BAB V
RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE)
5.1. Pembangkit Random Variate Diskrit
Suatu Random Variate diartikan sebagai nilai suatu random variate yang mempunyai distribusi tertentu. Untuk mengambil random variate dari beberapa distribusi yang berbeda-beda fungsinya harus terlebih dahulu melalui distribusi cummulative distribution function (CDF) dari suatu random variabel. Pengambilan random variate melalui CDF dikenal dengan istilah Inverse Transformation Method (Metode transformasi Invers).
Metode ini dapat dipergunakan untuk membangkitkan random variate baik dari data distribusi yang aktual terjadi maupun melalui berbagai teori distribusi probabilitas. Jika fungsi distribusi itu adalah diskrit maka prosedur yang diperlukan untuk membangkitkan random variate dari f(x) sbb:
a. Plot f(x) cari CDF dari random variate x
b. Pilih RGN dengan rumus RNG dari komputer untuk 0 < RGNi < 1untuk i = 1,2,..
c. Tempatkan RN yang diperoleh pada f(x) axis dan memotong fungsi diskrit melalui garis horizontal
d. Garis horizontal dari axis f(x) ini dapat memotong fungsi f(x) atau pada tempat yang tidak bersambung pada f(x)
e. Menurunkan garis dari titik potong pada fungsi f(x) yang diskontinue itu pada sumbu x sehingga diperoleh nilai dari x adalah random variate dari f(x)
Contoh :
Diketahui suatu random variate dinyatakan dengan f(x) sbb: X = demand 0 10 20 30 40 F(x) = P(X=x) 1/8 1/4 1/2 1/16 1/16 Tentukan berapa harga demand (x) terbaik !
Penyelesaian :
CDF fungsi Demand :
X = demand 0 10 20 30 40 F(x) = P(X=x) 1/8 1/4 1/2 1/16 1/16 F(x) 1/8 3/8 7/8 15/16 16/16
Tabel di atas menunjukkan apabila random number (RN) yang diamati dari komputer dan kemudian disusun dalam suatu tabel simulasi dari tabel diskrit distribusi maka diperoleh :
Tabel Simulasi dari Tabel Diskrit Distribusi
RNG Demand (x) F(x) Batas Nilai Hasil RN Komputer
0.0938 0 0.1250 0.0000-0.1250 0 0.6328 10 0.3750 0.1251-0.3750 20 0.8750 20 0.8750 0.3751-0.8750 20 0.4765 30 0.9375 0.8751-0.9375 20 0.9062 40 0.9999 0.9376-0.9999 30
Dari tabel di atas diperoleh demand (x) yang terbaik adalah 20.
5.2. Pembangkit Random Variate Kontinu
Membangkitkan random variate distribusi kontinu dapat dicontohkan melalui fungsi matematis.
Contoh fungsi matematis sbb :
2
0
1
0
)
(
x
untuk
x
lainnya
yang
x
untuk
x
F
Fungsi distribusi/matematis di atas harus dijadikan fungsi kumulatif dengan mengintegralkannya. 2 0 2 0 2 0
2
2
)
(
2
)
(
x
y
y
x
f
dy
y
x
f
x x x
Jika ingin membangkitkan random variate untuk nilai x maka akan ditransformasikan menjadi :
F(x) = x2 misal F(x) = R R = x2
X = √R
Misalkan a = 19; Z0 = 12357; C = 237; dan m = 128, tentukan X optimal dengan RNG
menggunakan LCG. i RNG = R X = √R 1 0,0938 0,3062 2 0,6328 0,7955 3 0,8750 0,9354 4 0,4765 0,6903 5 0,9062 0,9519 ∑X 3,6793 7359 , 0 5 6793 , 3
n X XJadi RNG dengan fungsi F(x) = X2 =R didapat X optimal = 0,7359 0 < X< 1
5.3. Random Variate Distribusi Densitas (Kepadatan)
Diketahui suatu fungsi densitas dengan rumus:
(
1
)
0
1
0
)
(
a
x
untuk
x
lainnya
yang
x
untuk
x
F
Kemudian di-integralkan untuk mendapatkan distribusi kumulatif.
)
2
(
)
2
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
2 0 2 0 0x
x
a
y
y
a
x
f
dy
y
a
dy
y
a
x
f
x x x
Cari nilai untuk fungsi densitas yaitu f(x) = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 1
) 2 ( 2 x x a = 1 → untuk x = 1 maka 2 1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 1 ) 2 1 1 ( 2 a a a a a a
Jika a = 2, maka random variabelnya : R R x R x x x x R a x x a R x F 1 1 2 4 4 2 0 2 2 2 ) 2 ( ) ( 12 2 2 2 i R =RNG X1=1 + √1-R X2 =1 - √1-R 1 0,0938 1,9519 0,0481 2 0,6328 1,6060 0,3940 3 0,8750 1,3536 0,6464 4 0,4765 1,7235 0,2765 5 0,9062 1,3063 0,6935
Contoh simulasi pada permainan :
Ada dua orang A dan B, akan bertanding lempar mata uang. Jika yang yang muncul lebih banyak gambar maka pertandingan akan dimenangkan oleh A dan sebaliknya jika yang banyak muncul adalah angka maka yang menang B. Mata uang yang digunakan mempunyai dua muka yang berarti kesempatan untuk menang dari A dan B adalah sama yaitu 50% : 50%. Tentukan siapa yang menang jika dilakukan sebanyak 10 x pelemparan dengan a=7; c=0; Z0=12357 dan m = 17.
Penyelesaian :
X Gambar Angka
F(x) = P(x) ½ ½
F(x) ½ = 0,5 2/2= 0,9999 Tag number 0,0000-0,5000 0,5001-0,9999
Untuk a=7; c=0; Z0=12357 dan m = 17 i Z RNG X 1 3 0,1765 gambar 2 4 0,2353 gambar 3 11 0,6470 angka 4 9 0,5294 angka 5 12 0,7059 angka 6 16 0,9411 angka 7 10 0,5882 angka 8 2 0,1176 gambar 9 14 0,8235 angka 10 13 0,7647 angka
Dari tabel diatas gambar : angka = 3 : 7 maka pertandingan tersebut dimenangkan oleh B.
5.4. Diskret Random Number
Suatu kasus kadang-kadang tidak perlu mencari interval yang tepat dari bilangan acak diantara dua bilangan probabilitas sehingga variabel acak yang dihasilkan nilai x yang sama maka hal itu mungkin dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu dari nilai 1, 2, 3, .., n yaitu dengan probabilitas P(x=k) = 1/n, untuk n = 1, 2, ..,n.
Dengan model yang terdapat dalam bentuk tag number simulation CDF didapat nilai-nilai dari x dengan rumus :
Jika x=k, k-1/n ≤U ≤ k/n k-1 ≤ nU ≤ k
X = Int (nU) + 1 ...(1) Dimana :
X = bilangan acak U= Random Number Int = integer n = bilangan 1, 2,.., n
Pembangkit variabel acak diskrit ini sangat penting dalam simulasi yang digunakan untuk berbagai persoalan distribusi diskrit yang belum diketahui.
Contoh :
Dalam menghitung rata-rata ingin memperkirakan
n i C C n i / ) ( 1
Dimana n = cukup besar dan C(i) untuk i = 1, 2, .., n.
Untuk mengatasi kesulitan dalam menguraikan hal ini, maka dapat menggunakan jika X adalah variabel acak yang uniform atas bilangan 1, 2, .., n sehingga akan diperoleh variabel acak C(x) yang akan menghasilkan rata-rata sbb:
C n i C I x P i C X C n i n i / ) ( ) ( . ) ( 1 1Jika dibangkitkan k diskret random uniform variabel Xi untuk i = 1, 2, .., k dan random
number µi dan Xi = Int (n µi) + 1 maka setiap dari k random variabel C(Xi) akan
diperoleh rata-rata = C
n i i k C Cx
1 ) ( ...(2) untuk Xi = Int (n µi) + 1 K = 1, 2, .., n C = rata-rata dari C(i)
Contoh :
Suatu bentuk simulasi dari pengambilan random number komputer sebanyak k kali dan dengan mendapatkan perkiraan dari
n i n
e
1 / 1 untuk n = 10 dan k = 5 Pertanyaan : 1. Perhitungan proksimasinya2. Perhitungkan juga rata-rata untuk RN 5 kali
Penyelesaian :
1. Diketahui i = 1, 2, .. , n untuk n = 10 Xi = Int (n µi) + 1
Maka dapat dirumuskan :
10 / 5 1 5 1 10 / ) ( xi i k i x
e
e
y
i
10 / 5 1 xi k i i i y e y y
Misalkan RNG untuk k = 5 sudah ada sbb : R1 = 0,5481; R2 = 0,5683; R3 = 0,4373; R4 = 0,8050; R5 = 0,6572, maka : i RNG=µ Xi = Int (n µi) + 1 Yi=exi/10 1 0,5481 6 1,8221 2 0,5683 7 2,0137 3 0,4373 5 1,6487 4 0,8050 9 2,4595 5 0,6572 8 2,2255 ∑yi = 10,1695
5 1 1695 , 10 k i i y y Rata-rata = Y = 10,1695/5 = 2,0339 Cara ke-2 :
5 1 10 / i i Ce
Y
k i n xik
e
Y
1 / ik
e
Y
n xi /
1 0,3664 2 0,4027 3 0,3297 4 0,4919 5 0,4415 Y 2,0302Ini berarti dari rata-rata penarikan RNG akan diperoleh Y
=2,0302
Bila menggunakan rumus (2) maka akan langsung diperoleh : i Yi = ei/10 1 (2,7182)1/10 = 1,1052 2 1,2214 3 1,3499 4 1,4918 5 1,6487 Yc = ∑ ei/10 = 6,8170
Ini menunjukkan dengan tidak menggunakan random number, diperoleh :
5 1 1695 , 10 k i i y y Yc = ∑ ei/10 = 6,8170 3,3525 → mendekati (RN) =2,0302dengan pengambilan random number yang cukup banyak akan mendekati pada ketepatan.
