Funkcija Lobačevskega: študijsko gradivo: zgodovina matematike

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo. Marko Razpet. FUNKCIJA LOBAČEVSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike. Ljubljana, januar 2013.

Vsebina Predgovor. 3. 1 Uvod. 6. 2 Zapis funkcije Lobačevskega s Fourierovo vrsto. 7. 3 Lastnosti. 12. 4 Bernoullijeva števila. 16. 5 Primer uporabe. 19. 6 Ivan Pucelj. 24. Literatura. 25. 2.

Predgovor V pričujočem kratkem gradivu bomo poskusili predstaviti nekaj zanimivosti v zvezi s funkcijo Lobačevskega. Pri zgodovini matematike navadno Lobačevskega omenjamo v zvezi z neevklidsko geometrijo, pri čemer ne moremo mimo madžarskega matematika Jánosa Bolyaija (1802–1860) in njegovega očeta Farkasa Bolyaija (1775–1856) ter samega Carla Friedricha Gaußa (1777– 1855). Za vse je pravzaprav kriv Evklid (360–280) s svojim petim postulatom ali aksiomom o vzporednici v znamenitih Elementih. Originalno je peti postulat zapleteno povedan, zato so našli bolje razumljivo in logično enakovredno dikcijo: Skozi vsako točko 𝑇 , ki ne leži na premici 𝑝, poteka natančno ena vzporednica k premici 𝑝.. Slika 1. Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792–1856).. Nikolaj Ivanovič Lobačevski, rusko Николай Иванович Лобачевский, se je rodil 1. decembra 1792 (po starem ruskem koledarju 10. novembra) v Nižnem Novgorodu (Нижний Новгород). Šolal se je na gimnaziji v Kazanu 3.

(Казань), kjer se je vpisal tudi na univerzo, na kateri je najprej študiral kemijo in farmakologijo, nato pa matematiko, fiziko in astronomijo. Njegov profesor matematike je bil Johann Christian Martin Bartels (1769–1833), tudi Gaußov učitelj in prijatelj. Lobačevski je 1811 magistriral iz matematike in fizike, tri leta kasneje je začel predavati na kazanski univerzi, leta 1822 pa je postal že redni profesor. Bil je tudi dekan fakultete za fiziko in matematiko, direktor univerzitetne knjižnice in rektor univerze. Prejel je več odlikovanj in celo plemiški naslov. Ker se je zdel matematikom peti Evklidov postulat že od nekdaj sumljiv, so ga skušali dokazati s preostalimi postulati v Elementih, toda zaman. Začeli pa so razmišljati drugače in prišli do sklepa, da je peti postulat pravzaprav neodvisen od ostalih. Vprašali so se, kaj se zgodi, če peti postulat zanikamo: Skozi točko 𝑇 , ki ne leži na premici 𝑝, poteka več kot ena vzporednica k premici 𝑝. Tako sta neodvisno eden od drugega razmišljala János Bolyai in Lobačevski. S tem se je rodila hiperbolična geometrija, ki je neevklidska. Gauß je za Madžarovo odkritje vedel, a ni želel tega razbobnati, ker se je verjetno bal reakcije kolegov. Rus pa je že leta 1826 imel pripravljen članek za objavo, a objavljen ni bil. Vsebino je vključil v obsežnejši članek O osnovah geometrije (О началах геометрии, v stari ruščini О началахъ геометріи), ki je bil objavljen v Kazanskem vestniku (Казанский вестник, v stari ruščini Казанскій вѣстник издаваемый при императорскомъ Казанскомъ университетѣ) za akademsko leto 1829/30. Prav ta članek imajo za prvo znanstveno objavo, v kateri je govora o neevklidski geometriji, ki jo je Lobačevski poimenoval imaginarna geometrija, rusko Воображаемая геометрия, francosko Géométrie imaginaire. János pa je objavil svoje ugo-. 4.

tovitve v neevklidski geometriji kot dodatek v očetovem delu Tentament, ki je izšlo leta 1832 in je prišlo v roke tudi Gaußu, ki pa ni storil drugega kot to, da je prispevek pohvalil, ni se pa hotel izjasniti, kdo je prvi odkril neevklidsko geometrijo. V velikem razočaranju János ni od takrat objavil ničesar več s področja matematike. Lobačevski je umrl popolnoma slep 24. februarja 1856 (po starem ruskem koledarju 12. februarja) v Kazanu. Druga možnost zanikanja Evklidovega petega postulata pa se glasi: Skozi točko 𝑇 , ki ne leži na premici 𝑝, ne poteka nobena vzporednica k premici 𝑝. Na tako spremenjenem postulatu sloni eliptična geometrija, ki je tudi neevklidska. Ljubljana, januar 2013. Dr. Marko Razpet. 5.

1. Uvod. Ruski matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevski se je sistematično ukvarjal s hiperbolično geometrijo, pri kateri je med drugim uporabljal neelementarno funkcijo 𝐿, definirano s predpisom ∫. 𝜗. 𝐿(𝜗) = −. ln (cos 𝜑) 𝑑𝜑 .. (1). 0. Slika 2. John Willard Milnor.. Leta 1979 je John Willard Milnor (rojen 1931, Abelov nagrajenec za leto 2011) vpeljal nekoliko bolj pripravno funkcijo ∫ Л(𝜗) = −. 𝜗. ln ∣2 sin 𝜑∣ 𝑑𝜑 .. (2). 0. Ravno Lobačevskemu v čast jo je označil z cirilsko črko Л (glej na primer [3]). V literaturi jo nekateri raje označujejo z grško črko Λ. Obe funkciji sta povezani z relacijo Л(𝜗) = −𝐿(𝜋/2 − 𝜗) + (𝜋/2 − 𝜗) ln 2 , 6. 0 ≤ 𝜗 ≤ 𝜋/2 ..

Milnorjeva funkcija Lobačevskega je v tesni povezavi s Clausenovim integralom ∫. 𝜗. Cl2 (𝜗) = −. ln 2 sin 0. 𝜑 𝑑𝜑 , 2. (3). saj očitno velja enakost Cl2 (2𝜗) = 2Л(𝜗). Thomas Clausen je med drugim raziskoval stabilnost Sončevega sistema ter Bernoullijeva števila ter pravilno izračunal število 𝜋 na 248 decimalk.. Slika 3. Thomas Clausen (1801–1885).. 2. Zapis funkcije Lobačevskega s Fourierovo vrsto. Funkcijo Lobačevskega bomo obravnavali na kar se da preprost način, in sicer z uporabo potenčnih in Fourierovih vrst ter kompleksnih števil. V ta namen si najprej oglejmo kompleksno število 𝑧(𝑟, 𝜑) =. 1 1 − 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖𝑟 sin 𝜑 = , 𝑖𝜑 1 − 𝑟𝑒 1 − 2𝑟 cos 𝜑 + 𝑟2 7. 0 < 𝜑 < 2𝜋 , 0 < 𝑟 < 1 . (4).

Kratek račun pokaže, da v ravnini kompleksnih števil točka 𝑧(𝑟, 𝜑) potuje po krožnici 𝒦𝑟 polmera 𝑟/(1 − 𝑟2 ) in s središčem v točki 1/(1 − 𝑟2 ), in sicer v pozitivni smeri od točke 1/(1 − 𝑟) prek točke 1/(1 + 𝑟) nazaj proti točki 1/(1 − 𝑟), ko kot 𝜑 spreminjamo od 0 do 2𝜋. Zato je pri tem vedno kot 𝛼 = arg 𝑧(𝑟, 𝜑) v mejah med −𝜋/2 in 𝜋/2.. .. .. ... ......... .............................................................. ... ... ............ .......... .......... ........ .... ... ........ ....... . . . . . .. . . . ....... ....... ...... ... .... ...... ...... . . . . ... . . . ..... .... . . ... ..... . .... . ... ..... . . . ... . ... ..... .... . . ..... ... ... . ... . .... . ... . ... . ... . . . . . . . ... .. ........................... ... . . . . . ... . . . .... .. . ... . . ... . . . . . . . . ..... . . ... ... . . . . . . . . ... .. . ..... ... ......... . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... .... .. . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .. . ... . ....... ... . .......... . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ...... . .... .. ... ........ .. . . ... . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . ....... ... .. ..................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . ..... ..... ... .. .. ... ... . . . . . . . . . . . . . . ... ... .. . .. .. .... ... ... .... ... .. . . . ... . . . ... . . ... . ... .. .. .... .. . ... .. . ... ... . . ... . . . .. ... .. .. .. ..... . .. .... . . ... . ... ... ... . . . . . .. .... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ......... ... .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . .. .. .. . .. ... .... .... ... . .. .. .. .. . .. . . . . . ... .. .. .. . . . .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . . .. . ... .. .. ... ... .... .. .. .... ... ... .. .. .. ... ... .. .. ..... ... ... ... .. .. ... ... .... ........ ..... .... .. ... ... ... .. .... ........ ... . ..... .. .... . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .......... .. ... ... ..... ... ........ ..... .... ... ... ... ..... .... .... .............. ...... .... ... ... ... ...................................... ...... .... .. ..... ... ... ... .... ... ................ ... . ......... ...... .. . . . . ... . .. ... .... .... .... ... ... ...... ..... ... ... ... ....... ........ ... ... ......... ... ... ............. ... . ... . ... ... ..... .. ... ... ..... ..... ... ..... ..... ... ..... ..... ... ... ..... ..... . . . ... . ... ...... ..... ...... ... ... ...... ...... ... ... ...... ....... ....... ........ ... ... ....... ......... . . . . . . . ... ... . . ........... ........... ................. ... ... .............................................. ... ... . .. 𝑦. 𝑟=1. 𝑟 = 3/4. 𝑟 ∙. ∙ 𝑧(𝑟, 𝜑). 𝑟 = 1/2. 𝜑. ∙. 0. ∙. 𝑥. 1. Slika 4. Števili 𝑒𝑖𝜑 in 𝑧(𝑟, 𝜑).. Absolutna vrednost kompleksnega števila 𝑧(𝑟, 𝜑) je ∣𝑧(𝑟, 𝜑)∣ = √. 1 1 − 2𝑟 cos 𝜑 + 𝑟2. ,. (5). argument 𝛼(𝑟, 𝜑) pa je dan z izrazom 𝛼(𝑟, 𝜑) = arc tg. 𝑟 sin 𝜑 . 1 − 𝑟 cos 𝜑. (6). Zato je ln 𝑧(𝑟, 𝜑) = ln ∣𝑧(𝑟, 𝜑)∣ + 𝑖𝛼(𝑟, 𝜑) . 8. (7).

Izbrali smo tisto vejo kompleksnega logaritma 𝑧 7→ ln 𝑧, ki ima za pozitivne spremenljivke 𝑧 realne vrednosti. Oglejmo si še mejni primer 𝑟 = 1. Tedaj točke 𝑧(1, 𝜑) ležijo na premici Re 𝑧 = 1/2 in Im 𝑧(1, 𝜑) → ∞, ko 𝜑 → 0, in Im 𝑧(1, 𝜑) → −∞, ko 𝜑 → 2𝜋. Zato veljata tudi enakosti ( 𝜑) , ln ∣𝑧(1, 𝜑)∣ = − ln 2 sin 2. 𝛼(1, 𝜑) =. 𝜋−𝜑 , 2. (8). in za 0 < 𝑟 ≤ 1 enakost 1 𝑟 sin 𝜑 ln 𝑧(𝑟, 𝜑) = − ln(1 − 2𝑟 cos 𝜑 + 𝑟2 ) + 𝑖 arc tg 2 1 − 𝑟 cos 𝜑. (9). pri pogoju 0 < 𝜑 < 2𝜋:. 𝑦 ..................... .... ........ .... .... ................ ....... ... ....... ....... ... ....... ... .. ... .......................................................... ... ... ............................................................ ................................. ... ... .......... ........................... ................. ............. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................... .. .... .... .. ................................... ... ..... ... ................................ ................. .................................. .... .. ... ................. . . . ... . ....... ............. ....... ...................... ... ... ....... .. ....... ... ....... . ... ....... ....... ... ... ....... ..................................................................... ... ... ... .. . ... .... ... . ... ........ ..... ... ... .. . .. .. ... ... .. . ... ... .. . ... ... ... ... . ...... ... .. .. .. ..... ... ....... ..... .. ... ...... ...... ... . ... ........ ... ............ ... .. ....... ... ............... ............. .. .......... ............ ... .. ......... ....... . . . . . ... . . . . ...... .... .. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ......................... . . . . . . . .. . . . . .................................. ........ ..... .... ... ...................... ................................................................................................... ................................................................................... ... ........................... .......................... ... .......... ... .. ... ... .. 0. 𝑦. 𝑦 = ln ∣𝑧(𝑟, 𝜑)∣. 𝜋. 2𝜋. 𝜋. 0. 𝜑. 2𝜋. 𝑦 = arg 𝑧(𝑟, 𝜑). 𝜋/2. 𝜑. −𝜋/2. Slika 5. Funkciji 𝜑 7→ ln ∣𝑧(𝑟, 𝜑)∣ in 𝜑 7→ arg 𝑧(𝑟, 𝜑) za 𝑟 = 1/2, 3/4, 1.. Iz znanega razvoja. ∞. ∑ 𝑧𝑛 1 ln = , 1−𝑧 𝑛 𝑛=1. ∣𝑧∣ < 1 ,. (10). dobimo v primeru 0 < 𝑟 < 1 za kompleksno število 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜑 , za katero je tedaj izpolnjen pogoj ∣𝑧∣ < 1, naslednji razvoj: ln 𝑧(𝑟, 𝜑) =. ∞ ∑ 𝑟𝑛 𝑒𝑖𝑛𝜑 𝑛=1. 𝑛. =. ∞ ∑ 𝑟𝑛 cos(𝑛𝜑). 𝑛. 𝑛=1. 9. +𝑖. ∞ ∑ 𝑟𝑛 sin(𝑛𝜑) 𝑛=1. 𝑛. .. (11).

Zapisa (9) in (11) kompleksnega števila ln 𝑧(𝑟, 𝜑) dasta po primerjavi realnih in imaginarnih delov razvoja v Fourierovo vrsto: ∞ ∑ 𝑟𝑛 cos(𝑛𝜑) 1 2 , − ln(1 − 2𝑟 cos 𝜑 + 𝑟 ) = 2 𝑛 𝑛=1. 0 < 𝜑 < 2𝜋 ,. (12). ∞ ∑ 𝑟 sin 𝜑 𝑟𝑛 sin(𝑛𝜑) = , 1 − 𝑟 cos 𝜑 𝑛 𝑛=1. 0 < 𝜑 < 2𝜋 .. (13). arc tg. Sedaj je treba razmisliti, kako je v mejnem primeru 𝑟 → 1−0 . Uporabimo znana izreka iz teorije vrst, ki ju dobimo na primer v [6]. Prvi pove, da vrsti ∑∞ ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 sin(𝑛𝜑) konvergirata pri pogoju 0 < 𝜑 < 2𝜋, če 𝑛=1 𝑎𝑛 cos(𝑛𝜑) in je zaporedje (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . .) pozitivnih števil padajoče z limito 0. Če vzamemo 𝑎𝑛 = 𝑟𝑛 /𝑛, vidimo, da vrsti v razvoju ln 𝑧(𝑟, 𝜑) konvergirata pri pogojih ∑∞ 𝑛 0 < 𝑟 ≤ 1 in 0 < 𝜑 < 2𝜋. Če ima realna potenčna vrsta 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥 konvergenčni polmer 1 in vsoto 𝑓 (𝑥) za −1 < 𝑥 < 1 in če konvergira vrsta ∑∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 k vsoti 𝑠, potem je po znanem izreku lim𝑥→1−0 𝑓 (𝑥) = 𝑠. Če gledamo na vrsti v razvoju ln 𝑧(𝑟, 𝜑) kot na potenčni vrsti spremenljivke 𝑟 in vzamemo za koeficiente 𝑐𝑛 kar cos(𝑛𝜑)/𝑛 oziroma sin(𝑛𝜑)/𝑛, lahko sklepamo, da za 0 < 𝜑 < 2𝜋 veljata razvoja v Fourierovo vrsto: ∞ ( ∑ 𝜑) cos(𝑛𝜑) − ln 2 sin = , 2 𝑛 𝑛=1. 0 < 𝜑 < 2𝜋 ,. (14). ∞ ∑ 𝜋−𝜑 sin(𝑛𝜑) = , 2 𝑛 𝑛=1. 0 < 𝜑 < 2𝜋 .. (15). Na podoben način ali pa še krajše, z zamenjavo 𝜑 → 𝜋 − 𝜑, dobimo: ∞ ( 𝜑) ∑ cos(𝑛𝜑) ln 2 cos = (−1)𝑛+1 , 2 𝑛 𝑛=1. −𝜋 < 𝜑 < 𝜋 ,. (16). −𝜋 < 𝜑 < 𝜋 .. (17). ∞. 𝜑 ∑ sin(𝑛𝜑) = (−1)𝑛+1 , 2 𝑛 𝑛=1 10.

Očitno veljata zaradi periodičnosti trigonometričnih funkcij splošnejša razvoja v Fourierovi vrsti: 𝜑 − ln 2 sin 2. =. 𝜑 2. =. ln 2 cos. ∞ ∑ cos(𝑛𝜑) 𝑛=1 ∞ ∑. 𝑛 (−1)𝑛+1. 𝑛=1. ,. 𝜑 ∕= 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ,. cos(𝑛𝜑) , 𝑛. (18). 𝜑 ∕= (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . (19). Iz zapisa ln ∣ctg(𝜑/2)∣ = ln ∣2 cos(𝜑/2)∣−ln ∣2 sin(𝜑/2)∣ imamo takoj še Fourierov razvoj:. ∞ ∑ 𝜑 cos((2𝑛 − 1)𝜑) =2 ln ctg , 2 2𝑛 − 1 𝑛=1. 𝜑 ∕= 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. (20). Naredimo v (18) zamenjavo 𝜑 → 2𝜑 in dobimo razvoj: − ln ∣2 sin 𝜑∣ =. ∞ ∑ cos(2𝑛𝜑) 𝑛=1. 𝑛. ,. 𝜑 ∕= 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .. (21). Hitro se da videti, da ima funkcija 𝜑 7→ − ln ∣2 sin 𝜑∣ osnovno periodo 𝑇 = 𝜋 in za vsak realen 𝜗 integral ∫ −. 𝜗. ln ∣2 sin 𝜑∣ 𝑑𝜑 , 0. ki definira neelementarno funkcijo Lobačevskega Л. Po integraciji obeh strani v (21) dobimo njen razvoj v Fourierovo vrsto: ∫. ∞. 𝜗. Л(𝜗) = −. ln ∣2 sin 𝜑∣ 𝑑𝜑 = 0. 1 ∑ sin(2𝑛𝜗) . 2 𝑛=1 𝑛2. Dobro je namreč znano (glej na primer [6]), da obstaja integral ∫ 0. 𝜋/2. 𝜋 ln(sin 𝑥) 𝑑𝑥 = − ln 2 , 2. izračuna pa se ga po precej nestandardni poti, z malimi triki. 11. (22).

3. Lastnosti. Nova funkcija Л je očitno definirana na vsej realni osi, je liha in ima osnovno periodo 𝑇 = 𝜋: Л(−𝜗) = −Л(𝜗) ,. Л(𝜗 + 𝜋) = Л(𝜗) .. (23). Funkcija Л ima trivialno ničlo v točki 𝜗 = 0, prvo pozitivno ničlo pa v točki 𝜗 = 𝜋/2, kar vidimo iz zapisa funkcije Л v Fourierovo vrsto ali pa neposredno po definiciji: ∫. 𝜋/2. ∫. 𝜋/2. ln (sin 𝜑) 𝑑𝜑 = 0. 0. 0. 𝜋/2. 𝑑𝜑 −. ln (2 sin 𝜑) 𝑑𝜑 = − ln 2. Л(𝜋/2) = −. ∫. 𝜋 𝜋 = − ln 2 + ln 2 = 0 . 2 2 Ker je funkcija Л periodična z osnovno periodo 𝜋, ima ničle pri vseh celih mnogokratnikih števila 𝜋/2: Л(0) = Л(±𝜋/2) = Л(±𝜋) = Л(±3𝜋/2) = . . . = 0 .. (24). Lokalne ekstreme dobimo iz pogoja stacionarnosti Л′ (𝜗) = − ln ∣2 sin 𝜗∣ = 0. V točkah 𝜗 =. 𝜋 6. + 2𝑛𝜋 ima lokalne maksimume, v točkah. 5𝜋 6. + 2𝑛𝜋 pa lokalne. minimume. Pri tem je 𝑛 poljubno celo število. .... ......... ... .. ....................................................... ............ ... ........ .......... ........ ... ......... ......... ..... . ........ . .... . . . ........ ........ ... . . .... ..... ....... . . ....... ....... ....... ...... ... ....... ....... .. ....... ...... ...... .. . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . .. ....... .. ......... . ... ....... ....... .... .... ....... ....... .. .. ... ....... ....... .. ........ ... .. ........ ... ........ ... .... . . . . . . . . . . . . . ......... ......... .... .... .......... .......... .... ...... ...... ............. ............. ... .............................................. .............................................. ... ... .... .. 𝑦. −𝜋/2. 𝑦 = Л(𝜗). 0. 𝜋/2. Slika 6. Graf funkcije 𝜗 7→ Л(𝜗).. 12. 𝜋. 𝜗.

Pri 𝜗 = 𝜋/4 dobimo: ∞. 1 ∑ sin(𝑛𝜋/2) 1 Л(𝜋/4) = = 2 2 𝑛=1 𝑛 2. ( ) ∫ 1 1 1 1 1 arc tg 𝑥 1 − 2 + 2 − 2 + ... = 𝑑𝑥 . 3 5 7 2 0 𝑥. Z uvedbo tako imenovane Catalanove konstante ∫ 1 arc tg 𝑥 G= 𝑑𝑥 = 0.915965 . . . 𝑥 0 lahko zapišemo: 1 Л(𝜋/4) = G . 2 Funkcija Л(𝜗) zadošča funkcijski enačbi: 1 Л((𝜋 − 𝜗)/2) = Л(𝜗/2) − Л(𝜗) . 2 Veljata namreč enakosti ∞. ∞. 1∑ sin(𝑛𝜗) 1 ∑ sin(𝑛(𝜋 − 𝜗)) = (−1)𝑛+1 , Л((𝜋 − 𝜗)/2) = 2 2 𝑛=1 𝑛 2 𝑛=1 𝑛2 ∞. Л(𝜗/2) =. 1 ∑ sin(𝑛𝜗) , 2 𝑛=1 𝑛2. ki nam dasta: ∞. 1∑ sin(𝑛𝜗) [(−1)𝑛+1 − 1] = Л((𝜋 − 𝜗)/2) − Л(𝜗/2) = 2 𝑛=1 𝑛2 ∞. 1 ∑ sin(2𝑛𝜗) 1 =− = − Л(𝜗) . 2 4 𝑛=1 𝑛 2 Z zamenjavo 𝜗 → −2𝜗 dobimo iz funkcijske enačbe (25): 1 Л(𝜋/2 + 𝜗) = Л(−𝜗) − Л(−2𝜗) . 2 13. (25).

Ker je funkcija Л(𝜗) liha, imamo takoj 1 Л(𝜋/2 + 𝜗) = −Л(𝜗) + Л(2𝜗) 2 oziroma Л(2𝜗) = 2(Л(𝜗) + Л(𝜗 + 𝜋/2)) .. (26). Predvidevamo, da bo za vsako naravno število 𝑚 veljala še splošnejša formula: Л(𝑚𝜗) = 𝑚[Л(𝜗) + Л(𝜗 + 𝜋/𝑚) + . . . + Л(𝜗 + (𝑚 − 1)𝜋/𝑚)] .. (27). Bodita 𝑚 in 𝑛 naravni števili. Izračunajmo sin(2𝑛𝜗) + sin(2𝑛𝜗 + 2𝑛𝜋/𝑚) + . . . + sin(2𝑛𝜗 + 2(𝑚 − 1)𝑛𝜋/𝑚) .. (28). Če število 𝑚 deli število 𝑛, potem so očitno vsi členi med seboj enaki sin(2𝑛𝜗) in vsota je enaka 𝑚 sin(2𝑛𝜗).. V nasprotnem primeru pa zgornjo vsoto. zapišemo kot imaginarni del kompleksne vsote. 𝑒2𝑛𝑖𝜗 + 𝑒2𝑛𝑖𝜗+2𝑛𝑖𝜋/𝑚 + 𝑒2𝑛𝑖𝜗+4𝑛𝑖𝜋/𝑚 + . . . + 𝑒2𝑛𝑖𝜗+2(𝑚−1)𝑛𝑖𝜋/𝑚 = ( ) = 𝑒2𝑛𝑖𝜗 1 + 𝑒2𝑛𝑖𝜋/𝑚 + 𝑒4𝑛𝑖𝜋/𝑚 + . . . + 𝑒2(𝑚−1)𝑛𝑖𝜋/𝑚 = = 𝑒2𝑛𝑖𝜗. 2𝑛𝑖𝜋 1 − 𝑒(2𝑛𝑖𝜋/𝑚)⋅𝑚 2𝑛𝑖𝜗 1 − 𝑒 = 𝑒 = 0. 1 − 𝑒2𝑛𝑖𝜋/𝑚 1 − 𝑒2𝑛𝑖𝜋/𝑚. Vsota (28) je enaka 𝑚 sin(2𝑛𝜗), če 𝑚 deli 𝑛, in 0 sicer. Torej lahko izrazimo: 𝑚−1 ∞ 1 ∑ ∑ sin(2𝑛𝜗 + 2𝑛𝑘𝜋/𝑚) Л(𝜗 + 𝑘𝜋/𝑚) = = 2 𝑘=0 𝑛=1 𝑛2 𝑘=0. 𝑚−1 ∑. ∞ 𝑚−1 1∑ 1 ∑ = sin(2𝑛𝜗 + 2𝑛𝑘𝜋/𝑚) = 2 𝑛=1 𝑛2 𝑘=0. 14.

∞. ∞. 1∑ 1 1 ∑ sin(2𝑚𝑟𝜗) 1 = ⋅ 𝑚 sin(2𝑚𝑟𝜗) = = Л(𝑚𝜗) . 2 2 2 𝑟=1 (𝑟𝑚) 2𝑚 𝑟=1 𝑟 𝑚 Upoštevali smo tiste člene, pri katerih je 𝑛 deljiv z 𝑚. Preostali so enaki nič. Tako smo izpeljali enakost: Л(𝑚𝜗) = 𝑚. 𝑚−1 ∑. Л(𝜗 + 𝑘𝜋/𝑚) , 𝑚 ∈ ℕ .. (29). 𝑘=0. Dokažimo za vajo, da velja: 3Л(𝜋/3) = 2Л(𝜋/6) . Najprej imamo: Л(2𝜋/3) = 2Л(𝜋/3) + 2Л(𝜋/3 + 𝜋/2) = 2Л(𝜋/3) + 2Л(5𝜋/6) = = 2Л(𝜋/3) + 2Л(5𝜋/6 − 𝜋) = 2Л(𝜋/3) − 2Л(𝜋/6) . Velja pa tudi: Л(3𝜋/3) = 3Л(𝜋/3) + 3Л(𝜋/3 + 𝜋/3) + 3Л(𝜋/3 + 2𝜋/3) = = 3Л(𝜋/3) + 3Л(2𝜋/3) + 3Л(𝜋) = 3Л(𝜋/3) + 3(2Л(𝜋/3) − 2Л(𝜋/6)) = = 9Л(𝜋/3) − 6Л(𝜋/6) = 0 . It tega sledi po krajšanju s 3 zveza 3Л(𝜋/3) = 2Л(𝜋/6). Izračunajmo ∫. 𝜗. Л(𝜃) 𝑑𝜃 . 0. Dobimo: ∫ 𝜗 0. 1 Л(𝜃) 𝑑𝜃 = 2. ∫ 0. ∞ 𝜗∑ 𝑛=1. ∞. sin(2𝑛𝜃) 1∑ 1 𝑑𝜃 = 𝑛2 2 𝑛=1 𝑛2 15. ∫. 𝜗. sin(2𝑛𝜃) 𝑑𝜃 = 0.

∞. ∞. 1∑ 1 1 ∑ cos(2𝑛𝜗) 1 = 𝜁(3) − (1 − cos(2𝑛𝜗)) = . 4 𝑛=1 𝑛3 4 4 𝑛=1 𝑛3 Pri tem je 𝑠 7→ 𝜁(𝑠) znana Riemannova funkcija. Funkcija Л je na intervalu (0, 𝜋) dvakrat odvedljiva: Л′ (𝜗) = − ln(2 sin 𝜗) ,. 4. Л′′ (𝜗) = − ctg 𝜗 .. Bernoullijeva števila. Razvoj funkcije Л v potenčno vrsto bomo zapisali z Bernoullijevimi števili 𝐵𝑛 (več v [1, 2]), ki so definirana z rodovno funkcijo ∞. ∑ 𝐵𝑛 𝑧 = 𝑧𝑛 , exp(𝑧) − 1 𝑛=0 𝑛!. ∣𝑧∣ < 2𝜋 .. Če razvijemo exp(𝑧) − 1 v potenčno vrsto in z njo pomnožimo obe strani zgornje enakosti ter primerjamo koeficiente na obeh straneh dobljene enakosti, hitro najdemo nekaj prvih Bernoullijevih števil: 1 1 𝐵0 = 1, 𝐵1 = − , 𝐵2 = , 𝐵3 = 0 . 2 6 Bernoullijeva števila so dobila ime po Jakobu Bernoulliju (1654–1705). Poleg tega pa najdemo tudi rekurzivno zvezo, ki jo za vsako celo število 𝑛 > 0 zapišemo simbolično: 𝐵 𝑛+1 = (1 + 𝐵)𝑛+1 ,. 𝐵 𝑘 ≡ 𝐵𝑘 .. To pomeni, da formalni binom 1+𝐵 potenciramo po binomski formuli, potem pa eksponente zamenjamo z indeksi, na primer: 𝐵 5 = (1 + 𝐵)5 = 1 + 5𝐵 1 + 10𝐵 2 + 10𝐵 3 + 5𝐵 4 + 𝐵 5 , 16.

𝐵5 = 1 + 5𝐵1 + 10𝐵2 + 10𝐵3 + 5𝐵4 + 𝐵5 , 1 + 5𝐵1 + 10𝐵2 + 10𝐵3 + 5𝐵4 = 0 . Iz znanih 𝐵1 , 𝐵2 in 𝐵3 izračunamo 𝐵4 = −1/30. Tako korak za korakom izračunamo poljubno dolgo zaporedje Bernoullijevih števil. Ker je funkcija 𝑧 7→ 𝑧/(exp(𝑧) − 1) + 𝑧/2 soda, sledi iz razvoja ∞ ∑ 𝑧 𝑧 𝐵𝑛 𝑛 𝑧 − 𝐵1 𝑧 = + =1+ 𝑧 , exp(𝑧) − 1 exp(𝑧) − 1 2 𝑛! 𝑛=2. da so vsa Bernoullijeva števila lihega indeksa od vključno tretjega naprej enaka 0: 𝐵2𝑛+1 = 0 za 𝑛 = 1, 2, 3, . . . Po preureditvi lahko zapišemo ∞ ∑ 𝑧 𝐵2𝑛 2𝑛 𝑧 cth = 1 + 𝑧 2 2 (2𝑛)! 𝑛=1. za ∣𝑧∣ < 2𝜋 .. Po zamenjavi spremenljivke 𝑧 → 2𝑧 pa še: 𝑧 cth 𝑧 = 1 +. ∞ ∑ 22𝑛 𝐵2𝑛 𝑛=1. (2𝑛)!. 𝑧 2𝑛 ,. ∣𝑧∣ < 𝜋 .. Ker velja preprosta enakost cth 𝑖𝑧 = −𝑖 ctg 𝑧, dobimo z zamenjavo 𝑧 → 𝑖𝑧: 𝑧 ctg 𝑧 = 1 +. ∞ ∑. (−1)𝑛. 𝑛=1. 22𝑛 𝐵2𝑛 2𝑛 𝑧 , (2𝑛)!. ∣𝑧∣ < 𝜋 .. (30). Iz elementarne enakosti 2 ctg(2𝑧) = ctg 𝑧 − tg 𝑧 pridemo tudi do razvoja: ∞ ∑ 22𝑛 (22𝑛 − 1)𝐵2𝑛 2𝑛−1 tg 𝑧 = (−1)𝑛−1 𝑧 , (2𝑛)! 𝑛=1. ∣𝑧∣ < 𝜋/2 .. (31). Iz razvoja (30) lahko sedaj poiščemo razvoj funkcije Л v vrsto, ki bo vsota logaritemskega člena in potenčne vrste. Najprej prepišimo: 𝜗 ctg 𝜗 = 1 +. ∞ ∑ 22𝑛 𝐵2𝑛 2𝑛 (−1)𝑛 𝜗 . (2𝑛)! 𝑛=1. 17.

S tem imamo ∞. 1 ∑ 22𝑛 𝐵2𝑛 2𝑛−1 Л (𝜗) = − ctg 𝜗 = − + (−1)𝑛+1 𝜗 , 𝜗 𝑛=1 (2𝑛)! ′′. 0 < 𝜗 < 𝜋.. S prvo integracijo dobimo: ∞ ∑ 22𝑛 𝐵2𝑛 2𝑛 Л (𝜗) = − ln(2 sin 𝜗) = − ln 𝜗 + (−1)𝑛+1 𝜗 +𝐶, (2𝑛)(2𝑛)! 𝑛=1 ′. 0 < 𝜗 < 𝜋.. Pri tem je 𝐶 integracijska konstanta. Torej velja tudi razvoj ∞. 2𝑛 ∑ 𝜗 𝑛+1 2 𝐵2𝑛 (−1) = 𝜗2𝑛 + 𝐶 , ln 2 sin 𝜗 𝑛=1 (2𝑛)(2𝑛)!. 0 < 𝜗 < 𝜋.. V limiti 𝜗 → 0 dobimo: ln. 1 =𝐶. 2. Tako smo našli: 𝐶 = − ln 2. Zato velja razvoj: ∞ ∑ 22𝑛 𝐵2𝑛 2𝑛 Л (𝜗) = − ln 2 − ln 𝜗 + (−1)𝑛+1 𝜗 , (2𝑛)(2𝑛)! 𝑛=1 ′. 0 < 𝜗 < 𝜋.. Z drugo integracijo dobimo pri pogoju 0 < 𝜗 < 𝜋: ∞ ∑ Л(𝜗) = −𝜗 ln 2 − 𝜗 ln 𝜗 + 𝜗 + (−1)𝑛+1 𝑛=1. 22𝑛 𝐵2𝑛 𝜗2𝑛+1 + 𝐷 . (2𝑛)(2𝑛 + 1)(2𝑛)!. Pri tem je 𝐷 druga integracijska konstanta. V limiti 𝜗 → 0 dobimo 𝐷 = 0 in tako imamo končno pri pogoju 0 < 𝜗 < 𝜋: Л(𝜗) = −𝜗 ln(2𝜗) + 𝜗 +. ∞ ∑. (−1). 𝑛=1. 𝑛+1. 22𝑛 𝐵2𝑛 𝜗2𝑛+1 . (2𝑛)(2𝑛 + 1)!. (32). Sedaj bomo razvili v potenčno vrsto še funkcijo 𝑓 , ki je dana s predpisom 𝑓 (𝜗) = Л(𝜋/2 − 𝜗) . 18.

Očitno imamo sedaj za −𝜋/2 < 𝜗 < 𝜋/2: 𝑓 ′ (𝜗) = −Л′ (𝜋/2 − 𝜗) = ln(2 cos 𝜗) ,. 𝑓 ′′ (𝜗) = − tg 𝜗 .. Iz znanega razvoja (31) imamo sedaj: ′′. 𝑓 (𝜗) =. ∞ ∑ 𝑛=1. (−1)𝑛. 22𝑛 (22𝑛 − 1)𝐵2𝑛 2𝑛−1 𝜗 , (2𝑛)!. ∣𝜗∣ < 𝜋/2. Za funkcijo 𝑓 (𝜗) veljata začetna pogoja 𝑓 (0) = 0 in 𝑓 ′ (0) = ln 2, zato z dvema zaporednima integracijama dobimo pri pogoju ∣𝜗∣ < 𝜋/2: Л(𝜋/2 − 𝜗) = 𝜃 ln 2 −. ∞ ∑. (−1)𝑛+1. 𝑛=1. 5. 22𝑛 (22𝑛 − 1)𝐵2𝑛 2𝑛+1 𝜗 . (2𝑛)(2𝑛 + 1)!. (33). Primer uporabe. Izračunajmo prostornino 𝑉 tako imenovanega idealnega tetraedra v hiperboličnem trirazsežnem prostoru ℍ3 . Model za ℍ3 lahko realiziramo kot zgornji polprostor ℝ2 × ℝ+ v prostoru ℝ3 . Točke v ℍ3 so urejene trojke (𝑥, 𝑦, 𝑧), kjer sta 𝑥 in 𝑦 realni števili, 𝑧 pa pozitivno število. Premice v ℍ3 so bodisi običajni poltrakovi, pravokotni na ravnino 𝑧 = 0, ali pa običajne polkrožnice, ki so v svojih krajiščih pravokotne na to ravnino. Ravnine v ℍ3 so bodisi običajne polravnine, ki so pravokotne na ravnino 𝑧 = 0, bodisi običajne polsfere s svojim robom v tej ravnini. Metrika v prostoru ℍ3 je opredeljena s kvadratom diferenciala loka: 𝑑𝑠2 = (𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 )/𝑧 2 . Iz tega sledi izraz za diferencial prostornine: 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧/𝑧 3 . 19.

Izračunali bomo prostornino tako imenovanega idealnega hiperboličnega tetraedra v ℍ3 s tremi oglišči na ravnini 𝑧 = 0 in s četrtim ogliščem v točki ∞ (slika 7). ∞ .. ... ... ... .. ... ... .. .. ... . . .. .. . ... .. .. ... . .. . . .. .. . .. . .. . . .. . . .. . . . .. ... . . . . . ... ...... .. .. ...... . .. ... ...... . . .. . . . . .. ... ...... ... .. . . . . . . .. ... . . ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... .. ... ... .. ... ..... ... .. ... ... ... ... ... .. .... ... .. ... ... ... .. ... ... .. ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ......... ............ ... .......... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. .............. .. ..... ..... . . . . . . . . . ..... . . ... . . . .... ...... .. .. . .... . . . . ............. . . . . . . ... . ... ..... .. .. . .. .... . . . . . . . . . . . . .. .. ... ....... .... .............. .. ..... . . . . . . . ....... . . . . . . ... ..... ... .. ................................. . . . . . ..... ... . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... ........ ................ .. . ........ ..... . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . ........ ... ... . .. ........ ........ ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. . .... . .... ..... ......... ....... ........ ..... . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ... .. ....... ... ... .... ....... . .......... ....... . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . .... ...... .. .. .. ..... . ........ ..... ..... . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ....... .. ....... ..... ... . ...... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... .. ..... ... . ...... . . ....... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ... .. ... .. .. ..... ..... ..... ..... . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... ... ... ... ... ....... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . .. .. .. ..... .... ..... ..... ..... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ....... ... ... ... . .......... ... ..... . . . . ....... . . . . . . . . ..... ........ .. . ........... .......................... . . . . ..... ...... ....... ....... ................... ... . . ....... . . ....... . . . . . . . . . . ................... ....... ..... ... ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... ....... ................... ... . .... . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ..... .. ....... ................... ........ .... ........ ..... ....... ....... ........................... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ........ ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ............. . ... ....... ........................ ............. ....... ....... ............................................. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . ....... . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . . . ....... ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . ....... . . .... ....... ....... ....... ....... .............. ......... ∙ 𝐶. ∙ 𝐴. ∙ 𝑂. ∙ 𝐵. Slika 7. Idealni hiperbolični tetraeder.. Izračunajmo najprej prostornino 𝑉1 hiperboličnega tetraedra, ki je v ℍ3 √ omejen s hiperboličnimi ravninami 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦 2 (evklidska polsfera), 𝑦 = 0, 𝑥 = cos 𝛼 in 𝑦 = 𝑥 tg 𝛼. Pri tem je 0 < 𝛼 < 𝜋/2. Pravokotna projekcija našega tetraedra, ki ima oglišča v točkah (0, 0, 1), (cos 𝛼, 0, sin 𝛼), (cos 𝛼, sin 𝛼, 0) in ∞, na ravnino 𝑧 = 0, je trikotnik 𝒟 (slika 8). Prostornino 𝑉1 brez težav izrazimo v obliki: ∫ ∫ ∞ ∫ ∫ ∫ 𝑥 tg 𝛼 𝑑𝑧 1 𝑑𝑆 1 cos 𝛼 𝑑𝑦 𝑉1 = 𝑑𝑆 √ 𝑑𝑥 = = . 3 2 2 2 𝒟 1−𝑥 −𝑦 2 0 1 − 𝑥2 − 𝑦 2 𝒟 1−𝑥2 −𝑦 2 𝑧 0 20.

Zapišimo posebej notranji integral: √ ∫ 𝑥 tg 𝛼 ∫ 𝑥 tg 𝛼 √ 𝑑𝑦 ( 1 − 𝑥2 − 𝑦) + ( 1 − 𝑥2 + 𝑦) 1 √ √ 𝑑𝑦 = = √ 1 − 𝑥2 − 𝑦 2 2 1 − 𝑥2 0 ( 1 − 𝑥2 + 𝑦)( 1 − 𝑥2 − 𝑦) 0 ) ∫ 𝑥 tg 𝛼 ( 1 1 1 √ +√ 𝑑𝑦 = = √ 2 1 − 𝑥2 0 1 − 𝑥2 + 𝑦 1 − 𝑥2 − 𝑦 √ 𝑦=𝑥 tg 𝛼 1 1 − 𝑥2 + 𝑦 = ln √ = √ 2 1 − 𝑥2 1 − 𝑥2 − 𝑦 𝑦=0 √ 1 1 − 𝑥2 + 𝑥 tg 𝛼 = √ ln √ . 2 1 − 𝑥2 1 − 𝑥2 − 𝑥 tg 𝛼 .... ... ... ......... ... ... ... ... ... ... . ..................... . . . ............... .. ... .... ........... ... ......... ... ... ..... ........ ... ....... .... .... ...... ..... ... ......... ... .... ... ........... ...... ...... ... ............. ........ . ... . ..... ............... . .... ... . . ... ... .................. ... ................ ... ... ......................... . ... ... . .......................... ... . ... . ... ............................. . ... . ... . ................................... ... ... . ................................... ... . ... . ............................ ... . . ... ............................ ... . . . ... . ... ........................................... . . ... ... ................................................ . . ... ... ................................................... . ... . . ... ................. ... ... ............................................................ ... ... .............................................................. ... .................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................... ... .. .... ... ... ... ... 𝑦. 𝑦 = 𝑥 tg 𝛼. 𝛼. 𝒟. 0. 𝑥 = cos 𝛼. 1. 𝑥. Slika 8. Integracija po osnovnem trikotniku 𝒟.. Torej se prostornina našega telesa izraža v obliki: √ ∫ 1 cos 𝛼 1 − 𝑥2 + 𝑥 tg 𝛼 𝑑𝑥 𝑉1 = ln √ ⋅√ . 2 4 0 1 − 𝑥 − 𝑥 tg 𝛼 1 − 𝑥2 Sedaj vpeljemo v dobljeni integral novo integracijsko spremenljivko z relacijo 𝑥 = cos 𝑢: ∫ 4𝑉1 =. 𝜋/2. 𝛼. sin 𝑢 + cos 𝑢 tg 𝛼 ln 𝑑𝑢 = sin 𝑢 − cos 𝑢 tg 𝛼. 21. ∫. 𝜋/2. ln 𝛼. sin 𝑢 cos 𝛼 + cos 𝑢 sin 𝛼 𝑑𝑢 . sin 𝑢 cos 𝛼 − cos 𝑢 sin 𝛼.

Uporabimo adicijska izreka, pa dobimo: ∫ 𝜋/2 ∫ 𝜋/2 ∫ 𝜋/2 sin(𝑢 + 𝛼) ln(2 sin(𝑢−𝛼)) 𝑑𝑢 = ln(2 sin(𝑢+𝛼)) 𝑑𝑢− ln 𝑑𝑢 = 4𝑉1 = sin(𝑢 − 𝛼) 𝛼 𝛼 𝛼 ∫ 𝜋/2−𝛼 ∫ 𝜋/2+𝛼 ln(2 sin 𝜓) 𝑑𝜓 = ln(2 sin 𝜑) 𝑑𝜑 − = 0. 2𝛼. ∫. 𝜋/2+𝛼. ∫ ln(2 sin 𝜑) 𝑑𝜑 −. = 0. 2𝛼. 𝜋/2−𝛼. ∫ ln(2 sin 𝜑) 𝑑𝜑 −. 0. ln(2 sin 𝜓) 𝑑𝜓 = 0. = −Л(𝜋/2+𝛼)+Л(2𝛼)+Л(𝜋/2−𝛼) = −Л(𝜋/2+𝛼)+Л(2𝛼)−Л(𝛼−𝜋/2+𝜋) = = −2Л(𝜋/2 + 𝛼) + Л(2𝛼) = 2Л(𝛼) . Upoštevali smo identiteto Л(2𝜗) = 2(Л(𝜗) + Л(𝜗 + 𝜋/2)). Torej imamo rezultat: 𝑉1 = 21 Л(𝛼).. .............................................. ................ .......... .......... ........ ........ ....... ....... ....... ...... ...... . . . . . ...... .... . . . ..... . ... ..... . . . . ..... ... . . . .. . ... . . ......... . . ................... ...... ... . . . . . . . . ............ ... ..... .. . . . . . . . . . ... . ... ....... ......... .... ... ... ....... ... .. ... ....... ......... .. ... ....... ... .... .. ....... ... . . . . .. . . . . . . . . . . ... .. . ..... . . . . . .. . . . . . . . . . ... .. . ..... . . . . . .. . . . . . . . . ... . . ... ..... . . . . . . . . ... . . .... . . . ... ....... . . . . . . ... . . . . ... . . . ... ..... .... . . ... . . . . . . . . ... . . .. . ... ..... ... . . . . . . . . . ... . . . . .. . ... ... ..... . . . . . . . . . ... . . . . .. ...... ... . ..... . . . . . . . .... . . . . ...... ......... . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . . ... . . . ........ . ... . ......... . ..... . . . . . . . . .. .. . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . .. . ... ........ .. .. ......... . ..... . . . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . ... . . .. ... .................................... . . . . . . . ... ............................ .. ... ... ... ........... .. ... .. ... ... ... .......... .. ... .. .. ....... ... .. .. .. ... ....... . . . ... . . . ....... . ... ... ....... .. ... ... ... ....... .. ... .. ... ... ....... .. ... .. .. .. ....... ... ... ... ....... .... .. . . . . ... . . . ....... . ... .. ... ....... ... ... ... ... ....... ... ... ... ....... ..... .... ....... ... .. ..... ....... .. ..... . . ..... . . . . . . . ....... ... ..... .... ....... ... .... ..... ..... ....... ...... .. .. ...... ....... ...... ....... .... ... ...... ....... ....... .. ... ............ ....... . . . ................ ........ .... .......... .......... ............... ................................................ 𝐶. 𝑂. 𝐴. 𝐵. Slika 9. Pravokotna projekcija idealnega tetraedra na ravnino 𝑧 = 0.. Nalogo lahko posplošimo tako, da za integracijsko območje Δ vzamemo katerikoli trikotnik △𝐴𝐵𝐶, ki je včrtan krožnici 𝑥2 + 𝑦 2 = 1 na ravnini 𝑧 = 0. Prostornina idealnega tetraedra, ki ima oglišča 𝐴, 𝐵, 𝐶 in ∞, je odvisna od 22.

kotov 𝛼 = ∠𝐵𝐴𝐶 , 𝛽 = ∠𝐶𝐵𝐴 , 𝛾 = ∠𝐴𝐶𝐵. Na skici so vsi koti ostri, kar pa ni nujno, kot se da hitro videti. Prostornina telesa je vsota prostornin teles nad △𝐴𝐵𝑂, △𝐵𝐶𝑂, △𝐶𝐴𝑂, od katerih vsakega lahko razdelimo na dva skladna pravokotna trikotnika tipa 𝒟. Prostornina nad prvim trikotnikom je Л(𝛾), nad drugim Л(𝛼) in nad tretjim Л(𝛽). Celotna prostornina je torej 𝑉 = Л(𝛼) + Л(𝛽) + Л(𝛾) .. (34). Kdaj je prostornina 𝑉 = 𝑉 (𝛼, 𝛽, 𝛾) največja? Kote povezuje znana relacija 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋. Poiščemo lokalni ekstrem funkcije 𝐿, ki je dana z izrazom 𝐿(𝛼, 𝛽) = Л(𝛼) + Л(𝛽) + Л(𝜋 − 𝛼 − 𝛽) = Л(𝛼) + Л(𝛽) − Л(𝛼 + 𝛽) . Potrebna pogoja za ekstrem sta: 𝐿𝛼 (𝛼, 𝛽) = Л′ (𝛼) − Л′ (𝛼 + 𝛽) = − ln(2 sin 𝛼) + ln(2 sin(𝛼 + 𝛽)) = 0 , 𝐿𝛽 (𝛼, 𝛽) = Л′ (𝛽) − Л′ (𝛼 + 𝛽) = − ln(2 sin 𝛽) + ln(2 sin(𝛼 + 𝛽)) = 0 . Takoj vidimo, da morajo biti vsi trije koti med seboj enaki: 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 𝜋/3. Hessejeva matrika funkcije 𝐿 v stacionarni točki je ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 𝐿𝛼𝛼 (𝜋/3, 𝜋/3) 𝐿𝛼𝛽 (𝜋/3, 𝜋/3) −2 ctg(𝜋/3) ctg(𝜋/3) ⎣ ⎦=⎣ ⎦. 𝐿𝛽𝛼 (𝜋/3, 𝜋/3) 𝐿𝛽𝛽 (𝜋/3, 𝜋/3) ctg(𝜋/3) −2 ctg(𝜋/3) Ker je matrika očitno negativno definitna, ima funkcija 𝐿 za 𝛼 = 𝜋/3 in 𝛽 = 𝜋/3 res lokalni maksimum. Največja prostornina idealnega tetraedra je približno 𝑉 = 1.0149416. Zgoraj smo z indeksi 𝛼 in 𝛽 označili parcialne odvode, na primer: 𝐿𝛼 =. ∂ 2𝐿 ∂𝐿 , 𝐿𝛼𝛽 = , ... ∂𝛼 ∂𝛼∂𝛽 23.

6. Ivan Pucelj. Avtor se je prvič srečal s funkcijo Lobačevskega na nekem seminarju, na katerem je Ivan Pucelj predaval o neevklidski geometriji. Ivan Pucelj se je rodil leta 1930 v vasi Visoko pod Kureščkom. Leta 1954 je diplomiral na Univerzi v Ljubljani. Dolga leta je poučeval matematiko in fiziko na gimnaziji, dvajset let pa je bil višji predavatelj za analizo in geometrijo na Pedagoški akademiji v Ljubljani. Znan je po svojem delu [4], je pa tudi soavtor več učbenikov in zbirk nalog za osnovno šolo in gimnazijo. Sodeloval je tudi pri delih za kombinatoriko in zavarovalniško matematiko. Za marsikoga je bila knjiga [4] prvo delo, v katerem se je srečal z neevklidsko geometrijo, in to v slovenščini. Prav veliko del o neevklidski geometriji v slovenski matematični literaturi pravzaprav ni, je le nekaj diplomskih del in raziskovalnih nalog. Prof. Pucelj je objavil tudi druge zanimivosti, na primer o rdečem premiku, o utrinkih, o kitah, spletih in vozlih, o Pitagorovem drevesu, o računanju z rimskimi številkami, o ploščini mrežnih večkotnikov, o Prešernovi Vrbi in zlatem rezu.. Slika 10. Ivan Pucelj.. 24.

Literatura [1] M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, Dover publications, New York, 1972. [2] I. S. Gradsteyn, I. M. Ryzhik, Tables of integrals, sums and products, edited by A. Jeffrey, Academic Press, New York, 1994. [3] J. Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years, Bulletin of the AMS, Vol. 6, No. 1, 1982, str. 9–24. [4] I. Pucelj, Neevklidične geometrije, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1969. [5] J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifold, Graduate texts in mathematics, Vol. 149, Second edition, Springer, 2006. [6] I. Vidav, Višja matematika I, DMFA – Založništvo, Ljubljana, 2008.. c Dr. Marko Razpet, Ljubljana 2013 ⃝. 25.