MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI MEMBAHAS TENTANG GESERAN (TRANSLASI) Kelompok VI (Enam)

MAKALAH

GEOMETRI TRANSFORMASI

MEMBAHAS TENTANG

GESERAN (TRANSLASI

)

Kelompok VI (Enam)

DENGAN PERSONIL :

1.

AYEN ARAVAH

NPM : (

)

2.

FIRMAN

NPM : (

)

3.

IDA AJENG

NPM : (

)

4.

RIKA ARIYANI

NPM : (

)

5.

SEB ARIZON

NPM : (

)

6.

TRI HELENZA

NPM : (

)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU

TAHUN AKADEMIK 2009/2010

Segala puji kehadirat Allah S.W.T. atas berkat rahmat dan karunia-Nya penyaji dapat menyelesaikan makalah Geometri Transformasi dengan pokok pembahasan mengenai Geseran (Translasi). Dalam penyusunan makalah ini telah dirasakan oleh penyaji bahwa penyusunannya begitu berat karena waktu yang singkat dengan teorema-teorema yang semuanya harus dibuktikan sehingga memerlukan banyak waktu. Tapi meskipun demikian penyaji dapat juga menyelesaikan tugas tepat pada waktunya. Waktu yang singkat dan kurangnya pemahaman penyaji pada teorema-teorema dalam makalah ini tentu akan mengakibatkan banyaknya kekurangan dan kesalahan dalam isi dan penyusunannya. Untuk itu diharapkan kritik dan saran rekan-rekan sekalian sebagai perbaikan di kemudian hari.

Lubuklinggau, Mei 2010

(Kelompok VI)

x Gambar 10.1 h C " B B A y " A g HALAMAN JUDUL ………... i KATA PENGANTAR ………. ii

DAFTAR ISI ……… iii

GESERAN (TRANSLASI) 10.1. KETENTUAN DAN SIFAT-SIFAT ……….. 1

- Teorema 10.1 ………. 1 - Teorema 10.2 ………. 1 - Teorema 10.3 ………. 2 - Teorema 10.4 ………. 3 10.2. HASILKALI GESERAN ………... 3 - Teorema 10.5 ………. 3 - Teorema 10.6 ………. 4 - Teorema 10.7 ………. 5 - Teorema 10.8 ………. 5

GESERAN (TRANSLASI)

10.1. Ketentuan dan Sifat-sifat

Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka AA" =BB"dengan A" =M_hM_g(A)dan B" =M_hM_g(B).

Bukti : Kita pilih sebuah system koordinat dengan g sebagai sumbu –y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu-x (gambar 10.1).

Andaikan A=(a₁,a₂)dan B=(b₁,b₂). Jika N tengah-tengah ruas garis A"Bmaka harus dibuktikan SN(A)=B". Andaikan persamaan h adalah x=k(≠0), apabila P=(x,y)dan

) (

' M P

P= h maka PP' memotong h di sebuah titik Q=(k,y) dengan Q sebagai titik tengah

'

PP , jadi P'=Mh(P)=(2k−x,y) sedangkan Mg(P)=(−x,y). Jadi, M_hM_g(P)=M_h

[

(−x,y)

]

=(2k+x,y)

Jadi pula A" =M_hM_g(A)=(2x+a₁,a₂) dan B" =M_hM_g(B)=(2x+b₁,b₂)

B A h D C” C P” g P       + + + = 2 , 2 ) 2 ( k a1 b1 a2 b2 N Sedangkan       −       + −       + + = 2 2 2 , 1 1 1 2 2 2 2 2 ) (A k a b a a b a S_N Atau SN(A)=(2k+b₁,b₂)=B" Dengan demikian maka AA" =BB".

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB

Sehingga setiap titik P pada bidang menjadi 'P dengan G(P)=P' dan PP'= AB.

Teorema 10.2 : Apabila AB=CD maka G_AB =G_CD

Bukti : Jika x sebarang, maka harus dibuktikan G_AB(X)=G_CD(X). Andaikan G_AB(X)= X₁ dan GCD(X)= X₂

Jadi XX₁ = AB dan XX₂ =CD

Karena AB=CD maka XX₁ = XX₂ ini berarti bahwa X₁ = X₂ sehingga G_AB =G_CD.

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah

tegak lurus pada g denga C∈g dan D∈h. Apabila AB=2CD maka G_AB =M_hM_g. Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P'=G_AB(P) dan P"=MhMg(P), maka harus dibuktikan bahwa P'=P".

) ( " M M C C = _{h g}

Menurut ketentuan geseran, PP'= AB. Oleh karena AB=2CD, maka PP'=2CD. Berhubung C"=M_hM_g(C),C∈g,maka C"=Mh(C).

Jadi D adalah titik tengah CC sehingga " CC"=2CD. Oleh karena

) 1 . 10 ( " " PP teorema CC = , maka PP"=2CD=PP'

Ini berarti bahwa P'=P".jadiGAB(P)=MhMg(P). Karena P sebarang, maka GAB =MhMg.

Catatan :

D C B A g A g B h n M

1) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran G_AB dapat ditulis sebagai hasil kali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak AB₂1 _.

2) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g, h dan n tiga garis yang masing-masing tegak lurus di A, di M, dan di B pada AB maka

h n g h AB M M M M G = = .

3) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi, sedangkan suatu refleksi adalah suatu transformasi, maka suatu geseran adalah suatu

transformasi yang merupakan isometri disebabkan karena suatu refleksi adalah suatu isometri. Lagi pula suatu geseran adalah suatu isometri langsung sebab setiap refleksi adalah suatu isometri lawan.

Teorema 10.4 : Jika G_AB sebuah geseran maka GAB =GBA

−1

)

( .

Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupaka grup bagian dari grup

transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)−1 (gambar 10.3). Dari uraian di atas diperoleh : h n g h AB M M M M G = = Sedangkan G_BA =M_hM_n =M_gM_h Sehingga (G_AB)−1 =(M_nM_h)−1M_h−1M_n−1 =M_hM_n =G_BA Jadi GAB =GBA −1 ) ( .

10.2. Hasil Kali Geseran

Teorema 10.5 : Jika G_AB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga

CD

AB=2 maka G_AB =S_DS_C.

Bukti : Andaikan g =CD, k ⊥ g di c, m⊥g di D (gambar 10.4) Gambar 10.3

k

C B

A

D

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB=2CD

Maka G_AB =M_mM_k sedangkan S_D =M_mM_g dan S_C =M_gM_k. Jadi : k g g m k g g m C DS M M M M M M M M S =( )( )= ( ) Atau S_DS_C =M_mIM_k =M_mM_k.

Dengan demikian maka

C D AB S S

G =

Teorema 10.6 : Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah

putaran.

Bukti : Andaikan G_AB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang.

Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka

CD CE =2 ;menurut teorema 10.5 C D AB S S G = Jadi G_ABS_C =(S_SS_C)S_C =S_D(S_CS_C)

Akibat : Andaikan S_A,S_B dan S masing-masing setengah putaran, maka _C S_CS_ES_A =S_D

dengan D sebuah titik sehingga AD =BC.

Bukti : Kita peroleh berturut-turut : SCSB =GZBC. JADI SCSCSA =GZBCSA.

Andaikan G_ZBCS_A =S_X maka 2BC=2AX atau BC= AX

Jadi SCSBSA =SD sehingga BC = AD.

Perhatikan dua geseran G_AB dan G_BC, maka G_BC(A)= B dan G_BC(B)=C, sehingga dapat kita tulis bahwa G G (A)=C(gambar10.7).

Gambar 10.4

A P _R Q E” E’ E C B

Apabila E titik sebarang, maka G_AB(E)=E'dengan EE'= AB sedangkan G_BC(E')=E" sehingga E'E"= BC.

Maka GBCGAB(E)=E"dengan EE"= AC

Sehingga G_EE"(E)=E"=GAC(E). Jadi GBCGAB =GAC.

Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut. Dengan menggunakan teorema 10.6 : Andaikan P,Q dua titik sehingga 2PQ=AB dan titik R sehingga 2QR=BC maka

P Q AB S S

G = dan G_BC =S_RS_Q

Sehingga G_BCG_AB =(S_RS_Q)(S_QS_P)=S_RS_Q

Oleh karena 2 PR= AC maka S_RS_P =G_AC

Jadi G_BCG_AB =G_AC

Dengan demikian terbukti teorema berikut :

Teorema 10.7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

Catatan : Apabila CD=BA maka GABGCD =GABGBA =I . Di sini I adalah transformasi

identitas. Jadi : Kalau CD=BA maka kalau I dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku.

Teorema 10.8 : Jika G_OA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai

) , ( ) (P x a y b T = + + maka T =GOA.

Bukti : Untuk P=(x,y), T(P)=(x+a,y+b). Andaikan P'=G_OA(P) maka PP'=OA

sehingga P'=(x+a−0,y+b−0)=(x+a,y+b). Jadi T(P)=G_OA(P),∀P∈V . Ini berarti

T G_OA = .

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10.7 perhatikan dua translasi EF

G dan G_KH. Andaikan A=( ba, )dan B=( dc, ) dua titik sehinggaOA=EFdan

KH

OB= maka apabila P(x,y) titik sebarang, diperolehG_EF(P)=G_OA(P)=(x+a,y+b), dan G_KH(P)=G_OB(P)=(x+c,y+d)maka )] , [( ) ( ) (P G G P G x a y b G G_{KH EF} = _{OB OA} = _OB + + )) ( ), ( ( ) ) ( , ) ((x+a +c y+b +d = x+ a+c y b+d =

Ini berarti bahwa G_KHG_EF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik ).

, (a+c b+d

Contoh 1 : Andaikan G_AB suatu translasi yang membawa titik A(2,3) ke titik B(4,1) dan CD

G suatu translasi yang membawa titik C(-3,4) ke titik D(0,3). Jika P(x,y) tentukan ).

(P

G G_{CD AB}

Jawab : Andaikan O'=G_AB(0) dan O"=GCD(0)maka 00'= AB dan 00"=CD. Jadi ). 1 , 3 ( ) 4 3 0 , 3 0 0 ( ' 0= + + + − = −

Jadi G_AB(P)=(x+2,y−2) dan G_CD(P)=(x+3,y−1) sehingga ) 3 , 5 ( ) 1 2 , 3 2 ( )] 2 , 2 [( ) (P =G x+ y− = x+ + y− − = x+ y− G G_{CD AB CD} .

DAFTAR PUSTAKA

Rawuh , 1992, Geometri Transformasi, Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan.

A B A B C

)

(C

G

_AB g h A B g h AB

M

M

G

=

g h C A B g h AB

M

M

G

=

g h A B

Contoh Soal :

1. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris. a) Lukislah G_AB( A) dan G_AB(B).

b) Lukislah G_AB(C)

c) Lukislah garis-garis g dan h dengan A∈g dan G_AB =M_hM_g

d) Lukislah g dan h sehingga C∈g dan G_AB =M_hM_g

Jawab: a)

b)

c)

c)

2. Diketahui titik-titik A dan B dan garis g sehingga g ⊥ AB. Lukislah a) garis h sehingga MhMg =GAB b) garis k sehingga MgMk =GAB c) garis m sehingga m'=G_AB(m) d) titik C sehingga G_AB(C)=B Jawab : a)

A B k g m B A ) ( ' G m m= _AB B C B B C G_AB( )= g B A h g _h A Z C ZAC h gM G M = C b) c) d)

3. diketahui garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.

a) Lukislah titik B sehingga MhMg =GAB b) Lukislah titik C sehingga MgMh =GZAC Jawab :

a)

A P g B D C A B P D C ) (P G GCD AB A B C D P

)

( P

G

G

_{CD BA}

4. Diketahui titik-titik A, B, C, D, P dan garis g seperti pada gambar.

Lukislah : a) G_CDG_AB(P) b) G_CDG_BA(P) Jawab : a) b)

5. Nyatakanlah P dan R dalam bentuk yang paling sederhana. a) G_ABG_CD(P)=R b) S_AG_BC(P)=R Jawab : a) Misal G_CD(P)=Q maka G_AB(Q)=R b) Misal GBC(P)=Q maka S_A(Q)=R