Definisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:

Definisi :

Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik.

Dituliskan : det(A) atau A 



 ( j j ...j ).a j a j ...a j1r 2r n 1 1r 2 2r m n

Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}:

Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan

tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j₁, j₂, j₃, …, j_n)

Inversi dalam permutasi (j₁, j₂, j₃, …, j_n) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

Dalam sebuah matrik A (n x n) yang disebut hasil kali elementer

Catatan: indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n

indeks kolom: urutan permutasi j₁, j₂, j₃, …, j_n Hasil kali elementer bertanda

Jika (j₁, j₂, j₃, …, j_n) merupakan inversi

• genap, maka hasil kali elementer adalah positif

• gasal, maka hasil kali elementer adalah negatif

j₁ j₂ j₃ j_n

a

₁

a

₂

a

₃

……… a

_n

Contoh:

A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua (6) elemen berikut ini:

Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

+ a₁₁a₂₂a₃₃ (inversi = 0) – a₁₁a₂₃a₃₂ (inversi = 1)

+ a₁₂a₂₃a₃₁ (inversi = 2) – a₁₂a₂₁a₃₃ (inversi = 1)

+ a₁₃a₂₁a₃₂ (inversi = 2) – a₁₃a₂₂a₃₁ (inversi = 3)

SIFAT-SIFAT DETERMINAN :

1. Bila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka determinan = 0

Contoh :

2. Nilai determinan tidak berubah apabila semua baris di ubah menjadi kolom atau semua kolom diubah

menjadi baris. Dengan kata lain : Contoh :

A 0 0 A 0x5 0x4 0

4 5

 

      

 

A  AT

A 2 1 , maka A 2x7 5x1 9 5 7

 

     

 

T 2 5 T

A , maka A 2x7 1x5 9

1 7

 

     

 

3. Pertukaran baris dengan baris atau kolom dengan

kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda nilai determinan.

Contoh :

Jika baris 1 ditukar menjadi baris 2, maka :

Jika kolom 1 ditukar menjadi kolom 2, maka : A 1 2 , maka A 1x4 3x2 2

3 4

 

      

 

A 3 4 , maka A 3x2 1x4 2 1 2

 

     

 

A 2 1 , maka A 2x3 4x1 2 4 3

 

     

 

4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka nilai determinan = 0.

Contoh : _{1 2 0}

A 1 2 0 , maka A 0 3 -1 1

 

 

   

 

 

1 1 2

A 1 1 5 , maka A 0 3 3 1

 

 

   

 

 

5. Jika semua elemen pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol), maka nilai

determinan dikalikan faktor p.

Contoh :

Jika baris 1 dikalikan dengan 2, maka :

Jika kolom 1 dikalikan dengan 3, maka :

A 1 2 , maka A 1x4 3x2 2 3 4

 

      

 

1 1

A 2 4 , maka A 2x4 3x4 4 3 4

 

      

  A¹  2 A

2 2

A 3 2 , maka A 3x4 9x2 6 9 4

 

      

  A²  3 A

6. Nilai determinan tidak berubah ketika semua elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan faktor p

(bukan nol) dan ditambahkan atau dikurangkan pada baris atau kolom yang lain.

Contoh :

A 1 2 , maka A 1x4 3x2 2 3 4

 

      

 

1 1

1 2 10 14

A A A 2

3 4 3 4

   

        

   

b₁₂(3)

A1  A

AB  A . B

7. Bila A dan B matrik bujur sangkar, maka Contoh :

A 7 2 A 5

8 3

 

    

 

B 1 4 B 10

3 2

 

     

 

A . B  50

7 2 1 4 13 32

A.B A.B 50

8 3 3 2 17 38

     

         

     

A.B  A . B  terbukti

8. Determinan suatu matrik segitiga atas atau segitiga bawah merupakan perkalian elemen-elemen

diagonal utamanya.

Contoh :

2 1 3

A 0 4 1 maka A 2x4x1 8

0 0 1

 

 

    

 

 

2 0 0

B 1 3 0 maka B 2x3x2 12

4 1 2

 

 

    

 

 

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

A = 0 a₂₂ a₂₃ 0 a₂₂ a₂₃

0 0 a₃₃ 0 0 a₃₃

diagonal utama

+ a₁₁a₂₂a₃₃  0 – a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁

Secara umum: untuk A(3 x 3)

Cara menghitung determinan :

Nilai determinan matrik dapat diperoleh berdasarkan : 1. Definisi determinan

2. Sifat-sifat determinan

3. Ekspansi minor dan kofaktor 4. Kombinasi cara 2 dan 3

Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari

elemen matrik sedemikian yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya

dijumlahkan.

1. MELALUI DEFINISI DETERMINAN

A =





 





22 21

12 11

a a

a

a

_{Det(A) = a}

11 a₂₂ – a₁₂ a₂₁

Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?

Definisi determinan didasarkan pada inversi permutasi yang dikenal sebagai metode Sarrus.

Metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai

determinan yang berorde hingga 3, sedangkan untuk yang berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi.

Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . .

A = 













33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

|A| = a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ - +

Produk yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda :

a₁₁ a₂₂ a₃₃ a₁₁ a₂₃ a₃₂ a₁₂ a₂₃ a₃₁ a₁₂ a₂₁ a₃₃ a₁₃ a₂₁ a₃₂ a₁₃ a₂₂ a₃₁ Perhatikan :

Indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum.

Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yang membawa indeks kolom ke urutan natural.

Jika genap (+) positip, jika ganjil (-) negatip; atau tandanya adalah (-1)^t, dengan t banyaknya transposisi.

Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.

Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3 Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3 Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3

2. Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan.





5 6 7

0 0 0

3 1

2 

= 0

0 8 7

0 5

6

0 2 2





= 0

Matrik persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, det.nya nol (0).

2 4

3 7

 = 26

2 3

4 7 

= 26

Determinan dari matrik dan transposenya adalah sama





3 2

5 7 

= 31

5 7

3 2



^{= – 31}

Baris pertama ditukar baris kedua

Determinan suatu matrik yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matrik

tersebut berubah tanda dari determinan semula.

2 7

2 7



 = 0

3 0

3

2 3

2

1 1

1









= 0

1 1

1 1

0 1

0 1

0 1 2

1

1 1

2 1



 = 0

Determinan dari suatu matrik persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama, nilainya sama dengan 0 (nol).

4 3

1 2



 = 5

Baris kedua dikalikan dengan 7 28

21

1 2



 = 35

28 21

1 2



 = 7

4 3

1 2





Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai

faktor yang sama, maka determinan tersebut dapat difaktorkan.

2 1

1

1 2

1

12 6

9

 = 3

2 1

1

1 2

1

4 2

3



2 12

1

1 8

3

1 4

2







= 4

2 3

1

1 2

3

1 1

2









Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A





1 1

2 1

3 1

6 1

2 2

4 1

1 1

2 1

















= 0 kolom ke-dua kelipatan kolom ke-empat, |A| = 0

Determinan dari suatu matrik persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)

merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain , nilainya sama dengan 0 (nol).

6 9

5 8

6 9

1 4

3

5  

= 9 6 4

5 +

6 9

1 3

6 4

5

5 3

5



 =

6 5

5

5 +

6 4

5 3

Determinan dari matrik persegi A = (a_ij) berdimensi n yang baris ke -i

(kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah

determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.

 1 4 3 2

 = 11

1 1

9 2



4 = 11

1

1 3





= 11

OBE : b1 – b2

OBE : k2 + 3k1

Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.

Sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan.



5 0

0

3 1

0

2 7

3





= (3)(-1)(5) = - 15

1 3

0 0

0 4

1 1

0 0

2 0

0 0

0 3







= (-3)(-2)(4)(1) = 24

Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.

Gunakan sifat determinan untuk menghitung :

1 1

2

4 5

3

2 2

1









b2 + 3b1

1 1 2

2 1 0

2 2 1







b3 – 2 b1

3 3

0

2 1

0

2 2

1







b3 + 3 b2

3 0

0

2 1 0

2 2 1





= (1)(-1)(3) = - 3

Petunjuk : Gunakan OBE untuk mereduksi matriks menjadi matrik segitiga sehingga nilai determinan adalah hasil kali diagonal utama

Jawab :

1 1 2

4 5

3

2 2

1









3. Dengan ekspansi minor dan kofaktor ^: Minor dan Kofaktor

A berdimensi n, determinan dari submatrik yang berdimensi (n-1) disebut minor.

M_rs : minor dari submatrik dengan menghilangkan baris ke r kolom ke s.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ A =

M₁₁ = a₂₂ a₂₃

a₃₂ a₃₃ = a₂₂ a₃₃ – a₂₃ a₃₂ M₃₂ = a₁₁ a₁₃

a₂₁ a₂₃ = a₁₁a₂₃ – a₁₃a₂₁

Kofaktor

Kofaktor yang berhubungan dengan minor M_rs adalah : C_rs = (-1)^r+s M_rs.

A =























1 1 2

4 3

1

1 1

2

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (-1)² 1 1 4 3

 = 1 (7) = 7

C₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = (-1)³

1 2

4 1

 = (-1) (9) = -9 C₁₃ = (-1)⁴ M₁₃ = M₁₃ =

1 2

3 1



 = 5

C₂₁ = (-1)³ M₂₁ = - M₂₁ = -

1 1

1 1



 = 0

C₂₂ = M₂₂ = 0 C₂₃ = - M₂₃ = 0

C₃₁ = M₃₁ = 7 C₃₂ = - M₃₂ = - 9

C₃₃ = M₃₃ = 5

Hitung (a) adjoint dari matrik A, (b) determinan matrik A A =





















2 0

1

1 1

2

3 2

1

C₁₁ = M₁₁ = 2 C₁₂ = -M₁₂ = - 5 C₁₃ = M₁₃ = - 1

C₂₁ = -M₂₁ = 4 C₂₂ = M₂₂ = -1 C₂₃ = -M₂₃ = -2

C₃₁ = M₃₁ = -1 C₃₂ = -M₃₂ = 7

C₃₃ = M₃₃ = 5 Jawab :

(a) adj(A) = K^T =

T

C C

C

C C

C

C C

C

















33 32

31

23 22

21

13 12

11

= 













33 23

13

32 22

12

31 21

11

C C

C

C C

C

C C

C

= 























5 2 1

7 1 5

1 4

2

(b) Det(A) = a₁₁ C₁₁ + a₁₂ C₁₂ + a₁₃ c₁₃ = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9

Adj(A) A = ?

Sifat :

1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)





















2 0

1

1 1

2

3 2 1



























5 2 1

7 1 5

1 4

2

= 













9 0 0

0 9 0

0 0 9

= |A| I

= 9

















1 0 0

0 1 0

0 0 1

Teorema LAPLACE

Nilai determinan matrik sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi baris ke-i :

Ekspansi kolom ke-j :

n

ij ij i1 i1 i2 i2 in in

j=1

A 



a c  a c  a c ... a c , dengan i sembarang

n

ij ij 1j 1j 2j 2j nj nj

j=1

A 



a c  a c  a c ... a c , dengan j sembarang

A = 













33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a₃₁ C₃₁ + a₃₂ C₃₂ + a₃₃ C₃₃

Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a₁₂C₁₂ + a₂₂C₂₂ + a₃₂C₃₂

Dan sebagainya.

Hitung determinan, dengan ekspansi kofaktor:

B = 

















4 1

1

1 1

3

1 2 1

Jawab :

Dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b₂₁ C₂₁ + b₂₂ C₂₂ + b₂₃ C₂₃

C₂₁ = - M₂₁ = -

4 1

1

2

= 9 C₂₂ = M₂₂ = 3

C₂₃ = - M₂₃ = - 3

Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)= 33

Atau dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b₁₃ C₁₃ + b₂₃ C₂₃ + b₃₃ C₃₃

Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)= 33 C₁₃ = M₁₃ = 2

C₂₃ = - M₂₃ = - 3 C₃₃ = M₃₃ = 7

Hitung determinan dari : E =























2 4

5

1 1

1

3 1

2

Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :

|E| =

2 4

5

1 1

1

3 1

2





 K2 + K1

2 9

5

1 0

1

3 3

2



 K3 – K1

7 9

5

0 0

1

5 3

2





|E| = e₂₁ C₂₁ + e₂₂ C₂₂ + e₂₃ C₂₃

|E| = e₂₁ C₂₁ + 0 + 0

|E| = (1) (-24) = - 24

C₂₁ = - M₂₁ = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

Berapakah determinan dari F =























2 1

1

5 4

0

2 3 1

Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :

|F| =

2 1

1

5 4

0

2 3

1





 B3 + B1

4 2

0

5 4

0

2 3

1







Det(F) = f₁₁ C₁₁ = (1) (6) = 6

Berapakah determinan dari G =





























1 0

2 3

1 1

2 1

4 1

3 2

3 1

1 2

Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :

Det(G) =

1 0

2 3

1 1

2 1

4 1

3 2

3 1 1

2









B2 + B1

1 0

2 3

1 1

2 1

7 0

4 0

3 1 1

2





 B3+B1

1 0

2 3

4 0

3 3

7 0

4 0

3 1 1

2







Det(G) = g₁₃ C₁₃ = g₁₃ M₁₃ = (-1)

1 2

3

4 3

3

7 4

0





B3 – B2

5 5

0

4 3

3

7 4

0





(-1)

Det(G) = (-1) g₂₁ C₂₁ = (-1) g₂₁ (- M₂₁) = g₂₁ M₂₁ = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)}

Det(G) = (3) (15) = 45.

review:

1. Menghitung det(A) dengan matrik A (2x2) atau (3x3) cukup mudah.

2. Menghitung det(A) dengan matrik A (nxn) untuk semua n  2 secara umum dilakukan dengan

menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matrik A.

Cara lain untuk menghitung det(A), dengan A(nxn), adalah :

Menggunakan Reduksi Baris (OBE).

1. Matriks A diubah menjadi matrik segi-3 atas (segi-3 bawah), matrik segi-3 ini disebut A’.

2. Det(A) = det(A’) = hasil kali semua elemen diagonal utama matrik A’.

Aplikasi :

Aplikasi matrik dan determinan diterapkan pada masalah pengiriman kode rahasia.

Pada umumnya, pesan dengan kode rahasia dikirimkan melalui penyusunan bilangan bulat untuk menggantikan setiap alfabet yang ada

Contoh pesan : B I S A

Kode rahasianya : 2, 9, 3, 1

Masalahnya, pesan rahasia tersebut masih dapat diketahui dengan mudah.

Misalkan matrik transformasinya : P 1 3

1 4

 

  

 

Q 2 3

9 1

 

  

 

Kode rahasia dalam notasi matrik :

Oleh karena itu dibutuhkan sebuah matrik lain untuk mentransformasi kode sehingga mempersulit rahasia tersebut untuk dipecahkan.

Maka : ^{PQ 1 3 2 3 29 6} 1 4 9 1 38 7

     

      

     

Dengan demikian, kode pesan rahasia yang terkirim adalah : 29, 38, 6, 7.

Agar pesan rahasia dapat dibaca, maka sipenerima harus mengalikan P^-1 dengan PQ

-1 1 4 -3 4 -3

P (1x4 1x3) -1 1 -1 1

   

      

-1 4 -3 29 6 2 3 P (PQ)

-1 1 38 7 9 1

     

      

     

Hasil akhir sama dengan kode awal. Pesan terpecahkan

Soal latihan :

1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut :

a. (4, 1, 2, 3), (4, 3, 2, 1), (1, 3, 2, 4)

b. (5, 3, 2, 1, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (2, 3, 5, 4, 1) 2. Carilah determinan dari matrik berikut :

t-2 2 t-5 7

a. b.

-4 t-1 -1 t 3

   

    

   

3. Carilah determinan dengan metode Sarrus dari matrik berikut ini :

2 1 1 3 -2 -4

a. 0 5 -2 b. 2 5 -1

1 -3 4 0 6 1

   

   

   

   

   

4. Carilah determinan dengan metode ekspansi dari matrik berikut ini :

5 4 2 1 2 1 3 2 2 3 1 -2 3 0 1 -2

a. b.

-5 -7 -3 9 1 -1 4 3

1 -2 -1 4 2 2 -1 1

   

   

   

   

   

   

5. Suatu kode pesan ditransformasikan ke bentuk matrik :

P 2 4

4 3

 

  

 

Kode yang terkirim adalah 26, 47, 110 dan 115.

Apakah bunyi pesan itu?