2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1

95 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Contoh: 1. Hitunglah a. :3 12 7 b. 8 3 : 5 c. :6 9 5 8 d. 3 1 2 : 14 Solusi: a. 36 7 3 1 12 7 3 : 12 7 _{  } c. 54 23 1 54 77 6 1 9 77 6 : 9 77 6 : 9 5 8      b. 3 1 13 3 40 3 8 5 8 3 : 5     d. 6 7 3 14 3 7 : 14 3 1 2 : 14    

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 2

5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3 orang anaknya dengan luas yang sama. Carilah luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing.

Solusi:

Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing =

5 4 1 5 9 3 1 5 27 3 : 5 2 5     hektar. a. Operasi Hitung pada Desimal

 Pecahan yang penyebutnya pangkat dari 10 dinamakan pecahan desimal. Contoh: 10 1 , 10 9 , 100 23 , 1000 89 , dan sebagainya.

 Pembacaan suatu desimal, angka-angkanya dinamakan tingkat (derajat). Maka 0,379 dibaca sebagai nol koma (atau desimal) tiga, tujuh, sembilan.

 Bilangan di belakang tanda koma dinamakan bilangan tempat desimal. Maka 2,561 mempunyai tiga tempat desimal dan 940,57 mempunyai dua tempat desimal.

1. Menyatakan Desimal dalam Pecahan Desimal Aturan:

Suatu desimal dinyatakan dalam pecahan desimal dengan menuliskan angka di depan koma ditambah angka di belakang koma sebagai pembilang dibagi 10 dipangkatkan banyaknya angka di belakang koma.

Contoh:

Tuliskan dalam pecahan desimal setiap desimal berikut ini.

a. 0,87 b. 0,0037 c. 6,019 Solusi: a. 100 87 87 , 0  b. 10000 37 10000 0037 0037 , 0   c. 1000 19 6 1000 019 6 019 , 6  

Jika pembilang dan penyebut dari suatu pecahan terdiri dari bilangan dengan tempat desimal yang sama, maka kita dapat menuliskannya tanpa tanda desimal.

Contoh: a. 456 75 456 075 56 , 4 75 , 0   b. 271875 32459 1875 , 27 2459 , 3  c. 69703 85400 9703 , 6 54 , 8  2. Penjumlahan dan Pengurangan pada Desimal

Penjumlahan dan Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan lebih cepat dengan cara bersusun.

96 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Tulis ke bawah bilangan-bilangan satu di bawah yang lain, penempatan koma decimal pada satu kolom. Bilangan sekarang dapat dijumlahkan atau dikurangkan seperti biasa.

Contoh: 1. Hitunglah 7,054 + 0,9 + 120,06 + 25 Solusi: Jadi, 7,054 + 0,9 + 120,06 + 25 = 153,014. 2. Hitunglah 96,4 – 27,053 Solusi:

Kita tulis dua angka nol di kanan 26,4, kemudian kurangkan seperti pada kasus bilangan bulat.

Jadi, 96,4 – 27,053 = 69,347 3. Perkalian pada Desimal

1) Pada Perkalian dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya Aturan:

Pindahkan tempat koma desimal ke kanan sebanyak nol dari pengalinya. Contoh:

Hitunglah

a. 48,057 × 100 b. 83,45 × 1000 Solusi:

a. 48,057 × 100 = 4805,7 b. 83,45 × 1000 = 83450 2) Pada Perkalian dengan Bilangan Cacah

Aturan:

Perkalian seperti pada kasus bilangan bulat. Tanda koma desimal diletakkan pada hasil kalinya dari belakang dengan menghitung angka-angkanya sebanyak jumlah angka-angka bilangan desimal dari bilangan-bilangan semula.

Contoh: Hitunglah

a. 3,6 × 14 b. 0,8 × 17 c. 0,008 × 17 d. 0,00008 × 17 Solusi:

a. Langkah 1: 36 × 14 = 504

Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada satu tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai satu tempat desimal.

Jadi, 3,6 × 14 = 50,4. b. Langkah 1: 8 × 17 = 136

Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada satu tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai satu tempat desimal.

7,054 0,9 120,06 25 153 ,014

+

96,400 27,053 69,347



97 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, 0,8 × 17 = 13,6.

c. Langkah 1: 8 × 17 = 136

Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada tiga tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai tiga tempat desimal.

Jadi, 0,008 × 17 = 0,136. d. Langkah 1: 8 × 17 = 136

Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada lima tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai lima tempat desimal.

Jadi, 0,00008 × 17 = 0,00136. 3) Pada Perkalian Desimal dengan Desimal

Aturan:

Perkalian seperti pada kasus bilangan bulat. Tanda koma desimal diletakkan pada hasil kalinya dari belakang dengan menghitung angka-angkanya sebanyak jumlah angka-angka bilangan desimal dari bilangan-bilangan semula.

Contoh: Hitunglah

a. 0,87 × 0,09 b. 0,7362 × 0,25 Solusi:

a. Langkah 1: 87 × 9 = 783

Langkah 2: Jumlah tempat desimal adalah 2 + 2 = 4, maka hasil kalinya juga ada 4 tempat desimal. Tetapi di sana hanya ada tiga angka (digit) dalam hasil kalinya, maka kita tambahkan satu angka nol sebelum tempat desimal.

Jadi, 0,87 × 0,09 = 0,0783. b. Langkah 1: 7362 × 25 = 184050

Langkah 2: Jumlah tempat desimal adalah 4 + 2 = 6, maka hasil kalinya juga mempunyai 6 tempat desimal.

Jadi, 0,7362 × 0,25 = 0,184050 = 0,18405 4. Pembagian pada Desimal

1. Jika Pembaginya adalah 10, 100, 1000, dan seterusnya Aturan:

Pada pembagian decimal dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya, pindahkan tempat koma desimal 1, 2, 3, dan seterusnya masing-masing ke kiri.

Contoh: a. 756,9 : 10 = 75,69 b. 6,234 : 100 = 0,06234 c. 0,0007 : 1000 = 0,0000007 d. 567,921 : 1000000 = 0,000567921 e. 7,09 : 10000000 = 0,000000709 2. Jika Pembagi adalah Pecahan Desimal

Aturan:

1. Jika yang dibagi dan pembagi mempunyai desimal yang sama, maka koma desimalnya dapat dihilangkan.

Contoh: Hitunglah

98 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

a. 4 , 6 8 , 76 b. 9 , 1 6764 , 0 Solusi: a. 12 64 768 4 , 6 8 , 76 _{ } b. 0,356 19000 6764 9 , 1 6764 , 0 _{ }

2. Jika yang dibagi dan pembagi mempunyai desimal yang berbeda, maka koma desimalnya dapat dihilangkan dengan menambahkan angka nol di belakangnya yang sesuai.

Contoh: Hitunglah a. 0032 , 0 8 , 62 b. 0018 , 0 00351 , 0 Solusi: a. 19625 32 628000 0032 , 0 8 , 62 _{ } b. 1,95 180 351 0018 , 0 00351 , 0 _{ } b. Pembulatan Desimal

Pembulatan desimal adalah penentuan bilangan terdekat sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan atau membatasi tempat desimal (beberapa angka di belakang koma) sesuai kebutuhan.

Aturan Pembulatan:

 Jika angka yang dihilangkan paling kanan lebih dari atau sama dengan 5, maka tambahlah angka yang letaknya tepat di sebelah kiri dari angka ini dengan 1.

 Jika angka yang dihilangkan paling kanan kurang dari 5, maka angka yang letaknya tepat di sebelah kiri dari angka ini tidak berubah.

Contoh:

Bulatkanlah desimal-desimal berikut ini. a. 9,6581 (sampai satu tempat desimal) b. 75,0548 (sampai dua tempat desimal) c. 0,747474… (sampai tiga tempat desimal) d. 2,75458 (sampai empat tempat desimal) Solusi:

a. 9,6581 = 9,7 c. 0,747474 = 0,747 b. 75,0548 = 75,05 d. 2,75458 = 2,7546 c. Menaksir Operasi Hitung Pecahan

1. Menaksir Jumlah dan Selisih Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh:

Taksirlah nilai n dari operasi berikut ini. a. 4 1 5 8 7 8  b. 6 5 159 3 1 208  Solusi:

a. Taksiran rendah untuk n adalah 8 + 5 = 13. Taksiran tinggi untuk n adalah 9 + 6 = 15. Jadi. 13 < n < 15.

Taksiran yang baik:

Bilangan cacah terdekat ke 8 7

99 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Bilangan cacah terdekat ke

4 1

5 adalah 5. Jadi, n kira-kira 9 + 5 = 14.

b. Untuk menentukan taksiran itu digunakan kelipatan 10 yang dekat dengan bilangan-bilangan itu. Jadi, n kira-kira 210 + 160 = 370.

2. Menaksir Hasil Kali Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh:

Taksirlah nilai n dari operasi berikut. a. 3 1 5 5 3 12  b. 9 8 59 8 3 149  Solusi:

a. Taksiran rendah untuk n adalah 12 × 5 = 60. Taksiran tinggi untuk n adalah 13 × 6 = 78. Taksiran yang baik:

Bilangan cacah terdekat ke 5 3

12 adalah 13. Bilangan cacah terdekat ke

3 1

5 adalah 5. Jadi, n kira-kira 13 × 5 = 65.

b. Taksiran yang baik adalah 150 × 60 = 9.000.

3. Menaksir Hasil Bagi Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh:

Taksirlah nilai n dari operasi berikut. a. 4 1 5 : 40 33 85 b. 10 6 19 : 10 7 207 Solusi:

a. Taksiran rendah untuk n adalah 85 : 5 = 17. Taksiran tinggi untuk n adalah 86 : 6 =

3 1 14 Taksiran yang baik:

Bilangan cacah terdekat ke 40 33

85 adalah 86. Bilangan cacah terdekat ke

4 1 5 adalah 5. Jadi, n kira-kira 86 : 5 = 5 1 17 . b. Taksiran yang baik adalah 210 : 20 =

2 1 10 . d. Menaksir Operasi Hitung Desimal

Pada dasarnya menkasir operasi hitung desimal sejalan dengan menaksir operasi hitung bilangan pecahan.

Contoh:

100 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

a. 4,165 + 3,075 = n c. 59,8 × 9,59 = n b. 82,4 – 38,6 = n d. 401,675 : 2,14 = n Solusi:

a. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 4 + 3 = 7. b. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 82  40 = 42. c. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 60 × 10 = 600. d. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 400 : 2 = 200. j. Aturan-aturan Untuk Pemecahan Masalah dalam Aritmetrika

1. a2 b2 (ab)(ab) atau a b b a b a _{ }   2 2 atau a b b a b a _{ }   2 2 2. (ab)2 a2 2abb2 3. (ab)2 a2 2abb2 4. (ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 a3 b3 3ab(ab) 5. (ab)3 a33a2b3ab2 b3 a3 b3 3ab(ab) 6. a3b3 (ab)



a2 abb2



atau a b b ab a b a _{ }    2 2 3 3 7. a3 b3 (ab)



a2 abb2



atau a b b ab a b a _{ }    2 2 3 3 8. a3b3 c3 3abc(abc)



a2 b2 c2 abbcca



9. a3 b3c3 3abcjika abc0

10. Jumlah n bilangan asli pertama = 1 + 2 + 3 + … + n = ( 1) 2 n n

11. Jumlah n bilangan ganjil pertama = 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n 2 12. Jumlah n bilangan genap pertama = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n1)

13. Jumlah n bilangan kubik pertama = (13 + 23 + 33 + … + n3) = (1 + 2 + 3 + … + n)2

2 ) 1 ( 2     _  n n Contoh: 1. Hitunglah 1682  682 Solusi: Strategi 1: 200 . 27 1024 28224 32 1682  2    Strategi 2:

Rumus:

a2 b2 (ab)(ab) ) 32 168 )( 32 168 ( 32 1682  2    (200)(136)= 27.200

101 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Carilah perbedaan bilangan kuadrat yang berurutan antara 362 dan 352. Solusi: Strategi 1: 71 225 . 1 296 . 1 35 35 36 36 35 362  2        Strategi 2: Rumus: a2 b2 (ab)(ab) 71 ) 1 )( 71 ( ) 35 36 )( 35 36 ( 35 362  2      Strategi 3:

Misalnya a dan b adalah bilangan berurutan, maka Rumus: a2 b2 (ab)(ab) Karena ab1, maka a2 b2 (ab)(1)ab 71 35 36 35 362  2    3. Hitunglah a. 76 83 5776 6889   b . 96 54 9216 2916   Solusi: a. Strategi 1: 7 159 1113 76 83 5776 6889     Strtaegi 2: Rumus: a b b a b a _{ }   2 2  83 76 7 76 83 76 83 76 83 5776 6889 2 2 _{  }      b. Strategi 1: 150 42 6300 96 54 9216 2916 _      Strtaegi 2: Rumus: a b b a b a _{ }   2 2  54 96 150 76 83 96 54 96 54 9216 2916 2 2 _{  }      4. Hitunglah 54 × 46 dan 89 × 71. Solusi: Rumus: (ab)(ab)a2 b2 54 × 46 = (50 + 4)(50 – 4) = 502 – 42 = 2.500 – 16 = 2.484 89 × 71 = (80 + 9)(80 – 9) = 802 – 92 = 6.400 – 81 = 6.319 5. Hitunglah 672 .

102 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Solusi: Strategi 1: 672 = 67 × 67 = 4.489 Strategi 2: Rumus: (ab)2 a2 2abb2 672 = (60 + 7)2 = 602 + 2 × 60 × 7 + 72 = 3.600 + 840 + 49 = 4.489 6. Hitunglah dan 252 dan 752.

Solusi: Strategi 1:

252 = 25 × 25 = 625 752 = 75 × 75 = 5625 Strategi 2:

Rumus: (a5)2 = (a + 1) × a dan 25 252 = (2 +1) × 2 dan 25 = 625 752 = (7 + 1) × 8 dan 25 = 5625 7. Hitunglah dan 942. Solusi: Strategi 1: 942 = 94 × 94 = 8.836 Strategi 2: Rumus: (ab)2 a2 2abb2 942 = (100  6)2 = 1002  2 × 100 × 6 + 62 = 10.000  1.200 + 36 = 8.836 8. Hitunglah 161616141414901614

Solusi:

Rumus: a3 3a2b3ab2 b3 a3 b33ab(ab)(ab)3 14 16 90 14 14 14 16 16 16        163 3(301614)143 163 31614(1614)143 (1614)3 (30)3 = 27.000 9. Hitunglah 62 62 62 68 68 68 62 62 62 68 68 68           Solusi:

103 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Rumus: a b b ab a b a      2 2 3 3  68 62 6 62 62 68 68 68 68 62 62 62 68 68 68 62 62 62 68 68 68 2 2 3 3                   10. Hitunglah 69 72 69 72 72 72 69 69 69 72 72 72           Solusi: Rumus: a b b ab a b a _{ }    2 2 3 3  72 69 141 69 69 72 72 69 72 69 72 69 72 72 72 69 69 69 72 72 72 2 2 3 3                   11. Hitunglah nilai dari 53 33 23.

Solusi: Strategi 1: 90 8 27 125 2 3 53  3  3    Strategi 2:

Rumus: a3 b3 c3 3abcjika abc0

Karena 5 – 3 – 2 = 0, maka 53 33 23 3(5)(3)(2)90 12. Hitunglah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100. Solusi: Strategi 1: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 S = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 1 2S = 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 (sebanyak 100 buah) 2S = 100(101) S = 100(101) : 2 = 5.050 Jadi, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = 5.050 Strategi 2: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = (1 100) 5.050 2 100 _{ } 13. Hitunglah 1 + 3 + 5 + … + 101. Solusi: 2n + 1 = 101 2n = 101 – 1 2n = 100 n = 100 : 2 =50 1 + 3 + 5 + … + 101 = 502 = 2.500 14. Hitunglah 2 + 4 + 6 + … + 100. Solusi: +

104 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2n = 100 n = 100 : 2 =50 2 + 4 + 6 + … + 100 = 50(50 + 1) = 2.550 15. Hitunglah a. 13 + 23 + 33 b. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 c. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 Solusi: a. Strategi 1: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 Strategi 2: 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 = (6)2 = 36 Strategi 3: 13 + 23 + 33 = (3 1) 6 36 2 3 2 2       _ b. Strategi 1: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 Strategi 2: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = (15)2 = 225 Strategi 3: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (5 1) 15 225 2 5 2 2       _ c. Strategi 1: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1.000 = 3.025 Strategi 2: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)2 = (55)2 = 3.025 Strategi 3: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 (10 1) 55 3.025 2 10 2 2       _ 