Statistika Matematika I Dan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Statistika

Matematik

a I

Dan

Aplikasinya

Dalam

Bidang

Pendidikan

Team Dosen

INTRUKSIONAL BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA

No TOPIK BAHASAN

01 1. Kontrak Belajar

2. Percobaan, Titik Sampel, Ruang Sampel, Variabel Random, Fungsi Peluang, Fungsi Peluang Gabungan, Fungsi Peluang Marginal, Fungsi Peluang Bersyarat, Fungsi Peluang Kumulatif dan Sifat Stokastik.

02 3. Ekspektasi dan Teorema Ekspektasi

4. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi mengunakan Definisi dan Teorema Ekspektasi

03 5. Moment, Momen Disekitar Pusat dan Moment Disekitar Rataan 6. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi

mengunakan Definisi Moment

04 7. Fungsi Pembangkit Moment dan Teoremanya

8. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi mengunakan Fungsi Pembangkit Moment

05 9. PDF dan CDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif, Multinomial.

10. Rataan dan Varians PDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif, Multinomial.

06 11. PDF dan CDF Geometriks, Hipergeometriks, Poisson, Seragam 12. Rataan dan Varians PDF Geometriks, Hipergeometriks,

Poisson, Seragam

07 13. Diskusi permasalahan nyata terkait Topik PDF diskrit

08

UJIAN TENGAH SEMESTER

09 14. Definisi Fungsi Gamma, PDF dan CDF Normal Umum dan Normal Baku

15. Aplikasi Fungsi Gamma untuk membuktikan PDF Normal Umum Suatu fungsi Peluang

11 20. Definisi PDF dan CDF Gamma, Chi-Kuadrat dan Eksponensial

dan aplikasinya untuk membuktikan teorema 4.

22. Bukti teorema 4.

)

aplikasinya untuk membuktikan teorema 5.

23. Bukti teorema 5.

)

aplikasinya untuk membuktikan keragaman sampel tunggal terhadap populasinya

12 24. Definisi PDF dan CDF Fhiser

25. Bukti teorema 6.

)

dan aplikasinya untuk membuktikan teorema 7.

26. Bukti Teorema 7

)

13 27. Definisi PDF dan CDF Student’s 28. Bukti dan aplikasi dari teorema

Teorema 8.

)

14 33. Bukti dan aplikasi dari teorema

34. Teorema 13. ~ ( , ) _{0 0} ~ N(z,0,1) terdistribusi normal

16 38. Diskusi analisis hubungan dengan korelasi, regresi linier dan koefesien determinasi dan regresi non linier

1

1

_V

_ariabel

_R

_{andom dan}

_F

_ungsi

9

9 F

ungsi

P

eluang

D

istribusi

N

ormal

9.1 Pengertian Distribusi Normal

Soal : Apa yang dimaksud dengan distribusi normal..?

Jawab : Distribusi normal merupakan suatu keadaan dimana fakta alam kejadiannya sesuai dengan kebiasaan pada umumnya kejadian tersebut terjadi

Soal : Apa contohnya fakta alam yang terdistribusi normal..? Jawab : Diantara contohnya adalah sebagai berikut:

1. Hujan turun disebut normal apabila distribusi turunnya mengikuti pola kebiasaan umumnya hujan terjadi, yaitu dari kondisi tidak hujan, gerimis, agak lebat, lebat, agak lebat, gerimis, tidak hujan. Jika dilukiskan dalam bentuk kurva InsyaAllah kurang lebih akan berpola seperti berikut:

Soal : Apa contoh pakta alam yang tidak terdistribusi normal Jawab : Contohnya adalah :

1. keadaan hujan yang turun tiba-tiba langsung lebat dan cuaca tidak mendung, atau gerimis terus tanpa berhenti dalam kondisi yang sangat lama. Kondisi ini disebut tidak normal karena pada umumnya tidak demikian kejadiannya.

2. Hasil belajar siswa menunjukkan, dari 30 peserta tes 29 orang mendapat 90 dan 1 orang mendapat nilai 70. Kondisi ini disebut tidak normal karena kejadiannya tidak umum terjadi atau tidak biasanya terjadi. Bisa jadi kejadian tersebut disebabkan karena soal tes yang tidak memenuhi syarat mutu (valid, reliabel, pembeda) atau terjadi penyontekan masal dan lainnya diluar kontrol. Soal : Apakah setiap data yang tidak terdistribusi normal berarti data

tersebut jelek atau buruk.?

Jawab : Data yang tidak normal bukan berarti data tersebut buruk, akan tetapi bisa berarti sangat baik. Karena konsep normal atau tidaknya terkait dengan kebiasaan pada umumnya fakta tersebut terjadi tidak terkait baik dan buruknya.

berkategori baik.?

Jawab : Contoh misalnya data hasil evaluasi belajar mahasiswa mendapat nilai A semua, berarti hal tersebut kondisi yang tidak biasanya terjadi (tidak normal) tetapi bersifat baik. Dengan catatan bahwa kondisi siswa benar tidak menyontek, soal memnuhi syarat mutu (bersifat valid, reliabel dan memiliki daya beda yang baik serta teknik skorsing dan penilai benar sesuai kaidahnya).

Soal : Teladan 1

Misalkan dimiliki data hasil belajar siswa kelas III MA NW Senyiur sebagai berikut:

92 72 67 82 72 91 80 73 80 70 85 87 75 85 83 75 79 89 80 61 76 78 65 80 79 75 76 66 80 85 73 68 86 84 70 71 88 68 83 77 78 76 75 79 84 76 88 87 100 50 68 73 72 58 65 95 96. Bagaimana kita memeriksa apakah data tersebut terdistribusi normal?

Jawab : Buat distribusi frekuensi data tersebut, misalnya jika digunakan aturan Stugas akan diperoleh parameter distribusi sebagai berikut:

Banyaknya Data (n) = 57

Banyaknya Kelas Interval (k) = _13,3logn_

= 7 Data Maksimum (max) = 100 Data Minimum (min) = 50 Rentang Data(R) = max-min = 50 Panjang Kelas Interval (P) = __k _

R

= 8

Kemudian kontruksi distribusi frekuensi sebagai berikut:

Interval Distribusi

Frekuensi

Jika data tersebut adalah data populasi, maka dapat langsung disimpulkan bahwa data tersebut terdistribusi normal, karena kurva distribusi frekuensinya menyerupai kurva normal. Tetapi jika data tersebut data sampel, maka perlu pengujian apakah kurvanya akan tetap seperti kurva normal jika seluruhan data populasinya di masukkan dalam distribusi frekuensi.

9.2 Definisi Distribusi Normal

Soal : Bagaimana definisi matematis distribusi normal Jawab : Definisi 1. PDF Normal

Peubah acak x disebut distribusi normal jika dan hanya jika

2

2 1

2 2

1 )

( 

     

 





x

e x

Soal :

Apakah

2

2 1

2 2

1 )

( 

     

 





x

e x

f untuk -∞ < x < ∞ merupakan suatu fungsi peluang

Jawab : Ya, karena f(x) memenuhi syarat fungsi peluang yaitu, 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 dan

2.

_

( ) 1



 

dx x f

Soal : Apakah bisa dibuktikan secara matematis, jika ya pengetahuan dasar apa yang harus dimiliki untuk dapat membuktikan kebenaran tersebut!

Jawab : Ya, bisa dibuktikan secara matematis dan pengetahuan dasar yang harus dimiliki adalah konsep terdefinisinya bialangan real, invers fungsi, definisi fungsi gamma dan sifat fungsi gamma.

Soal : Apa definisi fungsi gamma dan bagaiman sifatnya? Jawab : Definisi 2. Fungsi Gamma





 

 

0 1

)

(_ x e xdx _dan

Sifat 1. Fungsi Gamma

    

  

 

2 1 )!

1 ( ) (

 

 



N

Soal : Bagaimana bukkti dari sifat fungsi gamma tersebut!

Jawab : Buktinya dapat dilihat di buku Pengantar statistika matematika Penulis : Nar Herrhyanto dan Tuti Gantini pengarang Yrama Widya halaman 457. Silahkan menjadi tugas mahasiswa unutk mereview!

Soal :

Bagaimana bukti bahwa

2

2 1

2 2

1 )

( 

     

 





x

e x

f

merupakan fungsi peluang? Jawab : 2

2 1

2

2 1 )

( 

      

 





x

e x

2

2 1

2 2

1 )

( 

     

 





x

e x

f untuk -∞ < x < ∞ adalah benar

suatu fungsi peluang. Soal :

Jika

2

2 1

2 2

1 )

( 

     

 





x

e x

f untuk -∞ < x < ∞ adalah suatu funsgi peluang, maka berapa rataan dan variansnya? Jawab _: Teorema 1. Rataan dan Varians PDF Normal

Jika x peubah acak bebas yang terdistribusi normal, maka rataan x adalah x  dan dan Varians X adalah

2 2

 x  .

Bukti:

Berdasarkan definisi rataan bahwa

0 ) ( )

(



 

t x

x E x dM_dx t

 dengan Mx(t) adalah fungsi

pembangkit moment yang terdefinisi sebagai

) ( )

( tx

x t E e

M  maka diperoleh bahwa







 

          

 



 e f x dx e e dx

t M

x tx

tx x

2 2

1

2 2

1 )

( )

( 





Sekarang perhatikan bentuk berikut:





sehingga diperoleh

berikut



 





       

 



0 2

1 2 0

2 2

) ( )

(

t t t t

x

x E x dM_dt t t e

Selanjutnya untuk mendapatkan varians, ditentukan sebagai berikut:





0 2

1 2 0

2 2

2₎ () 2 2

(

 

 

 

 

  

 

 



t t t t

x _{t e}

dt d dt

t M d x

E    

     

0 2 2

1 2 2

1

2 2 2 2 2

0

 



     

   

 

 



t t

t t

t

t e

t

e    

    









₂(0)



2



1 ) 0 ( 2 )

0 ( 2 1 ) 0 (

2 _{(0) (0)}

0

2 2 2

2

  



       

 

 

e e

2 2

   

sehingga diperoleh varians PDF Normal umum sebagai berikut:i 2x E(x2)



E(x)



22222.

Soal : Misalkan pada teladan 1 di atas, jika seorang siswa dipilih untuk mengikuti olimpiade matematika, bagaimana cara menentukan peluang siswa tersebut akan memperoleh nilai

a) Tepat sama dengan 6.5 b) Kurang dari 7

c) Lebih dari 6.5

d) Antara 6.5 sampai dengan 7

Jawab : Pertama tentukan staitistik rataan (µ) dan varians (σ2_{) sebagai}

77.65