PERKEMBANGAN MATEMATIKA
a. Perkembangan Sebelum renaissance b.Perkembangan Sesudah renaissance
Created by:
Ka Azmah Lailita Endah
PERKEMBANGAN
Aliran Matematika
Aliran Matematika
Bilangan
Bilangan Aritmatika dan AljabarAritmatika dan Aljabar
Bangun
Bangun GeometriGeometri
Aliran ke-3
Kediskretan :
• Perhitungan dengan bilangan alam 1, 2, 3, … • Penemuan bilangan irasional
• menghitung luas bidang yang dibatasi oleh
kurva-kurva atau oleh garis-garis lurus yang tidak sama ukurannya
• luas permukaan dan volume
Aliran Ke-4
Kekontinuan :
• perhitungan yang memadai untuk gerak,
pertumbuhan, dan perubahan terus-menerus yang indah
konsep kontinu dan diskret sering menunjukkan
Aliran Ke-5
Terapan
:
sangat penting dalam sejarah matematika
terutama sejak abad ke-17. Pada akhir abad
ke-18 dan awal abad ke-19 industri dan
skala waktu perkembangan matematika membagi seluruh sejarahnya menjadi tiga bagian yang tidak sama panjang :
1. Masa terpencil (dahulu) membentang dari dahulu kala sampai tahun 1637 : ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia
2. Masa pertengahan dari 1638 sampai 1800 :
metode Descartes, Newton, dan Leibniz di semua departemen matematika ketika departemen ini dibentuk. Gambaran paling signifikan pada abad ini ialah mulainya abstraksi. Meskipun realisasi kekuatan metode abstrak tertunda sampai abad ke-20, adanya antisipasi hasil karya Lagrange atas persamaan aljabar dan lebih dari itu adalah dalam mekanika analisisnya. Yang terakhir 1801, ditandai dengan era baru yang belum ditemukan
3. masa sekarang membentang dari 1821 sampai kini : 1821 ada masa di mana Cauchy mulai
yang pertama kali memperlakukan kalkulus differensial dan integral. Lobachevsky, Bolyai,
Plucker, Riemann dan Lie, menemukan geometri baru sebagai bagian dari hidupnya. Terdapat
landasan yang baik dari asersi yang mengatakan bahwa dalam abad ke-19 sendiri berkontribusi
Pembagian skala waktu sejarah matematika yang lebih konvensional membaginya ke dalam tujuh periode :
Dari masa awal sejarah sampai Babilonia dan Mesir Kuno inklusif
Dari kontribusi Yunani, sekitar 600 SM, sampai sekitar 300 SM (900 tahun), yang terbaik adalah abad ke-4 dan ke-3 SM
Masyarakat Timur dan yang berbahasa Semit (Hindu, Arab, Cina, Persia, Islam, Yahudi, dan sebagainya), sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah
Eropa dalam masa Renaissance dan Reformasi, secara kasar pada abad ke-15 dan ke-16
abad ke tujuh belas dan ke delapan belas
abad ke sembilan belas
Issac Newton…
•
matematikawan dan ilmuwan besar
bangsa Inggris
•
Ia dijuluki sebagai pionir ruang
matematika
Pada umur 24, ia telah memberikan
kontribusinya
yang
besar
terhadap
matematika
–penemuan
kalkulus
yang
disebut “fluxion’
ilmu tersebut memerlukan waktu 20 tahun
untuk
mampu
menyelesaikan
masalah
tertentu
dalam
kalkulus
untuk
mempersiapkan karya ilmiah
yang penting
Issac Newton adalah salah satu
1. Ciri khas umum setiap periode
2. Motivasi berkembangnya
matematika
3. Sisa-sisa zaman
1. Ciri Khas Umum Setiap
Periode
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan
kematangan dan penurunan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani,
matematka masih bersifat empiris. Dan pada abad ke 17, hal ini diperbaiki dengan munculnya geometri
analitk, proyektf, dan differensial pada abad berikutnya. Yang terakhir muncul adalah geometri
baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
2. Motivasi
berkembangnya
matematika
Motvasi yang melatarbelakangi berkembangnya matematka semula diperkirakan oleh ekonomi. Namun pada penelitan leih lanjut tdak
demikian.
Perkembangan matematka dapat dimotvasi oleh agama (mistk),
BERPIKIR
MATEMATIS
Persyaratan Aksioma
dalam Sistem Matematika
Sistem Matematika
•
Menurut Bertrand Russell sistem
matematika
terdiri
dari
dua
komponen
yakni,
seperangkat
aksioma dan sistem logika.
•
Awal
mula
sebarang
sistem
Aksioma
• Aristoteles ( 384 – 322 ) SM adalah orang pertama
yang memikirkan secara serius sifat aksioma itu. Pengkajiannya sangat terpengaruh dari hasil karya Plato.
• Tokoh yang paling terkenal diantara semua sistem
matematika telah diorganisasikan oleh Euclid tidak lama setelah zamannya Aristoteles. Karya monumentalnya adalah “Unsur-Unsur” dalam bentuk 13 jilid. Materi geometri dimensi dua dan tiga adalah bagian dari enam buku Unsur-Unsur .
• Sebelum Euclid, sudah ada buku teks geometri
•
Pengorganisasiannya melalui pernyataan
yang eksplisit dari definisi dan aksioma
pada bagian awal analisisnya, hal itu
merupakan salah satu kejadian yang
sangat penting dalam sejarah berpikir
matematis.
• Awal abad ke – 19 merupakan babak ke dua
dalam sejarah metode aksiomatis yang penting. Era Bolyai dan Lobachevsky menandai munculnya berpikir matematis modern. Penemuan geometri non Euclid oleh kedua tokoh ini masing-masing tidak saling mempengaruhi.
• Ketika berusia 21 tahun, Bolyai menulis kepada
• Satu-satunya perbedaan antara geometri Euclid
dengan geometri yang ditemukan oleh Bolyai dan Lobachevsky (non Euclid) adalah terletak pada postulat kesejajaran yang dalam geometri non Euclid diganti dengan postulat (asumsi) yang lain.
• Pada tahun 1845 Riemann di Gottingen masih
•
Aksioma-aksioma yang mendasari sistem
matematika haruslah “jelas kebenarannya”.
Postulat-postulat
atau
teorema
yang
dihasilkan haruslah menarik perhatian orang
akan kebenarannya.
•
Bukan kebenaran, namun konsistensi adalah
Sifat Aksioma
• Pernyataan yang dikutip dalam aksioma diatas dapat benar atau salah sesuai dengan isi yang diberikan kepada kata-kata yang terkait dalam aksioma.
• Suatu aksioma ditulis dalam bentuk yang dapat diterima, mempunyai bentuk proposisi dan berciri khas fungsi matematis. Jadi, aksioma dapat dikatakan sebagai jenis fungsi proporsional.
• Russell mendefinisikan fungsi proporsional yaitu, “Fungsi proporsional adalah pernyataan sederhana yang memuat satu atau beberapa unsure yang tidak didefinisikan itu ditetapkan. Jika saya mengatakan ‘ r
Syarat Ideal
Sampai sekian jauh diskusi mengenai aksioma beserta
sifat-sifatnya ini masih bersifat individual. Matematka
berjalan terus dan telah membangun kelompok
persyaratan untuk seluruh perangkat aksioma yang
melatar belakangi sistem matemats.
Persyaratan-persyaratan ini adalah
konsistensi independensi,
dan
kategoris.
Pengertan konsistensi di dalam perangkat sistem
matemats ini sederhana saja jika orang mau
memperlakukan materi secara dangkal. Jika,
Seperangkat aksioma dapat dikatakan
berada dalam konsistensi jika dari perangkat
itu tdak ada kemungkinan mendeduksi
teorema-teorema yang kontradiksi. Tentu saja
jika diperoleh teorema kontradiksi sebagai
Pengertan
independensi
jika diterapkan
sebagai sifat perangkat aksioma agak lebih
sederhana dari pada konsep konsistensi.
Contoh aksioma-aksioma itu adalah sebagai
berikut:
•
Jika
a
dan
b
adalah unsur yang tdak sama di C,
maka
a
kurang dari
b
atau
b
kurang dari
a
.
•
Jika
a
kurang dari
b
, maka
a
dan
b
unsur yang
tdak sama di C.
•
Jika
a
kurang dari
b
, dan
b
kurang dari
c
, maka
PERAN LOGIKA DALAM
SISTEM MATEMATIKA
Peranan Logika
• Pythagoras (abad 6 SM)
“perlunya konsep bukt yang jelas dan semua orang harus setuju”
• Aristoteles
1. A adalah A. (Hukum identtas)
2. Segala sesuatu adalah A atau bukan A. (Hukum tolak tenngah atau hukum “excluded middle”)
3. Tidak ada sesuatu A sekaligus bukan A. (hukum kontradiksi)
Dua hukum terakhir di atas mungkin agak sulit dipahami. Dengan cara merakit interpretatf (biasa dipakai para matematkawan dan logikawan), hukum-hukum itu menjadi komparatf mudah, maka kedua hukum
terakhir logika Aristoteles menjadi:
