Matematika I i II
Tin Perkov
ak. god. 2018/19.
Uvodne informacije
• e-mail: [email protected]
• internet-stranica kolegija:
https://sites.google.com/site/tinperkov/matematika
• nastava: predavanja i seminari
• termini konzultacija i druge obavijesti: na stranici kolegija i na panou kod sobe 325
• ispit: pismeni i usmeni
– samo na predroku pismeni dio zamjenjuju dva kolokvija
– uvjet za izlazak na usmeni: najmanje 45% bodova na kolokvijima (kumulativno) ili najmanje 45% bodova na pismenom
– mogu´ce je sluˇsati Matematiku II i pisati kolokvije i ako nije poloˇze-na Matematika I
– nije mogu´ce iza´ci na pismeni ni usmeni dio ispita iz Matematike II ako nije poloˇzena Matematika I
• literatura:
– S. Mintakovi´c, F. ´Curi´c: Matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb 2003.
– stranica kolegija (predavanja, seminari, zbirka zadataka)
• sadrˇzaj kolegija:
– skupovi, relacije, funkcije
– brojevi (prirodni, cijeli, racionalni, realni, kompleksni)
1
Skupovi
Pojam skupa
Skup je osnovni matematiˇcki pojam. U kolegijima Matematika I i II upoznat ´cemo se s temeljnim disciplinama elementarne matematike: arit-metikom i geometrijom. Osnovni pojmovi ovih disciplina su: broj, toˇcka, pravac, ravnina. Gotovo svi matematiˇcki pojmovi definirani su preko sku-pova. Govorimo o skupovima brojeva, pravac i ravninu promatramo kao skupove toˇcaka itd. Stoga je vaˇzno da na samom poˇcetku ponovimo osnovne ˇcinjenice o skupovima.
Skup je potpuno odreden svojim elementima. Da bi skup bio zadan, potrebno je za svaki objekt znati pripada li tom skupu ili ne.
• S ={1,2,3} – skup zadan nabrajanjem elemenata
• S ={n∈N:n63}– skup zadan kriterijem po kojem za svaki objekt moˇzemo provjeriti pripada li tom skupu ili ne
Pripadnost skupu oznaˇcava se znakom∈, a nepripadnost znakom ∈/.
• 2∈S ˇcitamo: “2 je element skupa S”
• 4∈/ S ˇcitamo: “4 nije element skupa S”
Skupovi A i B su jednaki ako imaju iste elemente. Preciznije, A =B ako je svaki element skupaA ujedno i element skupa B i obrnuto.
• {1,2,3}={2,1,3} – nije vaˇzan redoslijed nabrajanja elemenata
• {3,1,2,3} = {2,2,1,3} – nije vaˇzno jesu li neki elementi kod zadavanja skupa navedeni viˇse puta
• Q=na
b :a ∈Z,b ∈N
o
– uoˇcimo npr. 2 3 =
4 6
Postoji skup bez elemenata. Zovemo ga prazni skup i oznaˇcavamo ∅.
Podskup
Ve´c smo vidjeli jedan primjer podskupa: skup S = {n ∈ N : n 6 3}
zapravo je zadan kao podskup skupa N kojem pripadaju oni elementi skupa
N koji zadovoljavaju uvjet n 63.
Koristimo i oznaku B ⊇ A i pritom kaˇzemo da je B nadskup skupa A. Kaˇzemo da je skup A pravi podskup skupa B i piˇsemoA ⊂B ako je A ⊆B i pritom A 6= B. Koristimo i oznaku B ⊃ A i pritom kaˇzemo da je B pravi nadskup skupa A.
• S ={1,2,3} ⊆N
• N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
• neki podskupovi ravnine: pravci, duˇzine, geometrijski likovi
• geometrijska tijela su podskupovi prostora
“Biti podskup” je relacija medu skupovima. Zovemo je irelacija inkluzije. Neka je S skup. Postoji skup ˇciji elementi su toˇcno svi podskupovi skupa S. Zovemo ga partitivni skup skupa S i oznaˇcavamo P(S).
• za S={1,2,3}, P(S) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} • P(∅) ={∅}
Operacije sa skupovima
Neka suAiB skupovi. Postoji skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A ili skupuB, drugim rijeˇcima elementi koji pripadaju barem jednom od tih skupova. Zovemo gaunijaskupovaAiB i oznaˇcavamoA∪B. Piˇsemo: A∪B ={x:x∈A ilix∈B} (1) Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A i skupu B zovemo presjek skupova A iB i oznaˇcavamo A∩B.
A∩B ={x:x∈A ix∈B} (2)
Definicija 2. Kaˇzemo da su A i B disjunktni ako nemaju zajedniˇckih ele-menata, tj. ako je A∩B =∅.
Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupuA, ali ne pripadaju skupu B, zovemorazlika skupovaA iB i oznaˇcavamo A\B (ˇcitamo: “A bezB”). A\B ={x:x∈A i x /∈B} (3) Ako je pritomB ⊆A, onda kaˇzemo da je skup A\B komplement skupa B s obzirom na skup A.1
1Ako se iz konteksta podrazumijeva da se promatraju komplementi s obzirom na A,
ponekad piˇsemoBc
Primjer 1. Zadani su skupovi A={1,2,3,4} i B ={3,4,5,6}.
• A∪B ={1,2,3,4,5,6} • A∩B ={3,4}
• A\B ={1,2} • B\A ={5,6}
Skup
A×B ={(a,b) :a∈A,b∈B} (4) zovemo Kartezijev produkt skupovaA i B. Elemente Kartezijevog produkta zovemo uredeni parovi.
Napomena 1. Uredeni parovi bitno su razliˇciti od dvoˇclanih skupova. Za skupove nije bitan redoslijed u nabrajanju elemenata i nije bitno ponavlja li se neki element ili ne, tj. suviˇsno je pisati neki element viˇse puta. Za uredene parove bitan je redoslijed, te prvi i drugi element mogu biti jednaki.
Za uredene parove vrijedi (a,b) = (c,d) toˇcno onda ako je a=cib=d.
• {1,2}={2,1}, ali (1,2)6= (2,1)
• {1,1}={1}, ali (1,1)6={1}
• zaA={1,2}iB ={a,b,c},A×B ={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} • S={1,2,3},S×S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Skupove, njihove medusobne odnose i skupovne operacije ˇcesto grafiˇcki prikazujemo Vennovim dijagramima. Skupove prikazujemo kao likove u rav-nini omedene krivuljama, a po potrebi neke njihove elemente prikazujemo kao istaknute toˇcke.
Kartezijev produktR×Rgrafiˇcki prikazujemo kao pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Na sliˇcan naˇcin moˇzemo grafiˇcki prikazati i Kartezijeve produkte drugih skupova.
Relacije i funkcije
Drugim rijeˇcima, relacija je skup nekih uredenih parova elemenata izA i B. Pritom zaa∈A ib ∈B takve da je uredeni par (a,b) u relacijiR obiˇcno piˇsemo aRb.
Primjer 2. Relacija 6je podskup skupa R×R. Npr. uredeni par (1,2) je u relaciji 6, ˇsto zapisujemo kao 162.
Koriste´ci grafiˇcki prikaz Kartezijevog produkta, relacije moˇzemo prikazati naglaˇsavaju´ci toˇcke koje odgovaraju uredenim parovima elemenata koji su u relaciji. Relacije moˇzemo grafiˇcki prikazati i Vennovim dijagramima sa strelicama koje povezuju elemente koji su u relaciji.
Definicija 4. Neka suAiB skupovi. Relacijuf ⊆A×Bzovemofunkcija ili preslikavanje ako za svaki element x∈Apostoji toˇcno jedan element y∈B takav da je uredeni par (x,y) u f.
SkupA zovemo domena, a skup B kodomena funkcije.
Drugim rijeˇcima, funkcija svakom elementu domene pridruˇzuje toˇcno je-dan element kodomene. Ako je f funkcija s domenom A i kodomenom B, piˇsemo f :A →B i ˇcitamo “f je funkcija s A u B”.
Funkciju moˇzemo zadati tablicom vrijednosti ili formulom, ˇsto ´cemo vi-djeti u primjerima. Kod zadavanja funkcije formulom, oznaku x zovemo varijabla funkcije. Za dani element x ∈ A, njemu pridruˇzeni y zovemo vri-jednost funkcije i piˇsemo f(x) =y.
Primjer 3. Kvadriranje realnih brojeva je funkcija f :R →R, pri ˇcemu je f(x) =x2 za svaki x∈R.
Definicija 5. Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je injekcija ako razliˇcite elemente skupaApreslikava u razliˇcite elemente skupaB, tj. za svex1,x2 ∈A
takve da je x1 6=x2 vrijedif(x1)6=f(x2).
Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je surjekcija ako je svaki element kodomene vrijednost funkcije za neki element domene, tj. za svaki y ∈ B postoji x∈A takav da je f(x) =y.
Za funkciju kaˇzemo da je bijekcija ako je injekcija i surjekcija.
Kaˇzemo da su skupovi A iB ekvipotentni (ili jednakobrojni) ako postoji bijekcija f :A→B.
Primjer 4. Funkcija f(x) =x2 nije ni injekcija ni surjekcija.
Primjer 5. Skupovi A = {1,2,3} i B = {a,b,c} su ekvipotentni. Naime, funkcija f :A→B zadana tablicom
