ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI

(1)

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

ARDIANSYAH

100803044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ARDIANSYAH

100803044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

i

PERSETUJUAN

Judul : Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat

Menggunakan Diagonalisasi Matriks

Kategori : Skripsi

Nama : Ardiansyah

Nomor Induk Mahasiswa : 100803044

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, April 2015

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Sawaluddin, M.IT Dr. Mardiningsih, M.Si

NIP. 19591231 199802 1 001 NIP. 19630405 198811 2 001

Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

ii

PERNYATAAN

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2015

(5)

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis kepada Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas rahmat dan karuniaNya, dan yang telah memberi kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Analisis Perubahan Bentuk Umum Permukaan Kuadrat Menjadi Bentuk Standar dengan Menggunakan Diagonalisasi Matriks. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga kepada Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.

Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ummi Syahniar, Bapak Syahrani, Kakanda Rika Rosary, Kakanda Tri Suci Juli Yati, serta Adinda Haryati Ifani, Dede Febrina, dan Tria Susenita atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.

Teruntuk Shohib dan shohibiyah seperjuangan (Syahrial, Andi, Abdul, Abdullah, Fadhil, Adam, Riki, Syaipul, Asrul, Mbak Mul, Elsa, Sanah, Fika, Ami, Irma, Zati, Fitri, Ida, Siska dan lainnya), keluarga UKMI Al Falak, keluarga BKB Adzkia, sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM3, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.

(6)

iv

penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.

Medan, April 2015 Penulis

(7)

v

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

ABSTRAK

Perubahan bentuk pada permukaan kuadrat adalah perubahan bentuk umum persamaan dengan bentuk

0

2 2

2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

j iz hy gx fyz exz dxy cz

by ax

di mana a,b,c,d,e,f tidak semua bernilai nol dan a,b,c,d,e, f,g,h,i,jℝ

disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x,y,z atau disebut juga permukaan kuadrat, menjadi salah satu bentuk standar yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik atau paraboloid hiperbolik yang ekuivalen terhadap bentuk umum tersebut. Diagonalisasi matriks adalah salah satu metode yang dipakai untuk mengubah dan mengidentifikasikan bentuk standar suatu permukaan kuadrat. Kemudian software MAPLE akan memberikan visualisasi perubahan grafiknya.

(8)

vi

ANALYSIS OF CHANGE FORM ON QUADRIC SURFACES USING MATRIX DIAGONALIZATION

ABSTRACT

Change form on quadric surfaces is changing of general form equation which form

0

2 2

2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

j iz hy gx fyz exz dxy cz

by ax

where a,b,c,d,e,f are not all zero and a,b,c,d,e,f,g,h,i, jℝ called quadratic equation in the variables x,y,z or called quadric surfaces, be one of the standart forms are ellipsoid, eliptic cone, hyperboloid of one sheet, hyperboloid of two sheet, elliptic paraboloid or hyperbolic paraboloid which equivalent to general form. Matrix diagonalization is one method used to changing and identity the standart form of a quadric surface. Then MAPLE software will give graph change visualization.

(9)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Tinjauan Pustaka 4

1.7 Metodologi Penelitian 7

1.8 Diagram Konsep 8

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Transpose , Invers dan Determinan Matriks 9

2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen 10

2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam 12

2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal 13

2.4.1 Basis Ortonormal 13

2.4.2 Matriks Ortogonal 17

2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat 18

2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen 20

2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi Ortogonal 22

BAB 3 BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT

3.1 Elipsoid 33

3.2 Kerucut Eliptik 35

3.3 Hiperboloid Satu Lembar 37

3.4 Hiperboloid Dua Lembar 40

3.5 Paraboloid Eliptik 42

3.6 Paraboloid Hiperbolik 45

BAB 4 PERUBAHAN BENTUK PADA PERMUKAAN KUADRAT

4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi 49

4.2 Permukaan Kuadrat yang Dirotasi 52

(10)

viii BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 69

5.2 Saran 69

(11)

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

1.1 Enam bentuk standar permukaan kuadrat 2

1.2 Irisan kerucut 5

3.5 Hiperboloid satu lembar: ₂ 1

2

3.7 Hiperboloid dua lembar: ₂ 1

2

3.11 Paraboloid hiperbolik: z

B

4.1 Grafik yang dirotasikan dan ditranslasikan 48

(12)

x

DAFTAR SINGKATAN

ℝ : Himpunan bilangan riil

x : Suatu vektor

x : Suatu variabel

a : Suatu konstanta

A : Suatu Matriks

[aij] : Matriks dengan entri-entrinya

T

A : Transpose matriks A

k : Suatu skalar

I : Matriks identitas

1



A : Invers matriks A

ij

M : Minor baris ke-i dan kolom ke-j

ij

C : Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j

A : Determinan matriks A

<u,v> : Hasil kali dalam

V : Ruang hasil kali dalam

||u|| : Vektor norm

S : Himpunan vektor yang ortogonal

n

R : Himpunan vektor yang berimensi-n

i

 : Suatu nilai eigen