Manfaat Logaritma Dalam Kehidupan
Sebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang waktu untuk melakukan perhitungan eksponensial. Jadi para ilmuwan dan insinyur dari semua jenis memanfaatkan sering menggunakan.
Misalnya, jika ingin menemukan 4 pangkat 3.5, maka akan menggunakan fakta bahwa:4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4)) melihat log (4) dalam tabel log, kalikan dengan 3,5, kemudian gunakan tabel log untuk menemukan antilog pada (10 pangkat jawaban). biasanya membiarkan kalkulator melakukan pekerjaan itu, tapi bahkan kalkulator menggunakan fakta-fakta seperti ini untuk melakukan komputasi. Saya telah membaca bahwa penggunaan logaritma membuat begitu banyak hal mungkin bahwa itu adalah salah satu kontribusi utama dari matematika ke dunia ilmu pengetahuan. Misalnya, sebelum ada logaritma, para astronom merasa kesulitan dengan penjumlahan ataupun perkalian yang begitu besar.
Dengan munculnya penggunaan logaritma, perkalian ataupun perpangkatan yang besar menjadi hal yang sederhana. Dalam kehidupan nyata, logaritma sangat diperlukan bagi ilmu pengetahuan. Dalam sejarah ilmu pengetahuan, pengembangan tabel logaritma dan penggunaannya merupakan prestasi yang luar biasa. Para astronom masih menggunakan skala logaritmik untuk sumbu grafik dan diagram.Penggunaan logaritma yang paling jelas adalah pada penghitungan skala Richter untuk gempa bumi dan desibel. Logaritma juga diaplikasikan dalam penghitungan frekuensi musik. Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, yaitu untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan keuangan (untuk menghitung bunga majemuk).
Fungsi Eksponensial dan Logaritma dalam Ekonomi
FUNGSI EKSPONENSIAL
Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya,
fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana eadalah basis logaritma natural yang
Sebagai fungsi variabel bilangan realx, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan
nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun
mendekati sumbu tersebut secara asimptotik.Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x),
didefinisikan untuk nilai xyang positif.
Fungsi Eksponensial mempunyai rumus umum, yakni:
FUNGSI LOGARITMA
Fungsi Logaritma adalah pangkat dengan suatu basis tertentu harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan tertentu. Jika bilangan yang dicari logaritmanya adalah bersifat real dan positif maka dapat diterapkan rumus umum logaritma, yakni:
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA DALAM EKONOMI
Penerapan dalam Bunga Majemuk
Apabila suku bunga yang dibayarkan sebanyak 1 kali dalam setahun, maka dapat dihitung dengan rumus:
Dimana :
S = nilai yang akan dating
P = nilai awal / saat ini
i = suku bunga
Apabila suku bunga yang diabayarkan sebanyak n-kali dalam setahun, maka dapat dihitung dengan rumus:
Dimana :
S = Nilai yang akan datang
P = Nilai awal / saat ini
i = Suku bunga
t = Waktu
n = Banyak kali pembayaran dalam setahun
Penerapan dalam Pertumbuhan Biologis
Fungsi ini digunakan untuk mengukur pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan perusahaan yang dimulai dari awal waktu hingga batas waktu tertentu. Dalam menghitung Pertumbuhan Biologis dapat dirumuskan:
Dimana :
N = Jumlah total jiwa pada periode t
N0 = Jumlah penduduk jiwa pada periode awal R = Tingkat Pertumbuhan Penduduk
t = Periode Waktu
Grafik Gompertz
Cara ini banyak digunakan oleh psikolog untuk menggambarkan pertumbuhan dan perkembangan manusia dan organisasi atau dalam menentukan jenis pendidikan dan SDM Karyawan. Grafik Gompertz dapat dirumuskan:
Dimana :
N = Banyaknya Jiwa
C = Tingkat pertumbuhan penduduk
a = Proposi pertumbuhan awal
R = Tingkat pertumbuhan penduduk
t = Periode waktu
1. Jika 2log x = 3
Tentukan nilai x = ….
Jawab:
2log x = 3 à x = 23
x = 8.
2. Jika 4log 64 = x
Tentukan nilai x = ….
Jawab:
4log 64 = x à 4x = 64
4x = 44
x = 4.
3. Nilai dari 2log 8 + 3log 9 = ….
Jawab:
= 2log 8 + 3log 9
= 2log 23 + 3log 32
= 3 + 2
= 5
4. Nilai dari 2log (8 x 16) = ….
= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5
= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)
= 0,699 + 0,903 + 1,398
= 3,0
11. Tentukan nilai dari :
(a). log 1000 dan (b).2 log 128
Penyelesaian :
(a). Misalkan log 1000 = y
log 1000 = 10 log 1000 = 10log103 = y
103 = 10y (definisi)
y = 3
(b). Misalkan 2log 128 = x
2log 128 = 2log 27 = x
27 = 2x
x = 7
12. Tentukanlah atau hitunglah nilai dari
(a) log 234 (b). log 23,4 (c). log 2,34
(d). log 0,234 (e). log 0,000234
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan atau membaca logaritma biasa, nilai log 2,34 berada pada baris yang dikepalai oleh 23 dan di bawah kolom yang dikepalai oleh 4. Hal ini berarti log 2,34 = 0,369. Jadi, log 234 = 0,369 + 2 = 2,369.
Catatan :
Bilangan 0,369 disebut mantisa (bagian desimal) dan 2 disebut karakteristik (bagian bulat).
Dalam hal ini mantisa logaritma tidak pernah negatif, tetapi 0 mantisa < 1.
(b). log 23,4 = log (2,34 x 101) = log 2,34 + log 10 = log 2,34 + 1 = 0,369 + 1 = 1,369.
(c). log 2,34 = 0,369
(d). log 0,000234 = log (2,34 x 10-4) = log 2,34 + log 10-4 = 0,369 - 4 = -3,631.
13. Tentukanlah x jika
(a). log x = 4,483 (b). log x = 2,483 (c). log x = 0,483
(d). log x = - 2,483 (e). log x = -4,483
Penyelesaian :
(a). log x = 4,483 menurut definisi x = 104,483 = 100,483+4 = 104 x 100,483
Dari tabel (daftar) ternyata 0,483 terdapat pada baris yang dikepalai oleh 30 dan pada kolom yang dikepalai 4, bilangan ini adalah 3, 04. (ingat 1 A < 10). Jadi,
x = 104 x 3,04 = 30400.
(b). Karena log x = 2,483, maka menurut definisi x = 102,483 = 102 + 0,483 = 102 + 100,483. Dengan
memperhatikan daftar logaritma, seperti penyelesaian soal di atas (a), maka didapat :
x = 102 x 3,04 = 304.
(c). log x = 0,483 berarti x = 100,483 = 3,04.
(d). Karena log x = - 2,483 tidak dalam bentuk baku, maka bentuk bakunya
log x = -2,483 = 0,517 + (-3).
Dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517 = 3,29. Jadi,
(e). log x = -4,483 = 0,517 + (-5),
sedangkan dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517 = 3,29. Jadi,
x = 3,29 x 10-5 = 0,0000329.
14. Carilah 3 log 2 dengan bantuan daftar logaritma.
15. Jika log x = 0,602, tentukanlah nilai logaritma berikut :
