TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Varga Tamás

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Varga Tamás

A MATEMATIKA TANÍTÁSA

KÉZIRAT

4. változatlan utánnyomás

Pólya György:

Tízparancsolat tarároknak

1. Érdekeljen a tárgyad. 2. Ismerd a tárgyadat.

3. Ne feledd: a tanulás legjobb módja az, ha magunk jövünk rá valamire. Ez rád éppúgy vonatkozik, mint tanítványaidra.

4. Próbálj olvasni a diákok arcáról: mit várnak, mi nehéz nekik? Képzeld magad helyükbe.

5. Ne csak ismereteket adj át nekik, gondolkozásmódot, alkalmazni tudást is.

6. Tanítsd meg ı_{ket sejteni.} 7. Tanítsd meg ıket bizonyítani.

8. Keresd a problémákban azt, ami hozzásegít más problémák megoldásához is - az egyes esetek mögött az általános elvet. 9. Ne áruld el egyszerre az egész titkodat. Hadd sejtsék meg,

mielıtt még kimondod; amennyit csak lehet, találjanak ki ık belıle.

10. Kínálgass, ne tömj.

A kiadásért felelıs:

az Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Karának dékánja Megjelent a Tankönyvkiadó Vállalat mőszaki gondozásában Mőszaki vezetı: Hámori József

Mőszaki szerkesztı: Mészáros Béláné

Megrendelve: 1969. április. Megjelent: 1969. május. Példányszám: 275 Készült: Rotaprint lemezrıl (kicsinyítéssel), a MSZ 5601-59

és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 22,4 (A/5) ív terjedelemben, 139 ábrával

Bevezetés

"Az a nemzedék, amely most kezd iskolába járni, sokkal inkább matematizált világ- ban fog élni..."

A.N. Nyeszmejanov /Pravda,l960.december 31./

Biciklizni biciklin ülve lehet megtanulni, úszni a vízben, tanítani a tanteremben, egy osztállyal szemközt. Végeredményben mindenki a maga tapasztalataiból, próbálkozásaiból tanul a legtöbbet, de nem kell, hogy mindent a maga kárán tanuljon meg. Sok kellemetlenséget elkerülhet, ha már elıre elmondják neki, mit tegyen, mit ne tegyen, mire vigyázzon; ha megfigyeli a saját próbálkozásai elıtt és közben is, hogyan bicikliznek, úsznak, tanítanak mások, ha van mellette, aki tanácsot ad neki, bírálja, segíti, amikor ırá kerül a sor.

A tanítás megtanulásához a legtöbb segítséget bizonyára a

gyakorlóiskola adhatja. Nem mindegy azonban, hogy miben

ismeretekkel, milyen látókörrel, milyen szempontokkal felszerelve jutnak el ide a tanárjelöltek. A szaktárgyakra, pedagógiára, pszichológiára, filozófiára vonatkozó tárgyi ismeretek szükségesek, de nem elegendıek. Meg kell ismerkedniük a matematika tanításában idık folyamán kialakult fontosabb tapasztalati tényekkel és ezekbıl leszőrt általános elvekkel. Összefüggéseket kell látniuk az iskolai anyag egyes részei között, az egyetemi anyag bizonyos kérdéseivel, pedagógiával, pszichológiával, filozófiával is. Távlatot kell

kapniuk a matematika tanításának problémáiról, többféle

sutt; idıben: honnan merre halad a matematika tanítása; módban: milyen lehetıségek vannak még? Akadnak a módszertanban vitás kérdések is, ezekrıl el kell gondolkoznia, önálló véleményt kell formálnia minden tanárjelöltnek és tanárnak.

A matematika tanítása ma világszerte gyors változás idıszakában van. A változásoknak hozzánk még inkább csak az elıszele érkezett el. A következı néhány évtized lényegesebb átalakulást hozhat, mint a megelızı évszázad. A matematika gyorsan fejlıdik, alkalmazási területei rohamosan bıvülnek, ez és az elektronikus számológépek elterjedése új igényeket vet fel a matematika tananyagával és tanítási módszereivel szemben. A várható átalakulásnak egyelıre csak a körvonalait látni. /Igaz, hogy egy évtizeddel ezelıtt szinte még ennyi sem látszott belıle./ Senki sem állíthatja ma komolyan, hogy tudja, hogyan kell a matematikát az új igényeknek megfelelıen tanítani. Csak sejtések, próbálkozások és fontos részeredmények vannak. Matematikát tanítani viszont ma is kell. Szerencsére vannak olyan idıálló - ha nem is egészen idıtıl független - elvek és hagyományok is, amelyekre eközben támaszkodni lehet. Úgy készülni fel az új feladatokra, hogy azért a folytonosságot megırizzük, ne rúgjunk fel semmit, ami a hagyományokból értékes, de ne kíméljünk semmit, ami útban van és csak a tehetetlenség ereje tartja - ezeket a szempontokat minden egyes konkrét kérdéssel kapcsolatban folytonosan mérlegelnünk kell.

Mi teszi sürgıssé, már a következı néhány évtizedben esedékessé a gyökeres változásokat? Az, hogy a matematika fejlıdése, alkalmazási területeinek bıvülése, az automatika elterjedése robbanásszerő gyorsasággal megy végbe, a nevelés pedig lassú folyamat, eredményei több évtized alatt érnek csak be. Azok a gyerekek, akik húsz év múlva kerülnek iskolába, csak az ezredforduló táján állnak munkába, de még a pályájuk vége felé is arra az alapra kell építeniük, amit az iskolában kaptak. A matematika tanítása manapság a különbözı országokban különbözı mértékben alkalmazkodik a matematizálódás sürgetı követelményeihez, és az, hogy hol milyen mértékben alkalmazkodik, a holnap technikáját és a holnapután termelését is lényegesen befolyásolja.

Az alkalmazkodás mértékénél is fontosabb azonban a módja, a milyensége - a vektor abszolút értékénél az iránya -, az egy helyben topogásnál is nagyobb baj volna alapvetıen rossz irányba

lendülni nagy sebességgel. Mit jelent hát legalább nagyjából új igényekhez való alkalmazkodás, és mi az, amiben nem szabad engedni a régi normákból? Nem mindig válik el egymástól élesen a két kérdésre adott felelet.

Elıször is: minél több tanuló száméra hozzáférhetıvé kell tennünk a matematika minél nagyobb darabját, mert egyre több embernek lesz szüksége egyre több matematikára. Nem tarthatjuk fenn tovább azt a kimondatlanul is alkalmazott elvet, hogy a matematikatanítás, legalábbis ami belıle a százalékszámításon túl esik, igazában csak a leendı matematikusoknak, fizikusoknak, kémikusoknak és mérnököknek kell, csak az ı számukra fontos, hogy értsék is, a többitıl elég, ha megtanulja. Nem juthat mindenki ugyanolyan messzire és ugyanolyan mélyre, de a meg nem értett tudás, s formális ismeret rosszabb a semminél, mert a matematikáról máris nagyon elterjedt hamis közhiedelmekhez járul hozzá, félelmet, idegenkedést kelt. Arra kell törekednünk, hogy minden tanulót, akár többre, akár kevesebbre jut a matematikában, meggyızzünk arról, hogy a matematika hasznos, érdekes és szép; nem rábeszélı úton, hanem azzal, hogy megmutatjuk a hasznát, érdekességét és szépségét.

Másodszor: azon kell lennünk, hogy a matematika egyes fejezetei és problémái között is, a matematika és más tudományok, a matematika és a mindennapos tapasztalatok között is minél több összefüggést ismerjenek fel. Elszigetelt ismeretelemek és készség-töredékek helyett összefüggı, a valóságból absztrahált és a valóságra alkalmazható tudást kell adnunk. Ez nagyon általánosan, sıt magasztosan hangzik pedig nagyon is konkrét, kézzelfogható követelményekkel jár az elfogadása. Azt jelenti, hogy ne maradjon rejtve a tanulók elıtt milyen kapcsolatok vannak az olyanféle tapasztalati tények között, mint például a következık: a körnek az érintési ponthoz közeli pontjai nagyon közel vannak az érintıhöz, a rajzon mintha egybe is esnének vele: a függvénytáblázatban a kis szögek koszinuszaiban sok a 9-es; elég egy picit arrébb tolni a szekrényt, amely az ajtó teljes kinyitását akadályozta máris elcsúszik mellette az ajtószárny; elsı negyedkor gyorsan változik a hold látszólagos alakja, holdtölte táján annál lassabban: napokig kereknek látszik. Mindenekelıtt persze észre kell venniük az ilyen tényeket, anélkül nem kerülhet sor a kapcsolatok felismerésére. A matematika tanárának - más kol-

légáival, elsısorban a fizikatanárral együttmőködve - az egyik legfıbb feladata hozzásegíteni a tanulókat, hogy észrevegyék, és érdeklıdve nézzék a világ különféle tényeit, és keressék a magyarázatukat, összefüggéseiket.

Harmadszor: a matematika lényegéhez tartozik az absztrakció, de az absztrakthoz - a fokozatosan egyre absztraktabbhoz - csak a konkréton keresztül lehet eljutni; a matematika lényegéhez tartozik a dedukció, de a deduktív felépítéshez az induktív, tapasztalati megismerésen át vezet az út. Ezek a megállapítások olyan kétségtelenül igazak, hogy szinte már közhelyek, mégis forradalmi változást jelentene, ha a tanítási módszerekben is mindenütt érvényesülnének. Az újonnan támasztott igényeket viszont egy ilyen forradalmi változás nélkül nem is lehet kielégíteni. Csak akkor várhatjuk, hogy a tanulók nagy többsége hasznosnak, érdekesnek és szépnek ismerje fel a matematika elég nagy szektorát, ha saját konkrét tapasztalataikból kiindulva vezetjük ıket az absztrakt matematikai tények felfedezésére és alkalmazására. Utólag azután fokozatosan eljuthatnak a tények rendszerezéséhez, a deduktív felépítéshez is, szintén a saját tapasztalataikon, maguk készítette bizonyításokon keresztül. Csak akkor teljesítette a feladatát a középiskolai matematikatanítás, ha el tudja idáig vezetni a tanulókat a matematikának bizonyos részeiben. Ez azonban nem jelenti azt, hogy amit induktív úton megismertek, annak a deduktív felépítésével is feltétlenül meg kell ismerkedniük! Röviden szólva: nem kell mindent bizonyítani. A matematika sokkal nagyobb részével, érdekes alkalmazásaival is megismerkedhetnek, ha mindig elıl jár az induktív megismerés, ezt követi a bizonyítás iránti igény felkeltése, és csak ha megvan ez az igény, akkor jutnak el a tanulók maguk vagy közös munkával a bizonyításhoz is, amennyiben erre sor kerül. "Ostobaság válaszolni olyan kérdésekre, amelyeket nem értettünk meg. Lehangoló olyan célért fáradozni, melyet nem is kívánunk elérni."x _{Értelmetlen dolog olyan bizonyítással terhelni a}

tanulókat, amelyrıl nem tudják, miért jó éppen abban a formában, miért ne volna jó egy

________________

x _{Pólya /1957/, 24. oldal. - Itt és késıbb is a szerzı nevével}

és a megjelenés évszámával utalunk az irodalomjegyzékben /495.-502. oldal/ felsorolt mővekre.

kicsit más formában. Márpedig a jó és a rossz bizonyítás megkülönböztetéséhez csak a saját bizonyítási kísérleteiken át juthatnak el. Ugyanez érvényes a definícióra is.

Negyedszer: az absztrakció minden lépcsıfokát újra meg újra végig kell járnunk, hogy a konkrét tapasztalatoktól elıre tudjunk hatolni az egyre absztraktabb fogalmakig, egyetlen absztrakciós fokozatot sem hagyhatunk ki; a speciálistól az általánosig vezeti úton, azonban nincs feltétlenül szükség minden közbeesı fokozat végigjárására, hacsak ezek nem jelentenek egyben absztrakciós fokozatokat is. Egy példa megvilágítja, mire gondolunk: a négyszög fogalma általánosabb a négyzeténél, de nem absztraktabb, ezért nem elınyös a négyzettıl a téglalapon és rombuszon, paralelogrammán, trapézon át jutni el a négyszög fogalmához. Aki lassan halad a speciálistól az általános felé, az csak késve jut el, ha egyáltalán eljut, az átfogó képhez /lásd 185., 186. oldal/. Nem várhatjuk fiatal gyerekektıl, hogy nagyon általános fogalmakat megértsenek, de mindig érdemes elvezetni ıket, konkrét példákon át, az általánosság olyan fokára, ameddig el tudnak jutni, és innen ereszkedni le a speciális esetekhez, az áttekintı képbe illesztve bele a részleteket, és nem a részletekbıl rakva össze az egészet. Találóan írta ötven évvel ezelıtt Dienes Pál (1914, 1963): "... a matematikát... nem részeibıl összerakva, hanem ellenkezıleg, folyton az egészet vázolva s a vázlatot folyton fejlesztve lehet csak igaz ismerısünkké tennünk" /Valóság és matematika, 6. oldal./ Ennek figyelembe vétele nélkül sem tudja teljesíteni a matematikatanítás az elıtte álló feladatokat.

Ötödször /még ha ez nagyrészt benne is van az elıbbiekben, aminthogy azok sem függetlenek egymástól/: a tudásagyag felhalmozása közben éppoly gondot kell fordítanunk a képességek kifejlesztésére is, különösen az olyanokéra, amelyek nem mechanizálhatók, amelyek terén az ember többre képes, mint a gép. Ez sem vadonatúj gondolat, hiszen már Pestalozzinál is ezt olvassuk: "Talán a legszörnyőbb ajándék, amellyel egy ellenséges géniusz lepte meg korunkat: ismeretek készségek nélkül." És egy más helyen: "Tudás és tevés közt ég és föld a különbség. Aki csak a tudást teszi mesterségévé, nagyon-nagyon vigyázzon, hogy el ne felejtse a tevést." Újabb megfogalmazásban és a matematikára alkalmazva: "Az tudja a matematikát, aki tud vele mit kezdeni:

elég folyékonyan tudja használni a matematika nyelvét, tud problémákat megoldani, gondolatmenetet bírálni, bizonyításra rátalálni, és - ami talán a legfontosabb - konkrét helyzetekben fel tudja ismerni és ki tudja belılük elemezni a bennük rejlı matematikai fogalmakat."x _{/"A középiskolák matematikai tantervérıl",}

65 amerikai matematikus memoranduma, lásd 459.oldal/.

Hogyan lehet ezeket - és esetleg még más fontos elveket átvinni a gyakorlatba a ma adott helyzetben? - ez az a kérdés, amelyre pontos és részletes feleletet talán senki sem tud adni. Az a felelet, amit ez a jegyzet adxx_{, legfeljebb elsı közelítésnek}

tekinthetı. A jegyzetnek lényeges - ha ugyan nem a leglényegesebb -

alkotóeleme a terjedelemnek körülbelül a felét kitevı

szemelvénygyőjtemény. Itt olyan nehezen hozzáférhetı - eredetiben túlnyomórészt idegennyelvő - szövegek találhatók, amelyeknek a tanulmányozása a jelenlegi körülmények között a leghasznosabbnak látszik.

Amikor a matematika tanítása többé-kevésbé "egyenesben van", akkor az eredmények megszilárdítása, lerögzítése, továbbcsiszolása a fı teendı. Ilyenkor könnyebben lehet a tanítás minden részletkérdésében konkrét pozitív megállapításokat tenni, szinte óráról órára terjedı részletességgel, vezérkönyvszerően dolgozni ki a rendelkezésre álló tapasztalatok alapján a tanár teendıit. /Más kérdés, hogy ilyekor is van, aki inkább új utakat keres./ Amikor gyorsabb változások ideje következik el, amikor az új, amire szükség lesz, még csak vázlatosan és töredékesen van meg, akkor mások a lehetıségek és mások a fı teendık. Ilyenkor megnövekszik azoknak a kérdéseknek a száma, amelyekrıl csak negatívumot mondhatunk vagy csak többé-kevésbé általános megállapításokat tehetünk. Azt már tudjuk, hogy miért nem jó egy bizonyos módon tanítani valamit, de

kötet túlnyomórészt az általános iskolákban folyó matematikatanítás kérdéselvei foglalkozik. Az általános iskolai és a középiskolai problémák közt azonban nem lehet éles határt vonni, így belekerült a jegyzetbe sok középiskolai /fıként az 1. osztályt érintı/ kérdés, és

szerepelnek benne olyan elvi kérdések is, amelyek a

nítani. Jó volna, ha az új tanítási formák és módszerek egyszerre teljes fegyverükben állnának elıttünk, ahogy a mítosz szerint Pallas Athéné pattant elı Zeusz fejébıl, erre azonban nem számíthatunk;

magunknak kell a részleteket kigondolnunk, kidolgoznunk,

kipróbálnunk. Fontos, hogy a fejlıdés ilyen szakaszában legalább a meglevı vázlatok és töredékek, mindavval együtt, ami a régibıl bevált és változatlanul érvényes, nyilvánosságot kapjanak, aztán idıvel egyre inkább kiegészüljenek és konkretizálódjanak. A teljes részletesség korai igénye azonban ezt a fejlıdést nem vinné elıre, inkább hátráltatná. Egy durva, de alapjában helyes vázlat is többet ér, mint az elrajzolt körvonalaknak a valósághoz hő kicsipkézése; különösen, ha nem marad örökké vázlat, hanem fokozatosan kiegészül a hiányzó részletekkel.

Ma a körülmények inkább az utóbbi esetnek felelnek meg, és ez a jegyzet is csak vázlat akar lenni. Sok részlet hiányzik belıle, és sokak munkájára szükség lesz ahhoz, hogy a hiányokat pótolni lehessen. Reméljük, hogy erre is, más vázlatok elkészítésére és kidolgozására is hamarosan sor kerül.

X X X

A jegyzet terjedelme a megoldandó feladatokhoz és a feldolgozott anyaghoz képest kicsi. Helyszőke miatt a szemelvénygyőjteményben közölt legtöbb szöveget kisebb-nagyobb mértékben le kellett rövidíteni. Reméljük, hogy ez sehol sem ment a lényeges mondanivaló

rovására. A jegyzet törzsanyagában azzal értünk el

helymegtakarítást, hogy rövidre fogtunk néhány olyan kérdést, amelyhez elég bı, használható és hozzáférhetı szakirodalmat tudtunk ajánlani. Ilyenek például a közelítı számítások - források: Bragyisz /1961/, Bragyisz /1958/ - és a szöveges feladatok megoldása egyenlettel; az utóbbihoz forrás: Faragó /1960, 1963/.

1. MATEMATIKATANÍTÁS AZ ALSÓ TAGOZATON

Áttekintés

Bármely fokon tanít is valaki matematikát, áttekintı képének kell lennie a matematikatanítás egészérıl, az alsó tagozattól kezdve. A tanterv nagyon keveset árul el az iskolában valóban folyó munkáról, de azért a tanterv ismerete is nélkülözhetetlen. Általános iskolánk jelenlegi tantervét - az alsó tagozatét csak kivonatosan - függelékként közöljük./482.-494. oldal./

Különösen fontos az alsó tagozat problémáinak ismerete azok számára, akik az innen kikerülı tanulókat veszik át, az általános iskola felsı osztályaiban tanítanak. Az ötödik osztály tanárainak például részleteiben is ismerniük kell a negyedik osztály tananyagát és az itt alkalmazott tanítási eljárásokat, sıt az egyes tanulókkal kapcsolatos problémákat is. Legjobb, ha elızı évben, mielıtt

átveszik az osztályt, hospitálnak néhány számtanórán és

elbeszélgetnek a tanítóval a '"stafétabot átadásáról". Ehhez persze többek között az is kell, hogy ne csak évzáró értekezleten derüljön ki, hogy ısszel kapnak egy ötödik osztályt.

Felejthetetlen élmény egy-egy elsı osztályban tett óralátogatás. A gyerekek érdeklıdése, aktivitása itt még töretlen, a pedagógus problémája nem az, hogy hogyan "mozgassa" ıket, hanem hogy mi módon terelje helyes mederbe ezt a nagy, de sokfelé szóródó, koncentrálatlan tenni akarást, hogyan foglalkoztassa a sok versengve jelentkezı, minél nagyobb mértékben részt venni kívánó gyereket. Az iskolának mind máig megoldatlan nagy problémája úgy állítani hasznos célok szolgálatába a gyerekek magukkal hozott aktivitását és érdeklıdését, hogy minél kevesebbet veszítsen a lendületébıl. Nagy szerepe lehet ebben, különösen alsó fokon,

a játékosságnak. Az iskolának munkára kell nevelnie a gyerekeket, de annak csak elınyét látjuk, ha a munka és a játék minél nagyobb részben egybeesik, ha a gyerek a munkát is játéknak érzi, érdeklıdéstıl hajtva, kedvtelve végzi.

Sok szónál többet mond egy óraleírás.

Számtanóra egy elsı osztályban, félév után

- Nyissátok ki a füzeteket. B, kezdd el olvasni a házi feladatot! x

= /Lassan tagolva olvas/: öt meg mennyi az húsz? 5 + 15 = 20. - Kinél van más? Kinek ugyanennyi? / Mindenki másodszorra jelentkezik./

Hasonlóan folyik a többi házi feladat ellenırzése is, aztán számlálás következik 1-tıl 20-ig és vissza. Egy-egy gyerek 4-5 számot mond, a másik folytatja. Jelentkezıket és nem jelentkezıket egyaránt szólít a pedagógus. Elmondatja 20-ig a páros számokat is, aztán a páratlanokat. Ha valamelyik gyerek megakad, mással segítteti ki, aztán újra próbáltatja vele, de ha még mindig nem megy, nem tölti az idıt.

- Bontsuk a 10-et! = Egy meg kilenc. = İt meg öt.

Elmondanak még néhány felbontást.

- /A táblára írja:/ 9= 2 + 2 + 5. Én ezt most három részre bontottam. Igaz ez?

= Igen, mert 2 meg 2 az 4 és 4 meg 5 az 9.

- Most ti mondjatok más ilyen felbontásokat a 9-rıl!

________________

x _{Itt és a késıbbi óraleírásokban is egy vonás jelzi azt, amit a}

A gyerekek mondják: 3 + 3 + 3, 1 + 3 + 5 stb. Mindig elmondják részletesen, ahogy az elıbb.

- /A táblához lép, letörüli, ami rajta van, egy nagy 8-ast ír fel./ Most az egyik számot mindig T. mondja!

= 4.

= 4 + 2 + 2.

Ezt is folytatják még egy kicsit, aztán:

- Három meg négyhez mennyi kell, hogy tíz legyen?

= Három meg négy az hét-hez /így mondja/, hogy tíz legyen, kell adni hármat.

Ilyen feladatból is ad még, aztán a kivonásra tér:

- Tízbıl elveszek hármat és abból még kettıt, mennyi marad? = Tízbıl három az hét, hétbıl kettı, marad öt.

- Nyolcból négyet elveszek, ami marad, ahhoz hozzáadok hármat. Ezt elıször elhibázza az, akit felszólít, aztán egy másiknak a segítségével révbe ér.

- /Egy kis figyelemfelkeltı gesztus és a csönd kivárása után:/ Ki tudná megmondani, miben szokott otthon segíteni?

A jelentkezık elmondják, hogy megkeresik a leesett tőt, söpörnek stb.

- Én most olyan gyerekrıl mesélek, aki segített fát bevinni a szobába. /Elıvesz egy kosár fát, amit taneszközként, elıre megfontolt szándékkal, behozott. Egy gyereket kihív segíteni./

- Figyeljétek csak, mennyit tesz oda P.! /Adogatja neki, a gyerekek számlálják, elıször csak néhányan zümmögik, aztán többen is bekapcsolódnak:/ Egy, kettı, három, négy.

- Másodszor is behozunk valamennyi fát. /Ugyanúgy, mint az elıbb, hat darabot leraknak, aztán egy harmadik szállítmányban még ötöt./

- Elıször mennyit hoztunk be? Másodszor? Harmadszor? /Felelnek./ Ez összesen mennyi? Föl is fogjuk rajzolni! /Vonalakat húz a táblára, a gyerekek ezeket is hangosan számlálják./

1. ábra

- Írjuk csak mindegyik alá, hány darab fa! /Odaírják:/

- Ha azt akarom tudni, hogy összesen mennyit hoztunk be, mit kell odaírni közbe?

= Meg-et.

- /Odaírja a + jeleket./ Melyik az a szám, amelyik 6-tal több, mint 4? /Így kiszámítják végig, a táblán is odaírja a pedagógus az eredményt./

- Ilyen példákat fogunk most megoldani. Ez máris rajzoljátok és írjátok is le!

Eddig fejben számoltak, most veszik csak elı a füzeteket, lemásolják a tábláról a rajzot, és ami alatta van. A pedagógus nézegeti, mit írnak, néhánynak szól, hogy hibázott, vagy segít kijavítani.

- Most 12 darab fa van. Rajzoljátok csak le!

Megvárja, amíg lerajzolják a 12 vonalat, ó maga is odarajzolta már a táblára, aztán:

- Elvesz belıle egy gyerek kettıt, aztán ötöt. Mondjátok meg elıre, mennyi marad! /Az egyik gyerek megmondja./ Számoljuk meg, csakugyan annyi marad-e!

A táblán egy vízszintes vonallal áthúzza az elsı két függılegest, egy másikkal a következı ötöt. A maradékot a gyerekek hangosan számolják, boldogan állapítják meg, hogy csakugyan öt marad. Itt és a következıkben is nagy figyelemmel van a pedagógus a gyengébb tanulókra.

- Mondja csak el valaki, mirıl volt szó!

= Tizenkét darab fa volt, elıször elvettünk kettıt, aztán ötöt, és öt maradt.

- Írjuk le! /A táblára írja:/ 12 - 2 - 5 = 5. A gyerekek ugyanezt a füzetbe írják.

- /Kiszólít egy gyereket a táblához, most elıször az órán, diktálja neki:/ 3 + 7 + 4 .

A gyerek a táblánál csak íródeák, a padból diktálják neki a megoldást. Több más ilyen példa következik:

- 14 -

Felváltva más és más gyerek diktál, a helyén ülve. Mindenki ír a két uszályt. Összesen hány ember és uszály volt?

- /Nevet, de ráhagyja./ Hát ez csak egy összeadás volt, de nem baj. Még!

= Volt 12 kisautó. Elrontottam kettıt, még elrontottam ötöt, maradt öt.

- Menjünk a Közértbe!

= Négy forintért vettem kolbászt, hat forintért kenyeret, három forintért sajtot. Hány forintért vásároltam?

= Nyolc zsemlét, két kiflit és hat ... - /Segít neki:/ ... császárzsemlét ... = ... császárzsemlét vettem. /Elhallgat./ - Mi a kérdés?

= /Egy másik gyerek mondja:/ Hány péksüteményt vettem összesen.x

- Vegyétek elı a könyveteket, lapozzátok fel ... /Lapszámot mond, felolvastatja a feladatot: 3 + 7 + 2, szóban elmondják a megoldást. A többi hasonló feladatnál már nem mondják el./

X X X

________________

x _{Logikai szempontból igen jó feladat a legközelebbi fıfogalom.a}

Néhány megjegyzést füzünk az óraleíráshoz

Feltőnı, hogy ezek a kicsi gyerekek az absztrakcióinak milyen nagy skáláján mozognak. Jellemzı erre az órának a fák rakásával kezdıdı része. Közvetlen élménnyel kezdıdik. Igaz, hogy ez csupán egy gyereknek mozgási, a többinek inkább csak vizuális élmény. Mégis: történik valami, amihez hasonló otthon is történni szokott. A fadarabokat mindjárt utána az egy fokkal elvontabb vonalak helyettesítik a táblán, a közben eltelt idıt üres helyek a vonalcsoportok közt. További lépés az absztrakció irányában: mindegyik csoport alá odaírják számjeggyel azt a számot, amit már rakosgatás közben is megállapítottak számlálással és most újból ellenırizhetnek. Közéjük kerülnek a + jelek, az összeadás absztrakt szimbólumai. A következı feladatban már rajzból, tehát eggyel absztraktabb fokról indulnak el. Van, aki fejben oldja meg ezt a feladatot, van, aki számlálással állapítja meg a kivonás /elvétel/ eredményt. A számlálás az elıbbiekben is fontos, mint tapasztalati megerısítés. Mindjárt utána olyan feladatok következnek, amelyekben még absztraktabb szintrıl indulnak el: számjegyekkel felírt összeadásokat és kivonásokat végeznek el. Ha nem elızte volna meg ezeket a példákat a farakosgatás és a táblai rajz, amelyhez mindjárt az absztrakt felírás is kapcsolódott, némelyikük nem is volna képes megoldani ezeket a feladatokat. Bizonyosan volt olyan, aki még így sem volt képes rá. A gyerekek nem mindig járnak éppen ott az absztrakt gondolkozás terén, ahol a tanmenet szerint járniuk kellene: mindig vannak, akik hónapokkal, ha ugyan nem évekkel elıbb vagy hátrább tartanak.

Ezzel egy fontos kérdéshez jutottunk el, amely a tanítás minden fokán felmerül. Vajon a jobbak inkább elıreviszik, "felhúzzák" a gyengébbeket, vagy inkább - akaratlanul is - akadályozzák, "visszanyomják" ıket? A kérdésre nincs egyértelmő válasz, bıven lehet példát találni mindkét esetre. Itt mindenesetre inkább a hátrányt látjuk. A most említett feladatsor megoldásából nem sok hasznot húznak a gyengébbek: nem tudnak lépést tartani, csak másolnak a tábláról. Ezen az ütem lassítása sem sokat segítene. Lehet, hogy a többség már unná, és még mindig volnának, akik nem jutnak elıre, mert erre az absztrakciós fokra még nem tudnak feljutni, vagy csak nagyon nagy erıfeszítések árán. Egy megoldási kísérlet erre a nehézségre: a tanulók olyan szétosztása

a párhuzamos osztályokban /ahol vannak ilyenek/, hogy nagyjából egyforma színvonalon levık kerüljenek együvé. Eléggé nyomós nevelési szempontok szólnak ez ellen a megoldás ellen. Egy másik út: az osztályfoglalkoztatás kiegészítése egyéni és csoportmunkával, ami lehetıséget ad arra, hogy ki-ki olyan feladatokkal foglalkozzék, amilyenek az adott fejlıdési stádiumban leginkább neki valók. Jelentıs eredményeket ért el az ilyen tanítási módszer kialakítása terén Z.P. Dienes magyar származása angol - jelenleg Ausztráliában élı - matematikus és pszichológus. /Lásd az Épülı matematika c. könyvébıl vett részleteket, 255-312. oldal./

Elgondolkoztató az órának az a mozzanata is, amikor - mindjárt óra elején - kiderül, hogy a házi feladatot minden tanuló jó1 oldotta meg. Biztos, hogy a tanítás eredményességét dicséri ez a nagy egyhangúság? Nem lehet, hogy némelyik gyereknek azért sikerült így, mert segítettek neki otthon? Sajnos, már az elsıben kezdik megtanulni azt a hamis igazságot, hogy azok közül a javak közül, amelyekben az iskola részesítheti ıket, a legfıbb jó a szép bizonyítvány. Sok szülı már szeptemberben megkezdi a lankadatlan harcot hat éves gyermeke leendı kitőnı érettségijéért, és szép, ha ennek legfıbb eszköze a gondoskodás arról, hogy gyermeke hibás házi feladattal ne menjen iskolába. Szülıi értekezletek állandóan visszatérı témája, hogy az osztályzatba úgyis csak az iskolai munka számít be, és hogy az otthoni segítség helyes formája a rávezetés, nem a közvetlen segítés. De ki tudná megállapítani, hogy került a füzetbe a helyes eredmény? Így aztán nem is olyan nehéz beletörıdni abba, hogy némelyik gyereknek lényegesen jobban megy a számtan otthon, mint az iskolában.

Mindent egybevéve ez az óra megerısíti Freudenthal véleményét, aki szerint /lásd a 316. oldalon/ az alsó osztályokban folyó munka

általában szilárdabban áll a lábán, mint a késıbbi

matematikatanítás, mert - Freudenthal kifejezésével élve - "tekintettel van a szintekre"; az alapszintrıl indul el és ide minduntalan vissza is tér. Ha marad is kívánnivaló e tekintetben, sokkal kevesebb, mint a felsıbb osztályokban.

A fejlıdés várható iránya az alsó tagozaton

A következı évtizedben vagy évtizedekben számos ponton lényeges változás várható az alsó tagozaton folyó matematikatanításban. Persze nem úgy "várható", hogy magától bekövetkezik, hanem olyan értelemben, hogy világszerte terjed a felismerés: ha az automatika elınyeit jól ki akarjuk használni, akkor a tömegek matematikai mőveltségének lényeges emelésére, értelmesebb matematikatanításra van szükség, és ezt az alsó tagozaton kell elkezdeni. Ezt a felismerést egyre több országban tettekre is váltják át. Az NDK-ban például egy sereg intézkedést hoztak a matematikatanítás színvonalának az alsó tagozattal kezdıdı lényeges felemelése érdekében.x _{Az, hogy az egyes országok a matematikatanítás alsó}

tagozattal kezdıdı gyökeres átalakításába elıbb vagy késıbb kapcsolódnak be, hogy erre sok vagy kevés anyagi és szellemi erıt szánnak-e, hogy ezt helyes irányban végzik-e vagy hagyják félresiklani, az illetı országok késıbbi gazdasági fejlıdését is igen lényegesen befolyásolja majd.

Az eddigi kísérleti eredmények tekintetbevételével a

következıkben foglalhatjuk össze az alsó tagozaton várható - részben, ha lassan is, már folyamatban levı - változásokat:

1. A mostaninál kisebb hangsúly lesz az írásbeli mőveletek gyors mechanikus végzésén. Fontosabb szempontnak tekintik, hogy a gyerekek tisztában legyenek a mőveletek minden lépésének értelmével, mint azt, hogy néhány másodpercet nyerjenek a gépi számoláshoz képest amúgy is aránytalanul lassú írásbeli mőveletvégzésben. Ezért az olyan, mőveleti eljárások kerülnek elıtérbe, amelyeknek a gondolatához a gyerekek könnyebben el tudnak jutni. /Vö.26.-33.o1d./ Amellett sokkal nagyobb hangsúly lesz a mőveleti eredmények becslésén, mint ma.

2. A mőveleti eljárásokhoz nem a pedagógus magyarázata és szemléltetı tevékenysége alapján jutnak el, hanem elsısorban saját tevékenységük alapján, olyan eszközök révén, amelyekbe a helyiérték-rendszer "be van építve". A mőveleteket ezeken valóságosan elvégzik, tapasztalataikat lejegyzik; idıve1 már csak elképzelik, hogy mi volna, ha a mőveletet a valóságban elvégeznék,

________________

x _{Lásd pl. Deutsche Lehrerzeitung, 1963/1, Beilage.}

lejegyzik ennek az eredményét, de azért még ellenırzik az eszközön, hogy jól okoskodtak-e; végül már erre sincs szükség, eljutottak egy tapasztalati hátterő mőveleti algoritmushoz. /Vö. 281.-293. oldal./

3. Mive1 a tízes számrendszerben a mőveletek konkrét végrehajtása a beváltáshoz szükséges sok egység miatt viszonylag nehézkes, az elıbb mondott munkát többnyire kis alapú /pl. 2-es, 3-as, 4-es/ számrendszerben végzik majd. Így a tízes számrendszer megállapodásszerő volta is élményükké válik, és olyan életkorban ismerkednek meg a /számológépek szempontjából is fontos/ más számrendszerekkel, amikor ez a legkönnyebb, mert a tízes számrendszer még nem rögzıdött beléjük. Amellett a tízes számrendszerben való számolási készségük sem szenved csorbát, mert a megértett és begyakorolt eljárások a tízes számrendszerre nehézség nélkül tevıdnek át.

4. A szöveges feladatok megoldásának tanítása is erısebben tapasztalati kiindulású lesz. Túlnyomórészt a gyerekek győjtik össze a feladatokhoz a számadatokat, sıt azokat az életben adódó helyzeteket is, amelyek matematikai feladatokhoz vezetnek, ezek alapján ık maguk munkalapokat készítenek, amelyekkel aztán más tanulók is dolgoznak.

5. Azok között a tapasztalatok között, amelyek matematikai feladatokhoz vezetnek, a mainál több lesz a fizikai tárgyú, és sok ilyen feladat számadataihoz méréseik útján jutnak. Például idı- és távolságmérés útján sebességeket számítanak ki /magát a "sebesség" szót, mint ma is, elkerülhetik/, megfigyelik ingák lengésidejét, másodpercingát készítenek, stb.; ezzel kapcsolatban mérleg, hımérı és más mérıeszközök és mőszerek leolvasásában évek folyamán készség fokára jutnak el.

6. A skálaleolvasások révén elıtérbe kerül a számok ábrázolási módjai közül a számegyenesen való ábrázolás. Ez grafikonok készítésére is lehetıséget ad. /Pl. ábrázolják a leolvasott hımérsékleteket, különbözı súlyokkal megterhelt rugók megnyúlását, meghatározott idıközönként rávezetik egy grafikonra saját testsúlyuk és testmagasságuk értékét stb./

7. Más úton is elıkészítik a függvényfogalmat: pl. olyan játékok útján, amelyekben egy tanuló kigondol egy „szabályt", a mások által neki mondott számokból, a szabály alapján "készít" egy másik számot, a többiek pedig igyekeznek kitalálni, hogy a

szabály más számokhoz milyen számot rendelt, végül pedig esetleg meg is fogalmazni a szabályt. / Részletes leírását lásd a 161.162. oldalon. A szabály eleinte egyetlen mővelet alkalmazása, pl. szorzás 2-vel, kivonás 100-ból./

8. Megszőnik a fogalomzavar számok és jelek között. A két fogalom elkülönítése a gyerekek gondolkozásában fokozatosan megy végbe /a "bető" és a "hang" fogalmának megkülönböztetéséhez hasonlóan/, s a pedagógus részérıl tudatos szóhasználatot kíván. Ezzel többek között a 0 mint szám /pl. 5-5=0/ is polgárjogot kap az alsó tagozatban, és nem keverik össze a "0" számjeggyel. /Vö. 24. oldal./

9. Az egyenlıségjel az elsı osztálytól kezdve a matematikában elfogadott értelmében fog szerepelni /"ugyanazt a számot jelöli, mint", nem pedig "azt kaptam eredményül, hogy"/.

10. Az = jel ilyen értelmő használatának elıkészítésére már az 1. osztályban szerepelni fog a < és a > jel; ezekkel szembeállítva alakítható ki ugyanis az = jel helyes értelme. A < és > jel a mőveleti jelek elıtt jelenik meg /pl. 5 > 3 lejegyzésre érdemes megállapítás/. A < és > jelet mérési eredmények lejegyzésekor is alkalmazzák majd. /Vö. 236.oldal./

11. Hajtogatás, kivágás, szerkesztés, kivarrás, ragasztás, fém-, fa-fém-, mőanyag és egyéb játékelemekbıl való összeállítás útján

tapasztalatokat szereznek különféle síkidomok és testek

tulajdonságai felıl. Saját készítéső és kész modellekkel és rajzokkal kapcsolatban olyan gyakorlati feladatokat kapnak, amelyek alkalmasak a különféle szimmetriatulajdonságok tudatosítására és más geometriai fogalmak kialakítására.

12. Gyakorlati munka révén alakulnak a terület- és a térfogatszámítás elemi eljárásai is. Például kis kockákból összeállított téglatesteket átlátszó papírba csomagolva kapnak a kezükbe, megpróbálják megállapítani, hogy hány kis kockából állnak, leírják a sejtésüket, azután ugyanakkora kockákból felépítik a testet, és számlálással állapítják meg, helyes volt-e a sejtésük. Ehhez hasonló munkát fokozatosan nehezítve addig végeznek, amíg maguk el nem jutnak a mérés és szorzás útján való térfogatszámítás gondolatához. Téglalapok kirakása útján mellékesen kialakul a prímszám és az összetett szám gondolata is /csak egy sorban vagy több sorban is kirakható kockák száma. /Vö. 243. és 51. oldal./

Ez a felsorolás csak hozzávetıleges képet tud adni az alsó tagozaton a következı évtizedekben várható változásokról. Hogy megvalósulnak-e és hogyan, az nagy mértékben függ a pedagógusok kezdeményezéseitıl, munkájától, önképzésétı1. A pedagógusok szerepére így utalt az 1960.

évi II. magyar matematikai kongresszusra készült "A

matematikatanítás korszerősítése különös tekintettel általános iskoláinkra" c. referátum: "Csak akkor lehet az egyik részrı1 idejekorán megalapozni az absztrakt fogalmakat, a másik részrıl pedig építeni erre az alapra, ha mindegyik tagozat pedagógusai alaposan ismerik egymás munkáját, didaktikai és szakmai szempontból egyaránt. A tanítóképzés fıiskolai szintre emelése már egy lépés ezen az úton. Egy további lépés lesz az, amikor a tanítóképzı akadémiák tantárgyai közé bekerül a matematika.x _{Még távolabbi}

perspektívában azzal is számolnunk kell, hogy a matematika az alsó tagozatban szaktárggyá válik."

Azóta - többek között - a Román Népköztársaságban és a Német Demokratikus Köztársaságban intézkedések történtek, hogy az alsó tagozatnak legalább a felsı osztályaiban fokozatosan be kell vezetni a matematikaórákon a szakos tanítást, a tanítóképzésben és továbbképzésben pedig lényegesen meg kell növelni a matematika szerepét. Ilyen intézkedések nélkül az említett változások gyors és eredményes keresztülvitele legalábbis kétséges.

________________

x _{Azóta bekerült.}

2. A TERMÉSZETES SZÁMOK

Áttekintés. Mit értünk természetes számon?

A matematika tanterve az általános iskola 5. osztályában kb. az elsı három hónapot a természetes számokról tanultak ismétlésére, kiegészítésére és alkalmazására szánja.

Egy másik olyan témakör, amely a természetes számokra vonatkozik, a 6. osztály tantervi anyagában szerepel: oszthatóság feltételei, összetett számok és prímszámok, közös osztó és relatív prímszámok, többszörös /kb. másfél hét jut erre/. Régebben a most felsorolt anyaghoz csatlakozott még a számok prímtényezıs felbontása /törzstényezıkre bontása/, ehhez kapcsolódva a hatványjelölés bevezetése a természetes számok körében, a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös fogalma és meghatározásának módja. Most ezek az utóbbi fogalmak és ismeretek kikerültek az általános iskola anyagából és valószínüleg a középiskolák 1. osztályának anyagát fogják gazdagítani.

A gyerek a különféle számfajták közül elıször a természetes számokkal ismerkedik meg. Megkülönböztetı jelzıre ekkor még nincs szükség, számoknak nevezi ıket. Késıbb azonban meg kell különböztetni ıket a tört számoktól. Régen ilyenkor egész számoknak kezdték nevezni az addig megismert számokat. A matematika azonban negatív egész számokat is ismer. Ezért, hogy ne kelljen az egész szám elnevezés jelentését hamarosan megváltoztatni /kibıvíteni/, inkább mindjárt a természetes szám elnevezést vezetjük be. Erre ma az ötödik osztályban kerül sor.

Természetes szám-e a 0? A régebbi szóhasználat szerint nem az. Újabban egyre gyakrabban annak tekintik. Emellett szól az, hogy így a természetes számok éppen a véges halmazok számosságai

-/kardinális számai/. Ez nem olyan távoli, tudományoskodó szempont, amilyennek hangzik. Egy teremben lehet 30 tanuló, lehet 5, lehet 1 és lehet 0 is, de -l nem lehet. 30 közül kimehet 29, kimehet 30, de 31 nem. Természetesebbek az olyan "természetes számok", amelyek körében 30-ból 30-at is el lehet venni, mint az olyanok, amelyek körében 30-ból 29-et el lehet venni, de 30-at nem. Éppen ezért már az általános iskolák 1. osztályos tantervében is szerepel a 0 mint szám /mint kivonás eredménye/. A gyerekek az 1. osztálytól kezdve nem az 1, 2, 3 ... számokkal, hanem a 0, 1, 2, 3 ... számokkal ismerkednek meg. Igaz, hogy a 0 valamivel "nehezebb szám", mint a 2 vagy a 3. De ugyanazt mondhatjuk az l-rıl is. Egy labda még nem annyira egy, inkább csak labda; az 1-et csak a 2 és 3 után kezdi számként felismerni a gyerek, a 0-t még késıbb. Amikor az 5. osztályban összefoglaljuk a természetes számokról tanultakat, nem feledkezhetünk meg a 0-ról sem.

Számok és jeleik

Nem sok diák érti, hogy a közönséges törtek, tizedes törtek és vegyes számok nem nevezhetık olyan értelemben különféle számoknak, ahogy például a pozitív számok, negatív számok és a 0. A mondatrészek és szófajok vagy betők és hangok közt valószínőleg többen látják a különbséget.

Miért nem ugyanolyan módon különböznek egymástól a közönséges törtek, a tizedes törtek és a vegyes számok, mint a pozitív számok, a negatív számok és a 0?

Az elıbbi megkülönböztetés a számok alakjára vonatkozik; például 3/2, 1,5 és 1 1/2 különbözı alakúak, de ugyanaz az értékük, a számegyenesnek ugyanahhoz a pontjához tartoznak /ábra/. Az utóbbi viszont a számok értékére vonatkozik: akármilyen alakban írok egy pozitív számot, egy negatív számot vagy 0-t, akkora pozitív szám, negatív szám illetve 0 marad.

Szám értéke és szám alakja,

ezek csupán más elnevezések a helyett, hogy szám és jele.

Az utóbbi elnevezések elınye, hogy utalnak arra: olyan megkülönböztetésrıl van szó, amely nemcsak számokra vonatkozik. Nemcsak a számokat szokás összetéveszteni a jelükkel, hanem sok más dolgot is.

Ha a dolgokról beszélünk, akkor a jelüket használjuk, ha a jelükrıl beszélünk, akkor félreértés elkerülése végett más jelet kell használnunk; például idézıjelbe tesszük a dolog nevét. Miskolc hosszabb, mint Hódmezıvásárhely, de "Hódmezıvásárhely” hosszabb, mint "Miskolc". Ugyanilyen különbség van 0 és "0" közt is. Az elıbbi egy számot jelent, az utóbbi ennek a számnak a jelét jelenti. a tanár legyen tisztában ezzel a különbségtétellel, de ne erıltesse a diákokra olyankor, amikor /és olyan módon, ahogyan/ ebbıl megvilágítás helyett elködösítés származhat. Jó, hogy van egy ilyen megkülönböztetési lehetıség, de folyton ezen lovagolni azt jelentené, hogy fontosabb problémákat szorítunk háttérbe. Magunk sem használjuk következetesen az idézıjelet dolgok és jelük megkülönböztetésére. Néha aláhúzással vagy sor közepére helyezéssel fejezzük ki ezt a megkülönböztetést, néha még így sem.

Ha különbséget teszünk számok és jeleik közt, akkor érthetıvé válik, hogy például "5+2" és "7" egy és ugyanannak a számnak két különbözı jele. /Joggal mondhatjuk hát, hogy az "5+2=7" összeadásban "5+2" is összeg, "7” is az./ Általában: az, amit néha számkifejezésnek szokás nevezni, valamilyen számnak a jele, hacsak nem szerepel benne olyan mővelet, amelynek az eredményét nem értelmezzük /pl. 0-val való osztás/.

Számrendszer

Az 5. osztályba kerülı gyerekek rendszerint nagy érdeklıssel várják, hogy mint felsısök, milyen új és érdekes dolgokat fognak tanulni. Ha azt tapasztalják, hogy hónapokon keresztül ugyanannak az ismételgetése folyik, amit négy éven keresztül tanultak, akkor csalódnak ebben a várakozásukban. Sok ismétlésre

rendszerint azért van szükség, mert az egy osztályban levı gyerekek nagyon különbözı felkészültségőek; vannak, akik a szóbeli és írásbeli számolás legegyszerőbb formáiban, még az egyszer- egyben is gyengék, bizonytalanok, abban, hogy egészen közönséges, egy-két mővelettel megoldható szöveges feladatokat hogyan, milyen mővelettel oldjanak meg. Ezeknek a készségeknek a gyakorlását nem szabad elhanyagolni az ötödikben, sıt a magasabb osztályokban sem. Idıt és érdeklıdést is nyerünk azonban, ha ezt a gyakorlást új anyagba ágyazzuk. Egy kitőnı angol tankönyvx úgy oldja meg ezt a problémát, hogy a kettes számrendszer ismertetésével kezdi a tananyagot, bemutatja, hogy lehet ebben a számrendszerben összeadni, kivonni, szorozni és osztani, azután tér vissza a tízes számrendszerben való számolásra. A kettes számrendszerrel dolgozva jobban megértik a tanulók, mi egyáltalán a számrendszer, mint ha ezt csak szóban magyaráznánk nekik. A mőveletek technikája is jobban tudatosul bennük, mint hogyha csupán a megszokott módon ismételgetnék. Egyúttal olyan számolástechnikába kapnak betekintést, amelyet az elektronikus számoló automaták is alkalmaznak.

Az új tanterv most nálunk is lehetıséget ad ilyesmire egy bizonyos korlátozott mértékben. A tanterv elsı pontját /lásd a 484. oldalon/ felhasználhatjuk arra, hogy egy kicsit kizökkentsük a tanulókat abból a téves szemléletbıl, hogy a tízes számrendszer öröktıl fogva adott, nem is lehetne másmilyen, és élményükké tegyük, hogy vannak más számrendszerek is. Csoportosítsunk például egy nagy halom pálcikát vagy gyufaszálat tízesével /befızıgumi segítségével gyorsan megy a csoportosítás/, a tízes csomókat megint tízesével stb. A kimaradó pálcikák, tízes csomók stb. száma tízes számrendszerben adja meg a szám egyeseit, tízeseit stb. Ha kettesével, hármasával vagy más alapszám szerint csoportosítjuk a pálcikákat, kettes, hármas stb. számrendszerben kapjuk meg a számjegyeket jobbról bal felé. Jó úgy szervezni meg a munkát, hogy sokan vegyenek részt benne; akár az egész osztály is. Az ilyen valóságosan végrehajtott mőveleteket, eljárásokat a gyerek késıbb gondolatban is végre tudja hajtani; Piaget svájci pszichológus terminológiáját követve: a mővelet interiori-

________________

x _{Mansfield - Thompson /1962/}

-zálódik, belsıvé válik. /Ez hasonló ahhoz, amit régi szóhasználattal a belsı szemlélet kialakulásának neveztek./

Játékpénzeket is készíttethetünk a gyerekekkel, amelyekbıl például 4 kisebb ér annyit, mint egy nagyobb. Megmozgathatjuk a fantáziájukat azzal, hogy elképzeltetjük velük egy idegen égitest lakóit, akiknek például 6 ujjuk van és ezért hatos számrendszerben számolnak. Kigondolhatnak a tanulók különleges számjegyeket, elvégezhetnek egyszerőbb mőveleteket is a képzeletbeli élılények helyett, megállapíthatják az így felirt számokról, hogy melyik nagyobb stb. Jobb ugyan fiatalabb korban adni meg ezt a betekintést a számrendszer lényegébe, mert akkor tudatosabbá válik bennük, hogy a mőveleteket miért végezzük éppen úgy, ahogy végezzük, de még mindig jobb az ötödik osztályban adna meg nekik ezt az élményt, mint még késıbb vagy soha. Ha jól szervezzük meg ezt a munkát, nem megy el rá sok idı, s a ráfordított idı és munka megtérül a tanulók nagyobb érdeklıdésében és abban, hogy így az ismétlés mélyebb nyomot hagy bennük.

Írásbeli mőveletek

Manapság az alsó osztályokban sok idıt töltenek a tanulók az írásbeli mőveletek technikájának elsajátításával, de viszonylag keveset ezeknek a mőveleti technikáknak konkrét tárgyakon való tapasztalati megalapozásával. Ennek az az eredménye, hogy az ötödikeseknek a számolás általában már "gondolkozás nélkül meg"-, amíg benne vannak a gyakorlatban, de egy kis kiesés vagy a megszokott formától való csekély eltérés gyakran súlyos hibákat eredményez. Egy-egy 0 valamelyik tényezıkben, osztandóban vagy hányadosban már megzavarhatja a számolás gépies menetét. Ez ellen lehet úgy védekezni, hogy erre és más zavaró momentumokra tekintettel vagyunk, az ilyen eseteket külön gyakoroltatjuk. Ez azonban csak tüneti kezelés, inkább elleplezése, mint kiküszöbölése annak, hogy a tanulók nem tudják, mit miért végeznek. Ezt pedig bajosan tudjuk nekik megmagyarázni, ha hiányzik a mőveletek tapasztalati háttere, ha nem végeztek konkrét tárgyakon olyan konkrét mőveleteket, amelyekbıl a mőveleti eljárásokat

absztrahálhatták volna. Megint azt mondhatjuk, amit a

számrendszerekkel kapcsolatban: jobb, ha ez a megalapozás elıbb történik, /mert

akkor nincs szükség éveken át annyi sok gépies gyakorlásra és a felszabaduló idıt értelmesebb feladatok végzésére lehet fordítani/, de ha elıbb nem történt meg, az ötödikben még mindig érdemes ezzel foglalkozni. Készíttessünk például játékpénzeket minden tanulóval, kismérető egy-, tíz- és százforintosokat /vastag papírból, hogy könnyő legyen rakosgatni/, végezzenek ezekkel mőveleteket, figyeljék meg ennek alapján, mit jelentenek az írásbeli számolásban megszokott lépések, például a felváltás és a beváltás.

Az írásbeli mőveletek közül az összeadás az, amelynek a megértésében a legmesszebbre jutnak el a tanulók az alsó osztályokban. Az összeadás kommutativitása és asszociativitása /amelyet ez a mőveleti eljárás burkoltan felhasznál/ a gyerekeknek magától értetıdı, ha nem is tudják ezeket pontosan megfogalmazni és egymástól megkülönböztetni. Aki a számok írásának alapgondolatával - azzal a bizonyos csoportokba rendezéssel, amelyrıl az elızı szakaszban szó volt - tisztában van, annak az a gondolat sem távoli, hogy miért kell jobbról bal felé mindig a kıvetkezı oszlophoz adni azt, ami "maradt".

A kivonás gondolata sokkal nehezebb. Különösen problematikus a nálunk is tanított, osztrák módszerrel végzett kivonás, amely a kisebbítendı és a kivonandó egyenlı számokkal való növelésén alapszik. Maga ez a gondolat is nehéz abban az életkorban, amikor ezt a mőveletet tanítják.x Még nehezebbé teszi az, hogy a kisebbítendıhöz más formában adjuk hozzá ugyanazt a számot, mint a kivonandóhoz, pl. az elıbbihez tíz egyest, az utóbbihoz egy tízest adunk:

________________

x _{Könnyen meggyızıdhetünk arról, hogy az osztrák módszert minden}

magyarázat ellenére is megértés nélkül alkalmazzák a gyerekek. A legjobban akkor mutatkozik meg ez, amikor nem decimális összetett mennyiségeket /"többnevő számokat"/ kell kivonniuk, pl.

Ha a tanulók értenék az osztrák módszert, itt is azt alkalmaznák. De mert nem értik, felváltással okoskodnak. Ha nem a saját fejük után teszik ezt, hanem azért, mert ebben az esetben ezt a technikát tanították nekik, akkor felmerül a kérdés, miért jó az osztrák módszer az egyik esetben és miért nem jó a másikban.

6 egyeshez 7 egyes kell, hogy 13 egyest kapjunk. A kisebbítendıt tízzel /tíz egyessel/ növeltük, ezért a kivonandót is tízzel /egy tízessel/ növeljük, 8 + 1 = 9. És így tovább.

Könnyebben megértik a gyerekek a felváltáson és elvételen alapuló mőveleti technikát. Ennek is vannak azonban hátrányai, különösen ha nullák vannak a kisebbítendıben.

0 egyesbıl nem tudok elvenni 2-t, ezért felváltanék összeadásokon kívül hiányos összeadásokat is végezzenek, pl. ilyeneket:

és azt is megszokták, hogy nemcsak a számok alá lehet odaírni az összeget, hanem melléjük, vagy a papír sarkába, vagy a számok fölé is:

akkor nem okoz nekik nehézséget ebben az elrendezésben sem a hiányos összeadás:

nikájának ismeretére, és annyi képzelıerıre, amennyi a "hiányos" mőveletek végzéséhez általában kell. Azonkívül persze az összeadás, és a kivonás közti kapcsolat ismeretére.

Nem akarjuk azt mondani, hogy ez "a helyes" vagy "a legjobb út" az írásbeli kivonás tanításához. A legjobb mindig az, amire a gyerek magától jön rá /alkalmas eszközök, alkalmas tanulási helyzetek, alkalmas kérdések útján/. Szakítanunk kell azzal a gondolattal, hogy mindenkibe be kell programozni egy meghatározott mőveletvégzési eljárást. A számológépek elterjedése ellenére feltehetıen fontos marad, hogy az ember el tudjon végezni primitív technikájú írásbeli mőveleteket. A repülıgépek megszázszorozzák haladásunk sebességét, a számológépek több milliószorosára növelik a számolásét, de azért nem felejthetünk elgyalogolni, vagy "gyalogosan" számolni. Mégis, talán már ma is nagyobb érték a gyerek számára az, hogy rájön egy mőveleti eljárásra, mint magának az eljárásnak az ismerete. Az önálló gondolkozás, az ötletesség a mai korban fontosabbak a technikai készségeknél. Nem az utóbbiak fontossága csökkent, hanem az elıbbieké nıtt meg hatalmas mértékben.

Az írásbeli szorzás technikája a disztributivitás többszörös alkalmazásán alapszik /a kommutativitás és az asszociativitás

mellett/. Aki nem ismerkedett meg tapasztalati úton a

disztributivitással, az eleve nem lehet tisztában azzal, hogy mi jogon szoroz úgy, ahogy tanulta. A disztributivitással való megismerkedés persze nem azt jelenti, hogy el tudja valaki mondani, hogyan szorzunk összeget egy számmal. Ez már egy erıs absztrakciót kívánó megfogalmazás; túl korai erıltetése könnyen vezethet értelem nélküli, verbális tudásra. A disztributivitással olyan feladatok kapcsán ismerkedhetnek meg a tanulók, mint például a következık:

7 képes levelezılapot vettem, darabját 1 Ft 60 f-ért, mindegyikhez 40 filléres bélyeget is vettem. Mennyit fizettem?

Egy kalauz 9 db l Ft 50 f-es és 9 db 2 Ft 50 f-es átszállót adott el. Mennyi pénzt kapott értük?

Látható a fokozati különbség. Az elsı feladatban természetes az a gondolat, hogy a szorzatok összeadása helyett az összeget szorozhatjuk /a levelezılapokra mindjárt ráragasztjuk a bélyegeket/. A második feladatban ehhez már egy kis agyafúrtság kell: gondolatban összepárosítjuk az 1 Ft 50 f-es és a 2 Ft 50

-f-es átszállókat, hogy megkönnyítsük a számolást, annak ellenére, hogy ennek a párosításnak a valóságban nincs sok értelme. Ilyenféle, alkalmasan összeválogatott feladatok útján elérhetjük, hogy a tanulók elıtt lassan feldereng a kétféle számítási mód kapcsolata, és az, hogy a szövegtıl függetlenül mindig rajtuk áll, melyik számítási módot alkalmazzák. A feladatok összeválogatásában törekedjünk a tartalmi és a formai változatosságra /vö. 272. old./; az utóbbi azt jelenti, hogy szerepeljenek kettınél többtagú összegek, azonkívül különbségek. is.x _{Ha a tanulókat általában ahhoz}

szoktatjuk, hogy a számfeladatok, mögé is szöveget képzeljenek, vagy legalábbis valamiféle konkrét tartalmat, akkor az említett típusú feladatok kétféle megoldási módja segíti ıket az ilyen átalakításokban is /vö. 41. old./:

Ez már egy magasabb absztrakciós fokozat, de ennél is magasabban van a szóbeli megfogalmazás; arra csak akkor érdemes sort keríteni, ha a gyerekek mondják ki /esetleg eleinte tökéletlen formában/. Kész megfogalmazás betanulása - kész verbalizmus.

A szöveges feladat sem a legelsı lépcsıfok a konkrétabbtól az egyre absztraktabb felé vezetı úton. Az olyanféle átrendezések valóságos elvégzése erre a célra szolgáló szemléltetıeszközökkel, amilyent például ábránk mutat, korábbi fokozatot jelent, ti. manuális tapasztalatokat. A tanár dolga eldönteni, hogy például a disztributivitás esetében idáig kell-e visszamenni a tanulókkal /vagy egy részükkel/,

________________

x _{Egy példa az utóbbira: "Egy felnıtt lépése 75 cm, egy gyereké}

45 cm. Ha mind a ketten háromszázat lépnek, mennyivel tesz meg hosszabb utat a felnıtt, mint a gyerek? Emlékezetessé tette ezt a feladatot egy kisdiák számára az a nap, amikor nem akarták tıle elfogadni - sıt megérteni sem - az egyszerőbbik megoldást.

17 * 8 + 23 * 8 = ( 17 + 23 ) * 8 = 40 * 8 = 320 ,

( 250 + 25 ) * 4 = 250 * 4 + 25 * 4 = 1000 + 100 = 1100.

vagy pedig megelégedhetünk a konkrétságnak azzal a fokával, amit a szöveges feladatok adnak. /Vö. 296.-300. oldal./

Nem jelenti a disztributivitás megértését az, ha valaki tudja, hogy 32-t így kell szorozni 4-gyel: "4-szer 30 az 120, 4-szer 2 az 8, 120 meg 8 az 128". Ez gyakran csak egy mondóka ismétlése; fülükbe cseng a folytatás, mert már sok ilyent hallottak. Aki ennek alapján végzi a szorzást, az nem is összeget szoroz, hanem kétjegyő számot szoroz; az 5. osztályban sem késı tudatosítani, hogy a 32-nek és a 250+25-nek 4-gyel való célszerő szorzása közt milyen kapcsolat van.

Amikor többjegyő számot többjegyő számmal írásban szorzunk,

akkor disztributivitást alkalmazunk egyrészt az egyes

részletszorzatok kiszámítása közben /lásd az elıbbi példát/, másrészt azzal is, hogy külön számítjuk ki a részletszorzatokat és a végén ezeket összeadjuk. A disztributivitásnak ez a kétszeres alkalmazása nem könnyő gondolat. Ezt a gondolatat érthetıbbé, tudatosabbá tehetjük azzal, hogy eltérünk a megszokott sémától. Ha például egy számot 124-gyel kell szorozni, akkor írják le a tanulók egymás alá a szám százszorosát, húszszorosát és négyszeresét, és adják össze ezeket a számokat. Bár a mőveleti eljárásoknak a tapasztalatokból való absztrahálását semmi sem pótolhatja, egy-egy ilyen szokásostól eltérı lejegyzési forma is segít egy kicsit elgondolkozni azon, hogy miért számolunk éppen így vagy úgy. Még a nulláknak a részletszorzatok végén való kiírására is visszatérhetünk az 5. osztályban, ha azt tapasztaljuk, hogy túl hamar hagyták el a tanulók az alsó tagozatban, nem értik a "lépcsızetet" a részletszorzatok egymás alá írásában. /Persze az a jobb, ha az elhagyásra csak akkor kerül sor, amikor maguk a gyerekek rájönnek, hogy felesleges mindig odaírni a nullákat. De ezen az 5.-ben már túl vagyunk./

A disztributivitás kétszeres alkalmazását, a "minden tagot minden taggal" gondolatát segítenek megértetni a gyerekekkel az olyan számkártyák, amelyek a többjegyő számok tagokra bontását szemléltetik /3. ábra/.

A többjegyő számokat helyi érték szerint "kártyába bontjuk" és az egyik összeg minden tagját szorozzuk a másik összeg minden tagjával:x

________________

x _{Vö. Land /1960/, 29 old.}

Ez persze csak arra világít rá, hogy mit is csinálunk tulajdonképpen, amikor írásbeli szorzást végzünk. Hogy miért éppen ezt csináljuk, ahhoz más eszközök kellenek /Vö. 290.-293. oldal/. Ezeket a rajzok /lásd az 5. ábrát/ kiegészíthetik, de nem pótolhatjuk.

A legfıbb szempont a mővelet tudatos, értelmes végzése. Ehhez képest csak másodlagos jelentısége van pl. annak a kérdésnek, amellyel kapcsolatban az utóbbi években több közlemény is megjelent, hogy a részletszorzatok jegyei helyi értik szerint a szorzandó vagy a szorzó jegyei alá kerüljenek-e.

5. ábra

Az írásbeli osztás technikáját, sajnos, nem lehet olyan módon visszavezetni a szorzásra, mint a kivonásét az összeadáséra. Ha azt akarjuk, hogy a gyerekek többsége értse, hogy mit csinál, és esetleg még azt is tudja, hogy amit csinál, azt miért csinálja, akkor a mőveletek valóságos elvégzése konkrét tárgyakon és eszközökön aligha kerülhetı el. Valami kicsit az is segít, ha legalább a részletszorzatokat leírják, és nem vonják le mindjárt fejben. Ez primitívebb technika, lelassítja az osztást. A fıszempont azonban - megint ismételni kell - nem egy amúgy is tökéletesen korszerőtlen technikának hajszállal kevésbé korszerőtlenné tétele, hanem a tudatosság. Egy kis nyereség az utóbbiban kárpótol azért, hogy ezt az életben oly ritkán alkalmazott számolási eljárást valamivel lassabban végzik a tanulók.

Fejszámolás. Kerekítés, becslés

Számológépekbıl egyre többet gyártanak, egyre olcsóbban kerülnek forgalomba, a miniatürizálás terén is vannak eredmények. /Kb. egy írógép áráért 20-30 dkg súlyú, 11-15 jegyig számoló gépek kaphatók./ Ezek és más tényezık - pl. a logarlécek elterjedése, használatuk általánossá. válása - a többjegyő számokkal végzett írásbeli mőveletek szerepét fokozatosan csökkentik /Vö. 92.-94. oldal/. Nem csökken azonban a fejszámolás /szóbeli számolás/ fontossága. Arra persze felesleges idıt vesztegetnünk, hogy begyakoroltassuk az olyanféle vagy még bonyolultabb mőveletek fejben végzését, mint pl. 28. 39, még ha van is néhány tanuló, akinek az nem okozhat különösebb nehézséget. Viszont az ilyen-

- 33 -

300.10 20.10 4.10

300.3 20.3 4.3

300 20 4

3 10

féle mőveleteket tudja lehetıleg minden tanuló nehézség nélkül fejben elvégezni:

/Az utóbbiakat persze csak akkor, amikor már tanulták a törtszámokat./

Ha logarléccel vagy számológépen, de akár ha írásban végeznek is el egy mőveletet többjegyő számokkal, fontos, hogy becsléssel

ellenırizzék, nem követtek-e el durva hibát. Még helyesebb, ha ahhoz szoktatjuk a tanulókat, hogy ne is a mő_{velet végzése után, hanem} elıtte számítsák ki, hogy kb. mekkora eredményt várnak. Ha egyetlen alapmőveletrıl van szó, akkor azt egyszerően úgy végezhetik, hogy a számokat elı_{bb egy - esetleg két - értékes jegyre kerekítik. /Az} osztandót néha nem is kerekíteni célszerő, hanem oszthatóra változtatni pl. 4000 : 59 ~ 4200 : 60 = = 70./ Jó azonban

kifejleszteni bennük az érzéket, hogy összetettebb mőveletsorozatok eredményét is gyorsan meg tudnék becsülni, pl. néhány másodperc alatt el tudják dönteni, hogy ez a szám:

1-hez, 10-hez, 100-hoz vagy 1000-hez van-e közelebb.

A durva hibák elkerülésének van még egy fontos módja: ha a számadatok nemcsak mőveletgyakorlást szolgáltak, hanem valami konkrét feladatból adódtak, akkor a végeredményt is mindig a valóságra kell vonatkoztatniuk. Tisztában kell lenniük azzal, hogy gyalogló sebességére óránként 620 km éppúgy nem reális, mint repülıgép sebességére óránként 5 km stb.- vagyis tisztában kell lenniük a legfontosabb mennyiségek nagyságrendjével. Nem kell velük számadatokat bevágatnunk, a valóságérzéküket kell kifejlesztenünk. Ehhez sok-sok olyan feladat megoldására van szükség, amely valóságos - és a gyerekek számára érdekes - adatokat tartalmaz. /Vö. 42-47. old./

- 34 - 170 + 250

40 * 800 300 : 6 0,8 : 0,4

100 – 33 2000 * 30 000 1 000 000 : 250 1 8 : 4 .

A mőveletek összefüggései. Elnevezések

Ha öt könyvhöz odateszek még hármat, nyolc lesz; ha elveszem a három könyvet, megint öt marad. Az ilyen mindennapos tapasztalatokat általánosíthatjuk, amikor azt mondjuk, hogy a kivonás az összeadás inverze /fordított mővelete/. Bármilyen természetesnek tartják is a gyerekek az elıbb említett tapasztalati tényt, gyakori eset, hogy megnevezés nélküli számokra, különösen, ha nagy számokról van szó, nem viszik át ezeket a tapasztalataikat; gondolkodás nélkül nekifognak a gépies számolásnak olyankor is, amikor a mőveletek összefüggése elárulná az eredményt. Fontos a valóságos összefüggés szemléltetése /rajzon és még inkább tárgyakon, vagy magukon a gyerekeken/, fontos a matematikai megfogalmazás is /egyelıre numerikus példákon/ de a legfontosabb kettı közti kapcsolat tudatosítása. Külön az egyik vagy a másik nem sokat ér. Ugyanez vonatkozik a szorzás és az osztás kapcsolatára. Ábráink mutatják ezeket a kapcsolatokat, i1letve néhányat közülük:

A második sorban szokatlan a sorrend. Aki azt hiszi /és az alsó tagozatból a legtöbben ezt hozzák!/, hogy az egyenlıségjel azt jelenti, "azt kapom, hogy", az meg is ütközik rajta. Fontos, hogy újra és újra tudatossá tegyük a gyerekekben az egyenlıségjel igazi jelentését /"ugyanazt a számot jelenti, mint"- tehát a két oldalát fel is cserélhetem/. Hasznos ezt a szabadságunkat többek között arra használni fel, hogy az itt látható módon kapcsoljuk egymáshoz az ugyanazon ábráról leolvasható összeadási és kivonási eseteket. Az így szerzett asszociációknak jó hasznát

4 + 3 = 7 3 + 4 = 7

4 = 7 – 3 3 = 7 - 4

4 * 3 = 12 3 * 4 = 12

4 = 12 : 3 3 = 12 : 4

veszik majd az egyenletmegoldásban. Persze az olyan változatokra is kerüljön sor, mint

Fontos azonban, hogy ezek az ábrán keresztül - illetve azon a hozzátevési, elvevési élményen keresztül, amit késıbb az ábra segítségével is felidézhetünk - kapcsolódjanak egymáshoz, ne pedig közvetlenül, formálisan! Ugyanez vonatkozik nemcsak az egymás alattit, hanem az egymás melletti állításokra is egy-egy kereten belül: A felsı sorban látható kapcsolat az ötödikeseknek már "a könyökükön jön ki" - kár sok szót vesztegetni rá. A második sorról ezt nem mondhatjuk. Ez a felcserélhetıséget a kivonás /illetve osztás/ nyelvére átfogalmazva mutatja. Mutassuk meg nekik, mit fejez ki ez a kapcsolat; pl. ha ezt veszem el, az marad, ha azt veszem el, ez marad. /Osztásra valamivel nehezebb megfogalmazni, de az ábráról ezt is leolvashatják./

A keret alatti sorban egy-egy mondatba sőrítve láthatók az inverz mőveletek összefüggései. Kis számokkal, mint ezek, magától értetıdıknek látszanak ezek az állítások, de adjuk csak fel a gyerekeknek, mennyi 378 + 564 - 564 vagy 378*564:564. Érdemes volna felmérést készíteni iskolánként, hány gyerek van, aki nekiáll összeadni és szorozni, és hány látja át mindjárt, hogy mi az eredmény.

Érdekes módszertani újítás a "kisebbítendı, kivonandó, különbség" elnevezések kiküszöbölése, helyettesítése kivonásban is az "összeadandó, összeg" elnevezésekkel:

- 36 - 7 – 4 = 3

7 = 3 + 4 stb.

27 + 18 = 45

45 – 27 = 18

egyik össze-adandó

másik össze-adandó

összeg _egyik

össze-adandó