UJIAN AKHIR SEMESTER UJIAN AKHIR SEMESTER
MATA KULIAH : PENGANTAR FISIKA STATISTIK MATA KULIAH : PENGANTAR FISIKA STATISTIK
1.
1. Jelaskan secara singkat beberapa konsep :Jelaskan secara singkat beberapa konsep : (a)
(a) Ruang faseRuang fase (b)
(b) MakrostateMakrostate (c)
(c) MikrostateMikrostate
(d)
(d) Peluang ThermodinamikaPeluang Thermodinamika (e)
(e) EntropyEntropy
2.
2. Buktikan BahwaBuktikan Bahwa ln W = N ln N -ln W = N ln N - Ni ln NiNi ln Ni 3.
3. Buktikanlah bahwaBuktikanlah bahwaln Niln Ni NiNi 4.
4. Buktikan Buktikan bahwa bahwa !! 5.
5. Buktikanlah bahwa energy internal system diberikan oleh:Buktikanlah bahwa energy internal system diberikan oleh:
dT dT Z Z d d NkT NkT U U
22 lnln 6.6. Buktikan bahwa S = k lnBuktikan bahwa S = k ln W = Nk ln Z + kβUW = Nk ln Z + kβU 7.
7. Misalkan dalam suatu ruang fase terdapat tiga bMisalkan dalam suatu ruang fase terdapat tiga buahuah cell cell : 1, 2, dan 3. Ambilah: 1, 2, dan 3. Ambilah N N = 30,= 30, N N 11== N N 22==
N
N 33 = 10, dan= 10, dan W W 11 = 2 Joule,= 2 Joule, W W 22= 4 Joule,= 4 Joule, W W 33 = 6 joule. Jika= 6 joule. Jika N N 33 = -2, carilah= -2, carilah N N 11,, N N 22
sedemikian sehingga
sedemikian sehingga N N = 0 dan= 0 dan U U = 0.= 0. 8.
8. Sebuah ruang fase terdiri dariSebuah ruang fase terdiri dari 55
101055 cell dan ke dalam ruang fase didistribusikan 10cell dan ke dalam ruang fase didistribusikan 1066 partikel.partikel. Energi wEnergi w11adalah sama untuk semua cells. Tentukan peluang thermodinamika :adalah sama untuk semua cells. Tentukan peluang thermodinamika :
(a) Peluang distribusi yang sering muncul (a) Peluang distribusi yang sering muncul (b) Peluang distribusi yang paling kecil (b) Peluang distribusi yang paling kecil 9.
9. Misalkan dalam sebuah system terdapat N partikel dan ruang fase terdiri dari empat cell 1,2,3,Misalkan dalam sebuah system terdapat N partikel dan ruang fase terdiri dari empat cell 1,2,3, dan 4. Anggaplah energi w
dan 4. Anggaplah energi w11=0, w=0, w22 == //22, w, w33 == , w, w44 =3=3 //22..
Tentukanlah : Tentukanlah : (a)
(a) Distribusi partikel pada masing-masing cell, berikanlah interpretasi fisis untuk kasusDistribusi partikel pada masing-masing cell, berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
temperature sangat rendah dan sangat tinggi. (b)
(b) Energi internal system dan berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangatEnergi internal system dan berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
rendah dan sangat tinggi. (c)
(c) Entropi system berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah danEntropi system berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER FISIKA STATISTIK
1. Pengertian :
(a) Ruang fase
Ruang kecepatan menyatakan koordinat tentang titik-titik representatif per satuan volume di dalam ruang kecepatan. Meskipun keseluruhan argumen dapat diungkapkan dengan basis matematika murni, namun kebanyakan orang menggunakan cara geometri dan untuk mengungkapkan tiga koordinat posisi dan tiga koordinat kecepatan molekul untuk menentukan posisi sebuah titik di dalam ruang 6 dimensi (hyperspace) atau ruang fase. Jadi, ruang fase itu membicarakan titik-titik representatif dalam tiga koordinat posisi dan tiga koordinat kecepatan dari molekul, seperti posisi molekul yang berlangsung dengan laju yang berhingga di dalam enam dimensi.
(b) Makrostate
Macrostate merupakan sifat-sifat makroskopik system yaitu sifat partikel yang dapat kita ketahui secara nyata (seperti tekanan, temperatur, volume, dan jumlah mol). Partikel- partikel yang terbedakan atau tidak, yang menyatakan spesifikasi jumlah partikel Ni di
dalam masing-masing tingkat energi adalah merupakan "makrostate" dari system.
(c) Mikrostate
Microstate dari suatu sistem merupakan sifat microskopis yang dimiliki partikel dimana posisi dan kecepatan setiap setiap partikel. spesifikasi lengkap untuk masing-masing
molekul dari sistem menyatakan mikrostate dari suatu system.
(d) Peluang Thermodinamika
Jumlah mikrostate yang berkaitan dengan makrostate tertentu. Jumlah mikrostate yang berkaitan dengan makrostate tertentu disebut peluang (probabilitas) thermodinamika dari makrostate dan dinyatakan dengan W. Secara umum W adalah bilangan yang sangat besar.
(e) Entropy
Pada sistem tertutup di mana terjadi keseimbangan maka entropinya akan maksimum. Jika sistem tidak seimbang maka akan terjadi perubahan dalam sistem sampai entropi maksimum tercapai. Jadi, di dalam keadaan seimbang baik entropi dan peluang thermodinamika mempunyai harga maksimum, yang mana akan dapat digunakan sebagai dasar memprediksi korelasinya. Kita mengasumsikan bahwa entropi sebanding dengan
logaritma probabilitas thermodinamika. Di dalam ekspansi adiabatik reversibel dari gas, volume bertambah tetapi temperatur berkurang. Entropi yang tersisa adalah konstan, dengan demikian ketidakteraturan juga tetap. Peningkatan ketidakteraturan sebagai akibat penambahan volume dikompensasi dengan penurunan ketidakteraturan akibat dari pemancaran kecepatan yang lebih kecil pada suhu yang lebih rendah. Menurut hukum thermodinamika, proses ini hanya dapat terjadi di dalam sistem tertutup untuk entropi yang membesar atau di dalam limit yang tersisa konstan. Setiap proses di mana entropi akan berkurang merupakan sesuatu yang dilarang. Kita lihat bahwa penjelasan statistik menginterpretasikan entropi merupakan pernyataan dogmatis yang harus dimodifikasi. Misalkan sebuah sistem dalam keadaan peluang thermodinamika maksimum atau entropi maksimum. Keadaan ini bukanlah statis karena perubahan kontinu titik fase di dalam ruang fase. Kadang-kadang sebuah keadaan akan menghasilkan peluang dan juga entropi kurang dari harga maksimum. Perubahan kecil lebih mungkin daripada perubahan besar, namun perubahan besar tersebut tidak mungkin.
2. Perumusan ln W = N ln N - Ni ln Ni merupakan persamaan kemungkinan susunan makrostate dalam cell i. Berdasarkan kemungkinan termodinamika W, maka:
! ! Ni N W
Jika kedua ruas di ln-kan maka diperoleh:
! ln ! ln ln ! ! ln ln Ni N W Ni N W
Berdasarkan persamaan sterling, ln x! = x ln x – x, sehingga persamaan diatas menjadi: ln W =( N ln N – N ) - ( Ni ln Ni – Ni)
= N ln N – N - Ni ln Ni + Ni = N ln N – N - Ni ln Ni + N
= N ln N - Ni ln Ni (TERBUKTI )
3 Pembuktian bahwa Ni Ni adalah perubahan waktu dan titik fase didalam cell dari ruang fase menyebabkan Ni juga berubah. Jika sistem dalam keadaan peluang termodinamika maksimum, W0 variasi ini muncul dari variasi Ni. (variasi Ni = 0) menyatakan perubahan kecil yang muncul dari gerak kontinu titik fase didalam ruang fase.
Menurut persamaan: ln W = N ln N - Ni ln Ni
ln W akan berubah jika turunan persamaan ln W = 0, sehingga:
ln W 0 = N ln N - Ni ln Ni = 0 - Ni ln Ni
Ni ln Ni = 0
Ni ln Ni + ln Ni Ni=0
dengan: Ni ln Ni = Ni.1 / Ni. Ni = Ni = Ni = N = 0 Jadi 0 + ln Ni Ni = 0
ln Ni Ni = 0 (TERBUKTI )
4. Untuk membuktikan maka:
Jika Wmax atau ln W maksimum, maka didapat:
Sehingga didapatkan:
Akan sama artinya dengan:
Jadi,
Dari persamaan: , maka:
Persamaan ini disebut persamaan pokok dengan merupakan perubahan kecil. Karena
Maka
Persamaan ini merupakan persamaan syarat pertama untuk
Jika N adalah jumlah molekul gas terisolasi, maka energi dalam gas U akan konstan pula, karena N konstan.
Jika energi masing-masing molekul cell dan N i adalah W i sama dengan jumlah molekul atau jumlah phase poniknya maka dapat dituliskan:
Jika N i berubah, maka U berubah dan perubahan U dapat ditulis untuk U konstan.
Persamaan ini merupakan persamaan syarat kedua untuk Ni.
Dari persamaan pokok dan persamaan syarat pertama dan kedua dapat diterapkan metode perkalian tak tentu dari Lagrange dengan cara:
a. Kalikan persamaan syarat pertama
Dengan suatu konstanta yang besarnya – ln , Sehingga:
Dengan konstanta , Sehingga:
c. Jumlahkan hasi (a) dan (b) dengan persamaan pokok
Sehingga:
Sehingga:
Karena Ni bergantungan, maka dari harus sama dengan nol
Jika maka
Karena , maka:
5. Energy internal system dirumuskan dengan: U= N i W i
Jumlah titik dalam cell i dapat dinyatakan dengan T :
kT Wi Z N Ni expZ = exp (-Wi/kT)
Energi dalam U dari system menjadi: U = Ni Wi =
kT Wi Wi Z N exp Turunan Z terhadap T adalah:
kT Wi Wi kT dT dZ exp 1 2 Sehingga: dT Z NkT U T Z dZ NkT U dT dZ kT Z N U dT dZ kT Wi Wi kT kT Wi Wi Z N U dT dZ dT dZ kT Wi Wi Z N U ln 1 exp 1 exp exp 2 2 2 2
(TERBUKTI )6. Dalam system tertutup dimana terjadi keseimbangan entropinya akan maksimum. Persamaan Z = exp (- βWi) dapat menyatakan untuk N i dalam cell 1 dari phase space dimana molekul
statenya memiliki kemungkinan termodinamikanya (W) memiliki harga maksimum. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dalam system tertutup entropinya maksimum dan juga kemungkinan termodinamikanya juga maksimum.
Hubungan antara entropi (S) dan termodinamikanya (W) dapat ditulis: S = kW atau S = k ln W
Berdasarkan persamaan: S = k ln W
Ni =
Wi
ZN
expMaka nilai S dan W dapat dicari dengan cara: ln W = N ln N - Ni ln Ni = N ln N - Ni (ln N – ln Z – β Wi) = N ln N – ln N Ni + ln Z Ni + β Wi Ni Karena N i = N; W N i i = U ; Maka: ln W = N ln N - N ln N + N ln Z + βU ln W = N ln Z + βU sehingga : S = k ln W = k (N ln Z + βU) = k N ln Z + k βU Jadi terbukti bahwa; S = k ln W
= N k ln Z + kβU (TERBUKTI )
7. Diketahui:
Jumlah molekul total ( N ) = 30 Jumlah phase point cell 1 ( N 1) = 10
Jumlah phase point cell 2 ( N 2) = 10
Jumlah phase point cell 3 ( N 3) = 10
Energy molekul dalam cell 1 (W 1) = 2 Joule
Energy molekul dalam cell 2 (W 2) = 4 Joule
Energy molekul dalam cell 3 (W 3) = 3 Joule
N 3 = -2
Ditanya :
N 1, dan N 2 sedemikian sehingga N = 0 dan U = 0…………..?
Jawab:
Untuk N dan U yang konstan berlaku: a. N = N i = 0 ; i = 1,2,3
b. U = W i N i = 0 N = N i = 0 N 1 + N 2 + N 3 = 0 N 1 + N 2 – 2 = 0………(1) U = W i N i = 0 W 1 N 1 + W 2 N 2 + W 3 N 3= 0 2 N 1 + 4 N 2 + 6 (-2) = 0 2 N 1 + 4 N 2 - 12 = 0……….(2)
Untuk mencari N 1, dan N 2 maka digunakan metode eliminasi pada kedua persamaan
tersebut : N 1 + N 2 – 2 = 0 (
2) 2 N 1 + 2 N 2 – 4 = 0 2 N 1 + 4 N 2 - 12 = 0 (
1) 2 N 1 + 4 N 2 12 = 0 --2 N 2 + 8 = 0 N 2 = 2 8 N 2 = 4 Maka : N 1 + 4 – 2 = 0 N 1 = -2Jadi didapat bahwa: N 1 = -2 dan N 1 = -2
8. Diketahui :Cell sejumlah 5
105 cellRuang fase didistribusikan 106 partikel Energi w1adalah sama untuk semua cells
Ditanya :(a) Peluang distribusi yang sering muncul (b) Peluang distribusi yang paling kecil
kT w Z kT w n Z kT w Z n i exp 10 5 exp exp 5 1 2 10 . 5 10 n exp n exp exp 5 6
N N kT w kT w N kT w Z N N i i(a) Peluang termodinamika yang sering muncul
n i N N n N N 2 ! ! !
5 10 5 6 2 ! 10
N
5 10 5 2 5 2 . 2 ! 10 10
N(b) Peluang distribusi yang paling kecil In w = N In N -
NilnNi In w = -
NilnNi In w = n Niln Ni In w = 5
105.2ln2 Jadi In w = 106 ln106
5
105.2ln2 In w = 106 ln106
106.ln2 In w = 6.
106 ln10
106.ln2 In w = 6.
106 ln10
106.ln2In w = 106
6.ln10
ln2
w = ln 106
6.ln10
ln2
9. Diketahui :Jumlah Partikel = N
Ruang fase terdiri dari 4 cell = 1,2,3 dan 4 w1= 0
w2= /2
w3=
w4= 3 /2
Ditanyakan :
(a) Distribusi partikel pada masing-masing cell, berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
(b) Energi internal system dan berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
(c) Entropi system berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
Penyelesaian :
(a) Distribusi partikel pada masing-masing cell Fungsi partisinya adalah
Z= exp (-w /kT)i
Z= exp (-w1 /kT) + exp (-w2 /kT) + exp (-w3 /kT) + exp (-w4 /kT)
Z= exp (-0/kT) + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) Z= 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Jumlah partikel pada setiap cell adalah
Pada cell 1 Z N N
1 exp (- w1/kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 1 N N
exp (- 0/kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 1 N N
(1)/2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 1 N N
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) harganya sangat kecil sehingga
N N
N
1
1
Untuk temperature tinggi /k <<< T maka
/2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 1 N N
Pada cell 2 Z N N
2 exp (- w1/kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 N N
exp (- /2kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-exp . 2 N N
Untuk pada temperature rendah artinya /k >>> T maka N2 harganya sangat kecil
karena exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) sangat kecil . Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N2 cukup besar yaitu
/2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-exp . 2 N N
Pada cell 3 Z N N
3 exp (- w1/kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 3 N N
exp (- /kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /kT) (-exp . 3 N N
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka harga N3 harganya sangat
Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N3 cukup besar yaitu /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /kT) (-exp . 3 N N
Pada cell 4 Z N N
4 exp (- w1/kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 4 N N
exp (-3 /2kT) /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-3 exp . 4 N N
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka harga N3 harganya sangat
kecil karena exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) sangat kecil . Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N3 cukup besar yaitu
/2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-3 exp . 4 N N
Oleh karena itu pada temperature sangat rendah hampir seluruh partikel berada pada cell1 dan pada temperature sangat tinggi, partikel tersebar merata di setiap
cell.
(b) Energi internal system
Energi dalam system dirumuskan sebagai :
dT dZ Z NkT U . 2
. /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 ( 2 dT d NkT U
. /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp . 2 2
kT kT kT kT kT kT NkT U
/2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp 2 1 3 /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp 2 1 /kT) (-3 /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp 2 1 1 /2kT (-3 + /kT) (-+ /2kT) (-+ 0 /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp 2 1 1 /2kT (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 /2kT) (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 3 exp 2 3 exp 2 exp . 2 1 /2kT (-3 exp + /kT) (-exp + /2kT) (-exp + 1 2 kT kT kT kT T k N S kT kT kT T N k N S kT kT kT N T k N S kT kT kT N T In k N S kT kT kT kT kT kT NkT T In k N S T U Z In k N SUntuk temperature (T) rendah maka
kT N kT T N S 3 0 3Untuk temperature (T) tinggi maka
