i `
TESIS – SM 142501
PENGARUH PEMBANGKITAN PANAS PADA
ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN FLUIDA NANO
MELALUI PERMUKAAN SILINDER SIRKULAR
HORIZONTAL
BAGUS JULIYANTO NRP 06111450010016 DOSEN PEMBIMBING
Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp.
PROGRAM MAGISTER DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA, KOMPUTASI, DAN SAINS DATA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA 2018
iii
THESIS – SM 142501
THE EFFECT OF HEAT GENERATION ON
MIXED CONVECTION FLOW IN NANO FLUID
OVER A HORIZONTAL CIRCULAR CYLINDER
BAGUS JULIYANTO NRP 06111450010016 SUPERVISOR
Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp.
MASTER PROGRAM
DEPARTEMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF MATHEMATICS, COMPUTING, AND DATA SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY
SURABAYA 2018
vii
PENGARUH PEMBANGKITAN PANAS PADA
ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN FLUIDA NANO
MELALUI PERMUKAAN SILINDER SIRKULAR
HORIZONTAL
Nama Mahasiswa : Bagus Juliyanto
NRP : 06111450010016
Pembimbing : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. 2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp
ABSTRAK
Perpindahan panas dengan konveksi pada fluida nano yang melalui suatu benda (plat, silinder, kerucut, atau bola), pada umumnya dengan kasus benda dipanaskan atau didinginkan. Pada penelitian ini, membahas pengaruh pembangkitan panas dan konveksi campuran pada aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal yang dipanaskan dalam bentuk dua dimensi. Aliran fluida bersifat tak mampu-mampat (imcompressible) dan dalam keadaan tunak (steady), aliran bergerak dari bawah ke atas, dan daerah pengamatan di titik stagnasi terendah. Partikel nano yang digunakan adalah Cu, Al2O3, dan TiO2. Aliran fluida nano pada permukaan silinder sirkular menimbulkan lapisan batas. Persamaan lapisan batas yang diperoleh berupa persamaan similaritas dengan menggunakan fungsi alir (stream function). Penyelesaian dari persamaan similaritas dilakukan secara numerik dengan menggunakan metode beda-hingga implisit skema Keller-Box. Hasil penelitian dengan memvariasi parameter konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒), sumber panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a) adalah sebagai berikut. Pertama, peningkatan parameter konveksi campuran (𝜆) mengakibatkan peningkatan profil kecepatan, dan penurunan profil temperatur. Kedua, peningkatan parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) mengakibatkan penurunan profil kecepatan dan temperatur. Ketiga, peningkatan parameter nanoparticle volume fraction (𝜒) menyebabkan peningkatan profil kecepatan pada saat nilai 𝜒 adalah 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,15 dan penurunan profil kecepatan pada saat nilai 𝜒 adalah 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5 serta peningkatan profil temperatur. Keempat, peningkatan parameter sumber panas (𝑄) dan jari-jari silinder (a) mengakibatkan peningkatan profil kecepatan dan temperatur. Keenam, partikel nano Cu, Al2O3, dan TiO2 menghasilkan profil kecepatan dan temperatur yang sama, tetapi ketiga jenis partikel nano tersebut berbeda pada nilai kecepatan (𝑓′) dan nilai temperaturnya (𝑇).
Kata Kunci: Fluida nano, konveksi campuran, pembangkitan panas, lapisan batas, skema Keller-Box, silinder sirkular horizontal.
ix
THE EFFECT OF HEAT GENERATION ON MIXED
CONVECTION FLOW IN NANO FLUID OVER A
HORIZONTAL CIRCULAR CYLINDER
By : Bagus Juliyanto
Student Identity Number : 06111450010016
Supervisor : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc 2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp
ABSTRACT
Heat transfer by convection in nanofluids past a object (plate, cylinder, cone, or sphere) is generally the cases of a heated or cooled object. The purpose of this reseach is to study the effect of heat generation on mixed convection flow of nanofluids over a horizontal circular cylinder of a heated in two dimension form. A stream of fluids are steady and incompressible, a stream flowing vertically upwards for circular cylinder and the boundary layer at the stagnation point. Three different types of nanoparticles considered are Cu, Al2O3, and TiO2. Mixed convection flow in nanofluid on the surface of a circular cylinder will cause the boundary layer. The boundary layer equations are similarity equations by using stream function. Furthermore, an implicit finite-difference scheme known as the Keller-box method is applied to solve numerically the resulting similar boundary layer equations. The result of the research by varying the non-dimensional parameters are mixed convection (𝜆), Prandtl number (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (χ), heat generation (Q) , and radius of cylinder (a) are as follows. First, the velocity profile increase and temperature profile decrease when mixed convection parameter increase. Second, the velocity and temperature profiles decreases when Prandtl number parameter increase. Third, the velocity profile with the variation of nanoparticle volume fraction (χ) is increase when the value of χ is 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,19 and the velocity profile decrease when the value of χ is 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5 while the temperature profile is increase when the value of χ is 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,5. Fourth, the velocity and temperature profiles increase when heat generation and the radius of the cylinder increase. The last, Cu, Al2O3, and TiO2 nanoparticles produce the same velocity and temperature profiles, but the three types of nanoparticles are different at the velocity (𝑓′) and temperature values (𝑇).
Keywords: Nanofluid, mixed convection, heat generation, boundary layer, Keller-Box schema, horizontal circular cylinder.
xi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik serta hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis dengan judul:
Pengaruh Pembangkitan Panas Pada Aliran Konveksi Campuran Fluida Nano Melalui Permukaan Silinder Sirkular Horizontal
yang merupakan salah satu persyaratan akademis dalam menyelesaikan Program Magister (S2) Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data (FMKSD), Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Tesis ini dapat diselesaikan dengan baik berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak. Sehubungan dengan hal itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.Es., Ph.D selaku Rektor Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
2. Direktoral Jendral Perguruan Tinggi (DIKTI) yang telah memberikan beasiswa BPPDN.
3. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc selaku Dekan FMKSD Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya dan dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, perhatian, nasehat terutama tentang attitude, dan motivasi kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini dengan baik.
4. Dr. Imam Mukhlas, M.T selaku Kepala Departemen Matematika ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tesis ini.
5. Dr. Mahmud Yunus, M.Si selaku Kepala Program Studi S2 Matematika ITS dan dosen penguji yang telah memberikan perhatian, motivasi, dan saran kepada penulis selama perkuliahan hingga terselesainya penulisan Tesis ini. 6. Dr. Dwi Ratna Sulistyaningrum, M.T selaku Dosen Wali yang telah
memberikan nasehat dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tesis ini.
xii
7. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini dengan baik.
8. Dr. Hariyanto, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan pertanyaan dan saran demi perbaikan Tesis ini.
9. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika khususnya Program Studi S2 Matematika ITS yang telah banyak memberikan ilmu dan membantu penulis.
Selama proses mengerjakan Tesis ini, banyak pihak yang telah memberikan bantuan dan dukungan untuk penulis. Penulis ingin mengucapkan terima kasih dan apresisasi secara khusus kepada:
1. Ayahanda H. Qoro’in Khoir Sutono (Alm.) dan Ibunda Hj. Shofwatul Azzam Suliyatin tercinta yang senantiasa dengan ikhlas memberikan kasih sayang, motivasi, doa, dan nasihat-nasihat yang sungguh berarti bagi penulis.
2. Ibu mertua Hj. Siti Mariedha Setyahati, yang senantiasa dengan ikhlas memberikan nasihat dan doa yang sangat berarti bagi penulis.
3. Pendamping hidupku tercinta Yulianna Damayanti beserta empat belahan jiwaku M. Raihan Athallah, Zuleyka Elvaretta Maribel Az-Zahra, Syifania Janeeta Az-Zahra, dan M. Maher Athallah. Terima kasih atas kebersamaan, kasih sayang, kesabaran, ketulusan, kesetiaan, dukungan, dan doanya.
4. Drs. Mohamad Hasan, M.Sc., Ph.D selaku Rektor Universitas Jember dan Drs. Sujito, Ph.D selaku Dekan FMIPA Universitas Jember. Terima kasih atas perhatian dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan Tesis ini dengan baik.
5. Teman-teman angkatan 2014, 2015, dan 2016 terima kasih atas kebersamaan dan dukungan yang diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa Tesis ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Akhir kata, semoga Tesis ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.
Surabaya, Januari 2018
xiii DAFTAR ISI Halaman LEMBAR PENGESAHAN ... v ABSTRAK ... vii ABSTRACT ... ix KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL... xvii
DAFTAR SIMBOL ... xix
BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah... 3 1.3 Batasan Masalah ... 4 1.4 Tujuan Penelitian ... 4 1.5 Manfaat Penelitian ... 5
BAB 2. KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 2.1 Penelitian Terdahulu ... 7
2.2 Fluida ... 8
2.2.1 Fluida Nano ... 9
2.2.2 Viskositas Fluida ... 10
2.2.3 Fluida Newtonian ... 11
2.3 Perpindahan Panas Konveksi... 12
2.4 Lapisan Batas (Boundary Layer) ... 13
2.5 Bilangan Non-Dimensi ... 14
2.6 Metode Beda Hingga Implisit Skema Keller-Box ... 17
2.7 Koordinat Silinder ... 18
BAB 3. METODE PENELITIAN 3.1 Tempat Penelitian ... 21
xiv
BAB 4. PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIKA
4.1 Persamaan Kontinuitas ... 26
4.2 Persamaan Momentum ... . 30
4.3 Persamaan Energi ... 34
4.4 Model Matematika Berdimensi ... 37
4.5 Model Matematika Non Dimensi ... 38
4.6 Pendekatan Lapisan Batas ... 40
4.7 Fungsi Alir (Stream Function) dan Persamaan Similaritas ... 41
4.7.1 Fungsi Alir (Stream Function) ... 41
4.7.2 Persamaan Similaritas ... 42
BAB 5. PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA 5.1 Pembentukan Persamaan Orde Satu ... 45
5.2 Diskritisasi ... . 46
5.3 Linierisasi ... 49
5.4 Teknik Eliminasi Blok ... 52
5.5 Validasi Model ... 57
5.6 Simulasi dan Analisis Hasil ... 59
5.6.1 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Konveksi Campuran 59 5.6.2 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Bilangan Prandtl ... 61
5.6.3 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Nanoparticle Volume Fraction ... 63
5.6.4 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas ... 65
5.6.5 Analisis Hasil Pengaruh Jari-Jari Silinder ... 66
5.7 Studi Kasus (Case Study) ... 69
5.7.1 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada Partikel Nano Cu ... 70
5.7.2 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada Partikel Nano Al2O3 ... 72
5.7.3 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada Partikel Nano TiO2 ... 73
BAB 6. KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan ... 77
xv
6.2 Saran ... 78
DAFTAR PUSTAKA ... 79
LAMPIRAN ... 81
xvii
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1.1 (a) Aliran fluida yang melalui permukaan silinder sirkular
horizontal dalam dimensi-2 dan (b) model fisik dan sistem
koordinat pada lapisan batas ... 3
Gambar 2.1 Aliran fluida diantara dua pelat datar ... 10
Gambar 2.2 Aliran fluida pada airfoil ... 14
Gambar 2.3 Grid beda hingga skema keller-box ... 18
Gambar 4.1 Model fisik dan sistem koordinat untuk permasalahan aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal ... 25
Gambar 4.2 Volume atur ... 27
Gambar 4.3 Sketsa aliran fluida masuk dan keluar volume atur kendali ... 28
Gambar 5.1 Skema beda hingga pusat ... 46
Gambar 5.2 Profil kecepatan pada validasi model ... 58
Gambar 5.3 Profil temperatur pada validasi model ... 58
Gambar 5.4 Profil kecepatan dengan variasi parameter konveksi campuran (𝜆) ... 60
Gambar 5.5 Profil temperatur dengan variasi parameter konveksi campuran (𝜆) ... 60
Gambar 5.6 Profil kecepatan dengan variasi parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) . 62 Gambar 5.7 Profil temperatur dengan variasi parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) 62 Gambar 5.8 Profil kecepatan dengan variasi parameter volume fraction (𝜒) .... 64
Gambar 5.9 Profil temperatur dengan variasi parameter volume fraction (𝜒) ... 64
Gambar 5.10 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) ... 65
Gambar 5.11 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) ... 66
Gambar 5.12 Profil kecepatan dengan variasi jari-jari silinder (𝑎) ... 67
Gambar 5.13 Profil temperatur dengan variasi jari-jari silinder (𝑎) ... 68
Gambar 5.14 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) dengan partikel nano Cu ... 71 Gambar 5.15 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)
xviii
dengan partikel nano Cu ... 71 Gambar 5.16 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)
dengan partikel nano Al2O3 ... 72
Gambar 5.17 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) dengan partikel nano Al2O3 ... 73
Gambar 5.18 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)
dengan partikel nano TiO2 ... 74
Gambar 5.19 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) dengan partikel nano TiO2 ... 74
xix
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1 Kondisi Aliran Fluida... 15 Tabel 2.2 Nilai Bilangan Prandtl untuk Fluida... 16 Tabel 5.1 Nilai Kecepatan Aliran Fluida (f’) dengan Variasi
Jari-Jari Silinder (a) ... 68 Tabel 5.2 Nilai Temperatur Aliran Fluida (f’) dengan Variasi
Jari-Jari Silinder (a) ... 69 Tabel 5.3 Bahan Thermophysical Fluida Nano ... 70
xxi
DAFTAR SIMBOL
𝑎 Jari-jari silinder 𝐶𝑝 Kapasitas panas fluida (𝐶𝑝)
𝑛𝑓 Kapasitas panas fluida nano (𝐶𝑝)
𝑓 Kapasitas panas fluida dasar (𝐶𝑝)
𝑠 Kapasitas panas partikel nano
𝑔 Gravitasi
𝑔𝑥 Gravitasi pada sumbu 𝑥 𝑔𝑦 Gravitasi pada sumbu y
𝐺𝑟 Bilangan Grashof
𝑘 Konduktivitas panas
𝑘𝑛𝑓 Konduktivitas panas fluida nano 𝑘𝑠 Konduktivitas panas partikel 𝑘𝑓 Konduktivitas panas fluida dasar
𝑝 Tekanan
𝑃𝑟 Bilangan prandtl
Q Pembangkit / sumber panas
𝑅𝑒 Bilangan Reynolds
𝑇 Temperatur fluida
𝑇𝑤 Temperatur permukaan silinder 𝑇∞ Temperatur lingkungan
𝑢 Komponen kecepatan fluida pada sumbu 𝑥 𝑈∞ Kecepatan aliran bebas
𝑢𝑒 Kecepatan di luar lapisan batas
𝑣 Komponen kecepatan fluida pada sumbu y 𝑥 Koordinat arah gerak pada permukaan silinder 𝑦 Koordinat arah gerak pada lapisan batas 𝛼 Difusifitas panas
𝛼𝑛𝑓 Difusivitas panas fluida nano 𝛼𝑠 Difusivitas panas partikel nano 𝛼𝑓 Difusivitas panas fluida dasar
𝛽 Koefisien perpindahan panas
𝛽𝑛𝑓 Koefisien perpindahan panas fluida nano 𝛽𝑠 Koefisien perpindahan panas partikel nano 𝛽𝑓 Koefisien perpindahan panas fluida dasar
𝛾̇ Laju regangan geser
𝜂 Koordinat aliran fluida yang menuju titik stagnasi pada saat x = 0
⋋ Parameter konveksi
𝜇 Viskositas / kekentalan dinamik 𝜇𝑛𝑓 Viskositas dinamis fluida nano
xxii 𝜌 Densitas/kerapatan fluida 𝜌𝑛𝑓 Kerapatan fluida nano
𝜌𝑠 Kerapatan partikel nano 𝜌𝑓 Kerapatan fluida dasar
𝜎 Tegangan normal fluida 𝜏 Tegangan geser fluida 𝜐 Viskositas kinematic
𝜒 Nanoparticle volume fraction
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perpindahan panas merupakan perpindahan energi dari tempat/fluida dengan temperatur yang tinggi ke temperatur yang lebih rendah. Salah satu perpindahan panas yang saat ini banyak digunakan pada bidang industri adalah konveksi. Konveksi merupakan perpindahan panas karena adanya pergerakan/aliran/ pencampuran fluida dari bagian panas ke bagian yang dingin. Konveksi terdiri atas tiga jenis, yaitu konveksi bebas/natural (free convection), konveksi paksa (forced convection), dan konveksi campuran (mixed convection). Konveksi bebas merupakan gerakan mencampur yang diakibatkan oleh perbedaan kerapatan, sedangkan apabila gerakan mencampur disebabkan oleh suatu alat tertentu dari luar maka disebut sebagai konveksi paksa. Gabungan dari konveksi bebas dan konveksi paksa dikenal sebagai konveksi campuran.
Gesekan antara fluida dan permukaan benda (medium) menghasilkan tegangan geser dan menyebabkan terjadinya suatu lapisan tipis yang disebut sebagai lapisan batas (boundary layer). Faktor-faktor yang dapat mempengaruhi boundary layer suatu fluida antara lain viskositas dan gaya inersia benda (medium) tersebut.
Beberapa penelitian penggunaan boundary layer pada aliran konveksi campuran diantaranya Anwar dkk (2010) meneliti tentang aliran konveksi campuran yang melewati silinder sirkular pada fluida viskoelastik. Bhowmick dkk (2013) meneliti masalah aliran konveksi campuran pada fluida pseudo-plastic yang melewati silinder sirkular horizontal dengan fluks panas permukaan seragam. Salleh dkk (2010) meneliti tentang aliran konveksi campuran yang melewati silinder sirkular horizontal dengan pemanasan Newtonian.
Dalam fluida terdapat sifat yang tidak menolak terhadap perubahan bentuk dan kemampuan untuk mengalir. Sifat tersebut biasanya dikarenakan sebuah fungsi dari ketidakmampuan fluida tersebut mengadakan tegangan geser (shear stress) dalam ekuilibrium statis. Konsekuensi dari sifat ini adalah hukum Pascal yang
2
menekankan pentingnya tekanan dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Fluida dapat dikarakterisasikan sebagai Fluida Newtonian dan Fluida Non-Newtonian. Fluida Newtonian adalah fluida yang perilakunya sesuai dengan hukum Newton, contohnya adalah air. Fluida Non-Newtonian adalah fluida yang perilakunya menyimpang terhadap hukum Newton (Widodo, 2012). Contoh dari fluida non-Newtonian yaitu fluida pseudoplastic, fluida shear-thinning, fluida trixotropic, fluida viscoelactic, dan fluida nano. Pada penelitian ini diberikan pengaruh konveksi campuran pada fluida nano. Istilah fluida nano pertama kali digunakan oleh Choi (1995) yang didefinisikan sebagai pengenceran partikel berukuran nanometer (lebih kecil dari 100 nm) dalam suatu fluida (Das dkk, 2007).
Penelitian tentang fluida nano mulai meningkat karena fluida tersebut banyak digunakan dalam bidang industri pertahanan, pengeboran minyak, industri makanan dan kertas. Misalkan pada pengeboran minyak, fluida nano yang mengandung panas mengalir melalui permukaan sebuah media dan mengakibatkan terjadinya proses perpindahan panas dari fluida ke media. Tham dkk (2012) dalam penelitian yang berjudul Mixed Convection Boundary Layer Flow from a Horizontal Circular Cylinder in Nanofluid membahas tentang aliran yang bergerak dari bawah ke atas dan melalui permukaan silinder sirkular horizontal dalam dua kasus yaitu silinder yang dipanaskan dan didinginkan. Fauzi dkk (2012) meneliti tentang aliran konveksi campuran fluida nano pada lapisan batas dengan medium berbentuk kerucut tegak berpori. Rabeti (2014) meneliti masalah heat transfer pada aliran konveksi campuran dari fluida nano yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal berpori. Srinivasacharya (2015) meneliti tentang pengaruh stratifikasi ganda (thermal dan mass) pada aliran konveksi campuran dalam fluida nano yang melewati plat datar tegak berpori.
Berdasarkan uraian tersebut, pada penelitian ini dibahas pengaruh pembangkitan panas pada aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal. Pembangkitan panas dilakukan di luar sistem dan sebelum aliran mencapai silinder sirkular horizontal tersebut. Aliran konveksi campuran fluida nano ketika melalui permukaan silinder sirkular horizontal menimbulkan gesekan antara fluida nano dengan silinder sirkular horizontal, sehingga dapat merusak silinder sirkular tersebut. Besar kecilnya
3
gesekan yang timbul dikarenakan kecepatan dan temperatur aliran fluida, sehingga sangat penting untuk mengetahui kecepatan dan temperatur aliran fluida tersebut.
1.2 Rumusan Masalah
Deskripsi dari permasalahan ini diilustrasikan pada Gambar 1.1 yang menunjukkan bentuk geometri dari masalah lapisan batas pada silinder sirkular horizontal. Aliran fluida nano pada permasalahan ini dianggap bergerak dari bawah kemudian melalui permukaan silinder sirkular yang ditempatkan secara horizontal dan dalam keadaan diam dengan jari-jari a dan temperatur dari permukaan silinder (Tw) adalah konstan (Gambar 1.1a). Koordinat titik pada lapisan batas dinyatakan
dalam (𝑥, 𝑦) dengan x pada permukaan silinder dan y pada lapisan batas dengan besar sudut (𝑥
𝑎). Jika 𝑥 = 0 maka disebut dengan titik stagnasi (Gambar 1.1b)
Gambar 1.1 (a) Aliran fluida yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dalam dimensi-2 dan (b) model fisik dan sistem koordinat pada lapisan batas.
Jika diberikan sumber panas sebesar Q pada aliran fluida nano dengan kecepatan aliran bebasnya 𝑈∞ dan temperatur disekitarnya adalah 𝑇∞, maka permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana perumusan model matematika dari aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkit panas?
Aliran Fluida dengan suhu T g a O 𝑥 Tw 𝑈∞, 𝑇∞ 𝑦 Tw 𝑥 𝑎 a O Titik stagnasi (b) (a)
4
2. Bagaimana penerapan metode beda-hingga implisit dengan skema Keller-Box untuk menyelesaikan model yang diperoleh pada bagian (1)?
3. Apa pengaruh parameter pembangkit panas (𝑄) dan parameter non-dimensional konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan temperatur (T)?
1.3 Batasan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut: 1. Aliran fluida bersifat tak mampu-mampat (incompressible), dalam keadaan
tunak (steady), dan aliran fluida bersifat seragam.
2. Fluida nano terbuat dari air dan partikel nano Cu (Cuprum), Al2O3 (Alumina), dan TiO2 (Titanium Dioksida).
3. Silinder sirkular horizontal dalam keadaan diam, terletak pada aliran bebas, dan bertemperatur dinding konstan.
4. Bagian yang diteliti pada titik stagnasi terdekat dengan bluff body (𝑥 ≈ 0). 5. Penyelesaian numerik menggunakan metode beda-hingga implisit dengan
skema Keller-Box.
6. Visualisasi hasil penelitian menggunakan software MATLAB R2012a.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Membangun model matematika dari aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkit panas.
2. Mengaplikasikan metode beda-hingga implisit skema Keller-Box untuk menyelesaikan model tersebut.
3. Menganalisa pengaruh dari parameter pembangkit panas (𝑄) dan parameter non-dimensional konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan profil temperatur (T).
5
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagi peneliti dapat menambah ilmu, khususnya dalam bidang pemodelan matematika dan penulisan karya tulis ilmiah.
2. Bagi institusi, penelitian ini dapat menambah referensi, khususnya tentang fluida nano.
7
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
Pada Bab ini dijelaskan penelitian-penelitian sebelumnya yang terkait dengan penelitian ini. Selain itu juga dijelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan penelitian ini, yaitu fluida nano, konveksi campuran, lapisan batas, dan skema Keller-Box.
2.1 Penelitian Terdahulu
Berikut ini penelitian-penelitian yang pernah dilakukan yang berkaitan dengan Tesis ini.
1. “The Implicit Keller Box method for the one dimensional time fractional diffusion equations”, F.S Al-Shibani, A.I.Md. Ismail, dan F.A. Abdullah (2012), International Journal of Applied Mathematics & Bioinformatics. Pada penelitian ini, F.S Al-Shibani, A.I.Md. Ismail, dan F.A. Abdullah mengusulkan penggunaan skema Keller-Box implisit pada persamaan difusi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa skema Keller-Box tanpa syarat stabil dan skema Keller-Box layak digunakan.
2. “Mixed Convection Heat Transfer of Nanofluids about a Horizontal Circular Cylinder in Porous Media”, M. Rabeti (2014), SOP Transactions on nano technology.
Pada penelitian ini, M. Rabeti mengusulkan penggunaan pengaruh partikel nano perak dan partikel nano oksida. Persamaan yang digunakan adalah persamaan dasar yang direduksi menjadi ODE’s order dua dengan metode similarity dan pemecahan numerik. Hasil menunjukkan bahwa menangguhkan partikel nano dalam cairan dasar dapat meningkatkan perpindahan panas dari silinder ketika gaya apung pada perpindahan panas dominan. Dalam kasus ini, konveksi bebas (natural) dominan dalam perpindahan panas.
8
3. “Mixed Convection boundary layer flow over a horizontal circular cylinder with Newtonian heating”, Mohd Zuki Salleh, RoslindaNazar, dan Ioan Pop (2010), International Journal of Heat Mass Transfer.
Pada penelitian ini, Mohd Zuki Salleh, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop mengusulkan aliran konveksi campuran yang bersifat steady yang dihasilkan dari pemanasan Newtonian dengan heat transfer dari permukaan adalah proporsional terhadap suhu permukaan lokal. Penyelesaian model pada boundary layer menggunakan skema Keller-Box. Hasil penelitian ini adalah koefisien skin fraction Re1/2Cf dan suhu dinding lokal sangat baik
untuk mengetahui profil kecepatan dan profil temperatur aliran dengan pengaruh parameter konveksi campuran dan bilangan Prandtl.
4. “Mixed Convection boundary layer flow over a horizontal circular cylinder in a nanofluid”, Leony Tham, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop (2012), International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. Pada penelitian ini, Leony Tham, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop membahas aliran konveksi campuran fluida nano pada lapisan batas yang melewati silinder sirkular horizontal. Aliran bergerak dari bawah ke atas secara tegaklurus terhadap silinder. Terdapat dua kasus yang dibahas dalam penelitian ini yaitu silinder sirkular yang dipanaskan dan didinginkan. Metode yang digunakan adalah beda-hingga implisit skema Keller-Box. Hasil penelitian menunjukkan bahwa semakin besar nilai volume fraction maka semakin besar juga koefisien skin friction, heat transfer rata-rata, dan nilai dari parameter konveksi campuran. Partikel nano Cu mempunyai nilai terbesar untuk bilangan Nusselt local dan koefisien skin friction dibandingkan partikel nano TiO2 dan Al2O3.
2.2 Fluida
Terdapat tiga fase zat yang tersebar di alam, yaitu fase padat, gas dan cair. Karena fase gas dan cair tidak dapat mempertahankan bentuk tetap, maka keduanya mempunyai kemampuan untuk mengalir, dengan demikian keduanya disebut sebagai fluida. Perbedaan antara zat gas dan zat cair terletak pada sifat
kemampu-9
mampatannya. Kemampatan merupakan perubahan (pengecilan) volume karena adanya perubahan (penambahan) tekanan. Contoh zat yang mampu-mampat (compressible) adalah gas, sedangkan contoh zat yang tak mampu-mampat (incompressible) adalah zat cair (Widodo, 2012). Fluida merupakan zat yang berubah bentuk secara kontinu apabila terkena tegangan geser, meskipun dengan tegangan geser yang sangat kecil. Tegangan geser adalah perbandingan gaya geser (komponen gaya yang menyinggung permukaan) dengan luas permukaan. Secara matematika ditulis dalam bentuk:
𝜏 =𝐹𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟
𝐴 (2.1)
dengan:
𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁 𝑚2) 𝐹𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟 = gaya geser (𝑁)
𝐴 = luas permukaan (𝑚2)
2.2.1 Fluida Nano
Istilah fluida nano pertama kali digunakan oleh Choi (1995) yang didefinisikan sebagai pengenceran partikel berukuran nanometer (lebih kecil dari 100 nm) dalam suatu fluida (Das dkk, 2007). Fluida nano memiliki kelebihan dapat meningkatkan efektivitas konduktivitas termal dan meningkatkan viskositas fluida dasar. Fluida nano banyak digunakan di berbagai industri besar yang sangat membutuhkan peran perpindahan panas. Industri yang menggunakan fluida nano antara lain transportasi, pasokan energi, elektronik, tekstil, dan industri kertas.
Menurut Duncan dan Rouvray (1989) dalam Das dkk (2007), fluida nano dapat terbuat dari dua bahan, yaitu fluida dasar dan partikel nano. Fluida dasar berjenis cair yang dapat digunakan sebagai bahan dasar untuk membuat fluida nano diantaranya air, etilena glikol, dan minyak. Partikel nano pada umumnya terbuat dari logam yang secara kimia stabil, oksida logam atau karbon dalam berbagai bentuk. Partikel nano yang dapat digunakan dalam fluida nano, antara lain keramik oksida (Al2O3, CuO), keramik nitrida (AlN, SiN), keramik karbida (SiC, TiC), logam (Cu, Ag, Au), dan semikonduktor (TiO2).
10 2.2.2 Viskositas Fluida
Viskositas atau kekentalan adalah sifat dari fluida untuk melawan tegangan geser pada waktu bergerak atau mengalir. Viskositas disebabkan oleh adanya gesekan antar partikel (yang bergerak dengan kecepatan berbeda) pada suatu fluida. Contoh dari fluida kental, dimana mempunyai kekentalan besar adalah minyak, oli, dan sirup. Sedangkan air merupakan contoh dari fluida encer, dimana mempunyai kekentalan kecil. Hubungan viskositas, tegangan geser, dan gradien kecepatan dapat dirumuskan dari deskripsi aliran fluida diantara dua pelat seperti pada Gambar 2.1 di bawah ini.
Gambar 2.1 Aliran fluida diantara dua pelat datar
Gambar 2.1 mendeskripsikan dua pelat datar yang diletakkan secara sejajar (atas dan bawah) dengan luas masing-masing pelat adalah A dan jarak kedua pelat adalah b. Pada pelat bagian atas terdapat gaya yang bekerja yaitu F dan bergerak secara kontinu dengan kecepatan U dan pelat bagian bawah dalam keadaan diam (U = 0). Kecepatan fluida yang bergerak diantara dua pelat adalah 𝑢 = 𝑢(𝑦), dengan 𝑢(𝑦) =𝑈𝑦
𝑏 dan gradien kecepatan adalah Δ𝑢 Δ𝑦= 𝑈 𝑏. Jika Δ𝑦 → 0 maka diperoleh: d𝑢 d𝑦 = limΔ𝑦→0 Δ𝑢 Δ𝑦= limΔ𝑦→0 𝑈 𝑏 = 𝑈 𝑏
Dalam pertambahan waktu yang kecil 𝛿𝑡, garis PQ pada fluida akan berotasi sebesar sudut 𝛿𝛽 sehingga: 𝑡𝑎𝑛(𝛿𝛽) ≈ 𝛿𝛽 =𝛿𝑙 𝑏 (2.2) F P Q R U u b y dy du 𝛿𝛽 𝛿𝑙
11
karena 𝛿𝑙 = 𝑈𝛿𝑡, maka Persamaan (2.2) menjadi: 𝛿𝛽 =𝑈𝛿𝑡
𝑏 (2.3)
Persamaan (2.3) menunjukkan bahwa 𝛿𝛽 bergantung terhadap kecepatan U dan waktu 𝛿𝑡, sehingga dapat dihubungkan antara tegangan geser 𝜏 dengan perubahan 𝛿𝛽 yang didefinisikan sebagai laju regangan geser 𝛾̇ :
𝛾̇ = lim 𝛿𝑡→0 𝛿𝛽 𝛿𝑡 = 𝑈 𝑏 = 𝑑𝑢 𝑑𝑦
Selanjutnya, apabila tegangan geser meningkat dengan meningkatnya gaya geser (Persamaan (2.1)) maka laju regangan geser juga meningkat dengan peningkatan tegangan geser. Hal ini dinyatakan dalam bentuk:
𝜏 ∝ 𝛾̇ atau 𝜏 ∝ 𝜕𝑢
𝜕𝑦 (2.4)
Dari Persamaan (2.4) dapat diperoleh hubungan antara tegangan geser dan laju regangan geser (gradien kecepatan) untuk fluida biasa seperti air, minyak, dan udara yang dinyatakan dengan:
𝜏 = 𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑦 (2.5)
dengan:
𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁 𝑚2)
𝜇 = koefisien viskositas (kekentalan) fluida (𝑁𝑠 𝑚2) 𝜕𝑢
𝜕𝑦 = gradien kecepatan fluida (𝑠 −1) (Munson, 2003)
2.2.3 Fluida Newtonian
Fluida newtonian adalah suatu fluida yang tegangan geser dan laju regangan gesernya sebanding, artinya hubungan antara keduanya adalah linier (Fox dkk, 2004). Contoh umum dari fluida yang berkarakteristik newtonian adalah air dan udara. Sifat khusus dari fluida Newtonian adalah walaupun terdapat gaya yang
12
bekerja pada fluida maka fluida akan tetap mengalir. Hal ini karena viskositas dari fluida newtonian tidak berubah ketika terdapat gaya yang bekerja pada fluida. Viskositas dari suatu fluida newtonian hanya bergantung pada temperatur dan tekanan. Secara matematis persamaan dari fluida Newtonian dirumuskan dengan:
𝜏 = 𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑦 (2.6)
dengan:
𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁 𝑚2) 𝜇 = koefisien viskositas fluida (𝑁𝑠
𝑚2) 𝜕𝑢
𝜕𝑦 = gradien kecepatan fluida (𝑠 −1)
2.3 Perpindahan Panas Konveksi
Perpindahan panas konvektif atau lebih dikenal dengan konveksi merupakan perpindahan panas dari satu tempat ke tempat lain yang disebabkan oleh perbedaan temperatur dan menggunakan fluida sebagai penghantarnya. Laju perpindahan panas konveksi antara suatu permukaan benda padat dan fluida dapat dihitung dengan:
𝑞 = ℎ𝐴𝑆(𝑇𝑠− 𝑇∞) (2.7)
dengan:
q = laju perpindahan panas dengan konveksi (W) As = luas perpindahan panas (m2)
Ts = Temperatur permukaan benda padat (K)
T∞ = Temperatur fluida mengalir (K)
h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2K) (Incroperara, 1982)
Berdasarkan cara menggerakkan aliran fluida, konveksi dibedakan menjadi dua jenis, yaitu konveksi bebas (free convection) dan konveksi paksa (forced convection). Namun, pada perkembangannya dikenal juga konveksi campuran (mixed convection). Berikut ini adalah penjelasan mengenai ketiga konveksi tersebut.
13 2.3.1 Konveksi Bebas (Free Convection)
Konveksi bebas adalah perpindahan panas yang disebabkan oleh perbedaan suhu dan densitas saja dan tidak ada tenaga dari luar yang mendorongnya. Hal ini dapat terjadi karena ada arus yang mengalir akibat gaya apung, sedangkan gaya apung terjadi karena ada perbedaan densitas fluida tanpa dipengaruhi gaya dari luar sistem. Perbedaan densitas fluida terjadi karena adanya gradien suhu pada fluida. Contoh konveksi alamiah antara lain aliran fluida yang melintasi radiator panas.
2.3.2 Konveksi Paksa (Forced Convection)
Konveksi yang dipaksa adalah perpindahan panas aliran gas atau cairan yang disebabkan adanya tenaga dari luar. Konveksi paksa dapat pula terjadi karena arus fluida yang terjadi digerakkan oleh suatu peralatan mekanik (contoh: pompa dan pengaduk), jadi arus fluida tidak hanya tergantung pada perbedaan densitas. Contoh perpindahan panas secara konveksi paksa adalah pelat panas dihembus udara dengan kipas/blower.
2.3.3 Konveksi Campuran (Mixed Convection)
Konveksi campuran merupakan kombinasi dari aliran konveksi bebas dan aliran konveksi yang dipaksa. Konveksi campuran terjadi pada saat efek dari gaya alir pada konveksi bebas menjadi signifikan. Contoh konveksi campuran dapat dilihat pada saat asap timbul dari api (natural) dan pada saat bersamaan asap ditimbulkan oleh faktor eksternal seperti ledakan dari silinder gas (forced).
2.4 Lapisan Batas (Boundary Layer)
Konsep lapisan batas pertama kali dikemukakan pada tahun 1904 oleh Ludwig Prandtl, seorang ahli aerodinamika Jerman. Lapisan batas atau Boundary layer merupakan lapisan tipis pada permukaan padat tempat fluida mengalir. Dalam lapisan batas tersebut, pengaruh viskositas dan gaya inersia benda sangat berpengaruh. Contoh lapisan batas pada aliran viskos di sekitar airfoil ditunjukkan pada Gambar 2.2 berikut ini.
14
Gambar 2.2: Aliran fluida pada Airfoil (slideplayer.com)
Pada Gambar 2.2, terdapat tiga jenis aliran pada lapisan batas yang dihasilkan dari perbandingan gaya-gaya inersia dengan viskositasnya, yaitu aliran laminar, aliran transisi, dan aliran turbulen (Widodo, 2012). Aliran laminar terjadi pada saat partikel-partikel zat cair bergerak teratur mengikuti lintasan yang saling sejajar. Aliran turbulen terjadi pada saat partikel-partikel zat cair bergerak secara acak atau tidak teratur. Sedangkan aliran transisi merupakan aliran yang terjadi antara aliran laminar dan aliran turbulen. Terjadinya masa transisi antara aliran laminar dan turbulen karena adanya perubahan viskositas dan kecepatan yang menyebabkan daya redam terhadap gangguan semakin berkurang hingga batas tertentu.
Terdapat titik stagnasi (titik yang kecepatan alirannya samadengan nol) pada setiap benda yang ditempatkan secara diam di dalam suatu fluida yang mengalir. Untuk benda yang simetris (seperti bola), titik stagnasi berada di ujung depan dari benda. Sedangkan pada Gambar 2.2, titik stagnasinya juga berada di bagian depan dari airfoil.
2.5 Bilangan Non-Dimensi
Bilangan non-dimensi (dimensionless number) merupakan suatu parameter yang tak memiliki satuan. Bilangan non-dimensi berguna untuk mengetahui kondisi atau karakteristik aliran fluida. Bilangan non-dimensi
15
bermanfaat pada metode eksperimen suatu sistem yang samadengan sistem lain namun dalam dimensi yang berbeda seperti pada model pesawat terbang, mobil, kapal laut dan sebagainya.
Berikut ini adalah beberapa bilangan tak berdimensi yang lazim digunakan pada bidang perpindahan kalor.
a. Bilangan Reynolds (Re)
Diperkenalkan pertama kali oleh Osbourne Reynolds (1842-1912) pada tahun 1883. Bilangan Reynolds (Re) merupakan perbandingan atau rasio antara gaya inersia dan gaya viskos yang digunakan untuk menentukan jenis aliran (laminar, turbulen, atau transisi). Bentuk persamaan dari bilangan Reynolds tersebut secara matematis ditulis:
𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐷
𝜇 (2.8)
dengan:
= massa jenis (kerapatan) fluida (kg/m3) V = kecepatan aliran fluida (m/s)
D = diameter pipa (m)
µ = viskositas dinamis fluida (𝑁𝑠 𝑚2)
Untuk nilai Re yang kecil, gaya viskos lebih dominan sehingga menciptakan jenis aliran laminar stabil, beraturan dan profil kecepatan konstan. Sementara nilai Re yang besar, timbul aliran turbulen yang fluktuatif, acak dan tak beraturan. Sedangkan aliran transisi merupakan suatu kondisi aliran peralihan yang membentuk laminar dan turbulen sehingga sulit untuk mendapatkan sifat-sifat aliran fluida. Hubungan antara bilangan Reynold dan kondisi aliran fluida ditunjukkan pada Tabel 2.1 di bawh ini.
Tabel 2.1 Kondisi Aliran Fluida
Kondisi Aliran Fluida Dalam Pipa
Laminar Re < 2300
Transisi 2300 < Re < 4000
16 b. Bilangan Prandtl (Pr)
Ludwig Prandtl mendefinisikan bilangan Prandtl sebagai bilangan tak berdimensi yang merupakan perbandingan antara viskositas kinematik dengan difusivitas thermal. Nilai dari parameter non dimensional Pr digunakan untuk menentukan distribusi temperatur pada suatu aliran. Persamaan dari bilangan Prandtl (Pr) adalah sebagai berikut:
𝑃𝑟 = 𝑣
∝ (2.9)
dengan:
= viskositas kinematik fluida (𝑚2 𝑠 ) = difusivitas thermal (𝑚2
𝑠 )
Pada umumnya nilai bilangan Prandtl (Pr) ditentukan menggunakan tabel sifat zat seperti pada Tabel 2.2 di bawah ini.
Tabel 2.2 Nilai Bilangan Prandtl untuk Fluida
Fluida Cair Pr
Logam cair 0,004 – 0,03
Gas 0,7 – 1,0
Air 1,7 – 13,7
Cairan organik ringan 5 – 50
Minyak 50 – 100.000
Gliserin 2000 – 100.000
c. Bilangan Grashof (Gr)
Bilangan Grashof (Gr) merupakan parameter non-dimensional yang dipandang sebagai sebuah ukuran kekuatan relatif gaya apung dan gaya kental. Persamaan dari bilangan Grashof (Gr) dituliskan sebagai berikut:
𝐺𝑟 =𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤− 𝑇∞)𝑎 3𝜌
𝑓2
17 dengan:
Gr = Bilangan Grashof
𝑔 = percepatan gravitasi (m/s2) 𝛽𝑓 = koefisien ekspansi panas (1/K) 𝑇𝑤 = temperatur permukaan silinder (K) 𝑇∞ = temperatur lingkungan (K)
𝑎 = jari-jari media (silinder) (m) 𝜌𝑓 = kerapatan fluida (Kg/m3)
𝜇𝑓 = viskositas dinamis fluida (Ns/m2)
2.6 Metode Beda Hingga Implisit Skema Keller-Box
Metode beda-hingga dengan skema Keller-Box merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan persamaan lapisan batas (boundary layer). Skema ini adalah bersifat implisit dengan akurasi order kedua dalam ruang dan waktu dan memungkinkan untuk sebarang ukuran langkah dari waktu dan ruang (nonuniform) (Al-Shibani, 2012).
Langkah-langkah untuk mendapatkan solusi dari metode Keller-Box adalah sebagai berikut.
1. Mereduksi persamaan dari sistem orde pertama.
2. Menulis persamaan beda-hingga dengan menggunakan bedapusat.
3. Melinierisasi persamaan aljabar yang dihasilkan (jika nonlinear), dan menuliskannya dalam bentuk matriks.
4. Menyelesaikan sistem linear dengan metode block-tridiagonal-elimination. Dalam skema Keller-Box, bentuk beda-hingga dari persamaan diferensial biasa dituliskan dari titik tengah (𝑥𝑛, 𝑦𝑗−1/2) segmen garis P1P2 dan bentuk bedahingga dari persamaan diferensial parsial dituliskan dari titik tengah (𝑥𝑛−1/2, 𝑦𝑗−1/2) persegipanjang P1P2P3P4 seperti pada Gambar 2.3 di bawah ini.
18
Gambar 2.3: Grid beda hingga skema Keller-Box
Aproksimasi dari persamaan 𝑢𝜕𝑇 𝜕𝑥=
𝑣 𝑃𝑟
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2 dengan metode Keller-Box adalah sebagai berikut (Cebeci dan Bradshaw, 1988):
𝑇𝑗𝑛− 𝑇𝑗−1𝑛 ℎ𝑗 =𝑃𝑗 𝑛+ 𝑃 𝑗−1𝑛 2 = 𝑃𝑗−1/2 𝑛 1 2( 𝑃𝑗𝑛− 𝑃𝑗−1𝑛 ℎ𝑗 + 𝑃𝑗𝑛−1− 𝑃𝑗−1𝑛−1 ℎ𝑗 ) = 𝑃𝑟 𝑣 𝑢𝑗−1/2 𝑛−1/2𝑇𝑗−1/2𝑛 − 𝑇𝑗−1/2𝑛−1 𝑘𝑛 (2.11) (2.6a) 2.7 Koordinat Silinder
Dalam beberapa persoalan hubungan diferensial dapat dijelaskan dengan koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat 𝑟, 𝜃, dan 𝑧. Koordinat 𝑟 adalah jarak radial dari 𝑧, 𝜃 adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu-𝑥 (dengan arah yang berlawanan perputaran jarum jam dianggap positif), dan 𝑧 adalah koordinat sepanjang sumbu-𝑧. Komponen-komponen kecepatan adalah kecepatan radial (𝑣𝑟), kecepatan tangensial (𝑣𝜃), dan kecepatan aksial (𝑣𝑧). Jadi kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai:
𝑉 = 𝑣𝑟𝑒̂𝑟 + 𝑣𝜃𝑒̂𝜃+ 𝑣𝑧𝑒̂𝑧 (2.12) y x xn-1 xn-1/2 xn yj-1/2 yj P3 P2 P1 P4 y0 = 0 Tidak diketahui Diketahui Pusat yj-1 kn hj
19
dengan: 𝑒̂𝑟, 𝑒̂𝜃, dan 𝑒̂𝑧 masing-masing adalah vektor satuan dalam arah 𝑟, 𝜃, dan 𝑧. Untuk fluida tak mampu-mampat aliran tunak (steady), kerapatan fluida (𝜌) konstan disuluruh medan aliran sehingga persamaan (2.12) menjadi:
1 𝑟 𝜕(𝑟𝑣𝑟) 𝜕𝑟 + 1 𝑟 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧 = 0 (2.13) (Widodo, 2012).
21
BAB 3
METODE PENELITIAN
Pada Bab ini dijelaskan tahapan-tahapan dalam penelitian yang dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian.
3.1 Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Sistem, Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
3.2 Tahapan Penelitian
a. Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dan studi literatur dari beberapa buku, tesis, jurnal, maupun artikel dari internet mengenai fluida nano, konveksi campuran, boundary layer, dan metode beda-hingga skema Keller-Box. b. Membangun Model Matematika
Pada tahap ini akan dibangun model aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengarih konveksi campuran dan pembangkit panas. Model yang dibuat adalah model pada lapisan batas di titik stagnasi. Langkah-langkah pembuatan model adalah sebagai berikut:
1). Penurunan hukum konservasi massa, hukum II Newton, dan hukum I termodinamika untuk mendapatkan persamaan pembangun.
2). Persamaan pembangun disederhanakan dengan menggunakan pendekatan Boussinesq dan teori lapisan batas sehingga diperoleh persamaan pembangun yang berdimensi (persamaan kontinuitas, momentum, dan energi) dengan pengaruh pembangkitan panas pada aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal. 3). Menentukan kondisi batas (boundary condition).
22
Pada tahapan ini, mentransformasi persamaan pembangun berdimensi kedalam bentuk persamaan dimensi dengan menggunakan parameter non-dimensi 𝜆 (konveksi campuran), Pr (bilangan Prandtl), Gr (bilangan Grashold), dan parameter Re (bilangan Reynolds). Selanjutnya, persamaan non-dimensi ditransformasi menjadi persamaan similaritas dengan menggunakan fungsi alir (stream function). Kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode Keller-Box dengan langkah-langkah sebagai berikut. Pertama, Diskritisasi model dengan menggunakan beda-hingga pusat. Kedua, Linierisasi persamaan yang didapat dengan metode Newton dan dibentuk dalam matriks vektor. Ketiga, Hasil linierisasi diselesaikan dengan teknik eliminasi matriks blok-tridiagonal.
d. Pembuatan Program
Pada tahapan ini dilakukan pembuatan program aliran fluida nano melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkitan panas menggunakan software Matlab R2012a.
e. Validasi
Validasi adalah usaha menyimpulkan apakah model sistem merupakan perwakilan yang sah dari realitas yang dikaji sehingga dapat dihasilkan kesimpulan yang meyakinkan (Widodo, 2012). Pada tahapan ini dilakukan validasi model matematika yang diperoleh dengan model yang telah dihasilkan dari penelitian Syafiatul Laila (2016) dengan judul “Aliran Konveksi Campuran yang Melewati Bola Berpori pada Fluida Nano”. Validasi dilakukan pada grafik profil kecepatan dan temperatur dengan menyamakan parameter-parameter yang digunakan. Parameter-parameter tersebut adalah parameter konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandt (𝑃𝑟), dan nanoparticle volume fraction (𝜒) dengan nilai 𝜆 = 2, 𝑃𝑟 = 7,7 dan 𝜒 = 0,1.
f. Simulasi Hasil
Dengan menggunakan program yang telah dibuat, dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter nanoparticle volume fraction (𝜒), konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), sumber panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan temperatur (T).
23 g. Analisis Hasil Simulasi
Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap perilaku model terhadap grafik yang dihasilkan dalam simulasi. Kemudian dilakukan penarikan kesimpulan terhadap penelitian yang telah dilakukan serta pemberian saran untuk perbaikan dan pengembangan penelitian selanjutnya.
h. Penulisan Paper dan Seminar
Setelah memperoleh beberapa hasil dari penelitian ini, kemudian dilakukan penulisan paper dan selanjutnya mengikuti seminar internasional. i. Penulisan Laporan Tesis
25
BAB 4
PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIKA
Pada Bab ini dibangun model matematika aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkitan panas. Model matematika dibangun dari penurunan hukum kekekalan massa, hukum II Newton, dan hukum I Termodinamika. Dari penurunan ketiga persamaan tersebut diperoleh persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan energi yang disesuaikan dengan deskripsi geometri dari permasalahan aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkitan panas yang diilustrasikan pada Gambar 4.1. Model yang diperoleh dalam bentuk model matematika berdimensi kemudian ditransformasikan ke dalam model matematika tak berdimensi dengan menggunakan variable dan parameter tak berdimensi. Selanjutnya model matematika tak berdimensi diubah menjadi persamaan similaritas dengan menggunakan fungsi alir dan variabel similaritas yang sesuai.
Gambar 4.1: Model fisik dan sistem koordinat untuk permasalahan aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal
Aliran Fluida dengan suhu T g a O 𝑥 𝑇𝑤 𝑈∞, 𝑇∞ 𝑦 𝑥 /a
26
Gambar 4.1 mendeskripsikan bahwa fluida mengalir dari bawah ke atas melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan jari-jari a dalam keadaan diam yang terendam pada fluida nano yang bersifat incompressible dan tunak (steady). Gerakan fluida tersebut disebabkan oleh bagian bawah fluida yang terkena panas secara alami dan secara paksa. Selanjutnya, fluida mengakibatkan perbedaan kerapatan sehingga menimbulkan gaya apung dan gaya tekanan yang menjadi signifikan. Kejadian ini biasa disebut konveksi campuran. Dalam penelitian ini, diasumsikan bahwa konstanta fluks panas dari silinder sirkular adalah konstan, kecepatan aliran bebas dan temperatur di sekitar silinder sirkular masing-masing adalah (𝑈∞) dan (𝑇∞). Aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder membentuk suatu lapisan batas dan dari lapisan batas tersebut dikonstruksi model matematika.
4.1 Persamaan Kontinuitas
Hukum kekekalan massa suatu sistem dinyatakan sebagai laju perubahan massa terhadap waktu dari suatu sistem tertutup adalah konstan. Secara matematis hukum kekekalan massa ditulis:
𝐷𝑀𝑠𝑦𝑠
𝐷𝑡 = 0 (4.1)
dengan massa sistem (Msys) dinyatakan dengan :
𝑀𝑠𝑦𝑠 = ∫𝑠𝑦𝑠𝜌𝑛𝑓𝑑∀ (4.2)
dengan 𝜌𝑛𝑓 adalah densitas fluida nano dan ∀ merupakan volume fluida nano. Selanjutnya, Persamaan (4.1) dan (4.2) dapat ditulis sebagai:
𝐷𝑀𝑠𝑦𝑠 𝐷𝑡 =
𝐷
𝐷𝑡∫𝑠𝑦𝑠𝜌𝑛𝑓𝑑∀= 0 (4.3)
Berdasarkan transformasi sistem untuk volume atur atau yang dikenal dengan teorema pengangkutan Reynolds, yaitu:
𝐷𝐵𝑠𝑦𝑠 𝐷𝑡 =
𝜕
27
dengan B adalah besaran dalam bentuk apa saja, misalkan momentum, energi, torsi, massa, dan sebagainya, sedangkan n adalah besaran B per satuan massa (𝑛 = 𝐵
𝑚). Dari Persamaan (4.4),
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌𝑐𝑣 𝑛𝑓𝑛𝑑∀ adalah jumlah besaran dalam volume kontrol, dan
∫ 𝜌𝑛𝑓𝑛 𝐕 . 𝐧̂ 𝑑𝐴 𝑐𝑠
jumlah besaran yang masuk dan keluar dari permukaan atur.
Dalam persamaan kontinuitas ini, besaran B = M (besaran massa) sehingga 𝑛 = 𝐵
𝑚= 𝑀
𝑚= 1. Maka Persamaan (4.3) dan (4.4) dengan n = 1 dapat disederhanakan menjadi:
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌𝑐𝑣 𝑛𝑓𝑑∀+ ∫ 𝜌𝑐𝑠 𝑛𝑓 𝐕 . 𝐧̂ 𝑑𝐴= 0 (4.5) dengan:
∫ 𝜌𝑐𝑠 𝑛𝑓 𝐕 . 𝐧̂ 𝑑𝐴= ∑ 𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− ∑ 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (4.6)
Misalkan volume atur yang digunakan adalah sebuah elemen kubus satuan dalam keadaan diam seperti pada Gambar 4.2 di bawah ini.
Pada Gambar 4.2, densitas fluida adalah 𝜌 yang terletak di pusat kubus dan komponen kecepatannya adalah u, v, dan w. Karena elemen kubus tersebut kecil,
28
maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur dapat dinyatakan sebagai:
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌𝑐𝑣 𝑛𝑓 𝑑∀= 𝜕𝜌𝑛𝑓
𝜕𝑡 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.7)
Selanjutnya untuk jumlah aliran massa pada permukaan elemen kubus pada volume aturdapat diperoleh dengan meninjau aliran pada setiap koordinat secara terpisah. Sebagai contoh, pada Gambar 4.3 diilustrasikan aliran pada arah x. Jika 𝜌𝑢 menyatakan komponen x dari laju aliran massa per satuan luas pada pusat kubus, maka persamaan pada permukaan kiri adalah :
𝜌𝑛𝑓𝑢|𝑥−𝛿𝑥 2 = 𝜌𝑛𝑓𝑢 − 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 𝛿𝑥 2 (4.8)
dan persamaan pada permukaan kanan adalah : 𝜌𝑛𝑓𝑢|𝑥+𝛿𝑥 2 = 𝜌𝑛𝑓𝑢 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 𝛿𝑥 2 (4.9)
Gambar 4.3: Sketsa aliran fluida masuk dan keluar volume atur
Selanjutnya, persamaan untuk jumlah aliran massa keluar ke arah x yaitu dengan cara mensubstitusikan Persamaan (4.8) dan Persamaan (4.9) ke Persamaan (4.6) kemudian mengalikan dengan 𝛿𝑦𝛿𝑧 sehingga diperoleh :
(𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑥=
𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)
29
Dengan cara yang sama didapatkan juga persamaan jumlah aliran massa keluar ke arah y yaitu :
(𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑦 =
𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)
𝜕𝑦 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.11)
dan persamaan jumlah aliran massa keluar ke arah z adalah : (𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑧 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)
𝜕𝑧 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.12) Selanjutnya, diperoleh jumlah aliran massa keluar dengan menjumlahkan Persamaan (4.10), (4.11), dan (4.12). ∑ 𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− ∑ 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣) 𝜕𝑦 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤) 𝜕𝑧 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 atau ∑ 𝑚̇𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟− ∑ 𝑚̇𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 = [𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤) 𝜕𝑧 ] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.13) Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.7) dan (4.13) ke Persamaan (4.5) diperoleh laju terhadap perubahan waktu dari massa sistem adalah:
𝜕𝜌𝑛𝑓 𝜕𝑡 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 + [ 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤) 𝜕𝑧 ] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 (4.14) Jika Persamaan (4.14) dibagi dengan 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧, maka Persamaan (4.14) menjadi:
𝜕𝜌𝑛𝑓 𝜕𝑡 + [ 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤) 𝜕𝑧 ] = 0 (4.15)
Persamaan (4.15) dapat ditulis dalam notasi vektor sebagai berikut (Munson dkk, 2003):
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝜌(∇ ∙ 𝐕) = 0 (4.16)
Dalam penelitian ini, aliran fluida diasumsikan bersifat tak mampu-mapat (incompressible) dengan 𝜌𝑛𝑓 konstan, maka Persamaan (4.16) menjadi:
∇ ∙ 𝐕 = 0 (4.17)
30 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 (4.18)
Karena dalam penelitian ini hanya dilakukan pada dimensi dua (w=0) maka Persamaan (4.18) menjadi: 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 0 (4.19) 4.2 Persamaan Momentum
Hukum II Newton atau biasa disebut persamaan momentum berbunyi bahwa jumlah gaya yang bekerja pada sistem sama dengan besar momentum yang berubah pada sistem. Secara matematis Hukum II Newton pada fluida nano dapat ditulis sebagai berikut:
𝐷
𝐷𝑡∫𝑠𝑦𝑠𝜌𝑛𝑓𝐕𝑑∀ = ∑ 𝐹 (4.20)
Persamaan (4.20) dapat ditulis dalam bentuk volume atur sebagai berikut: 𝜕
𝜕𝑡∫ 𝐕𝜌𝑐𝑣 𝑛𝑓 𝑑∀ + ∫ 𝐕𝜌𝑐𝑠 𝑛𝑓 𝐕 ∙ 𝐧̂ 𝑑𝐴 =∑ 𝐹 (4.21) dengan 𝐕 ∙ 𝐧̂ bentuk skalar yang terjadi disetiap luasan 𝑑𝐴. Bentuk integral permukaan atur menunjukkan flux momentum netto yang melewati permukaan atur fluida yang masuk maupun keluar volume atur (Munson dkk, 2003).
Berdasarkan penurunan persamaan kontinuitas yang telah diperoleh sebelumnya, maka dengan analogi yang sama, Persamaan (4.21) dapat dinyatakan dalam notasi vektor sebagai berikut:
𝜌𝑛𝑓[(𝜕𝐕
𝜕𝑡) + ∇ ∙ (𝐕 𝐕)] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑ 𝐹 (4.22)
Karena aliran fluida diasumsikan dalam keadaan tunak (steady), maka Persamaan (4.22) menjadi:
𝜌𝑛𝑓[∇ ∙ (𝐕 𝐕)]𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑ 𝐹 (4.23)
31 ∇ ∙ (𝐕 𝐕) = (𝐕 ∙ ∇)𝐕 + (𝐕(∇ ∙ 𝐕))
dan karena ∇ ∙ 𝐕 = 0 (Persamaan (4.17)), maka Persamaan (4.23) menjadi:
𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑ 𝐹 (4.24)
dengan ∑𝐹 menunjukkan komponen gaya-gaya yang bekerja pada permukaan silinder sekunder horizontal. Komponen gaya-gaya tersebut yaitu, gaya permukaan, dan gaya gravitasi sehingga Persamaan (4.24) menjadi:
𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 𝐅𝑝+ 𝐅𝑔 (4.25)
dengan 𝐅𝑝 adalah gaya permukaan, 𝐅𝑔 adalah gaya gravitasi. Karena yang diteliti pada arah sumbu x dan y maka persamaan (4.25) menjadi:
𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦 = 𝐅𝑝+ 𝐅𝑔 (4.26)
Ruas kiri pada Persamaan (4.26) dapat diuraikan sebagai berikut: (𝐕 ∙ ∇)𝐕 = ((𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂) ∙ (𝜕 𝜕𝑥𝑖̂ + 𝜕 𝜕𝑦𝑗̂)) (𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂) = 𝑢 𝜕 𝜕𝑥(𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂) + 𝑣 𝜕 𝜕𝑦(𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂) = (𝑢𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦) 𝑖̂ + (𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦) 𝑗̂ (4.27) Ruas kanan pada Persamaan (4.26) dapat diuraikan sebagai berikut.
Gaya permukaan (𝐅𝑝) didefinisikan dengan: 𝐅𝑝 = 𝐅𝑝𝑥𝑖̂ + 𝐅𝑝𝑦𝑗̂ 𝐅𝑝 = (𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝑦 ) 𝑖̂ + ( 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 ) 𝑗̂ (4.28)
Karena pada penelitian ini fluida yang digunakan adalah fluida nano jenis Newtonian tak mampu mampat, maka tegangan berbanding lurus terhadap laju deformasi yang dinyatakan sebagai berikut:
Tegangan normal 𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 2𝜇𝑛𝑓𝜕𝑢 𝜕𝑥 (4.29a) 𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 2𝜇𝑛𝑓 𝜕𝑣 𝜕𝑦 (4.29b)
32 Tegangan geser 𝜏𝑥𝑦= 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇𝑛𝑓(𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥) (4.30)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.29a), (4.29b), dan (4.30) pada Persamaan (4.28) maka diperoleh persamaan untuk gaya permukaan sebagai berikut: 𝐅𝑝 = [(−𝜕𝑝 𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2)) 𝑖̂ + (− 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2)) 𝑗̂] 4.31) Gaya gravitasi (Fg) didefinisikan dengan:
𝐅𝑔 = 𝜌𝐠
Karena aliran yang melalui permukaan silinder sirkular berlawanan arah dengan arah gravitasi, maka gaya gravitasi didefinisikan dengan 𝐠 = (−𝑔𝑥, −𝑔𝑦, 0). Sehingga gaya gravitasi (Fg) dapat dituliskan dengan:
𝐅𝑔= −𝜌𝑔𝑥𝑖̂ − 𝜌𝑔𝑦𝑗̂ (4.32)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.27), (4.31), dan Persamaan (4.32) terhadap Persamaan (4.26) kemudian mengelompokkan vektor i untuk sumbu- x dan vektor j untuk sumbu-y maka didapatkan persamaan momentum sumbu-x dan persamaan momentum sumbu-y sebagai berikut:
Persamaan Momentum sumbu-x 𝜌𝑛𝑓(𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) − 𝜌𝑔𝑥 (4.33) Persamaan Momentum sumbu-y
𝜌𝑛𝑓(𝑢𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2) − 𝜌𝑔𝑦 (4.34)
Dalam penelitian ini, diberikan pengaruh aliran konvektif campuran sehingga tekanan p pada Persamaan momentum (4.33) dan (4.34) merupakan kombinasi dari tekanan hidrostatik (ph) dan tekanan dinamik (pd). Dengan
33
𝑝 = 𝑝ℎ+ 𝑝𝑑 (4.35)
Tekanan hidrostatis (ph) merupakan tekanan yang berasal dari fluida di
sekitar silinder sirkular dengan medan gravitasi:
∇𝒑ℎ = 𝜌∞𝒈 (4.36)
dengan 𝜌∞ adalah densitas dari fluida di sekitar silinder sirkular (ambient fluid). Misalkan gaya gravitasi didefinisikan dengan 𝒈 = (−𝑔𝑥, −𝑔𝑦, 0) maka gradient dari tekanan adalah
𝜕𝑝ℎ
𝜕𝑥 = −𝜌∞𝑔𝑥, 𝜕𝑝ℎ
𝜕𝑦 = −𝜌∞𝑔𝑦
Sehingga turunan tekanan p pada Persamaan (4.36) terhadap sumbu-x dapat ditulis sebagai berikut: −𝜕𝑝 𝜕𝑥= − 𝜕𝑝𝑑 𝜕𝑥 − 𝜕𝑝ℎ 𝜕𝑥 = − 𝜕𝑝𝑑 𝜕𝑥 + 𝜌∞𝑔𝑥 (4.37)
dengan cara yang sama, turunan tekanan p terhadap sumbu-y dapat ditulis sebagai berikut:
−𝜕𝑝 𝜕𝑦 = −
𝜕𝑝𝑑
𝜕𝑦 + 𝜌∞𝑔𝑦 (4.38)
Substitusikan Persamaan (4.37) ke Persamaan (4.33) sehingga diperoleh persamaan momentum pada sumbu-x berikut ini:
𝜌𝑛𝑓(𝑢𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) + (𝜌∞− 𝜌)𝑔𝑥 (4.39) Substitusikan Persamaan (4.38) ke Persamaan (4.34) sehingga diperoleh persamaan momentum pada sumbu-y berikut ini:
𝜌𝑛𝑓(𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2) + (𝜌∞− 𝜌)𝑔𝑦 (4.40) Menurut pendekatan Boussinesq, semua variabel yang berpengaruh dalam persamaan momentum diabaikan kecuali densitas (kerapatan). Pendekatan ini
34
diterapkan pada persamaan (4.39) dan (4.40), digunakan untuk mendekati perbedaan densitas yang disebabkan oleh adanya perbedaan temperatur karena pengaruh konveksi campuran yaitu gaya apung. Menurut Leal (1992), diasumsikan bahwa nilai maksimum dari (𝑇 − 𝑇∞) kecil, sehingga nilai dari 𝜌∞
𝜌 dengan penerapan deret Taylor adalah :
𝜌∞
𝜌 = 1 + 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞) + 𝒪(𝑇 − 𝑇∞)
2 (4.41)
Dengan menghilangkan bagian yang berorder tinggi, maka Persamaan (4.41) menjadi:
𝜌∞
𝜌 = 1 + 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞) 𝜌∞
𝜌 − 1 = 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞) (4.42)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.42) ke Persamaan (4.39) dan (4.40), maka masing-masing diperoleh persamaan momentum:
Persamaan momentum arah sumbu-x: (𝑢𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦) = − 1 𝜌𝑛𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓 𝜌𝑛𝑓( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) + 𝛽𝑛𝑓 𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑥 (4.43) Persamaan momentum arah sumbu-y:
(𝑢𝜕𝑣 𝜕𝑥+ 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦) = − 1 𝜌𝑛𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓 𝜌𝑛𝑓( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2) + 𝛽𝑛𝑓 𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑦 (4.44) dengan: 𝜌𝑛𝑓 = (1 − 𝜒)𝜌𝑓+ 𝜒𝜌𝑠 ; 𝛽𝑛𝑓 = 𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓 𝜇𝑛𝑓 = 𝜇𝑓 1 (1 − 𝜒)2.5 4.3 Persamaan Energi
Dalam penelitian ini, fluida diasumsikan mengalir dari bawah ke atas dan gerakan fluida dipengaruhi oleh konveksi campuran. Hal ini memenuhi hukum pertama Termodinamika, yaitu laju perubahan terhadap waktu dari energi yang tersimpan dari suatu sistem sama dengan jumlah dari laju netto dari pertambahan perpindahan energi dari kalor ke dalam sistem dengan laju netto dari pertambahan
