝑖 = [𝜎_{𝑥𝑧,𝑖}, 𝜎_{𝑦𝑧,𝑖}, 𝜎_{𝑧𝑧,𝑖}, 𝑖]𝑇selanjutnya diperoleh sebagai berikut: 𝜎𝑥𝑧,𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜏𝑖 = 𝐺𝑖(2 𝜕2𝛷𝑖 𝜕𝑥𝜕𝑧+ 𝜕2𝜓𝑖 𝜕2_𝑧 − 𝜕2𝜓𝑖 𝜕2_𝑥) (2.64) 𝜎_{𝑦𝑧,𝑖}(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 (2.65) 𝜎_{𝑧𝑧,𝑖}(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜎𝑖 = 𝐺𝑖( 𝛼_𝑖2 𝛽_𝑖2 𝜕2𝛷𝑖 𝜕2_𝑧 + ( 𝛼_𝑖2 𝛽_𝑖2− 2) 𝜕2𝛷𝑖 𝜕2_𝑥 − 2 𝜕2𝜓𝑖 𝜕𝑥𝜕𝑧) (2.66) Potensi 𝛷𝑖 dan 𝜓𝑖 untuk lapisan ke-i dapat ditulis sebagai:

𝛷_𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐴_𝑖𝑒−𝑘𝑟𝑖𝑧_{+ 𝐴}

𝑖

26

𝜓𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐵𝑖𝑒−𝑘𝑠𝑖𝑧+ 𝐵𝑖′𝑒𝑘𝑠𝑖𝑧sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) (2.68)

dimana 𝐴𝑖 dan 𝐴𝑖′ adalah amplitudo gelombang P naik dan turun, 𝐵𝑖 dan 𝐵𝑖′ adalah

amplitudo gelombang Sv naik dan turun, k adalah panjang gelombang, 𝜔 adalah frekuensi sudut, c = 𝜔/𝑘 adalah kecepatan fase gelombang Rayleigh

𝑟𝑖 = √1 − 𝑐2 𝛼_𝑖2 𝑠𝑖 = √1 − 𝑐2 𝛽_𝑖2 untuk 𝑐 < 𝛼𝑖 dan 𝑐 < 𝛽𝑖 (2.69) 𝑦₁(𝑇) = 𝑇𝑖𝑦_𝑖+1(𝑇) 𝑖 = 1, … . , 𝑛 (2.70)

Untuk semua lapisan dalam model bumi yang menghubungkan perpindahan dan tekanan di permukaan ke perpindahan dan tekanan di bagian atas setengah ruang meskipun matriks dari semua matriks transfer lapisan T = 𝑇₁, 𝑇₂, … , 𝑇_𝑛−1𝑇_𝑛

𝑦₁(𝑇) = (𝑇₁, 𝑇₂, … , 𝑇_𝑛−1𝑇_𝑛)𝑇𝑦_𝑛+1(𝑇) (2.71) 𝐹_𝑅(𝑐, 𝑘) = det(𝑈𝑇𝑉) = 0 (2.72) di mana U dan V adalah matriks kondisi batas yang didefinisikan sebagai:

𝑼 = [0 0 1 0 0 0 0 1] 𝑽 = [ 1 𝑆_𝑛+1 𝑟_𝑛+1 1 2𝐺𝑛+1𝑟𝑛+1 𝐺_𝑛+1(2 − 𝑐2 𝛽𝑛+12 ) 𝐺_𝑛+1(2 − 𝑐2 𝛽_𝑛+12 ) 2𝐺𝑛+1𝑠𝑛+1 ] (2.73)

2.8.2 Metode matriks kekakuan

Metode ini menyajikan formulasi alternatif dari matriks transfer metode disebut matriks kekakuan, hamper sama dengan yang digunakan dalam konvensional analisis struktural (metode elemen hingga)[15]. Elemen matriks kekakuan diperoleh untuk setiap lapisan dalam model bumi. Elemen matriks kekakuan elemen di setiap lapisan yang berbeda menghubungkan tegangan pada antarmuka lapisan atas dan bawah ke perpindahan yang sesuai. Untuk model multi-layered, kekakuan sistem matriks dirakit menggunakan lapisan umum antarmuka (derajat kebebasan). Matriks kekakuan sistem kemudian dapat digunakan, bersama dengan tekanan eksternal yang ditentukan pada antarmuka lapisan, untuk menyelesaikan perpindahan dengan teknik yang dianalogikan dengan yang digunakan dalam metode elemen hingga.

Rumus rekursif Thomson-Haskell, menghubungkan vektor yang diberikan lapisan antarmuka 𝑦_𝑖+1(𝑇) ke vektor keadaan pada antarmuka sebelumnya 𝑦_𝑖(𝑇) melalui matriks transfer 𝑇_𝑖 = 𝑇_𝑖(ℎ_𝑖) yang merupakan fungsi dari sifat material dari Lapisan ke-i.

27

Kebalikan dari matriks transfer untuk lapisan ke-i, dilambangkan dengan 𝐻_𝑖, diperoleh sebagai berikut :

𝐻_𝑖 = (𝑇_𝑖(ℎ𝑖)) −1

= 𝑇_𝑖(−ℎ_𝑖) (2.74) Oleh karena itu, rumus Thomson-Haskell dapat ditulis ulang sebagai:

𝑦_𝑖+1(𝑇) = 𝐻_𝑖𝑦_𝑖(𝑇) 𝑖 = 1, … , 𝑛 (2.75) Kausel dan Roësset (1981) mempartisi matriks 𝐻_𝑖 menjadi empat submatriks berukuran sama yang dilambangkan dengan 𝐻_11,𝑖, 𝐻_12,𝑖, 𝐻_21,𝑖, dan 𝐻_22,𝑖.

𝐻_𝑖 = [𝐻11,𝑖 𝐻12,𝑖

𝐻21,𝑖 𝐻22,𝑖] (2.76)

Vektor pada lapisan antarmuka atas dari lapisan ke-i dipartisi sebagai: 𝑦_𝑖(𝑇)= [𝑥_𝑧𝑖

𝑖] (2.77)

di mana 𝑥_𝑖 dan 𝑧_𝑖 adalah vektor perpindahan dan tegangan pada lapisan antarmuka atas lapisan ke-i. Untuk penyederhanaan dalam notasi, (𝑇) dan (B) dihilangkan dari vektor 𝑥𝑖 dan 𝑧𝑖. Vektor 𝑥𝑖+1 dan 𝑧𝑖+1 sebagai vektor perpindahan dan tegangan pada

antarmuka lapisan atas 𝑖 +1 dan vektor perpindahan dan tegangan pada antarmuka bawah lapisan ke- 𝑖-th.

Rumus rekursif Thomson-Haskell, dengan demikian menjadi: [𝑥_𝑧𝑖+1 𝑖+1] = [ 𝐻_11,𝑖 𝐻_12,𝑖 𝐻_21,𝑖 𝐻_22,𝑖] [ 𝑥_𝑖 𝑧_𝑖] (2.78) Muatan eksternal diterapkan pada batas atas dan bawah dari lapisan ke-i diwakili oleh elemen eksternal vektor beban 𝑃𝑒,𝑖= [𝑃𝑖, 𝑃𝑖+1]𝑇. Kesetimbangan kondisi untuk lapisan

ke- 𝑖–th menjadi:

[ 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1] = [

𝑧_𝑖

−𝑧𝑖+1] (2.79)

Pemecahan untuk elemen vektor beban eksternal 𝑃𝑒,𝑖 menghasilkan:

[_𝑃𝑃𝑖 𝑖+1] = [ −𝐻_12,𝑖−1𝐻11,𝑖 𝐻12,𝑖−1 𝐻22,𝑖𝐻12,𝑖−1𝐻11,𝑖− 𝐻21,𝑖 −𝐻22,𝑖𝐻12,𝑖−1 ] [_𝑥𝑥𝑖 𝑖+1] (2.80) 𝑃_𝑒,𝑖 = 𝐾_𝑒,𝑖𝑢_𝑒,𝑖 (2.81) di mana matriks 𝐾_𝑒,𝑖 disebut sebagai matriks kekakuan elemen dari lapisan ke- 𝑖-th dan 𝑢𝑒,𝑖= [𝑥𝑖𝑥𝑖+1]𝑇 adalah vektor perpindahan elemen dari lapisan ke- 𝑖-th. Persamaan

tersebut disebut sebagai persamaan matriks elemen dari lapisan ke- 𝑖-th. Persamaan elemen matriks diperoleh untuk setiap lapisan model bumi kemudian dirakit di antarmuka lapisan umum untuk membentuk sistem persamaan. Matriks K disebut

28

sebagai matriks kekakuan sistem dari lapisan model bumi. Vektor p dan u adalah vektor gaya sistem dan sistem vektor perpindahan.

𝑃 = 𝐾𝑢 (2.82) Mode alami perambatan gelombang Rayleigh diperoleh dengan mempertimbangkan suatu sistem tanpa pemuatan eksternal, yaitu di mana p = 0. Dengan demikian menjadi 𝐾𝑢=0.

Untuk solusi nontrivial, penentu matriks kekakuan sistem K harus hilang. Oleh karena itu, bilangan gelombang yang mewakili solusi modal di berbagai frekuensi diperoleh sebagai solusi dari: