1
DIFERENSIAL (Derivatif)
A. Simbol Deferensial
Jika ada Persamaan y = 3x , maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau 𝑑𝑦𝑑𝑥 atau ditulis 𝑑 (3𝑥)𝑑𝑥 Turunan kedua y 11 atau 𝑑(
𝑑𝑦 𝑑𝑥)
𝑑𝑥 atau 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
B. Rumus Dasar Deferensial
Jika y = xn maka nxn1 dx
dy
Contoh : y = 10 x 2 maka harga 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 20 x
C. Kaidah-kaidah Deferensial
1. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi y = U + V dimana U = g(x), V = h(x), maka contoh : y = 8x5 + 4x3 , maka 40x4 12x2 dx dy
2. Diferensiasi Perkalian Fungsi
y = U . V dimana U = g(x), V = h(x), maka contoh : y = ( 6x2 ) ( 5x3 ) (6x2)(15x2) (5x3)(12x) dx dy = 90x4 + 60x4 = 150x4 3. Diferensiasi Pembagian Fungsi
y = ;U g(x);V h(x) V U maka harga dx dv dx du dx dy dx du V dx dv U dx dy .
2 contoh : y = 2 5 3 5 x x 4 6 6 2 2 5 4 2 9 30 75 ) 3 ( ) 6 ( 5 ) 25 ( 3 x x x x x x x x dx dy = 2 5 2 9 45 x x
4. Diferensiasi Fungsi Berpangkat y = Un ; u = g(x), n = konstanta contoh : y = ( x2 + 3x )2 dx 2x3 du ) 9 3 6 2 ( 2 ) 3 2 )( 3 ( 2 x2 x x x3 x2 x2 x dx dy = 4x3 + 18x2 + 18x
5. Diferensiasi Fungsi Logaritmik y = a log x , maka
contoh :
y = 5 log 7 maka harga 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 7 ln 51 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 5log 𝑒7
6. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik y = a log u ; u = g(x) maka 2 . . V dx dv U dx du V dx dy dx du nU dx dy n1 x e atau a x dx dy alog ln 1
dx
du
u
e
dx
dy
a.
log
3 y = ) 7 ( ) 5 ( ) 7 ( ) 5 ( log x x U x x 2 2 ) 7 ( 2 ) 7 ( ) 1 )( 5 ( ) 1 )( 7 ( x x x x dx du ) 7 )( 5 ( log 2 ) 7 ( 2 . ) 7 /( ) 5 ( log 2 x x e x x x e dx dy
7. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat
y = (alogU)n;U g(x) dimana n = konstanta, maka harga
contoh : y = ( log 6x2 )3 U = 6x2 ; jadi x dx du 12 ) 12 ( 6 log . ) (log 3 2 2 2 x x e x dx dy = x e x x e x x 6(log6 )log 6 log ) 6 (log 36 2 2 2 2
8. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier
Log. Napier logaritma yang bilangan pokoknya e Harga bilangan e = 2,71828
Bilangan
Jadi harga ln 10 bisa ditulis e log 10
Turunan logaritma napier :
y = ln u; u = g(x)
e
log a ditulis dengan ln = a
dx du U e U n dx dy a n a . log . ) log ( 1 dx du u dx dy . 1
4 contoh : y = ln ( 5x2 + 7 ) U = 5x2 + 7 harga x dx du 10 ) 7 5 ( 10 10 . ) 7 5 ( 1 2 2 x x x x dx dy
9. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat Y = ( lnU )n ; U = g(x) ; n = konstanta dx du U U n dx dy n . 1 . ) (ln 1 contoh : y = ( ln 3x2 )4U = 3x2 x dx du 2 dx du U U dx du U V dx dy v v ln . 1 contoh y = 7xx5 7 7 dx du x U V = x5 5x4 dx du 4 1 5 5 . 7 ln 7 7 . 7 . x 5 x 5 x x x dx dy x x = 49xx54+35xx54ln.7x = 35xx54( 9/7 + ln 7x ) 10. Deferensial Fungsi Eksponensial
Jika y = a x dimana a = konstanta, maka harga
Contoh y = 6 x maka harga 𝑑𝑦𝑑𝑥= 6𝑥 ln 6
11. Deferensial Fungsi Komposit Eksponensial
𝑑𝑦
5
Jika y = a u dimana u = g(x) maka harga
Contoh :
y = 5(𝑥2− 4) maka harga 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 5
(𝑥2− 4) ln 5 2x 12.Deferensial Fungsi kompleks
Jika y = u v dimana u = g (x) dan v = h (x) Maka harga
13.Diferensiasi Fungsi Balikan
Jika y = f(x)dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka
contoh : x = 10y + 3y4 maka 10 12y3 dy dx sehingga 3 12 10 1 y dx dy
D. Deferensial Baku Fungsi Trigonometri
1. y = sin x maka dy/dx = cos x 2. y = cos x dy/dx = -sin x 3. y = lg x dy/dx = sec2x 4. y = cotg x dy/dx = -cosec2 x 5. y = sec x dy/dx = sec x tg x 6. y = cosec x dy/dx = -cosec x ctg x 7. y = sinh x dy/dx = cosh x
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑢𝑣 −1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑢𝑣ln 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎𝑢ln 𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑥 dy dx dx dy / 1
6
8. y = cosh x dy/dx = sinh x
Bila U = f(x) dapat diturunkan, maka dx du U dx U d cos sin no.2 s/d 8 identik contoh 1. Hitunglah dx dy dari y = cos3 5x Penyelesaian : dx x d x dx dy cos5 ) 5 (cos 3 2 rumus no.2 = 3(cos25x)(-sin5x) dx x d5 = -15 sin 5x cos2 5x contoh 2. Hitunglah dx dy dari y = ctg 2x cosec 2x Penyelesaian : ingat y = U.V maka
dx du V dx dv U dx dy dx x dctg x ec dx x ec d x ctg dx dy 2 2 cos 2 cos 2 = ctg 2x ( - cosec 2x.ctg 2x ) 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2
= ctg2 2x ( - cosec 2x ).2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2 = -2 cosec 2x ( ctg2 2x + cosec2 2x )
Karena ctg2 cos 21,
ec maka :
= -2 cosec 2x [( cosec2 2x – 1 ) + cosec2 2x] = -2 cosec 2x ( 2 cosec2 2x – 1 )
7
E. Deferensial Fungsi Implisit
y = x2 – 4x + 2 fungsi eksplisit dari x x2 – 4x – y = 2 fungsi implisit dari x contoh : jka x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukan dx dy di titik x = 3, y = 2 Penyelsaian : x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 2x + 2y 26 0 dx dy dx dy ( 2y – 6 ) x dx dy 2 2 3 1 6 2 2 2 y x y x dx dy di ( 3, 2 ) 2 1 2 3 2 3 1 dx dy
F. Diferensiasi Logaritmik Lebih Dari Dua Faktor
Jika y = W
V U.
U = f(x) V = g(x) ; W = h(x)
Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma dengan bilangan dasar e
W V U y e e . log
log ingat Sifat bil logaritma Persamaan tersebut dirubah menjadi
INGAT ! sin2 + cos2 1 1 + ctg2 2 cosec 1 + tg2 2 sec ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a – ln b atau
lg a.b = log a + log b log a/b = log a-log b
8 ln y = ln U + ln V – ln W dx dw W dx dv V dx du U dx dy y . 1 1 . 1 . 1 dx dw W dx dv V dx du U y dx dy . 1 . 1 . 1 jadi jika y = W V U. maka Catatan :
Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari dua fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun dua-duanya. Contoh: Carilah harga dx dy dari persamaan y = x x x 2 cos sin . 2 Penyelesaian : ln y = ln (x2) + ln ( sin x ) – ln ( cos 2x )
1/y dy/dx = ( 2sin2 )
2 cos 1 cos . sin 1 2 . 1 2 x x x x x x ingat : ctgx x x sin cos ; tgx x x cos sin jadi x x x x x x dx dy y cos2 2 sin 2 sin cos 2 . 1 2 x tg ctgx x dx dy y 2 2 2 . 1 (2/ 2 2 ) 2 cos sin 2 x tg ctgx x x x x dx dy dx dw W dx dv V dx du U W V U dx dy . 1 . 1 . 1 .
9
G. Diferensiasi Parsial
Adalah turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari beberapa variabel, dan penyelesaiannya dilakukan bagian demi bagian.
Contoh :
Z = 2x2 – 3xy + 4y2 atau Z = y ( x, y )
Dalam fungsi tersebut ada dua variabel bebas, yaitu x dan y, maka berapakah dz/dx dan dz/dy ?
Cara penyelesaian :
Ada beberapa anggapan/kemungkinan, a.l :
1. variabel x berubah-ubah, y konstan. Maka Z = fungsi x Turunannya ke x atau dz/dx Z = 2x2 – 3xy + 4 y2 y x y x dx dz 3 4 0 3 4
2. Kemungkinan variabel y berubah-ubah, x konstan maka Z = fungsi y
Turunannya ke y atau dz/dy Z = 2x2 – 3xy +4y2 y x y x dy dz 8 3 8 3 0
3. Atau untuk mencari ,
dy dz dan dx dz
fungsi tersebut dirubah menjadi fungsi implisit Z = 2x2 – 3xy + 4y2
Jika ditulis dalam bentuk implisit :
2x2- 3xy + 4y2 - = 0 a. perlakukan y konstan dan cari
dx dz 0 ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( 2 2 dx z d dx y d dx xy d dx x d
10 4x – 3y + 0 - 0 dx dz y x dx dz 3 4
b. perlakukan x konstan dan cari dy dz 2x2 – 3xy + 4y2 – z = 0 0 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( 2 2 dy dz dy y d dy xy d dy x d 0 – 3x + 8y - 0 dy dz y x dy dz 8 3 contoh : Z = ( 2x – y )4
Carilah dz/dx dan dz/dy Penyelesaian : Z = ( 2x – y )4 a. perlakukan y konstan dx y x d y x dx dz (2 ) . ) 2 ( 4 3 b. perlakukan x konstan dy y x d y x dy dz (2 ) . ) 2 ( 4 3 = 4 ( 2x – y )3 ( -1 ) = -4 ( 2x – y )3
11
H. Harga Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi
Y A (maks) C (titik belok) y = f(x)
B (min)
0 x1 x2 x3
Keterangan :
A = harga maksimum (pada x = x1), karena harga y dititik ini lebih besar daripada y di kanan kirinya.
B = harga minimum (pada x = x2), karena harga y di titik ini lebih kecil daripada harga y di kanan kirinya.
C = titik belok/point of inflection yaitu dari lengkung kanan menjadi lengkung kiri (atau sebaliknya)
12 Perhatikan gambar di bawah ini :
Y A y = f(x) C y B 0 x1 x2 x3 x dx dy y = f1(x) 0 x1 x2 x3 x 2 2 dx y d y = fII(x) 0 x1 x2 x3 x Y1
Dari gambar di atas bahwa :
1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila dy/dx = 0 2. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-dua
d2y/dx2 = negatif
3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = positif
4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = 0 Untuk Aplikasi dalam memecahkan suatu persoalan hal yang perlu di INGAT BAHWA :
Harga maksimum atau minimum dari suatu fungsi akan tercapai bila turunan pertamanya = 0 atau ditulis 0
dx dy
13
Contoh :
1. Akan dibuat buah ruangan bersisian dengan memanfaatkan dinding yang sudah ada. Bahan pembuat ruang cukup dengan sekat, tersedia untuk 300 meter agar. Tentukan ukuran ruangan agar luas ruangan keduanya maksimum. Jawab Keliling = 3 Y + 4 X 300 = 3 Y + 4 X Y = 100 - 4 3 X Luas (L) = 2 X . Y = 2 X (100 - 4 3 X ) = 200 X - 8 3
X 2
Luas akan maksimum akan dicapai bila
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= 0
Harga 𝑑𝐿 𝑑𝑥 = 200 - 16 3 X , sehingga 200 - 163 X = 0 maka harga X = 37,5 m Harga Y = 100 - 4 3 X, maka harga Y = 50 MJadi agar luas ruangan tersebut di atas, maka ukuran X = 37, 5 m Y = 50 m
Y
Y Y
14
Bukti :
Harga X Harga Y Luas =
200 X - 83 X 2 Keterangan Hasil Perhitungan 37,5 50 Terbukti Dicoba 40 Dicoba 30
2. Akan dibuat kemasan untuk kaleng cat yang berisi 5 liter dengan tutupnya. Berapakahbesarnya ukuran Jari-jari dan tinggi kaleng ( R dan T) agar bahan yang digunakan minimum ?
Jawab :
Gambar bukaan kaleng cat seperti di bawah ini
Luas ( L) = 2πR T + 2πR 2 Volume = πR 2 T 5000 = πR 2 T sehingga harga T
=
Luas (L) = 2πR 5000 π R2 + 2 πR 2 = + 2 πR 2 2πR T R15
Agar volume maksimum, maka luasnya juga harus maksimum agar luasnya maksimum, maka turunan pertama luas terhadap jari-jari harus sama dengan nol atau ditulis 𝑑𝐿
𝑑𝑅 = 0 𝑑𝐿 𝑑𝑅 = −10.000 𝑅2
+ 4
πR 0 = −10.000𝑅2
+ 4
πR , semua dikalikan dengan R2 Maka R 3 = 10.000 4 π R = 9,27 cm dan T = 5000 π R2= 18,537 cm Bukti : Harga R Harga T Luas Bahan (L)= 2πR T + 2πR 2 Keteranga n
Hasil Perhitungan 9,27 18,537 Minimum
Dicoba 12
Dicoba 8
3. Sebuah batang AB yang beratnya 20 kg/m ditumpu dengan dua tumpuan seperti gambar. Batang tersebut dibebani muatan titik sebesar 100 kg yang terletak 2 meter dari B. Tentukan panjang bentang AB agar gaya reaksidi A sekecil-kecilnya serta berapa besar gaya reaksi di A dan di B ( RA dan RB ) ? Jawab : B X P = 100 kg a = 2 m A
16
Misal gaya reaksi di A = Y kg , sehingga Y = R1 + R2
Dimana R1 = beban akibat gaya P dan R2 = beban merata R1 = 𝑃 .𝑎 𝑋 dan R2 = 0.5 . 20 . X = 10 X Y = 𝑃 .𝑎𝑋 + 10 X = 100 .2 𝑋 + 10 X = 200 𝑋 + 10 X Y = 200𝑋 + 10 X Sehingga harga 𝑑𝑦𝑑𝑥= −200𝑋2 + 10
Agar harga Y sekecil-kecilnya, maka harga 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 , sehingga −200
𝑋2 + 10 = 0 , harga X = √20 = 4,472 m
Untuk harga X = 4,472, maka besarnya gaya reaksi di titik A atau Y adalah sebagai berikut
Y = 200𝑋 + 10 X = 200𝑋 + 10 . 4,472 = 89,44 kg
Besarnya gaya reaksi di titik B = jumlah total beban - gaya reaksi di titik A atau (Y)
Gaya Reaksi di titik B = 100 + ( 20 . 4,472) – Y
= 100 + (20. 4,472) – 89,44 = 99,99 kg
Latihan Soal
1. Penampang suatu saluran terbuka berbentuk trapesium dengan alas (sisi bawah) panjangnya 60 cm dan sisi miring panjangngnya 100 cm. Tentukan panjang sisi atas agar saluran tersebut dapat menampung air sebanyak-banyaknya.
17
2. Akan dibuat bak penampung bahan berbentuk bujur sangkar dengan sisi 120 cm. Untuk ini dilakukan pemotongan tiap-tiap ujung plat dengan bentuk bujur sangkar kecil dan kemudian dilipat ke atas. Berapa luas bujur sangkar kecil harus dipotong dari tiap-tiap ujung agar volume tersebut maksimum ?
3. Akan dibuat bak sampah dari plat baja berbentuk silnder yang dapat memuat air sebanyak 1 m 3 (tanpa tutup). Tentukan ukuran diameter dan tingginya agar plat yang dgunakan minimal.
4. Akan dibuat talang dari seng berbentuk U . Tentukan lebar dan tinggi talang agar dapat menampung air yang sebanyak-banyaknya dengan bahan talang yang terbatas, yaitu lebar seng 90 cm.
5. Kawat sepajang 100cm dipotong menjadi dua, dan akan dibentuk benda yang berbentuk lingkaran dan benda lain berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran masing-masing benda tersebut agar ke-dua luas benda tersebut maksium.
