PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Cabang ilmu matematika yang sering digunakan dalam memodelkan suatu permasa-lahan adalah persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya, terdapat dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang mempunyai satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan dife-rensial yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas. Contohnya persamaan panas, persamaan gelombang, persamaan transport, dan persamaan Poisson. Berdasarkan bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan diferensial nonho-mogen. Berdasarkan ordenya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaaan diferensial orde tiga, dan persamaan diferensial orde-n (orde tiorde-nggi). Sedaorde-ngkaorde-n berdasarkaorde-n keliorde-nearaorde-norde-nya, persamaaorde-n difereorde-nsial dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear, dan persamaan diferensial nonlinear (Boyceet al. 2008).
Persamaan diferensial nonlinear juga diklasifikasikan ke dalam tiga subkelas yang dibagi berdasarkan ketidaklinearannya, yaitu quasilinear, semilinear, dan fully nonlinear. Secara umum, jika ketidaklinearannya berada pada turunan tertinggi dari suatu fungsi maka tingkat ketidaklinearannya akan semakin tinggi. Pada penelitian ini akan lebih khusus membahas persamaan diferensial yang bersifat semilinear (Pincho-ver dan Rubinstein, 2005).
Selain metode - metode diatas, metode lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dari persamaan diferensial adalah dengan mencari operator invers dari suatu operator diferensial. Metode ini dikenal dengan metode representasi integral. Untuk mendapatkan operator invers dari suatu persamaan diferensial, maka perlu mencari suatu fungsi yang dikenal dengan fungsi Green.
Fungsi Green pertama kali dikemukakan pada tahun 1828 oleh seorang mate-matikawan Inggris yang berasal dari kota Nottingham bernama George Green. Green mempublikasikan sebuah esai matematika yang berjudul ”An Essay on the Applica-tion of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.”Esai ini terdiri dari 70 halaman berisikan asal mula teorema Green dan penerapannya. Da-lam tulisannya tersebut, Green mencoba untuk menentukan potensial listrik di daDa-lam sebuah vakum yang dibatasi oleh konduktor dengan potensial tertentu.
Esai yang ditulis Green mulai terkenal pada tahun 1850-1854 dan mendapat so-rotan dari School of Matematical Physicdi Jerman. Walaupun Green tidak menamai fungsi pada tulisannya tersebut, Riemann (1826 - 1866) memberikan nama ”Green’s Function” atau Fungsi Green. Kemudian pada tahun 1877, Carl Neumann menerapkan konsep fungsi green pada penelitiannya mengenai persamaan Laplace pada dimensi dua. Neumann menemukan bahwa dimensi dua yang ekuivalen dengan fungsi Green tidak digambarkan dalam bentuk singular dari 1
|r−r0|sebagai kasus dimensi tiga, tetapi dalam bentuk singular darilog 1
|r−r0|.
Tokoh yang mengembangkan fungsi Green pada persamaan gelombang adalah Kirchhoff (1824-1887). Kirchhoff menggunakan fungsi Green selama penelitiannya mengenai persamaan Gelombang dimensi tiga. Kirchhoff berhasil menunjukkan bah-wa fungsi Green pada dimensi tiga adalah
g(x, y, z, t|ξ, η, ζ, τ) = δ(t−τ−R/c) 4πR
dengan R = p(x−ξ)2+ (y−η)2+ (z−ζ)2. Walaupun Kirchhoff tidak menye-butkan bahwa hasil yang didapatkannya adalah suatu fungsi Green, tetapi konsep dari penyelesaiannya ini menggunakan fungsi yang dikenal sebagai fungsi delta Dirac. De-ngan penyelesaian fungsi ini, Kirchhoff menemukan suatu teoremanya yaitu Teorema Kirchhoff yang merupakan ekspresi matematika dari prinsip Huygen.
Aplikasi fungsi Green untuk persamaan diferensial biasa yang meliputi masa-lah nilai batas dilakukan oleh Burkhardt (1861-1914) dengan menggunakan hasil dari teori Picard pada persamaan diferensial biasa, Burkhardt memperoleh fungsi Green untuk masalah nilai batas. Kemudian, Bocher (1867-1918) mengembangkannya pada masalah nilai batas orde ke-n (Duffy, 2001).
Fungsi Green dapat dicari untuk persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat batas tertentu. Persamaan diferensial yang diketahui syarat batasnya dinamakan dengan Masalah Nilai Batas. Syarat batas mempunyai tiga tipe yaitu, syarat batas tipeDirichlet, Neumann, dan Robin. Syarat batas Dirichlet adalah nilai penyelesaian pada batas domain. Syarat batas Neumann adalah nilai penyelesaian derivatif pada batas domain. Syarat batas Robin adalah nilai penyelesaian pada batas domain dan derivatifnya (Pinchover dan Rubinstein, 2005).
Berdasarkan uraian di atas maka penulis mengambil judul pada skripsi ini ada-lah ”Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Semilinear”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada peneliti-an ini adalah bagaimpeneliti-ana mengetahui fungsi Green dari suatu operator diferensial dpeneliti-an mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC) serta mencari solusi persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah terbatas pada permasalahan semilinear elip-tik orde dua pada ruang satu dimensi.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan suatu persamaan diferensial semili-near dengan menggunakan fungsi Green dan hubungannya dengan fungsi Green yang dikonstruksi menggunakan algoritma MCMC.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat mengetahui alternatif lain untuk mendapat-kan fungsi Green yaitu dengan mengkonstruksi fungsi Green menggunamendapat-kan algoritma MCMC sekaligus dapat menjadi rujukan untuk penelitian selanjutnya.
1.6 Metodologi Penelitian
gunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu dengan membaca dan meng-umpulkan informasi - informasi dari beberapa literatur yang berkaitan dengan perma-salahan dalam penelitian ini.
Langkah - langkah yang akan dilakukan penulis dalam melakukan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi Green dari suatu operator diferensial yang diberikan. Pada tahap ini, penulis akan menentukan fungsi Green pada suatu operator dife-rensial linear baik secara analitik maupun secara numerik.
2. Mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC).
Fungsi Green dengan pendekatan numerik juga dapat dilakukakan menggunakan algoritma MCMC. Langkah yang dilakukan adalah membangun algoritma MCMC dengan menggunakan program MATLAB sehingga diperoleh pendekatan fungsi Green secara numerik.
3. Mencari solusi dari suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green.
4. Membuat kesimpulan.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka akan diperoleh hasil yang merupakan jawaban dari suatu permasalahan yang dikemukakan.
Permasalahan Nilai Batas Semilinear
Operator Diferensial Eliptik Persamaan nonlinear (semilinear)
Mengkonstruksi Fungsi Green
Analitik Numerik
Integrasi numerik
Algoritma MCMC
Fungsi Green
Fungsi Green dan fungsi semilinear
Solusi
