Menjelaskan pengertian distribusi binomial, mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan

(1)

(2)

Tujuan Pembelajaran

q Menjelaskan pengertian distribusi binomial,

mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung

probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan

dan penyebaran distribusi binomial

q Menjelaskan pengertian distribusi Poisson,

mengidentifikasi eksperimen Poisson dan menghitung

probabilitas Poisson, menghitung ukuran pemusatan

dan penyebaran distribusi Poisson

q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas

variabel acak diskrit lainnya

q Menjelaskan sifat-sifat suatu distribusi normal,

menggunakan mean dan deviasi standard dari variabel

acak kontinyu yang terdistribusi secara normal untuk

mengubah nilai variabel acak menjadi skor standard

(3)

Tujuan Pembelajaran

q Menghitung probabilitas distribusi normal dan

menjelaskan hubungannya dengan luas daerah di

bahwa kurva probabilitas normal, Menentukan skor z

dari persyaratan probabilitas yang ditentukan

q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas

(4)

Pokok Bahasan

q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit

- Distribusi Binomial

- Distribusi Poisson

q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu

(5)

Eksperimen Binomial

q Suatu distribusi binomial dapat digunakan dengan

tepat dalam suatu eksperimen binomial

q Eskperimen Binomial:

q Setiap percobaan/trial, hanya dapat menghasilkan satu

dari dua hasil yang mungkin, sukses atau gagal

q Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas

gagal q = 1 - p selalu tetapdalam setiap percobaan (trial)

q Setiap percobaan/trial saling bebas secara statistik, yang

berarti hasil suatu percobaan tidak berpengaruh pada

hasil percobaan lainnya

q Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah

ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen

dimulai)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

(6)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Contoh 4.1:

Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen binomial:

q Suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah

jawaban alternatif, probabilitas banyaknya soal yang benar

dijawab oleh seseorang adalah eksperimen binomial dengan p =

1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit adalah jumlah

jawaban benar, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

q Dalam suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis

mobil didapati bahwa 67 persennya memiliki jarak tempuh lebih

dari 400 ribu kilometer sampai harus turun mesin (overhaul)

yang pertama kalinya. Dua belas mobil jenis yang bersangkutan

dipilih secara acak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun

mesin diperiksa. Eksperimen diatas adalah eksperimen binomial

dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12 dan variabel acak diskrit adalah

jumlah mobil yang dapat menempuh jarak lebih dari 400 ribu

kilometer sebelum turun mesin pertama kali, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12

(7)

Probabilitas Binomial

q

Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan

(trial), dimana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p

adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, maka

probabilitas variabel acak X yakni banyaknya x sukses yang

terjadi pada n percobaan tersebut dapat dihitung dengan :

n

C

x

= kombinasi dari n obyek yang setiap kali dipilih x obyek

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

(

)

( )

_n

_x

x

n x

_n

_x

x

(1

)

n x

P X

=

x

=

p x

=

C p q

-

=

C p

-

p

-q

Distribusi kumulatif dari probabilitas binomial :

0

0 ( )

(1

)

x

k

n k

k

n k

n

k

n

k

F x

C p q

-

C p

p

-=

=

_å

=

_å

(8)

-Distribusi Probabilitas Variabel

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Contoh 4.2:

Distribusi probabilitas pada contoh 4.1 mengenai suatu kuis terdiri dari

5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, yang

merupakan suatu eksperimen binomial (p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan

variabel acak diskrit (X) adalah jumlah jawaban benar), dapat

ditentukan sebagai berikut:

( )

5 5 0 0 5 0 4 4 1 1 5 1 3 3 2 2 5 2 5! 3 3 1 1 ( 0) (0) 0, 2373 4 4 _0!5! 4 4 5! 3 3 1 1 ( 1) (1) 0, 3955 4 4 _1!4! 4 4 5! 3 3 1 1 ( 2) (2) 0, 2637 4 4 _2!3! 4 4 P X p C P X p C P X p C = = = = = = = = = = = = = = =

( )

2 2 3 3 5 3 1 1 4 4 5 4 0 0 5 5 5 5 5! 3 3 1 1 ( 3) (3) 0, 0879 4 4 _3!2! 4 4 5! 3 3 1 1 ( 4) (4) ₄ ₄ ₄ ₄ 0, 0146 4!1! 5! 3 3 1 1 ( 5) (5) 0, 0010 4 4 _5!0! 4 4 P X p C P X p C P X p C = = = = = = = = = = = = = = =

(9)

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

q Mean Aritmatika

(Nilai Harapan) :

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

( )

x

E X

np

m =

=

q Varians dan

Standard Deviasi :

q Kemencengan

(skewness) :

q Keruncingan

(kurtosis)

:

2 x

npq

x

npq

s

=

®

s

=

1 3 1

2 q

p

q

p

np

nq

n

npq

b

=

+

-

®

a

=

b

=

-2 4

1 6

3 pq

npq

b

=

a

=

-

+

(10)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Contoh 4.3:

Pada distribusi probabilitas dalam contoh 4.1 mengenai suatu kajian

tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil yang merupakan

eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12, diperoleh :

( )

(12)(0, 67)

8, 04

x

E X

np

m =

=

2

(12)(0, 67)(0, 33)

2,6532

1,6289

x x

npq

s

=

1

2 0, 33

0, 67

2

1 (12)(0, 67)

(12)(0, 33)

12 q

p

np

nq

n

b =

+

-

=

+

-

=

2

1 6

1 6(0, 67)(0, 33)

3

2 (12)(0, 67)(0, 33)

pq

npq

b

=

-

+ =

-

+ =

(11)

Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

q Pemeriksaan elemen-elemen benda manufaktur

q Dalam kebanyakan kasus, pemeriksaan menggunakan

dua kategori, rusak atau dapat diterima/dipakai

q Diasumsikan elemen-elemen benda kerja berasal dari

sebuah populasi yang:

Ø memiliki persentase bagian baik dan buruk yang

tetap

Ø persentase ini tetap sama pada waktu kita

mengambil sampel untuk diuji

ü populasi yang cukup besar

ü menggantikan setiap sampel yang terambil dengan

yang lainnya yang memiliki karakteristik serupa

selama kita melakukan pengambilan sampel

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

(12)

Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

q probabilitas mendapatkan x elemen baik dari batch

sampel sejumlah n adalah:

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

(

)

( )

_n

_x

x

n x

_n

_x

x

(1

)

n x

P X

=

x

=

p x

=

C p q

-

=

C p

-

p

-q

p = probabilitas

mendapatkan elemen

yang baik = 0,25

q

q = probabilitas

mendapatkan elemen

yang buruk = 1 – p = 0,75

q

n = jumlah elemen dalam

batch yang sedang diuji

(13)

Dalam praktek:

q nilai p yang sebenarnya tidak diketahui

q Perkirakan p berdasarkan data yang diperoleh dari jumlah

sampel yang terbatas

q Batas-batas interval kepercayaan untuk p telah dikaji dan

hasilnya telah dibuat dalam bentuk tabel-tabel (n < 30) dan

grafik-grafik (n ³ 30)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.

(14)

Eksperimen Poisson

q Distribusi Poisson digunakan dalam mengamati jumlah

kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu

satuan waktu atau ruang

q Suatu distribusi Poisson dapat digunakan dengan tepat

dalam suatu eksperimen Poisson :

q Eksperimen yang meliputi penghitungan/pencacahan

banyaknya kali suatu peristiwa terjadi dalam suatu satuan

waktu atau ruang yang ditentukan

q Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap

satuan waktu atau ruang

q Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam suatu satuan

waktu atau ruang saling bebas terhadap banyaknya

peristiwa yang terjadi pada suatu satuan waktu atau

ruang lainnya

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

(15)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

Contoh 4.4:

Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen Poisson:

q Banyaknya klaim asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu

perusahaan asuransi setiap tahunnya

q Banyaknya cacat pada permukaan sebuah panel lembaran

logam yang digunakan dalam produksi suatu satelit ruang

angkasa

q Banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada

kantor pelayanan darurat jalan tol

q jumlah yang rusak pada setiap 3000 meter pita pada jalur

manufaktur pita magnetik

(16)

Probabilitas Poisson

q

Dalam sebuah eksperimen Poisson, probabilitas

memperoleh dengan tepat peristiwa X sebanyak x kejadian

setiap satu satuan waktu atau ruang (jam, menit, meter

persegi, dll) dapat dihitung dengan rumus:

l =

laju kejadian (rata-rata banyaknya kejadian dalam satu

satuan waktu)

e = basis logaritma natural = 2,71828….

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

(

)

( )

!

x

e

P X

x

p x

x

l

-=

=

(17)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

Contoh 4.5:

Contoh yang mudah dijelaskan misalnya adalah pada peristiwa emisi

dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter.

Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita

hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju

rata-rata emisi m partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian

kita ingin memperkirakan probabilitas P(X=x) atau p(x) dapat

menghitung secara tepat x partikel dalam selang satu detik, fenomena

ini menunjukkan sangat mendekati model matematika Poisson.

Sebagai contoh, jika m = 3 maka probabilitas dengan tepat 5

partikel perdetik adalah

(

)

( )

!

x m

m e

P X

x

p x

x

-=

=

5 3

3 (243)(0, 0498)

(

5)

(5)

0,1008

5!

120 e

P X

p

-=

=

(18)

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

q Mean Aritmatika

(Nilai Harapan) :

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

q Varians dan

Standard Deviasi :

q Kemencengan

(skewness) :

q Keruncingan

(kurtosis)

:

( )

x

E X

m

=

l

2 x

x

s

=

l

®

s

=

l

1 3 1

1

1 b

a

b

l

=

®

=

2 4

1

3 b

a

l

=

+

(19)

Ilustrasi Distribusi Poisson di Bidang Teknik

q Pengendali yang akan menghentikan proses saat terjadi

cacat yang tidak normal (laju cacat tinggi), untuk

mengurangi jumlah sisa tak terpakai (scrap)

q Misal cacat terjadi secara acak dan secara rata-rata

terjadi 0,6 cacat untuk setiap 1000 meter produk

Ø Kondisi syarat untuk menghentikan proses

ü Menghentikan proses ketika tidak terjadi kecacatan

ü Tidak menghentikan proses ketika terjadi kecacatan

Ø Keuntungan dan kerugian menggunakan sampel

dengan ukuran tertentu

Ø Ukuran sampel yang terbaik yang harus digunakan

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

(20)

q Untuk kasus 1 atau lebih cacat, gunakan kurva berlabel x = 0:

q untuk proses normal, kita akan menemukan 1 atau lebih cacat

adalah sekitar 46 persen dari keseluruhan waktu

q Jika kriteria diubah menjadi 2, 3, dan 4 cacat atau lebih maka

proporsinya akan menjadi berturut-turut 13, 3, 0,4 persen dari

keseluruhan waktu

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

Acak Diskrit –

– Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

(21)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Diskrit

(22)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

q

Sifat-sifat histogram probabilitas variabel acak kontinyu:

q Luas daerah hc dari setiap batang adalah probabilitas

mendapatkan varibel acak dalam kelas interval yang

bersangkutan

q Jumlah seluruh luas daerah batang tersebut harus 1,00

(100 persen probabilitas bahwa variable didapatkan

antara nilai terendah dan tertinggi)

q Probabilitas dari setiap batang adalah persentase dari

nilai data yang berada di dalam kelas interval tersebut

Histogram Probabilitas

probabilitas mendapatkan variabel acak dalam kelas interval

lebar kelas interval,

h

c

(23)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

(24)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Fungsi Kepadatan Probabilitas

q

Eksperimen hipotetis yang mempersyaratkan dua hal yaitu :

q Variabel acaknya (dalam contoh di atas adalah breaking

stress) harus dapat diukur dengan ketelitian (resolusi)

yang kecil tak hingga (infinitesimal), artinya nilai yang

diukur memiliki jumlah angka penting yang tak terbatas

q Sampel yang diuji jumlahnya juga tidak terbatas

q

Lebar kelas interval dapat kecil sekali (jumlah kelas interval

semakin banyak), sehingga histogram yang berbentuk

seperti tangga akan menjadi sebuah kurva yang mulus

q

Kurva ini adalah kurva sebuah fungsi f dari variabel x, f(x).

Fungsi f(x) ini disebut fungsi kepadatan probabilitas

(probability density function/PDF)

q

Luas batang f(x)dx masih memiliki arti yang sama yakni

probabilitas mendapatkan x dalam kelas interval dx

(25)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Fungsi Kepadatan Probabilitas

q Jadi probabilitas mendapatkan x bernilai antara a dan b

adalah:

(

|

)

(

)

( )

b

a

P X a

<

x

<

b

=

p a

<

x

<

b

=

_ò

f x dx

q Jika diketahui PDF dari sebuah variabel acak f(x), maka

banyak perhitungan berguna yang dapat dilakukan:

(

|

)

(

)

( )

a

P X x

a

p x

a

f x dx

-¥

<

=

<

=

_ò

(

|

)

(

)

( )

b

P X x

b

p x

b

f x dx

¥

>

=

>

=

_ò

(

|

)

(

)

( )

1.0 P X

x

p

x

f x dx

¥ -¥

-¥ <

< ¥ =

-¥ <

< ¥ =

_ò

=

(26)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

(27)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Fungsi Kepadatan Probabilitas

q Untuk setiap PDF f(x) terdapat

sebuah fungsi terkait F(x) yang

disebut fungsi distribusi

kumulatif, yang didefinisikan

sebagai:

q Fungsi ini menyatakan

probabilitas bahwa x kurang dari

sebuah nilai tertentu:

ò

¥

-=

x

dx

x

f

x

F

(

)

(

)

(

)

( )

a x a

p

x

f x dx

-¥

-¥ <

£

=

_ò

(28)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Fungsi Kepadatan Probabilitas Teoritis

q Ketika mencari fungsi-fungsi matematik yang bisa dipakai

sebagai fungsi kepadatan probabilitas PDF, hanya ada

beberapa kriteria dasar yang harus dipenuhi:

q Fungsi f(x) yang ingin dijadikan PDF harus tidak negatif

(non-negative function)

q Fungsi f(x) harus berupa kurva yang baik yang sesuai

dengan data dalam praktek sebenarnya yang akan dikaji

q

q Setiap fungsi yang memenuhi persyaratan tersebut adalah

model matematik yang berguna dan potensial untuk menjadi

fungsi kepadatan probabilitas.

0 .

1 )

(

=

ò

¥ ¥

-dx

x

f

(29)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussian

q Distribusi yang paling penting dan paling biasa digunakan

sebagai model bagi data aktual à distribusi normal

2 2 ( ) (2 )

1 ( )

2

x x x x

f x

e

x

m s

s

p

-=

- ¥ <

< ¥

q Untuk setiap nilai

s

_x

dan

m

_x

:

Ø kurva fungsi simetris terhadap

m

_x

Ø memiliki total luas di bawah kurva tepat 1.0

Ø Nilai dari

s

_x

menentukan bentangan dari kurva sedangkan

m

_x

menentukan pusat (center)nya

Ø Kemencengannya (skewness) =

a

₃

=

b

₁

= 0

(30)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

(31)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

PDF Gaussian Standard

q Kurva PDF gaussian yang khusus dengan nilai mean,

m

= 0

dan

deviasi standar,

s

= 1

q Variabel acak dari PDF gaussian standard adalah satuan

standard deviasi dan didefinisikan sebagai skor z (z score):

q Dengan menggunakan variabel z fungsi PDF gaussian

standardnya menjadi

q Perhitungan probabilitas untuk distribusi gaussian apapun,

dapat dipermudah dengan menggunakan tabel gaussian

x x x

x

z

m

s

-=

2

/ 2

1 ( )

2

x

z

x

f z

e

p

-=

(32)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

(33)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

(34)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

Contoh 4.6:

Nilai tahanan yang pada sejenis rangkaian menunjukkan suatu

distribusi gaussian dengan mean 100 ohm dan deviasi standard 5

ohm :

Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih

secara random yang lebih besar dari 110 ohm adalah:

Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih

secara random yang bernilai antara 96,72 ohm dan 101,17 ohm adalah:

110 100

100,

5,

110

2

5 (

100)

(

2)

1 (

2) 1 0, 97725

0, 02275

2, 28%

x x x x x x x

x

z

P x

P z

m

s

-

-=

=

>

®

>

=

>

=

>

= -

£

= -

=

100,

5,

96, 72 100

96, 72 101,17

96,72

101,17

5

5 0, 656

0, 234

(96,72

101,17)

( 0, 656

0, 234)

0,5925 0, 2559

0, 3366

33, 66%

x x x x x

x

z

P

x

P

z

m

=

s

=

-

-£

£

®

£

®

-

£

=

-

£

=

-

=

(35)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu

Acak Kontinyu –

– Distribusi Gaussian

Distribusi Gaussian

Contoh 4.6 (lanjutan):

Nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara

random yang probabilitasnya meliputi 99,43 % dari seluruh rangkaian:

Jadi 99,43 % dari rangkaian memiliki nilai tahanan kurang dari 112,65

ohm.

(

)

99, 43%

0, 9943

2, 53

100 (2, 53)(5)

112, 65

x x x x x x x x

P z

a

z

x

z

m

x

m

z

s

£

=

®

=

-=

®

=

+

=

+

=

(36)

Distribusi Probabilitas Variabel

Acak Kontinyu