B A B I I
M O D E L E V A P O R A S I D A L A M I N T I M A J E M U K
2.1 Model Weiskopf-Ewing
Pada akhir dari tahap pre-equilibrium, recidual nucleus seharusnya tertinggal pada tahap equilibrium., dimana energi eksitasi E* terbagi oleh banyaknya jumlah nucleon. Seperti pada keseimbangan ikatan nucleus ditentukan oleh massanya,
muatan dan energi eksitasi terarah pada pembentukannya. Jika energi eksitasi lebih tinggi dibanding dengan energi pemisahanya, hal itu dapat menolak nucleon dan partikel cahaya (d, t, 3He,α). Hal-hal pembentuk ini pada energi rendah dan hampir seluruh dari kelimpahan emisi partikel pada keadaan normal dari recidual nucleus. Partikel-partikel emisi dari eksitasi ikatan nucleus dapat digambarkan
secara tepat dengan membandingkan nucleus molekul evaporasi dari fluida. Teori statistik pertama tentang peluruhan ikatan nuklir dikemukakan oleh weiskopf- Ewing.
Pendapat Weiskopf adalah aplikasi dari prinsip keseimbangan dimana probabilitas dari suatu kedaan awal i menuju keadaan lain d pada kerapatan keadaan dalam dua sistem.
( ) ( )
i d d i
P→ ρ i =P→ρ d (2.1)
dimana Pd→i adalah rapat probabilitas dari nucleus d menangkap parikel j dan dari ikatan nucleus i dimana sebanding dengan cross-section ikatan nucleus σINV . Oleh karena itu probabilitas dimana inti induk I dengan energi eksitasi E*
( max )
( ) ( )
( *)
d
j j INV
i
P d g E d
E
ρ ε
ε ε σ ε ε ε
ρ
= − (2.2)
dimana ρi( *)E adalah rapat level dari evaporasi nucleus, ρd(Emax−ε) adalah inti anak setelah emisi dari pecahan j dan Emaxenergi maksimum yang dapat dibawa oleh partikel emisi. Dengan spin s dan massa j m dari partikel emisi, j g j antara lain ; g j=(2sj +1)mj/π2 2h
Cross-section untuk inverse reaction diekspresikan dengan rumus
( ) (1 )
INV g
σ ε σ α β
= +ε (2.3)
dimana σg =πR2 adalah geometric cross-section.
Dalam kasus
1
0, 76 2, 2A 3
α = + − dan
2
(2,12A 3 0, 050) /
β = − − α MeV. Pernyataan ini memberikan penjelasan yang baik untuk penghitungan dari teori kekontinuan untuk energi pertengahan (intermediate energy) menurun menuju ε ~0,05 MeV.
Untuk energi rendah σINV n, ( )ε menuju tak terhingga.
Untuk partikel bermuatan (p, d, t, 3He dan α ), (1 cj)
α = + dan β = − ,dimana Vj c adalah parameter perhitungan oleh Shapiro j dengan tujuan untuk melengkapi kekontinuan teori dari cross-section dan adalah V gaya coulomb. j
2 j d
j j
c
Z Z e
V k
= R (2.4)
c j d
R =R +R dimana Rj d, =r Ac j d, 1/ 3 ,dan 1 0,006103
2,173
1 0,009443
j d c
r + Z Z
= +
(2.5)
Definisi : entropi inti untuk energi diantara E dan E+dE adalah S( )E
( )Ei ln i Ei( )
S = W (2.6)
(Ed) ln d Ed( )
S = W (2.7)
( ) exp[ ( ) ( *)]
j E INV j d Ed i Ei
W =σ g S −S EdE (2.8)
Asumsi : Sd E( )=Si E( )
( max ) ( *) ( * ( j )) ( *)
d E E i Ei d Ei g E i Ei
S − −S =S − + S (2.9)
Jika, Ei* (gj + ) E
*
( * ( )) ( *) ( ) i
d j i j
E Ei
S Ei g E S Ei g E dS
dE =
⎛ ⎞
− + = − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2.10)
( *) i 1
i Ei
dS
dE =T (2.11)
( *)
Ti Ei adalah menyatakan temperatur atau titik uap dari inti i (inti induk)
( ) ( *) ( ) 1
( *)
d d i i j
i i
S E S E g E
− = + T E (2.12)
Sehingga :
( *) ( *)
( )
j
Ti Ei Ti Ei
g E
j INV j
W E dE σ g e Ee dE
− −
=
(2.13)
2.2 Model Evaporasi Pearlstein
Perumusan dari produksi neutron oleh radiasi alam dan pemercepat proton energi medium sangat menarik perhatian para ilmuwan dikarenakan aplikasinya yang luas dan beragam antaralain terhadap astrofisika, sumber-sumber neutron, terapi
radiasi, produksi isotop, efek radiasi, tahanan pemercepat partikel, spektroskopi partikel-netral, dll
Pearlstein melakukan percobaan dengan melakukan perhitungan numerik secara teoritis terhadap eksperimen reaksi nuklir penembakan inti dengan proton yang berenergi tertentu. Dari data spektrum emisi neutron yang menunjukan ciri yang sama, pada energi yang rendah evaporasi mencapai puncak energi ~1MeV dan dipancarkan lebih isotropik dari target inti berat dibandingkan dengan target yang ringan. Aproksimasi penampang hamburan emisi neutron dari target dibagi dengan energi neutronya pada masing-masing sudut pada proses evaporasi didekati dengan persamaan :
2
1
1 ( , )
exp
N n
n n
d p xn E
E dEd a t
σ
=
⎛− ⎞
= ⎜ ⎟
Ω
∑
⎝ ⎠ (2.14)E = energi neutron yang dipancarkan (MeV)
an, tn: aproksimasi parameter amplitudo (µb/sr.MeV2) dan temperatur (MeV) Untuk melengkapi kekontinuan dari double differential cross-section terhadap sudut dan energi digunakan polinomial Legendre, antara lain ;
2 4
1
( , )
( ) exp
n ( )
n n
d p xn E
a E
dEd t
σ θ
= θ
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟
Ω
∑
⎝ ⎠ (2.15)Dimana ; θ = sudut emisi neutron
1( ) cos P x = θ
2 2
(cos ) 1(3cos 1)
P θ = 2 θ −
[ ]
1 2 1 3 2
( ) 1 ( ) ( )
n n n n
a θ =a + +a + P θ +a + P θ
Emisi neutron dari penembakan proton memungkinan terjadi pada energi proton rendah yaitu dibawah 100 MeV, sedangkan untuk energi proton diatas 100 MeV hal ini sangat sulit diprediksi. Neutron yang diperoleh dari inti target berat bertambah seiring dengan bertambahnya energi proton datangnya yang diaproksimasi pada log energi proton dan pada ekstrapolasi skala makroskopik dari nol sampai 100 MeV, untuk itu perlu ditambahkan renormalisasi energi bebasnya, yaitu :
ln ln
p
o r o
E R E
E E
= (2.16)
dimana ;
E = Ekstrapolasi dari neutron yang dihasilkan, 100MeV o
E = Energi proton datang (MeV) p
E = Energi proton referensi, 590 MeV r
Pada perhitungan model 2 4
1
( , )
( ) exp
n ( )
n n
d p xn E
a E
dEd t
σ θ
= θ
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟
Ω
∑
⎝ ⎠ , dikembangkanuntuk memotong model evaporasi neutron dimana diekstrapolasi diatas energi proton penumbuk, dengan menggunakan acuan dari fungsi Fermi, hamburan neutron pada puncak spektrum evaporasi terhadap energi sama dengan energi relativistik hamburan neutron dari penembakan proton. Pembatasan dari energi neutron tersebut digambarkan dengan persamaan :
2 2
4 4 2
4 4
exp ( )
1 1
( ) ( ) exp
( ) ( ) ( )
1 exp
k
p p k
k k
k
E E
E E W
a t
t t W E E
W θ
θ θ
θ θ θ
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
⎡ + ⎤
⎡− ⎤ ⎣ ⎦ × ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎧ ⎫
⎣ ⎦ ⎪⎨ + ⎡⎢ − ⎤⎥⎪⎬
⎪ ⎣ ⎦⎪
⎩ ⎭
,… (2.16)
Dimana ;
θ = sudut emisi dari netron
W = lebar resolusi energi (MeV) dari pembatasan energi neutron dan bernilai k
sekitar 0.2 Ep sinθ
E = energi relativistik dari hamburan elastik neutron oleh energi proton yang k
datang E yang didasarkan pada persamaan ; p
2 2
2 2
1 tan
2 1
1 tan
p p
p
E
E M c
E M c
θ θ
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ + ⎟
⎜ + ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2.17)
Maka secara keseluruhan, persamaan double differential cross-section yang diperoleh adalah :
2 ( , )
d p xn dEd
σ =
Ω Eq.(2.16) [Eq.(2.15) + Eq.(2.16)] (2.18)
2.3 Polinomial Legendre
Persamaan differensial Legendre antara lain :
2 2
(1 )d y2 2 dy ( 1) 0
X x l l y
dx dx
− − + + = (2.19)
Dimana l adalah konstan. Persamaan ini muncul pada solusi dari persamaan differensial parsial dalam koordinat bola.
Kita asumsikan solusi seri untuk y adalah ;
2 3 4 5 n
0 1 2 3 4 5 n
2 3 4 n-1
1 2 3 4 5 n
2 3 n-2
2 3 4 5 n
y=a +a x+a x +a x +a x +a x ...+a x +..., y=a +2a x +3a x +4a x +5a x +...+na x +..., y=2a +6a x+12a x +20a x +...+n(n-1)a x +...,
⎫⎪
⎬⎪
⎭
(2.20)
Substitusi persamaan (2.20) ke (2.19), maka didapatkan
2 0 2 0
l(l+1) 2a +l(l+1)a =0 a = -
2 a
→
2
3 1 3 1
(l-1)(l+2) 6a +(l +l-2)a =0 a = -
6 a
→
4 2 4 2 0
( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
12 ( 6) 0
12 4!
l l l l l l
a l l a a − + a − + − a
+ + − = → = − =
(2.21)
Dari koefisien xn,kita dapatkan :
(n+2)(n+1)an+2 +(l2 + l - n2 - n)an= 0 (2.22) Koefisien andapat difaktorkan
2 2 ( )( ) ( ) ( )( 1)
l −n + − = =l n l n l− + −n l n = −l n l+ + n (2.23) Sehingga kita dapat dituliskan rumus umum dari an+2 dalam bentuk an :
2
( )( 1)
( 2)( 1)
n n
l n l n
a a
n n
+
− + +
= − + + (2.24)
Persamaan Legendre (2.19) dapat dinyatakan dalam pernyataan baku polinomial Legendre orde-1 :
[ ]/ 2
2 1
0
(2 2 )!
( ) ( 1)
2 !( 2 )!( )!
l
r l r
l r
l r
P x x
r l r l r
−
=
= − −
− −
∑
(2.25)Dan pilihan istimewa koefisien tertinggi :
2
(2 !) 2 ( )!
l l
y l
= l (2.26)
Berikut beberapa polinomial Legendre terendah :
0( ) 1
P x = 3 1 3
( ) (5 3 )
P x =2 x − x
1( )
P x = x 4 1 4 2
( ) (35 30 3)
P x =8 x − x +
2 2
( ) 1(3 1)
P x =2 x − 5 1 5 3
( ) (63 70 15 )
P x =8 x − x + x
(2.27)
Berkaitan dengan model evaporasi Pearlstein, polinomial Legendre muncul dengan kosinus sudut azimut x = cosθ, dengan demikian :
1( ) cos P x = θ
2 2
(cos ) 1(3cos 1)
P θ = 2 θ −
3 3
(cos ) 1(5cos 3cos )
P θ =2 θ− θ
4 2
4
(cos ) 1(35cos 30cos 3)
P θ =8 θ − θ +
5 3
5
(cos ) 1(63cos 70cos 15cos )
P θ =8 θ − θ + θ
(2.28)
