PRAKTIKUM ISYARAT DAN SISTEM
TOPIK 2
SISTEM LINEAR TIME-INVARIANT (LTI)
A. Tujuan
1. Mahasiswa dapat memahami sistem yang berbentuk LTI.
2. Mahasiswa dapat menganalisis suatu kasus sistem LTI dan mensimulasikannya dengan MATLAB.
3. Mahasiswa dapat memahami konsep konvolusi waktu diskrit maupun waktu kontinu dengan baik dan benar.
4. Mahasiswa dapat menggunakan konsep konvolusi untuk menganalisis suatu sistem waktu diskrit maupun waktu kontinu.
B. Dasar Teori
1. Konvolusi Waktu-Diskrit (Jumlah Konvolusi)
Suatu isyarat waktu diskrit secara umum dapat di-representasikan sebagai kombinasi linear dari deretan impuls yang tertunda. Kenyataan ini bersama sifat-sifat linear dan invariansi-waktu yang memungkinkan kita untuk mengembangkan karakterisasi yang sempurna dari setiap sistem LTI dalam lingkup tanggapan sistem terhadap unit impuls (tanggapan-impuls h[n]). Representasi ini biasa disebut jumlah-konvolusi.
Diagram kotak (Block Diagram) sistem LTI waktu-diskrit adalah sebagai berikut :
Hubungan isyarat masukan x[n], isyarat keluaran y[n] dan tanggapan impuls h[n] dapat ditulis dengan persamaan :
Isyarat masukan Isyarat keluaran
x[n] y[n] Tanggapan impuls h[n
]
k k n h k x n h n x n y[ ] [ ]* [ ] [ ]. [ ]2. Konvolusi Waktu-Kontinu (Integral-Konvolusi)
Proses konvolusi dalam waktu kontinu memiliki karakteristik yang sama dengan sistem waktu diskrit. Dimana masukan sistem x(t) dan keluaran sistem y(t) dihubungkan oleh tanggapan impuls h(t). Kombinasi linear dan invariasi waktu tentu memegang peranan penting dalam representasi sinyal keluaran y(t) terhadap masukan x(t). Representasi ini biasanya disebut integral-konvolusi.
Diagram kotak (Block Diagram) sistem LTI waktu-kontinu adalah sebagai berikut :
Hubungan isyarat masukan x(t), isyarat keluaran y(t) dan tanggapan impuls h(t) dapat dituliskan dengan persamaan :
Sifat-sifat dasar sistem LTI yang dapat digunakan untuk menganalisa sinyal waktu kontinu dan sinyal waktu diskrit adalah sebagai berikut :
1. Sifat komutatif 2. Sifat distributif 3. Sifat asosiatif
4. Stabilitas sistem-sistem LTI
5. Invertibilitas sistem-sistem LTI
6. Sistem-sistem LTI dengan dan tanpa memori 7. Tanggapan unit step sistem LTI
8. Kausalitas untuk sistem-sistem LTI
C. Petunjuk Praktikum
Cobalah setiap listing dan perintah lebih lanjut dari bagian ini sebagai persiapan dalam menjalani praktikum.
Isyarat masukan Isyarat keluaran
x(t) y(t)
Tanggapan impuls h(t)
1) Contoh Konvolusi Waktu-Diskrit (jumlah-konvolusi)
Diketahui isyarat masukan sistem dan tanggapan impuls, berturut-turut sebagai berikut: x1[n] = u[n] – u[n-5]
h1[n] = δ[n] - δ[n-1] + 3δ[n-2] + δ[n-4]
Jika isyarat x1[n] dimasukan pada sebuah sistem dengan tanggapan impuls h1[n], maka untuk
menghitung keluarannya y1[n] kita lakukan langkah di bawah ini:
1. Ubah x1[n] dan h1[n] dalam ranah waktu dengan variabel-bebas k, yaitu x1[k] dan h1[k]:
2. Ubah h1[k] menjadi h1[-k] , selanjutnya menjadi h1[n-k]:
3. Masukan nilai n agar h1[n-k] bertumpuk dengan x1[k].
Perhatikan bahwa setiap pemilihan nilai n < 0 maka h1[n-k] belum bertumpuk pada x1[k].
Misalnya saat n = -1 maka gambar x1[k] dan h1[n-k] seperti berikut:
0 ] 1 [ ) 0 )( 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 1 )( 0 ( ) 1 )( 0 ( ) 3 )( 0 ( ) 0 )( 0 ( ) 1 )( 0 ( ] 1 [ ] 1 [ ]. [ ] 1 [ y y k h k x y k
1 = y[0] ... + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) + (0)(-1) + (0)(3) + (0)(0) + (0)(1) + ... = y[0] ... + x[5].h[5] + x[4].h[4] + x[3].h[3] + x[2].h[2] + x[1].h[1] + x[0].h[0] + 1] x[-1].h[-+ 1] x[-1].h[-+ 2] x[-2].h[-+ 3] x[-3].h[-+ 4] x[-4].h[-+ ... = y[0] ] [ ]. [ ] 0 [ k k h k x y
Dengan cara seperti di atas, kita dapat memperoleh nilai y[n] selanjutnya, yaitu:
y[1] = 0 y[3] = 3 y[5] = 3 y[7] = 1
y[2] = 3 y[4] = 4 y[6] = 4 y[8] = 1
Perhatikan pula saat pemilihan nilai n > 8, maka h1[n-k] sudah tidak bertumpuk pada x1[k],
sehingga nilai y1[n] yang dihasilkan akan sama dengan 0.
Misalnya saat n = 9 maka gambar x1[k] dan h1[n-k] nya:
Jadi, y1[n] memiliki nilai saat 0 ≤ n ≤ 8, atau dengan kata lain kita dapat menyimpulkan bahwa
jangkauan nilai n yang membuat y1[n] bernilai tertentu (bukan nol) adalah:
Dalam kasus di atas, nilai y1[n] nya:
Dalam MATLAB terdapat fungsi conv untuk menghitung konvolusi dari 2 buah isyarat. Untuk kasus di atas, kita dapat menuliskan contoh program berikut:
x1=[1 1 1 1 1]; %atau bisa juga → x1=ones(1,5);
nx1=0:4; h1=[1 -1 3 0 1]; nh1=0:4; y1=conv(x1,h1); ny1=min(nx1)+min(nh1):max(nx1)+max(nh1); subplot(311);stem(nx1,x1);grid on;title('x1[n]'); subplot(312);stem(nh1,h1);grid on;title('h1[n]'); subplot(313);stem(ny1,y1);grid on;title('y1[n]');
2) Contoh Konvolusi Waktu-Diskrit (integral-konvolusi)
Diketahui isyarat masukan sistem dan tanggapan impuls, berturut-turut sebagai berikut: x(t) = 2 u(t) , untuk 4 ≤ t ≤ 6
h(t) = u(t) , untuk 0 ≤ t ≤ 4
t
Teknik penyelesaian konvolusi pada MALTAB di ranah waktu kontinu sangat berbeda dengan di ranah waktu diskrit. Jika isyarat x(t) dimasukan pada sebuah sistem dengan tanggapan impuls h(t), maka untuk menghitung keluaran sistem y(t) kita perlu melakukan pendekatan matematis terlebih dahulu, kemudian manfaatkan fungsi int yang disediakan MATLAB. Langkah-langkah pendekatan matematis ini sebagai berikut:
1. Ubah isyarat x(t) ke ranah waktu dengan variabel-bebas τ, sehingga: x(τ) = 2 u(τ), untuk 4 ≤ τ ≤ 6
2. - Ubah pula isyarat h(t) ke ranah waktu dengan variabel-bebas τ, sehingga: h(τ) = u(τ), untuk (0 ≤ τ ≤ 4).
- Kemudian ubah kembali h(τ) menjadi h(-τ), sehingga: h(-τ) = u(-τ), untuk (0 ≤ -τ ≤ 4) → (-4 ≤ τ ≤ 0).
- Dan pada akhirnya kita perlu mengubah ke bentuk h(t-τ), sehingga: h(t-τ) = u(t-τ), untuk (0 ≤ t-τ ≤ 4) → (t-4 ≤ τ ≤ t-0).
3. Kemudian kedua isyarat akan dikonvolusikan. Berbeda dengan konvolusi isyarat waktu diskrit dimana terkadang kita dapat memperkirakan nilai variabel bebas n berapa-pun sehingga mengetahui keluaran sistem y[n] dengan mudah, dalam proses perhitungan konvolusi waktu kontinu, untuk mengetahui keluaran sistem y(t) kita perlu menentukan 5 siklus konvolusi. Pendekatan 5 siklus ini sangat membantu kita membayangkan proses terjadinya tumpang-tindih antara sinyal x(τ) dan h(t-τ) dalam ranah waktu variabel-bebas τ. Berikut hasil konvolusi kedua sinyal dengan pendekatan 5 siklus tersebut:
Siklus sebelum isyarat h(t-τ) masuk kedalam kawasan x(τ) sehingga antara kedua isyarat tidak saling tumpang-tindih yaitu :
saat t < 4 maka y(t) = 0
Siklus setelah isyarat h(t-τ) memasuki sebagian kawasan x(τ) sehingga kedua sinyal saling tumpang-tindih sebagian yaitu:
Saat 4 ≤ t < 6 maka
Siklus setelah isyarat h(t-τ) memasuki penuh kawasan x(τ) sehingga kedua sinyal saling tumpang-tindih penuh yaitu:
Siklus setelah isyarat h(t-τ) mulai meninggalkan kawasan x(τ) sehingga kedua isyarat masih tumpang-tindih yaitu:
Saat 8 ≤ t ≤ 10 maka
Siklus sebelum isyarat h(t-τ) keluar seluruhnya dari kawasan x(τ), sehingga antara kedua isyarat tidak saling tumpang-tindih yaitu:
saat t > 10, maka y(t) = 0
note : Apabila salah satu isyarat memilik nilai amplitude yang lebih dari satu (bervariasi) pada setiap interval waktunya, pendekatan batas konvolusi ini bisa saja lebih dari 5 siklus. Untuk kasus di atas, kita dapat menuliskan contoh program berikut:
%membuat grafik tanggapan impuls sinyal h(t) h=ones(1,5); h1=zeros(1,4); h2=zeros(1,2); subplot(3,1,1); hold on; axis([-3 5 0 2]); t1=0:4; t2=-3:0; t3=4:5; plot(t1,h,'b');title('Tanggapan impuls'); plot(t2,h1,'b-');xlabel('t');ylabel('h(t)'); plot(t3,h2,'b-'); grid on; hold off;
%membuat grafik sinyal input x(t) subplot(3,1,2); x=2.*ones(1,3); x1=zeros(1,5); x2=zeros(1,5); hold on; axis([0 10 0 2]); t11=4:6; t22=0:4; t33=6:10; plot(t11,x,'b');title('Masukan'); plot(t22,x1,'b');xlabel('t');ylabel('x(t)'); plot(t33,x2,'b-'); grid on; hold off;
%membuat grafik konvolusi x(t) dan h(t) subplot(3,1,3); syms t y u; hold on ezplot(0,[0 4]) y=int(2,u,4,t) ezplot(y,[4 6]); y=int(2,u,4,6); ezplot(y,[6 8]); y=int(2,u,t-4,6); ezplot(y,[8 10]); ezplot(0,[10 15]); axis([0 15 0 5]); grid on; y(t)
hint : ingat-ingat fungsi int pada praktikum topik 1 (gunakan menu HELP pada MATLAB).
