DESKRIPSI
DATA
1
Pengukuran Nilai Pusat
& Dispersi
untuk data tunggal / data tidak terdistribusi
▸ Baca selengkapnya: contoh deskripsi nilai pengetahuan
(2)2 cara numerik untuk
mendeskripsikan variabel kuantitatif:
Measure of location: Mengukur pusat penyebaran data
Tujuan: menunjukan sesuatu dengan tepat tentang pusat penyebaran data
Meliputi: mean (rata-rata), median, modus
Measure of dispersion: Mengukur variasi dari penyebaran data.
Meliputi: Jangkauan, deviasi mean (simpangan rata-rata), variansi (ragam), deviasi standar
3
Rata-rata gaji direktur di perusahaan makanan adalah 50jt/bulan, dan rata-rata
dari gaji direktur di perusahaan asuransi adalah 50jt/bulan. Dari hal ini, seolah-olah
bisa diambil kesimpulan bahwa distribusi dari gaji direktur sama. Padahal interval gaji direktur di perusahaan makanan adalah
40jt-60jt/bulan, sedangkan interval gaji direktur dari perusahaan asuransi adalah dengan range 30jt-70jt/bulan. Ternyata distribusi penyebaran tidak sama, maka
Mean populasi merupakan suatu parameter.
Parameter adalah sebarang karakter yang bisa diukur dalam populasi.
1. MEAN POPULASI
Jumlah nilai dalam populasi Mean populasi
Banyak nilai dalam populasi
X
N
Contoh 1
Ada 42 swalayan/minimarket/supermarket di Kota
Depok. Jarak antar swalayan/minimarket tersebut
adalah sebagai berikut (dalam km):
a)
Mengapa data tersebut disebut data populasi?
b)
Tentukan mean dari jarak antara swalayan
tersebut!
5
Jawab:
a)
Data tersebut merupakan data populasi karena
mempertimbangkan semua
swalayan/minimarket/ supermarket yang ada
di Kota Depok.
b)
Mean dari jarak antar swalayan tersebut
adalah:
11 4 10 ... 2 1
192
4,57
42
42
Mean dari sampel merupakan suatu statistik.
Statistik adalah sebarang karakter yang diukur berdasarkan data pada sampel.
7
2. MEAN SAMPEL
Jumlah nilai dalam sampel Mean sampel
Banyak nilai dalam sampel
X x
n
Contoh 2
Seseorang sedang melakukan penelitian tentang
lamanya seseorang berbicara menggunakan
telepon/HP pada suatu hari tertentu. 12 orang
diambil secara random dan diperoleh data sebagai
berikut (dalam menit).
Tentukan mean dari data di atas!
90 77 94 89 119 112
Jawab:
Mean dari lamanya seseorang berbicara
menggunakan telepon/ HP adalah
9
90 77 ... 83
1170
97,5
12
12
Karakter
dari mean (aritmetika)
Setiap himpunan dari data interval dan data rasio
memiliki mean.
Semua nilai diikutsertakan dalam perhitungan
mean.
Mean dari suatu data populasi atau sampel adalah
tunggal.
Jumlah deviasi dari setiap nilai dari mean adalah 0.
(
X
x
)
0
Contoh 3
Nilai : 3, 8, 4.
11
Mean = (3+8+4)/3 = 15/3 = 5
Kelemahan Mean
Jika ada salah satu nilai dalam sampel
ataupun populasi yang terlalu tinggi atau
terlalu rendah dibanding dengan nilai
mayoritas lainnya, maka mean tidak lagi
menjadi rata-rata yang tepat untuk data.
CONTOH: Pendapatan tahunan dari perusahaan percetakan adalah 1M, 1,5M, 2M, dan 8M.
Mean = (1M + 1,5M + 2M + 8M)/4 = 3,125M
Mean pada contoh ini tentunya tidak mewakili data yang ada,
Contoh 4
Suatu restoran menjual suatu minuman dengan ukuran kecil, medium dan besar, yang harga masing-masingnya adalah $0.90, $1.25 dan $1.50. Sebanyak 3 ukuran kecil, 4 ukuran medium dan 3 ukuran besar terjual.
15
Jawab:
Rata-rata (weighted mean) dari harga minuman yang terjual di restoran tersebut adalah:
3 0,90 4 1, 25 3 1,5
12, 20
1, 22
3 4 3
10
w
X
4. MEDIAN
Why Median is necessary ?Contoh: Seseorang akan menginap di suatu kamar hotel. Seorang agen mengatakan bahwa rata-rata harga kamar di hotel tersebut adalah 1,1jt/malam. Sedangkan, budget dari orang tersebut max 750rb/malam. Apakah orang tersebut masih akan mencari penyewaan kamar di hotel tersebut? Tapi setelah mengetahui detil harga kamar hotel di kawasan tersebut, bisa jadi orang tersebut akan berubah pikiran.
Karakter dari Median
17
Merupakan nilai tengah dari data setelah diurutkan dari
nilai terkecil hingga yang terbesar atau sebaliknya.
Tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem (nilai yang
terlalu besar ataupun yang terlalu kecil).
Median dapat dihitung untuk data ordinal, data
interval, dan data rasio.
Contoh 5
Diketahui:
3 5 7 5 9 1 3 9 17 10
19
Jawab:
Urutkan terlebih dahulu datanya dari yang terkecil hingga terbesar.
1 3 3 5 5 7 9 9 10 17
Karena banyaknya data ada 10 (genap), maka mediannya adalah rata-rata dari data ke-5 dan data ke-6, yaitu:
5 7
12
median
6
2
2
5. MODUS
Karakter Modus:
- Dapat dihitung untuk semua ukuran data, yaitu data nominal, data ordinal, data interval, dan data rasio.
- Nilai modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem, misalnya nilai yang terlalu tinggi ataupun yang terlalu rendah dari mayoritas nilai lainnya.
Kelemahan Modus:
- Kadang ada beberapa data, saat masing-masing nilai muncul hanya 1 kali saja
- Ada beberapa data dengan modus lebih dari 1.
21
Data Frekuensi Frekuensi Kumulatif
Contoh 1 (tentang 42 swalayan di Kota Depok)
Menunjukkan frekuensi terbanyak di antara nilai lainnya, maka:
MODUS = 1.
6. MEAN GEOMETRI
- Sangat berguna untuk menemukan rata-rata perubahan pada persentase, rasio, indeks, dan rata-rata laju pertumbuhan
terhadap waktu.
Contoh 6
Asumsikan seseorang menerima kenaikan gaji sebesar 5% pada tahun ini dan 15% pada tahun berikutnya. Tentukan apakah rata-rata persentase kenaikan gajinya adalah 10% (yang diperoleh dari (5%+15%)/2)?
23
Kenaikan gaji sebanyak 5% => gaji naik menjadi sebesar 1,05x. Kenaikan gaji sebanyak 15% => gaji naik menjadi 1,15x.
Hasil tersebut menunjukkan rata-rata persentase kenaikan gaji orang tersebut adalah 9,886%, BUKAN 10%.
2
1 2
1, 05 1,15
1, 2075 1, 09886
Asumsikan pada mulanya gaji seseorang tersebut adalah sebesar 1jt/ bulan, maka
Gaji awal Kenaikan (%) Kenaikan (Rp)
Kenaikan gaji tahun ini 1.000.000,00 5% 50.000,00
2) Rata-rata persentase kenaikan gaji = 9,886%
3) Jika dianggap rata-rata persentase kenaikan gaji = 10%
TOTAL kenaikan gaji selama 2 tahun =
TOTAL kenaikan gaji selama 2 tahun =
TOTAL kenaikan gaji selama 2 tahun =
Contoh 7
Populasi di Las Vegas meningkat dari 258.295 jiwa
pada 1990 menjadi 607.876 jiwa pada tahun 2009,
atau terjadi kenaikan sebesar 349.581 jiwa atau
135,34% pada periode tersebut. Tentukan rata-rata
persentase laju pertumbuhan populasi per tahunnya
pada periode tersebut
?
1990 – 2009 = 19 tahun, sehingga n = 19.
Artinya, rata-rata persentase laju pertumbuhan populasi per tahun selama periode tersebut adalah 4,61%. Dengan kata lain, populasi penduduk di Las Vegas meningkat dengan laju 4,61% per tahun dari 1990 ke 2009.
1) Karena mean, median, modus hanya membicarakan tentang pusat data, tapi tidak menceritakan tentang penyebaran data.
2) Jika nilai ukuran penyebaran data kecil, hal itu menunjukkan bahwa nilai-nilai pada data tidak terlalu jauh berbeda, yaitu hampir mendekati mean aritmetika, sehingga dalam hal ini nilai mean sangat
dipertimbangkan untuk mewakili pusat data.
3) Jika nilai ukuran penyebaran data besar, maka nilai mean tidak bisa dipertimbangkan untuk mewakili pusat data.
4) Pengetahuan tentang penyebaran data berguna untuk membandingkan penyebaran dalam dua atau lebih distribusi.
5) Ukuran penyebaran data dapat digunakan untuk mengevaluasi apakah hasil pengukuran lokasi (mean, median, modus) benar-benar mewakili data/dapat dipertanggungjawabkan.
27
28
1. RANGE (JANGKAUAN)
hanya berdasarkan nilai terbesar atau nilai terendah saja
Range = Nilai terbesar – Nilai terkecil
melibatkan semua nilai observasi pada data
2. DEVIASI MEAN
X x
MD
n
dengan:nilai dari setiap observasi mean aritmetika
banyaknya observasi pada sampel X
x
a)
Variansi Populasi
Proses menghitung variansi populasi:
- Mulai dengan menemukan nilai mean artimetika sehingga diperoleh - Tentukan selisih setiap nilai X dengan mean sehingga diperoleh (X ),
kemudian kuadratkan nilai selisih tersebut sehingga diperoleh (X )2
- Jumlahkan semua kuadrat selisihnya sehingga diperoleh ∑(X )2 - Bagi hasil jumlah semua kuadrat selisih dengan banyaknya data dalam
populasi sehingga diperoleh 2.
29
3. VARIANSI & DEVIASI STANDAR
2 2 (X )
N
Variansi populasi sangat sulit diinterpetasikan, karena
adanya kuadrat, tapi dapat disimpulkan bahwa
jika nilai
variansi populasi makin kecil, maka nilai-nilai observasi pada
data dekat dengan pusat data (yaitu mean)
, sehingga nilai
observasi pada data tidak terlalu menyebar luas atau tidak
terlalu bervariasi.
b)
Deviasi Standar Populasi
c)
Variansi Sampel
d)
Deviasi Standar Sampel
2
2
dengan:
variansi populasi
deviasi standar populasi
variansi sampel
deviasi standar sampel
mean aritmetika dari populasi
mean aritmetika dari sampel
banyaknya observasi pada populasi
banyakny
a observasi pada sampel
nilai dari setiap observasi
Deviasi
standar
biasanya
digunakan
untuk
membandingkan penyebaran dalam dua atau lebih
himpunan observasi.
Semakin kecil nilai deviasi standar, maka hal itu menunjukkan
makin dekatnya nilai-nilai observasi dengan mean-nya
.
Sebaliknya,
jika semakin besar nilai deviasi, maka hal itu
menunjukkan semakin bervariasinya nilai-nilai observasi
.
Contoh 8
Upah rata-rata sejumlah sampel pegawai paruh
waktu di suatu perusahaan adalah:
$12, $20, $16, $18, $19
a. Hitunglah jangkauan dari data tersebut!
b. Berapakah deviasi mean dari sampel tersebut?
c. Hitunglah variansi dari sampel tersebut?
Jawab:
a. Jangkauan = 20 – 12 = 8
b. Hitung mean terlebih dahulu:
Deviasi meannya adalah:
2
c. Variansi sampelnya adalah:
37
Carilah informasi mengenai bagaimana cara menentukan:
a. kuartil b. desil
c. persentil
pada data tunggal/data tidak terdistribusi.
Sepuluh pemuda yang tinggal di Ancol dipilih secara acak untuk menilai rasa dari pizza sushi terbaru yang dilapisi tuna, nasi, dan rumput laut pada skala 1 hingga 50. Berikut adalah penilaiannya.
34 39 40 46 33 31 34 14 15 45
39
a) Hitunglah rata-rata (mean), median, dan modus dari data
tersebut.
b) Hitunglah simpangan rata-rata (deviasi mean) dari data
tersebut. Interpretasikan hasilnya dengan rata-rata (mean) yang didapat pada poin (a).
c) Berapakah jangkauan (range) dari data tersebut?
d) Hitunglah variansi dan simpangan baku (deviasi standar) dari
data tersebut.
e) Tentukan kuartil pertama, kedua, dan ketiga dari data tersebut. f) Tentukan desil ketiga dan ketujuh dari data tersebut.