OUTPUT REGULATOR FUZZY MELALUI STATE FEEDBACK BERBASIS MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO UNTUK INVERTED PENDULUM

OUTPUT REGULATOR FUZZY MELALUI STATE FEEDBACK

BERBASIS MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO

UNTUK INVERTED PENDULUM

Trihastuti

Agustinah

Yusuf

Bilfaqih

Jurusan Teknik Elektro – Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember – Surabaya 60111

email: trihastuti@ee.its.ac.id, bilfaqih@ee.its.ac.id

Abstrak – Suatu analisis dan disain output regulator fuzzy melalui state feedback berbasis model fuzzy Takagi-Sugeno dibahas dalam makalah ini. Model plant diberi sinyal gangguan step dan sinyal tracking sinus yang dibangkitkan oleh generator eksternal (exosystem). Output regulator digunakan untuk memberikan regulasi error asymptotis untuk setiap kondisi awal dari plant dan exosystem, sehingga sistem dapat menghilangkan sinyal gangguan dan dapat men-track sinyal referensi yang diberikan. Konsep fuzzy digunakan untuk menangkap prilaku nonlinier dari plant. Untuk meminimisasi kompleksitas, penggunaan aturan dalam basis aturan fuzzy Takagi-Sugeno dibatasi dua-aturan. Analisis stabilitas sistem fuzzy diturunkan dari perolehan fungsi Lyapunov definit positif. Analisis dan disain diaplikasikan pada masalah penyeimbangan batang pendulum terbalik yang terpasang pada kereta. Kata kunci: output regulator fuzzy, error asymptotis, stabilisasi feedback, plant nonlinier.

1. PENDAHULUAN

Nonlinieritas selalu mengganggu dalam pengontrolan sebuah sistem riil, karena sistem secara fisik biasanya diketahui sebagian dan sulit untuk digambarkan, dan hanya terdapat sedikit state terukur [5]. Disain kontroler konvensional mensyaratkan bahwa input atau kondisi awal yang diberikan harus sedekat mungkin dengan titik ekuilibrium stabil sistem. Teknik kontrol fuzzy dapat memperbaiki kekurangan disain konvensional [8,9,11] karena metode pemodelan fuzzy dapat meniru/menyerupai sistem riil secara baik.

Pendekatan metodologi disain kontroler fuzzy untuk sistem nonlinier yang banyak digunakan adalah stabilisasi feedback. Dalam pendekatan ini, disain kontrol feedback linier dilakukan berdasarkan linierisasi sistem pada titik operasi nominalnya. Model linier inilah yang digunakan untuk menyusun implikasi fuzzy dalam model fuzzy Takagi-Sugeno, di mana setiap implikasi menggambarkan dinamika lokal dalam state space yang berbeda-beda. Keseluruhan model sistem dan dinamika sistem dicapai dengan pencampuran (blending) fuzzy dari model-model linier dan implikasi dari model fuzzy sistem tersebut.

Untuk menjamin stabilitas sistem kontrol fuzzy yang telah didisain dengan menggunakan teknik di atas, seluruh state feedback harus terukur. Jika ada/ terdapat state feedback yang tidak terukur, maka diperlukan sebuah observer yang berguna untuk memberikan nilai estimasi dari state tersebut.

Penambahan observer menaikkan komplek-sitas sistem kontrol secara keseluruhan. Disamping itu, adanya error dalam estimasi state menyebabkan output sistem mempunyai dinamika yang berbeda-beda sehingga ke-robust-an disain sistem kontrol fuzzy kurang terjamin.

Disain output regulator fuzzy melalui state feedback merupakan teknik kontrol yang digunakan untuk menghindari penggunaan observer dalam disain kontroler dan menangkap dinamika sistem nonlinier. Dalam disain output regulator ini, plant diberi input referensi yang akan di-track dan sinyal gangguan yang harus dihilangkan oleh sistem. Performansi yang diharapkan dari disain output regulator ini adalah sistem closed-loop stabil asymptotis dan terjadinya regulasi error asymptotis untuk setiap kondisi awal plant dan exosystem. Dalam makalah ini, aplikasi disain output regulator fuzzy melalui state feedback dilakukan untuk masalah penyeimbangan inverted pendulum pada sebuah kereta.

Sistematika makalah ini sebagai berikut: seksi 2 membahas tentang konsep disain output regulator fuzzy dan konsep stabilitasnya. Aplikasi disain analisis stabilitas dari sistem dan uji validasi dari disain yang telah diperoleh serta analisis stabilitasnya untuk inverted pendulum dibahas dalam seksi 3. Seksi yang terakhir memuat kesimpulan.

2. OUTPUT REGULATOR FUZZY

Dalam permasalahan regulator, sistem nonlinier biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut:

w) u, , (x f x& = ) (w s w& = ) , (x w h e= (1)

Diasumsikan bahwa (x,w) = (0,0) merupakan titik ekuilibrium.

Untuk sistem (1), masalah regulator meliputi perolehan (jika mungkin) kontroler u=k(x,w) sehingga

(S)sf x = 0 merupakan stabil asymptotis untuk

dinamika closed loop x&= f(x,k(x,0),0).

(R)sf untuk setiap kondisi awal (x(0),w(0)) disekitar

origin, lim ( )=0

∞ → e t t .

Pendekatan linier dari (1) adalah sistem Pw Bu Ax x&= + + Sw w_& = e=Cx+Qw (2)

di mana x∈Rn adalah state dari plant, u∈Rm

adalah input kontrol, w∈Rpadalah variabel input exosystem. Variabel error e∈Rq yang dinyatakan sebagai kombinasi linier dari state plantx(t) dan input exosystem w(t), sedangkan A, B, P, S, C dan Q adalah matriks-matriks dengan dimensi yang sesuai.

Sistem nonlinier digambarkan dengan model dinamik Takagi-Sugeno dengan bentuk berikut:

Aturan Plant ke-i:

ig g

i1

1(t)adalahF dan danz (t)adalahF

z IF L ) t ( P ) t ( ) t ( (t) THENx& =Aix +Biu + iw ) t ( ) t ( S_iw w& = ) t ( ) t ( ) t ( _{i i} i C x Qw e = + (3) untuk i=1,2,_L ,r.

Output akhir dari sistem fuzzy sebagai berikut:

∑

∑

= = + = r 1 i r 1 i i i i i (t) (t) (t) Ax B u x& μ μ

∑

= + r 1 i i iP (t) μ w

∑

= = r 1 i i i (t) ) t ( S w w& μ

∑

∑

= = + = r 1 i r 1 i i i i i i(t) C x(t) Q w(t) e μ μ

Aturan regulator untuk sistem linier lokal (3) dimodelkan dengan bentuk berikut:

Aturan regulator ke-i:

IFz₁(t)adalahF_i1dan_Ldanz_g(t)adalahF_ig

THEN u(t)=-K_ix(t)-L_iw(t)

dan untuk sistem akhir (3), inferensi dari regulator sebagai berikut:

∑

∑

= = = r 1 i r 1 i i i i i (t)- (t) -(t) K x Lw u μ μ (4)

Stabilitas dari sistem kontrol fuzzy (3) dapat dijamin jika pasangan {Ai, Bi, Ci, Pi, Si} dan matriks

Ki dan Li ada sehingga (S)sf matriks-matriks Ai-BiKi

mempunyai eigenvalue di C- serta ada/terdapat matriks positif definit P yang memenuhi

0 K B A P P K B A − ) + ( − )< ( i i i T i i i dan 0 K B A K B A P P K B A K B A < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − 2 2 i j j j i i T i j j j i i untuk i< j≤r.

(R)sf untuk setiap (x0, w0), solusi [x(t), w(t)] dari

∑∑

= = − = r 1 i r 1 j j i i j i ( ) (t) (t) A BK x x& μμ

∑∑

= = − + r 1 i r 1 j j i i j i ( ) (t) μμ P BL w

∑

= = r 1 i i i (t) ) t ( S w w& μ memenuhi [x(0), w(0)]= (x0, w0) sehingga

∑

= ∞ → ∞ → = r 1 i i i t tlime(t) lim μe(t) 0 ) t ( ) t ( lim r 1 i r 1 i i i i i t ⎟⎟_⎠= ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =

∑

∑

= = ∞ → μC x μQ w

Anggap asumsi bahwa exosystem

) ( ) (t Siwt

w& = (i=1,2,_L ,r) seluruh eigenvalue

dari Si mempunyai bagian real positif terpenuhi dan

ada state feedback

∑

∑

= = = r 1 i r 1 i i i i i (t)- (t) -(t) K x Lw u μ μ

untuk kondisi (S)sf terpenuhi, maka (R)sf juga

terpenuhi apabila matriks-matriks Π_i dapat memenuhi persamaan matriks linier berikut:

Π_iS_i =(A_i−B_iK_i)Π_i+(P_i−B_iL_i) (5) 0=C_iΠ_i+Q_i , i=1 ,2,L ,r (6)

Berdasarkan asumsi di atas, spectra σ(S_i) r , 2, , 1 _L =

i terletak di sebelah kanan bidang kompleks dan spectra σ(A_i−B_iK_i) dengan hipotesis (S)sf terletak di sebelah kiri bidang kompleks.

Jadiσ(Si)=σ(Ai−BiKi)=∅, i=1 ,2,L ,r dan

persamaan (5) mempunyai solusi yang unik untuk setiap persamaan.

Transformasi koordinat untuk setiap aturan plant i: ) t ( ) t ( ) t ( ~ i i x w x = −Π maka diperoleh

) t ( ) t ( ) t ( ~ i i x w

x& = & −Π &

) t ( ) t ( ) t ( ) t ( i i i i ix Bu Pw Sw A + + −Π = )] t ( ) t ( [ ) t ( _{i i i} ix B K x Lw A + + = ) t ( ) t ( _{i i} iw Sw P −Π + ) t ( ) ( ) t ( ) (A_i−B_iK_i x + A_i−B_iK_i Π_iw = )] t ( ) t ( )[ (A_i −B_iK_i x −Π_iw = ) t ( ~ ) (A_i−B_iK_i x_i =

Penyelesaian sistem di atas dalam koordinat yang baru adalah ), 0 ( ~ e ) t ( ~ i t ) i i i ( i x x = A−BK ) 0 ( e ) t ( it_w w = S di samping itu ) t ( ) t ( ) t ( _{i i} i C x Qw e = + ) t ( )] t ( ) t ( ~ [ _{i i i} i x w Qw C + + = Π ) t ( ) ( ) t ( ~ i i i i ix C Q w C + + = Π ) 0 ( e ) ( ) 0 ( ~ e Sit i i i i t ) i K i B i A ( i x C Q w C + + = − Π

karena (A_i−B_iK_i) mempunyai eigenvalue bagian negatif dan C_iΠ_i+Q_i =0, maka

0 ) t ( lim _i t = ∞ → e 0 ) t ( lim ) t ( lim r 1 i i i t t = =

∑

= ∞ → ∞ → e μe

3. APLIKASI DISAIN: INVERTED PENDULUM

Persamaan gerak untuk pendulum dalam state space adalah 2 1 x x& = 2 1 1 2 2 2 2 2 [ f(M m)x ] x cos l m ) ml J )( m M [( 0 . 1 x − + − + + = & 1 4 0 1 1 2 2 2 2 x cos mlx f x cos x sin x l m + − +(M+m)mglsinx1−mlcosx1u] 4 3 x x& = 1 2 1 1 2 2 2 2 4 [f mlx cosx ] x cos l m ) ml J )( m M [( 0 . 1 x − + + = & 4 2 0 1 2 2 2_{)mlx sinx f (J ml )x} ml J ( + − + − +m2gl2sinx₁cosx₁−(J+ml2)u] (7)

di mana x1 menotasikan sudut (radians) pendulum dari

titik vertikal, x2 adalah kecepatan angular (rad/s), x3

adalahposisi (m) dan x4 adalah kecepatan (m/s) dari

kereta. g=9.8 m/s2 adalah konstanta gravitasi, m adalah massa (kg) pendulum, M adalah massa kereta, f0 adalah faktor gesekan (N/m/s) kereta, f1 adalah

faktor gesekan (N/rad/s) pendulum, l adalah panjang (m) dari tengah massa pendulum, J moment inersia (kgm2) dan u adalah gaya (N) yang diberikan ke kereta.

Linierisasi persamaan (7) pada nilai (x1=0, u=0)

dan (x1=600, u=0) diperoleh bentuk sistem linier time

invariant, sebagai berikut:

x&(t)= Ax(t)+Bu(t) (8) Nilai parameter plant inverted pendulum yang

digunakan untuk simulasi adalah m=0.2 kg, M=1.5 kg, f0=0.2 N/m/s, f1=1.2 N/rad/s, l=0.25 m, J=0.125 kgm2.

Substitusi nilai tersebut ke sistem (7) setelah dilakukan linierisasi pada (x1=0, u=0) dan (x1=600,

u=0), diperoleh matriks Ai dan Bi diperoleh dari yaitu

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 71 . 16 0 0135 . 0 263 . 1 1 0 0 0 18 . 44 0 312 . 0 25 . 29 0 0 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 23 . 15 0 0062 . 0 567 . 1 1 0 0 0 14 . 20 0 285 . 0 06 . 22 0 0 1 0 2 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 7292 . 0 0 928 . 1 0 1 B ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 665 . 0 0 879 . 0 0 2 B

Formulasi masalah untuk output regulator fuzzy dengan memberikan sinyal referensi sinusoidal dan gangguan step sebagai berikut:

2 1 x x& = ; x&3=x4 u b x a x a x a x&₂ = _{21 1} + _{22 2} + _{24 4} + ₂ 1 4 4 44 2 42 1 41 4 a x a x a x b u w x& = + + + + 5 . 0 ) 0 ( w , 0 w&₁= ₁ = 0 . 0 ) 0 ( w , w 5 . 0 w&₂= _{3 2} = 5 . 0 ) 0 ( w , w 5 . 0 w&₃=− _{2 3} = 1 3 0.1w x y= + ; e=x₃+0.1w₁−w₂ Untuk mendisain regulator fuzzy melalui state feedback, formulasi masalah dari plant inverted pendulum didekati dengan model fuzzy Takagi-Sugeno. Untuk meminimisasi usaha disain dan

kompleksitas, banyaknya aturan dalam model fuzzy yang digunakan sebanyak dua, yaitu

Aturan plant 1: 0 sekitar ) t ( x IF ₁ ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( THEN x& = A₁x +B₁u +P₁w ) t ( ) t ( S1w w& = ) t ( ) t ( ) t ( e₁ =C₁x +Q₁w Aturan plant 2: 3 sekitar ) t ( x IF ₁ ±

π

) t ( ) t ( ) t ( ) t ( THEN x& = A₂x +B₂u +P₂w ) t ( ) t ( S₂w w& = ) t ( ) t ( ) t ( e₂ =C₂x +Q₂w

di mana matriks A1, B1, A2, B2 adalah matriks-matriks

hasil linierisasi, sedangkan matriks yang lain adalah

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 P P_{1 2} ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = 0 5 . 0 0 5 . 0 0 0 0 0 0 S S_{1 2}

[

0 0 1 0

]

C C1 = 2 =

[

0.1 1.0 0.0

]

Q Q₁ = ₂= − .

Aturan regulator melalui state feedback sebagai berikut Aturan regulator 1: 0 sekitar ) t ( x IF ₁ ) t ( ) t ( ) t ( u THEN =−K₁x −L₁w Aturan regulator 2: 3 sekitar ) t ( x IF ₁ ±

π

) t ( ) t ( ) t ( u THEN =−K₂x −L₂w jadi,

∑

∑

= = − − = 2 1 i 2 1 i i i i i (t) (t) ) t ( u μK x μLw .

Fungsi keanggotaan fuzzy dalam aturan plant dan regulator untuk aturan 1 dan 2 adalah

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = _{− (t)− 3]} 1 x [ 7 1 1 e 1 0 . 1 0 . 1 )] t ( x [ _π μ ] 3 ) t ( 1 x [ 7 e 1 0 . 1 π − − + • dan

μ

₂[x₁(t)] =1.0−

μ

₁[x₁(t)].

Disain matriks K yang menugaskan eigenvalue A-BK pada lokasi pole closed loop [-3, -2, -2.5, -1] untuk A1-B1K1 dan A2-B2K2, diperoleh

K1 = [-29.1442 -4.9203 -0.7939 -24.6965]

K2 = [-56.0583 -11.2645 -1.1287 -25.4515]

Penyelesaian persamaan (5) dan (6) diperoleh matriks gain feedforward, yaitu

L1 = [-1.5052 0.4445 0.8247]

L2 = [-2.1610 0.6285 1.1701]

Dengan menggunakan teori stabilitas standar untuk sistem linier time invariant, sistem dalam pers.(8) memenuhi kondisi stabilitas Lyapunov jika terdapat matriks definit positif P, sehingga

0 ) (

)

(A−BK TP+P A−BK < (9)

Dari perhitungan numerik yang telah dilakukan diperoleh matriks P untuk sistem hasil linierisasi x1=0,

yaitu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 080 . 0 051 . 0 068 . 0 353 . 0 051 . 0 038 . 0 044 . 0 224 . 0 068 . 0 044 . 0 076 . 0 359 . 0 353 . 0 224 . 0 359 . 0 935 . 1 P

dan untuk sistem hasil linierisasi x1=600 adalah

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 014 . 0 021 . 0 004 . 0 033 . 0 021 . 0 479 . 2 038 . 0 755 . 1 004 . 0 038 . 0 002 . 0 042 . 0 033 . 0 755 . 1 042 . 0 005 . 2 P

Uji validasi ke dua matriks simetri definit positif di atas berdasarkan kondisi stabilitas Lyapunov dalam persamaan (9) dapat dibuktikan bahwa P yang diperoleh valid sebagai matriks definit positif untuk sistem linier time invariant dalam persamaan (8). Jadi, sistem kontrol fuzzy yang telah didisain terjamin kestabilannya.

Simulasi dilakukan sebagai uji validasi dari disain output regulator fuzzy. Pada simulasi pertama initialisasi plant pada nilai x1=0.1 rad, x2=0, x3=0 dan

x4=0. Posisi awal sudut pendulum di sekitar titik

ekuilibrium stabil.

Gambar 4.1(a) adalah respons sudut pendulum (x1) dengan spesifikasi respons yaitu settling time

sekitar 5 detik dan overshoot sekitar 5%. Sudut awal pendulum dimulai dari nilai 0.15 radians, hal ini disebabkan adanya pengaruh gangguan step yang diberikan pada plant. Sedangkan respons posisi kereta terdapat pada gambar 4.1(b). Sinyal referensi sinus yang harus di-track dalam dashed line dan respons posisi kereta dalam solid line. Dari gambar terlihat bahwa posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi dalam waktu sekitar 5 detik. Gambar 4.1(c) adalah error posisi kereta, yang menunjukkan bahwa regulasi asymptotis dapat terjadi untuk kondisi plant yang diberi gangguan step.

Selanjutnya simulasi dilakukan dengan initialisasi x1=0.2618 rad (atau 150), x2=0, x3=0 dan

x4=0. Respons posisi sudut pendulum (gambar 4.2(a))

masih memberikan spesifikasi respons yang memuaskan dengan settling time sekitar 6 detik dengan overshoot sebesar 11%. Sedangkan posisi kereta (gambar 4.2(b)) dapat men-track sinyal referensi dengan error yang terjadi seperti pada gambar 4.2(c).

Karena batasan sistem pendulum di mana kereta diasumsikan mempunyai ruang gerak yang terbatas, maka pemberian nilai initialisasi pada sudut pendulum yang lebih besar tidak memungkinkan. Hal ini

disebabkan karena untuk penyimpangan pendulum yang jauh dari titik ekuilibrium-nya diperlukan sinyal kontrol yang sangat besar pada kereta sehingga melebihi ruang gerak dari kereta itu sendiri.

4. KESIMPULAN

Hasil simulasi menunjukkan bahwa output regulator fuzzy yang didisain dapat menyeimbangkan (mengembalikan) batang pendulum ke dalam posisi vertikal dan posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi dengan spesifikasi respons yang memuaskan. Jadi, output regulator fuzzy melalui state feedback dapat memberikan spesifikasi respons yang diinginkan, yaitu (a) sistem closed loop stabil asymptotis, (b) terjadi regulasi error secara asymptotis.

ACKNOWLEDGEMENT

We would like to thank DR. Manfredi Maggiore for widening our views, and special thank to Harry Nugroho for his support, and suggestions contributing to this research.

PUSTAKA ACUAN

[1] Bahram Shahian and Michael Hassul, ”Control System Design Using Matlab”, Prentice Hall Inc., New Jersey, 1993.

[2] Hassan K. Khalil, ”Nonlinear Systems”, Macmillan Publishing Comp. New York, 1992.

(a) (b) (c) Gbr. 4.1: Respons sistem pada initialisasi x1=0.1 rad, x2=0, x3=0, x4=0;

(a) respons sudut pendulum; (b) respons posisi kereta; (c) error

(a) (b) (c) Gbr. 4.2: Respons sistem pada initialisasi x1=0.2618 rad, x2=0, x3=0, x4=0;

[3] Kevin M. Passino, Stephen Yurkovich, ”Fuzzy Control”, Addison-Wesley Longman, California, 1998.

[4] K. Ogata, ”Modern Control Engineering”, Prentice-Hall, New Jersey.

[5] J.J.E. Slotine and Weiping Li, ”Applied Nonlinear Control”, Prentice-Hall, New Jersey, 1997, 1991.

[6] Manfredi Maggiore,”Output Feedback Control: A State-Variable Approach”, Dissertation, The Ohio State University, Ohio, 2000.

[7] M. Sugeno and T. Takagi, ”Fuzzy Identifica-tion of Systems and Its Applications to Modelling and Control”, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, vol. 15, no.1, pp 135-142, 1985.

[8] K. Tanaka, T. Ikeda, H.O Wang, ”Robust Stabilization of a Class of Uncertain Nonlinear System via Fuzzy Control: Quadratic Stability, H inf. Control Theory, and Linear Matrix Inequalities”, IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol.4, no.1, pp 1-13, 1996.

[9] Trihastuti A., ”Analisis tentang model fuzzy yang diperoleh dari identifikasi fuzzy untuk sistem pengaturan posisi motor dc, Lemlit – ITS, 1996.

[10] Trihastuti A., ”Perolehan model fuzzy Takagi-Sugeno melalui identifikasi fuzzy untuk sistem inverted pendulum”, Lemlit – ITS, 2000. [11] Trihastuti A., ”Analisis stabilitas model fuzzy

Takagi-Sugeno: Pendekatan Lyapunov”, Lemlit – ITS, 2000.

[12] Trihastuti A., ”Disain observer fuzzy berbasis model fuzzy T-S untuk inverted pendulum”, Lemlit– ITS, 2001.

[13] Xiao-Jun Ma and Zeng-Qi Sun, ”Ouput Tracking and Regulation of Nonlinear System Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Model”, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, vol. 30, no.1, pp 47-59, 2000.

Trihastuti Agustinah is currently a lecturer of control and systems engineering division, electrical engineering department at Sepuluh Nopember Institute of Technology. Her main research interests are in controlling a nonlinear plant based-on fuzzy and robust control techniques, and stochastic control, filtering and estimation.

Yusuf Bilfaqih is currently a lecturer of control and systems engineering division, electrical engineering department at Sepuluh Nopember Institute of Technology.