Menentukan medan listrik menggunakan huk

Menentukan medan listrik menggunakan hukum Gauss

Medan listrik oleh muatan tunggal

Untuk menghitung medan listrik yang dihasilkan oleh muatan tunggal positif,

langkah pertama adalah memilih permukaan Gauss berbentuk bola berjari-jari r di

mana pusat bola berada pada muatan tunggal tersebut. Luas permukaan bola adalah

4πr2.

Medan listrik keluar dari pusat bola menembus secara tegak lurus permukaan

bola sehingga rumus fluks listrik adalah Φ = E A. Rumus hukum Gaussadalah Φ = Q /

εo

Medan listrik pada titik berjarak r dari muatan tunggal adalah :

Keterangan : E = medan listrik, k = konstanta Coulomb (9 x 109 N.m2/C2), Q =

muatan listrik, r = jarak dari muatan listrik

Ini adalah rumus medan listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan listrik. Rumus ini

dapat diturunkan menggunakan hukum Coulomb.

Medan Listrik di dalam dan di luar bola padat bermuatan listrik homogen

a) Medan listrik di dalam bola pejal

Bola padat berjari-jari R, sedangkan permukaan Gauss yang dipilih berbentuk bola

berjari-jari r, di mana r < R. Volume bola pejal adalah V dan volume bola Gauss

adalah V’.

Muatan listrik di dalam bola Gauss adalah :

Medan listrik keluar dari pusat bola menembus secara tegak lurus permukaan bola

sehingga rumus fluks listrik adalah Φ = E A. Rumus hukum Gauss adalah Φ = Q / εo

Medan listrik pada titik berjarak r dari pusat bola pejal adalah :

Berdasarkan rumus di atas, medan listrik (E) sebanding dengan muatan listrik (Q) dan

jari-jari permukaan Gauss (r), berbanding terbalik dengan pangkat tiga jari-jari bola

pejal (R3).

Bola pejal berjari-jari R sedangkan permukaan Gauss

yang berbentuk bola berjari-jari r, di mana r > R. Muatan bola pejal adalah Q; bola

pejal berada di dalam bola gauss sehingga muatan listrik di dalam bola gauss adalah

Q.

Medan listrik keluar dari pusat bola dan menembus secara tegak lurus permukaan bola

sehingga rumus fluks listrik adalah Φ = E A. Rumus hukum Gauss adalah Φ = Q / εo

Medan listrik berjarak r dari pusat bola pejal adalah :

Medan listrik di dalam dan di luar kulit bola rongga bermuatan listrik homogen

Bola rongga berjari-jari R dengan volume V = 4/3 π R3, bermuatan listrik positif

homogen pada kulitnya dengan muatan total Q. Tentukan kuat medan listrik di dalam

dan di luar kulit bola.

a) Medan listrik di dalam bola rongga

Bola rongga karenanya muatan listrik berada di kulit bola, sedangkan pada bagian

dalam bola tidak ada muatan listrik. Jika permukaan gauss yang dipilih berbentuk bola

dan bola gauss ini berada di dalam bola berongga maka di dalam bola gauss tidak ada

muatan listrik. Muatan listrik bernilai nol sehingga medan listrik juga bernilai nol.

Jadi medan listrik di dalam bola rongga bernilai nol.

Bola rongga berjari-jari R, sedangkan permukaan Gauss yang dipilih berbentuk bola

berjari-jari r, di mana r > R.

Medan listrik keluar dari pusat bola menembus secara tegak lurus permukaan bola

sehingga rumus fluks listrik adalah Φ = E A = E 4π r2. Rumus hukum Gauss adalah Φ

= Q / εo .

Medan listrik pada titik berjarak r dari pusat bola rongga adalah :

Medan listrik di dekat kawat tipis bermuatan listrik

Sebuah kawat tipis yang panjangnya tak berhingga bermuatan listrik positif homogen

dengan kerapatan muatan λ. Muatan listrik pada kawat adalah Q = λl. Tentukan

kuatmedan listrik di sekitar kawat tipis tersebut.

Permukaan Gauss dipilih berbentuk silinder dengan

panjang l dan berjari-jari r. Ada dua bentuk permukaan yakni permukaan berbentuk

lingkaran yang berjari-jari r yang terletak pada kedua ujung silinder (luas

permukaannya adalah πr2) dan permukaan berbentuk tabung dengan panjang l (luas

permukaanya adalah 2πr l).

Muatan listrik positif karenanya medan listrik keluar dari kawat tegak lurus

menembus permukaan tabung sehingga fluks listriknya bernilai Φ = E A = E 2πr l.

Sebaliknya medan listrik sejajar dengan kedua ujung tabung berbentuk lingkaran

sehingga fluks listriknya bernilai nol.

HUKUM GAUSS

Tujuan Pembelajaran :

1. Mengetahui pengertian dari garis - garis medan listrik 2. Memformulasikan Hukum Gauss

3. Mengetahui Kuat Medan Listrik bagi Ditribunsi Muatan Kontinu

A. Pengertian Garis – garis Medan Listrik

Garis – garis medan gravitasi adalah garis – garis bersambungna yang selalu berarah menuju massa sumber medan gravitasi. Makin rapat garis – garis medan gravitasi di suatu tempat berarti makin besar kuat medan gravitasi di tempat itu.

Hal yang sama dapat dijumpai dalam medan listrik, dimana listrik juga dapat divisualisasikan dengan menggunakan garis – garis medan listrik ( ada juga yang menyebut sebegai garis – garis gaya listrik ).

Tiga hal tentang garis – garis medan listrik :

1). Garis – garis medan listrik tidak pernah berpotongan

2). Garis – garis medan listrik selalu mengarah radial ke luar menjauhi muatan positif dan radial ke dalam mendekati muatan negatif.

3). Tempat dimana garis – garis medan listrik rapat menyatakan tempat yang medan listriknya kuat.

Sedangkan tempat dimana garis – garis medan listrik renggang menyatakan tempat yang medan

Gambar b menunjukkan foto pola garis – garis medan listrik yang dibentuk oleh biji – biji halus diantara dua elektroda titik yang muatannya berlawanan jenis. Susunan muatan seperti ini disebut dipol listrik. Dengan memperhatikan Gambar a secara seksama didapatkan :

1. Jumlah garis meda listrik yang meninggalakan muatan positif sama dengan jumlah garis medan

listrik yang masuk ke muatan negatif.

2. Garis garis medan listrik di dekat tiap muatan hampir radial.

3. Garis – garis medan yang sangat rapat di dekat setiap muatan menunjukkan medan listrik yang

kuat di sekitar daerah ini.

Gambar 1a Garis – garis medan listrik untuk dua muatan titik sama besar dan berlawana jenis. Perhatikan, banyaknya garis medan yang menjauhi muatan positif sama dengan banyak garis medan yang menuju ke muatan negatif. 2b Foto pola garis – garis medan yang dibentuk

oleh biji – biji halus diatan dua elektroda titik (N dan S) yang muatannya berlawan.

B. Formulasi Hukum Gauss

Pada bagian ini membahas tentang suatu teknik sederhana untuk menentukan kuat medan listrik bagi distribusi muatan kontinu yang dikembangkan oleh Karl Frieadrich Gauss ( 1777 – 1855 ). Beliau adalah salah seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang hukum matematika yang dipengaruhinya dan dia membuat kontribusi yang sama pentingnya untuk fisika teoritis.Gauss menurunkan hukumnya berdasar berdasar pada konsep garis – garis medan listrik yang telah di pelajari sebelumnya. Mari kita mulai dengan membahas konseo fluks listrik. Fluks listrik (Φ baca : phi) didefinisikan sebagai jumlah garis – garis medan listrik yang menembus tegak lurus suatu bidang.

Gambar 2. Fluks Listrik yang menembus suatu permukaan.

Gambar3. θ adalah sudut antara arah

Medan listrik serba sama E dan rah normal bidang n. Arah Normal bidang adalah arah tegak lurus terhadap bidang.

Dan dapat dirumuskan sebagai berikut :

Φ = E . A ... (1)

Gambar 4.Garis garis medan listrik yang menembus suatu bidang Maka :

Φ = E . A Cos θ ... (2) Keterangan :

Φ = Fluks Listrik (Weber) E = Kuat Medan Listrik (N/C) A = Luas Bidang (m2₎

θ = Sudut antara E dengan garis normal

Dari konsep fluks listrik inilah, Gauss menemukan hukumnya. Hukum Gauss menyatakan sebagai berikut.

“ Jumlah garis – garis medan listrik ( fluks listrik) yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang dilengkupi oleh permukaan tertutup itu dibagi dengan permitivitas udara ε0”.

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi (misalnya simetri bola, silinder, atau kotak). Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk permukaan tertutup tersebut dapat sembarang.

Gambar 5.Garis-garis medan listrik di sekitar muatan positif

Secara matematis, hukum Gauss dinyatakan dengan rumus berikut.

Dengan,

Φ = Fluks Listrik (Weber) q = Muatan Listrik (Coloumb)

ɛ0

=

Permitivitas ruang hampa = 8,85 x 10-12 _c2 _N2 _m2

Untuk memahami hukum Gauss yang dinyatakan oleh persamaan diatas dapat dikembangkan ke sistem yang mengandung lebih dari satu muatan titik. Pada permukaan tertutup melingkupi q1 dan q2, sedang q3 berada diluar permukaan tertutup.

Fluks listrik menembus permukaan akibat muatan q1 adalah q1/

ɛ

0 , akibat muatan q2 adalah

q2/

ɛ

0 . Fluks listrik total yang menembus permukaan adalah q1+q2/

ɛ

0, yang mungkin postif,

negatif, atau nol, bergantung pada tanda dan besar kedua muatan.

Contoh Soal :

1. Jika terdapat persegi dengan panjang sisi 20 cm, lalu bila sebuah medan listrik homogen sebesar

Jawab :

Luas Persegi = 20 x 20 = 400 cm2 _{= 4 x 10}-2 _m2

Jumlah Garis yang menembus bidang adalah Φ = E. A

Φ = 200. 4 x 10-2 _m

Φ = 8 weber

2. Sobat punya sebuah bidan lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Jika ada kuat

medan listrik sebesar 200 N/C mengarah pada bidang tersebut dengan membentuk sudut 300 _{terhadap bidang. Tentukan berapa fluks listrik tersebut?}

Jawab :

Luas Bidang :

Luas Lingkaran = π r2 _{= 22/7 x 49 = 154 cm}2 _{= 1,54 x 10-2 m}2

Cos θ = Cos 60o

( θ = sudut yang dibentuk oleh E dan garis normal — lihat gambar sebelumnya –)

Φ = E. A.cos θ

Φ = 200. 1,54 x 10-2 _{. 0,5}

Φ = 1,54 weber

C. Kuat Medan Listrik bagi Distribusi Muatan Kontinu

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik dari suatu sistem muatan atau muatan yang terdistribusi seragam. Tetapi dibatasi masalah untuk konduktor-konduktor yang memiliki simetri tinggi, seperti : konduktor dua keping sejajar dan konduktor bola berongga.

1). Kuat medan listrik untuk konduktor dua keping sejajar

Misalkan luas tiap keping A dan masing – masing keping diberi muatan sama tetapi berlawanan jenis +q dan –q. Didefinisikan rapat muatan listrik,σ, sebagai muatan per satuan luas .

... (4)

... (5)

Oleh karena medan litrik E menembus keping secara tegak lurus yang di tunjukkan pada gambar dibawah maka θ = 0o_{,dan cos θ = cos 0}o _{= 1sehingga persamaan diatas menjadi :}

Gambar 6. Konduktor dua keping sejajar dengan rapat muatan pada tiap – tiap keping adalah + σ Arah medan E selalu dari keping muatan postif k keping bermuatan negatif.

Dengan E = kuat medan listrik dalam ruang antara kedua keping (N/C) dan σ = rapat muatan keping (C/m2_).

Kuat medan listrik di luar keping sama dengan nol sebab muatan listrik tidak terdapat di luar keping.

Bila konduktor berongga diberi muatan maka muatan itu tersebar merata di permukaan bola (didalam bola itu sendiri tidak ada muatan).Bagaimana kuat medan listrik di dalam bola, pada kulit bola, dan di luar bola ? Kita aka mnghitungnya denan menggunakan hukum Gauss.

Dibuat permukaan I Gauss di dalam bola ( r < R ). Muatan yang dilingkupi oleh permukaan sama dengan nol sebab di dalam bola tidak ada muatan ( q = 0 ). Sesuai dengan persamaan :

Jadi, di dalam bola, kuat medan listrik sama dengan nol.

Sekarang dibuat permukaan II Gaus di luar bola ( r R ). Muatan yang dilingkupi oleh˂ permukaan II ini sama dengan muatan bola q, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut .

Gambar 7. Konduktor bola berongga dengan jari –jari R diberi muatan. Tampak muatan hanya berkumpul di permukaan bola sedangkan di dalam bola tidak ada muatan.

Luas bola A = 4 πr2_,sehingga

Dapat disimpulkan bahwa kuat medan listrik untuk bola konduktor berongga yang diberi muatan adalah

Contoh Soal :

1. Sebuah bola kecil bermuatan listrik 10 μC berada di antara keping sejajar P dan Q dengan

muatan yang berbeda jenis dengan rapat muatan 1,77 × 10-8 _C/m2_{. Jika g = 10 m/s}2 _dan

permitivitas udara adalah 8,85 × 10-12 _C2_/Nm2_{, hitung massa bola tersebut!}

Penyelesaian:

Diketahui:

q = 10 μC = 10-5 _C

σ = 1,77 × 10-8 _C/m2

g = 10 m/s2

ε0 = 8,85 × 10-12 C2/Nm2