Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Matemaattis-luonnontieteellinen

Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Jenni Räsänen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Matematiikka

Pro gradu -tutkielma

Helmikuu 2014

45 s.

Barysentriset koordinaatit, pisteen konjugaatio, isotominen ja isogonaalinen konjugaatio

Kumpulan tiedekirjasto

Tutkielmassa tarkastellaan kahta tasogeometrian käsitettä: barysentristä koordinaattisysteemiä

sekä pisteen konjugaatiota kolmion suhteen. Barysentriset koordinaatit ovat homogeeninen

koor-dinaattisysteemi, jonka avulla pisteen sijainti tasossa ilmoitetaan suhteessa annettuun kolmioon.

Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on kuvaus, joka kuvaa tason pisteet toisiksi tietyillä,

tyy-pillisesti geometrisesti luonnehdittavilla ehdoilla. Käsitteet liittyvät toisiinsa siten, että eräät

mielenkiintoiset konjugaatiokuvaukset voidaan määritellä barysentristen koordinaattien avulla.

Barysentriset koordinaatit otettiin käyttöön 1800-luvun alussa useamman henkilön toimesta. Ne

ilmoittavat tason pisteen sijainnin suhteessa annettuun kolmioon järjestetyllä lukukolmikolla,

toisin kuin yleisemmin käytetyt karteesiset koordinaatit, jotka ilmoittavat pisteen sijainnin

suh-teessa annettuun origoon

(0

,

0)

lukuparin avulla. Barysentriset koordinaatit voidaan ilmoittaa

useammalla, keskenään ekvivalentilla tavalla, mutta niiden määrittäminen tapahtuu kuitenkin

aina jonkin kolmion suhteen. Määrittely voidaan tehdä joko tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien

muodostamien kolmion sivujen jakosuhteiden avulla tai käyttäen hyväksi tutkittavan pisteen ja

kolmion kärkien muodostamien kolmioiden pinta-alojen suhteita.

Tutkielman kolmannessa luvussa esitetään barysentristen koordinaattien järjestelmä sekä annetaan

esimerkkejä mielenkiintoisten pisteiden koordinaateista. Barysentristen koordinaattien kaltainen,

toinen homogeeninen koordinaattisysteemi, trilineaariset koordinaatit esitellään myös lyhyesti.

Neljännessä luvussa johdetaan muunnoskaavat trilineaaristen ja barysentristen koordinaattien sekä

barysentristen ja karteesisten koordinaattien välille.

Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on eräs pistetransformaation erityistapaus. Tutkielman

viidennessä luvussa tarkastellaan aluksi pistetransformaation käsitettä yleisesti, jotta pisteen

konjugaatiota kolmion suhteen voidaan ymmärtää paremmin.

Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio ovat mielenkiintoiset, paljon tutkitut ja geometriassa

sovel-letut erikoistapaukset pisteen konjugaatiosta kolmion suhteen. Ne ovat mielenkiintoisia myös tämän

työn kannalta, sillä niiden määrittelyssä käytetään sekä barysentrisiä että trilineaarisia

koordinaat-teja. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio esitellään tutkielman viimeisessä luvussa.

Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty

Laitos Institution Department

Tekijä Författare Author

Työn nimi Arbetets titel Title

Oppiaine Läroämne Subject

Työn laji Arbetets art Level

Aika Datum Month and year

Sivumäärä Sidoantal Number of pages

Tiivistelmä Referat Abstract

Avainsanat Nyckelord Keywords

Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä

pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Jenni Räsänen

1 Johdanto 3

1.1 Kiitokset . . . 4

2 Merkintöjä ja aputuloksia 5 2.1 Merkinnät . . . 5

2.2 Aputuloksia . . . 6

2.2.1 Johdantobarysentrisiin koordinaatteihin . . . 6

2.2.2 Konjugaatioihinliittyviämääritelmiä . . . 12

3 Trilineaariset ja barysentriset koordinaatit 14 3.1 Trilineaarisetkoordinaatit . . . 14

3.2 Barysentriset koordinaatit . . . 15

3.3 Kolmion ulkopuolella olevatpisteet . . . 16

3.4 Esimerkkejä . . . 18

3.4.1 Tasasivuinen ja suorakulmainenkolmio . . . 18

3.4.2 Kolmionklassiset merkilliset pisteet . . . 20

3.4.3 Ceviaaneillajakolmionsivujensuuntaisillajanoilla liik-kuminen . . . 21

4 Muunnoskaavat 24 4.1 Trilineaaristenja barysentristen koordinaattien muunnoskaava 24 4.2 Barysentristen ja karteesisten koordinaattienmuunnoskaava . 24 4.3 Esimerkkejä . . . 26

5 Pistetransformaatio ja pisteen konjugaatio kolmion suhteen 28 5.1 Pistetransformaatio . . . 28

5.2 Pisteen konjugaatio:määritelmät . . . 32

6 Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio 35 6.1 Isotominen konjugaatio . . . 35

6.1.1 Esimerkkejä . . . 37

6.2 Isogonaalinen konjugaatio . . . 39

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä kaksi mielenkiintoista

tasogeo-metriankäsitettä:barysentrinenkoordinaattisysteemisekäpisteen

konjugaa-tio kolmion suhteen. Käsitteet liittyvät toisiinsa siten, että barysentristen

koordinaattienavullavoidaanmääritelläpisteiden konjugaattipareja.

Barysentrisiä koordinaatteja käytetään ilmaisemaan pisteen paikkaa

ta-sossa.Barysentrisetkoordinaatiteroavatyleisemminkäytetyistäkarteesisista

koordinaateista siinä, että pisteen paikkaatasossa merkitään kolmella

koor-dinaatillakahdensijaan,jareferenssinäonpisteen(origon)asemastakolmio.

Barysentrisille koordinaateilleonuseita, keskenään ekvivalentteja

määri-telmiä. Yhteistä niille on se, että koordinaatit ilmoitetaan aina jonkin

kol-mionsuhteen.Määritelmänävoidaankäyttääsivujenjakosuhteita,jotka

muo-dostuvatkolmionkärkienjatutkittavanpisteenkauttakulkevienpuolisuorien

leikatessakolmionsivuja.Barysentrisetkoordinaatitvoidaanmääritellämyös

tutkittavanpisteenjakolmionkärkienmuodostamienpienempienkolmioiden

pinta-alojen suhteina. Edellä mainittujen määritelmien lisäksi barysentriset

koordinaatit voidaan määritellä myös massojen painopisteen avulla.

Saksa-lainen matemaatikko August Ferdinand Möbius (1790-1868) esitteli tämän

ajatuksen määrittelemälläpisteen

P

koordinaatitkolmion

ABC

kärkipistei-siin asetettujen massojen avulla niin, että

P

oli näiden massojen painopiste

[1,758℄.

Barysentrisenkoordinaattisysteemintakanaonuseampiahenkilöitä.

Sak-salainenmatemaatikkoJulius Plüker (1801-1868) julkaisi vuonna1831

toi-sen osan teokseeseensa Analytish-geometrishe Entwiklungen, jossa hän

esitteliuudelleenkeksimänsäkoordinaattijärjestelmän.Esitelty

koordinaatti-järjestelmäolikeksittyjälleenuudestaan,silläseolikeksitty

riippumattomas-tijo kolme kertaaaikaisemminkin.Kolme muuta barysentristen

koordinaat-tien keksijää ovat saksalaiset matemaatikotKarl Wilhelm Feuerbah

(1800-1834) ja edellä mainittu Möbius sekä ranskalainen matemaatikko Étienne

Bobillier (1798-1840). [1,758℄

Barysentrisiä koordinaattejahyödynnetäänesimerkiksitutkielmantoisen

pääaiheen, eli pisteen konjugaation yhteydessä. Pisteen konjugaatio

tapah-tuuainajonkinsuhteen,esimerkiksikolmionjapisteensuhteentaikolmionja

suoransuhteen. Pisteen konjugaatiooneräs pistetransformaatio, elikuvaus,

joka kuvaatason pisteet toisiksipisteiksi tietyllä ehdolla. Pisteen

konjugaa-tion mielenkiintoisiinerikoistapauksiin kuuluvatisotominen jaisogonaalinen

konjugaatio.

Tutkielman rakenne on seuraava. Luvussa 2 esitellään tutkielmassa

käy-tettävätmerkinnätsekätarvittaviaaputuloksiaja määritelmiä.Tässä

barysentristen koordinaattien lisäksi toinen homogeeninen

koordinaattisys-teemi, trilineaariset koordinaatit. Luvun aluksi annetaan määritelmät

trili-neaarisillejabarysentrisillekoordinaateille.Lisäksiannetaanesimerkkejä

joi-denkin pisteiden homogeenisistä koordinaateista sekä pohditaan, miten

pis-teen barysentriset koordinaatitmuuttuvat,kun pisteenpaikka muuttuu.

Barysentrisiä ja trilineaarisia koordinaattejavoidaan muuntaa toisikseen

tainiitä voimyösmuuttaakarteesisiksikoordinaateiksi. Luvussa4esitellään

muunnoskaava, jolla voi muuttaa barysentriset koordinaatit trilineaarisiksi

koordinaateiksi, sekä muunnoskaava karteesisten koordinaattien

muuttami-seksi barysentrisiksikoordinaateiksi. Lisäksinäiden kaavojen käytöstä

esite-tään muutamaesimerkki.

Tutkielman toisen niin sanotun pääaiheen esittely aloitetaan luvussa 5.

Luvun aluksi esitellään pisteen konjugaatiota yleisempi käsite,

pistetrans-formaatio, minkä jälkeen annetaan määritelmät pisteen konjugaatiolle sekä

kolmionja pisteenettäkolmionjasuoran suhteen. Viimeisessäluvussa 6

esi-tellään pisteen konjugaation mielenkiintoiset erikoistapaukset isotominen ja

isogonaalinenkonjugaatio.Näistäesitetään myös esimerkkejä.

1.1 Kiitokset

SuurikiitosohjaajalleniAnnaKairemalleavustamielenkiintoisenaiheen

löy-tämisessä,tutkielmanalkuunsaattamisessasekäasiantuntevastaohjauksesta

kokotutkielmantekemisenaikana.Kiitosmyösantoisista

ohjaajatapaamisis-ta ja aihetta selventävistä keskusteluista, joita ilman tutkielmantekeminen

olisiollut huomattavastihitaampaa ja hankalampaa.

Kiitos kihlatulleniJoonalle kannustuksesta ja tuesta tutkielman

alkuvai-heistaainaloppuviimeistelyynasti.Kiitosmyösmatemaattisestaavusta sekä

kommenteistakoskien tutkielmanmatemaattistamuotoiluajajärkeviä

2.1 Merkinnät

Tässä tutkielmassa käytetään seuraavia vakiintuneita geometrian

merkintö-jä.Pisteiden

A

ja

B

määräämääjanaamerkitään

AB

,jajananpituutta

|AB|

.

Toisinaanajatellaan,ettäjanallaonsuunta,jolloin

A

onjananalkupisteja

B

loppupiste.Pisteiden

A

ja

B

määräämääsuoraamerkitään

←→

AB

.Puolisuoraa,

jonka alkupiste on

A

ja kulkupiste

B

, merkitään puolestaan

−→

AB

. Vektoria,

jonka alkupiste on

A

ja loppupiste on

B

, merkitään

AB

. Kun pisteet

X

ja

Y

ovateripuolillasuoraa

AB

,merkitään

X

←→

ABY

,jakun pisteetovat

samal-la puolella suoraa, merkitään

XY

←→

AB

. Kolmion

ABC

pinta-alaa merkitään

[

ABC

]

. Lisäksi kolmioiden

ABC

ja

DEF

yhdenmuotoisuudesta käytetään

merkintää

ABC

∼

DEF

.

Lisäksi tässä tutkielmassa käytetään seuraavia merkintöjä, ellei toisin

mainita (kts. kuva 1). Pisteet

A

,

B

ja

C

ovat kolmion

ABC

kärkipistei-tä. Kolmion sivujen

BC

,

AC

ja

AB

pituuksia merkitään kirjaimilla

a

,

b

ja

c

. Jos

P

on neljäs piste, niin puolisuoran

−→

AP

ja suoran

BC

leikkauspistet-tämerkitään kirjaimella

D

. Puolisuorien

−−→

BP

ja

−→

CP

sekäsuorien

←→

CA

ja

←→

AB

leikkauspisteitä merkitään vastaavasti kirjaimilla

E

ja

F

. Pisteillä

Q

,

R

ja

S

merkitään sellaisia pisteitä kolmion sivuilla

BC

,

CA

ja

AB

, joiden

muo-dostamat janatpisteen

P

kanssa

P Q

,

P R

ja

P S

ovatkohtisuorassa kolmion

sivuihin

BC

,

CA

ja

AB

nähden. Näitä pisteen

P

etäisyyksiä kolmion

si-vuihin tai sivujen jatkeisiin merkitään kirjaimilla

h

a

,

h

b

ja

h

c

. Kolmioiden

BCP

,

AP C

ja

ABP

pinta-aloja merkitään kirjaimilla

x

,

y

ja

z

siten, että

[

BCP

] =

x

,

[

ACP

] =

y

ja

[

ABP

] =

z.

Tässä luvussa esitellääntutkielmassa myöhemmintarvittaviaaputuloksia.

2.2.1 Johdanto barysentrisiin koordinaatteihin

Tässä luvussa esitetään tuloksia, jotka johdattelevat barysentrisiin

koordi-naatteihin.

Kolmionkeskijanaksi,elimediaaniksi,kutsutaanjanaa,jokayhdistää

kol-mion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Mediaaneille on voimassa

seuraava, koulustakinjo tuttu tulos:

Lause 2.1. Kolmion kaikki kolme mediaania leikkaavat toisensa samassa

pisteessä

G

(kuva2).Piste

G

jakaakunkinmediaaninsuhteessa

1 : 2

kolmion

sivultalukien.Lisäksi,pisteen

G

koordinaatitsaadaankolmionkärkipisteiden

A

,

B

ja

C

koordinaattien keskiarvona,eli

G

=

A

+

B

+

C

3

.

Lause 2.1 saadaanerikoistapauksena yleisemmästä tuloksesta,lemmasta

2.8.

Kuva 2: Kolmion keskijanat leikkaavat samassapisteessä, kolmion

painopis-teessä.

Mediaanien leikkauspistettä kutsutaan kolmion keskipisteeksi tai

pain-opisteeksi(eng. entroid).

Tutkitaan seuraavaksi yleisempää tilannetta, jossa tarkastellaan janoja

AD

,

BE

ja

CF

, missä pisteet

D

,

E

ja

F

eivät välttämättä ole kolmion

sivujenkeskipisteitä(kuva1).Janoja

AD

,

BE

ja

CF

kutsutaantässätyössä

jen ja sen vastakkaisella sivulla olevan pisteen. Mediaanit, korkeusjanat ja

kulmapuolittajatovateviaaninerikoistapauksia. Nimityseviaanitulee

ita-lialaisen matemaatikon Giovanni Cevan (1647-1734) nimestä. Ceva todisti

eviaaneja koskevan merkittävän tuloksen, Cevan lauseen, joka todistetaan

seuraavassa.

Toisin kuinkolmion mediaanienja painopisteen tilanteessa, eviaanit

ei-vätvälttämättäleikkaasamassapisteessä.Cevanlause(GiovanniCeva,1678,

Italia)kertoovälttämättömänjariittävänehdonsille,milloinnäintapahtuu.

Mikälikaikkikolmeeviaanialeikkaavattoisensasamassapisteessä,

leikkaus-pistejakaanetietyssäsuhteessa.Lisäksileikkauspisteenkoordinaatitvoidaan

lausua yksinkertaisellatavallakolmion kärkipisteiden koordinaattien avulla.

Tarkemmin, voimassaon seuraava tulos:

2.2 Cevan lause. Olkootpisteet

D

,

E

ja

F

kolmion

ABC

sivuilla

BC

,

CA

ja

AB

. Ceviaanit

AD

,

BE

ja

CF

leikkaavat samassa pisteessä, jos ja vain

jos

BD

DC

·

CE

EA

·

AF

F B

= 1

.

Tämänehdon toteutuessa eviaanienleikkauspiste

P

jakaaeviaanit

seuraa-vissa suhteissa:

AP

P D

=

1

−

α

α

,

BP

P E

=

1

−

β

β

,

CP

P F

=

1

−

γ

γ

,

missä

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

,

AF

F B

=

β

α

ja

α

+

β

+

γ

= 1

.

Lisäksi

P

=

αA

+

βB

+

γC.

Teoreeman todistuskäsittää monta vaihtetta.

Tarkastellaan kolmiota

ABC

sekä sen kahta eviaania

AD

ja

BE

, jotka

leikkaavat pisteessä

P

. Merkitään

BD

DC

=

γ

β

(kuva 3), ja olkoon janojen

CE

ja

EA

suhde

CE

EA

=

s

t

. Tässä voidaan yleisyyttä menettämättäolettaa, että

t

=

γ

ja

s

+

β

+

γ

=:

α

+

β

+

γ

= 1

.Jos näin ei ole, huomataan, että

CE

EA

=

s

t

=

γs

t

γ

=:

α

γ

.

Kuva 3:Kolmion

ABC

eviaanit

AD

ja

BE

leikkaavat pisteessä

P

.

Olkootsiis

α, β, γ >

0

ja

α

+

β

+

γ

= 1

. Edelläkuvatulle tilanteellepätee

seuraava tulos:

Lemma 2.3. Olkoon tilanne kuten yllä on kuvattu. Piste

P

jakaa eviaanit

AD

ja

BE

suhteissa

AP

P D

=

1

−

α

α

ja

BP

P E

=

1

−

β

β

.

Todistus. Olkoon

R

se piste, joka jakaa eviaanin

AD

suhteessa

AR

RD

=

1

−

α

α

.

Olkoon

S

se piste, joka jakaa eviaanin

BE

suhteessa

BS

SE

=

1

−

β

β

. Pisteen

R

paikkavektoriksisaadaan:

OR

=

OA

+

AR

=

OA

+

1

−

α

(1

−

α

) +

α

AD

=

OA

+ (1

−

α

)

AD

=

OA

+ (1

−

α

)

AB

+

γ

β

+

γ

BC

=

OA

+ (1

−

α

)

AB

+

(1

−

α

)

γ

β

+

γ

BC

=

OA

+ (1

−

α

)

OB

−

OA

+

γ OC

−

OB

=

αOA

+ (1

−

α

−

γ

)

OB

+

γOC

=

αOA

+

βOB

+

γOC.

Laskussa hyödynnettiin yhtälöä

α

+

β

+

γ

= 1

. Samanlainen laskuosoittaa,

että pisteen

S

paikkavektori on

OS

=

αOA

+

βOB

+

γOC

. Siis,

R

=

S

=

P.

Lemma 2.4. Olkoon

F

puolisuoran

−→

CP

ja janan

AB

leikkauspiste. Silloin

AF

F B

=

β

α

ja

CP

P F

=

1

−

γ

γ

.

AF

F B

=

β

α

.

Kuva 4:Yhdenmuotoiset kolmiot

ABY

ja

AF P

sekä

P DC

ja

Y DB

.

Olkoon

Y

puolisuoran

−→

AP

piste siten, että

←→

BY

k

←→

CF

. Kolmiot

ABY

ja

AF P

ovat yhdenmuotoiset, sillä

∠

BAD

=

∠

BAY

(sama kulma),

∠

Y BA

=

∠

P F A

ja

∠

AY B

=

∠

AP F

(samankohtaiset kulmat). Myös

P DC

∼

Y DB

,

sillä

∠

CDP

=

∠

BDY

(ristikulmat),

∠

P CD

=

∠

Y BD

ja

∠

DP C

=

∠

DY B

(samankohtaiset kulmat). (kuva 4)Yhdenmuotoisistakolmioista saadaan:

AF

+

F B

AF

=

AD

+

DY

AP

⇒

F B

AF

=

AD

+

DY

AP

−

1

ja

DY

DP

=

BD

DC

=

γ

β

⇒

DY

=

γ

β

·

DP.

Näistäyhtälöistäsaadaan edelleen:

F B

AF

=

AD

+

DY

AP

−

1 =

AD

+

_β

γ

·

DP

AP

−

1 =

AD

DP

+

γ

β

AP

DP

−

1 =

1

α

+

γ

β

1−

α

α

−

1

=

1

1

−

α

+

γα

β

(1

−

α

)

−

1 =

β

+

α

(1

−

β

−

α

)

β

(1

−

α

)

−

1

=

β

(1

−

α

) +

α

(1

−

α

)

−

β

(1

−

α

)

β

(1

−

α

)

=

α

β

.

välittömästilemmasta2.3.

Lemmoista2.3ja 2.4 saadaanvälittömästiseuraava tulos:

Lemma 2.5. Ceviaanien leikkauspisteen

P

koordinaatit saadaan kolmion

ABC

kärkipisteiden koordinaattien painotettuina keskiarvoina:

P

=

αA

+

βB

+

γC.

Huomautus 2.6. Kolmion mediaanien ja painopisteen tapauksessa

α

=

β

=

γ

=

1

₃

.

Huomautus 2.7. Vertaa Cevan lauseeseen:

Lemman2.4nojalla,joseviaanit

AD

,

BE

ja

CF

leikkaavattoisensasamassa

pisteessä, niinpisteet

D

,

E

ja

F

jakavatkolmion

ABC

sivutsuhteissa

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

ja

AF

F B

=

β

α

. Huomataan, että

BD

DC

·

CE

EA

·

AF

F B

=

γ

β

·

α

γ

·

β

α

= 1

.

Näinon Cevan lauseentoinen välttämätön ehtotodistettu.

Lemmat 2.3 ja 2.4 tarkoittavat, että jos kolme eviaania leikkaavat

sa-massa pisteessä, niinpisteet

D

,

E

ja

F

jakavatkolmion sivutsekä eviaanit

kuvan3 suhteissa.

Tarkastellaan seuraavaksi käänteistä tilannetta. Olkoot

AD

,

BE

ja

CF

kolmion

ABC

eviaanit,jotkajakavatkolmionsivut kuvan3 suhteissa.

Täl-löineviaanitleikkaavattoisensa samassapisteessä.

Lemma 2.8. Olkoot

α, β, γ >

0

sellaiset, että

α

+

β

+

γ

= 1

. T

arkastel-laan tilannetta, jossa eviaanit

AD

,

BE

ja

CF

jakavat kolmion

ABC

sivut

suhteissa

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

ja

AF

F B

=

β

α

. Tällöin eviaanit

AD

,

BE

ja

CF

leikkaavat toisensasamassa pisteessä

P

. (kuva 5)

Todistus. Tulos seuraa välittömästi lemman 2.3 todistuksesta: Jos

R

on se

eviaanin

AD

piste, joka jakaa eviaanin suhteessa

AR

RD

=

1−

α

α

, niin

OR

=

αOA

+

βOB

+

γOC

.

Huomautus 2.9. Olkooneviaanienleikkauspisteen

P

koordinaatit

P

=

αA

+

βB

+

γC

. Tällöin eviaanit

AD

,

BE

ja

CF

jakavat kolmion

ABC

sivut

suhteissa

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

ja

AF

F B

=

β

α

.

Näin on teoreema 2.2 todistettu. Lemmat 2.3, 2.4, 2.5 ja 2.8 osoittavat

teoreeman todeksi.

Seuraavalemmaosoittaa,ettäkolmion

ABC

kärkipisteidenjaeviaanien

AD

,

BE

ja

CF

leikkauspisteen

P

muodostamien kolmioiden pinta-alojen

suhteet sekä pisteiden

D

,

E

ja

F

muodostamat sivujen jakosuhteet ovat

sa-mat.

Lemma 2.10. Olkoon

P

kolmion

ABC

eviaanien

AD

,

BE

ja

CF

leik-kauspiste. Jakakoot eviaanit kolmion sivuja suhteissa:

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

ja

AF

F B

=

β

α

.

Tällöin:

z

y

=

γ

β

,

x

z

=

α

γ

ja

y

x

=

β

α

.

Todistus. Koska kolmioilla

ABD

ja

ACD

on sama korkeus, saadaan:

[

ABD

]

[

ACD

]

=

BD

DC

=

γ

β

.

Samoin:

[

BDP

]

z

=

DP

P A

ja

[

CDP

]

y

=

DP

P A

.

Pinta-alat

[

ABD

]

ja

[

ACD

]

voidaan kirjoittaamyös:

[

ABD

] =

z

+ [

BDP

] =

z

1 +

[

BDP

]

z

=

z

1 +

DP

P A

ja

[

ACD

] =

y

+ [

CDP

] =

y

1 +

[

CDP

]

y

=

y

1 +

DP

P A

.

Nyt saadaan:

γ

β

=

[

ABD

]

[

ACD

]

=

z

y

.

Vastaavastisaadaan:

x

z

=

α

γ

ja

y

x

=

β

α

.

tapauksena.

Lemma2.11. Kolmionkeskijanatjakavat kolmion kuuteen pienempään

kol-mioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.

Kuva6:Kolmionkeskijanatjakavatkolmionkuuteenyhtäsuureenkolmioon.

2.2.2 Konjugaatioihin liittyviä määritelmiä

Seuraavassamääritelläänkonjugaatioidenyhteydessätarvittavatkäsitteet

e-viaanikolmio, ristikkäissuhde sekä trilineaarinen suora. Käsitteitä tarvitaan

luvussa 5.2, kun määritelläänpisteen konjugaatio kolmion suhteen.

Määritelmä 2.12. Olkoon

ABC

kolmio ja

P

eviaanien

AD

,

BE

ja

CF

leikkauspiste.Pisteet

D

,

E

ja

F

muodostavatkolmion,jotakutsutaanpisteen

P

eviaanikolmioksi(eng. evian triangle)kolmion

ABC

suhteen (kuva7).

Kuva 7: Pisteen

P

eviaanikolmio

DEF

kolmion

ABC

suhteen.

Sanotaan,että kolmiot

ABC

ja

DEF

ovatkeskenään perspektiivisiä

Määritelmä 2.13. Olkoot pisteet

A

,

B

,

C

ja

D

kaikki samalla suoralla.

Näiden pisteiden ristikkäissuhde (eng. ross-ratio) onluku

[

A, B

;

C, D

] :=

AC

·

BD

BC

·

AD

.

Merkitäänjanaparien

(

BC, EF

)

,

(

CA, F D

)

ja

(

AB, DE

)

leikkauspisteitä

kirjaimilla

X

,

Y

ja

Z

.

Määritelmä 2.14. Olkoon piste

S

kolmion

ABC

sisällä oleva piste, ja

ol-koon

DEF

sen eviaanikolmio kolmion

ABC

suhteen. Pisteiden

X

,

Y

ja

Z

muodostamaa suoraa kutsutaan pisteen

P

trilineaariseksi suoraksi (eng.

trilinear polar) kolmion

ABC

suhteen. (kuva 8)

Kuva8: Pisteen

P

trilineaarinensuora kolmion

ABC

suhteen.

Desargues'in teoreemasta seuraavälittömästi,että pisteet

X

,

Y

ja

Z

ovat

samallasuoralla [2,326℄.

Trilineaarinensuoraonkolmioiden

ABC

ja

DEF

perspektiivisuora(eng.

perspetive line). Desargues'in teoreema sanoo, että jos kaksi kolmiota ovat

perspektiivisiäpisteen suhteen, niinne ovatperspektiivisiäsuoran suhteen.

Projektiivista geometriaa tarkastellaan useissa oppikirjoissa.

Kiinnostu-nutlukijavoitutustua esimerkiksikirjoihinProjetive andrelatedgeometries

Tässäluvussa määritellään,mitä trilineaarisillajabarysentrisillä

koordinaa-teillatarkoitetaan.

3.1 Trilineaariset koordinaatit

Trilineaariset koordinaatit muodostuvat kolmesta järjestetystä luvusta,

jot-ka kuvaavat pisteen suhteellisia kohtisuoria etäisyyksiä kolmion sivuihin tai

niiden jatkeisiin. Trilineaarisista koordinaateistakäytetään myös lyhyempää

nimitystätrilineaarit.

Määritelmä 3.1. Pisteen

P

trilineaariset koordinaatitkolmion

ABC

suh-teenmuodostuvatkolmesta järjestetystäluvusta

α

,

β

ja

γ

,jotkatoteuttavat

seuraavat ehdot:

α

β

=

h

a

h

b

;

β

γ

=

h

b

h

c

;

γ

α

=

h

c

h

a

.

Tällöinmerkitään

P

= (

α

:

β

:

γ

)

.

Trilineaaristenkoordinaattienetumerkkiriippuusiitä,onkopistekolmion

sisä- vai ulkopuolella. Kun piste on kolmion sisällä ovat kaikkia

koordinaa-titpositiivisia.Mikälikyseessä on kolmion kärkipiste, onsen kärkeä

vastaa-va koordinaatti 1, ja muut koordinaatit saavat arvon nolla. Pisteen ollessa

kolmion ulkopuolellasen koordinaateistavähintään yksi, mutta korkeintaan

kaksi ovat negatiivisia.Merkkisääntöönpalataantarkemminluvussa 3.3.

Koordinaatteja merkitään kreikkalaisilla kirjaimilla

α

,

β

ja

γ

, joista

α

ilmaisee pisteen sijaintia suhteessa kärkipisteeseen

A

: mitä suurempi

α

on,

sitälähempänäpiste

P

onkärkeä

A

.Samallatavallakoordinaatti

β

ilmaisee

pisteen sijainnin suhteessa kolmion kärkeen

B

ja koordinaatti

γ

suhteessa

kärkeen

C

.

Lukukolmikko

α

,

β

ja

γ

eivät välttämättä kerro todellisia etäisyyksiä

vaan etäisyyksien suhteita. Trilineaarit ovat siten esimerkki homogeenisistä

koordinaattisysteemeistä. Tämä tarkoittaa sitä, että pisteen

P

etäisyyksiä

h

a

,

h

b

ja

h

c

onkerrottu jollakinvakiolla

k

,eli

α

=

kh

a

,

β

=

kh

b

ja

γ

=

kh

c

, missä

k

∈

R

\ {

0

}

.

Koordinaatiterotellaantoisistaankaksoispisteilläjaniitä merkitäänjoko

ilman sulkujataisulkujen kanssa;

α

:

β

:

γ

tai

(

α

:

β

:

γ

)

.

Huomautus 3.2. Kerroin

k

voidaanhomogeenisuudennojallavalitasopivasti

niin,ettätrilineaaritilmaisevatpisteen

P

todellisiaetäisyyksiäkolmion

ABC

sivuihin. Olkoon pisteen

P

trilineaariset koordinaatit

P

= (

α

:

β

:

γ

)

ja

h

a

,

jolle pätee:

h

a

=

kα

,

h

b

=

kβ

ja

h

c

=

kγ

. Piste

P

muodostaa kolmion

ABC

kärkipisteiden kanssa kolme kolmiota:

P BC

,

P CA

ja

P AB

. Kolmion

ABC

pinta-ala voidaan ilmaistanäiden kolmioiden pinta-alojensummana:

[

ABC

] = [

P BC

]+[

P CA

]+[

P AB

] =

1

2

(

ah

a

+

bh

y

+

ch

c

) =

1

2

(

akα

+

bkβ

+

ckγ

)

.

Tästä saadaanedelleen:

k

=

2 [

ABC

]

aα

+

bβ

+

cγ

.

Näin ollen

P

= (

kα

:

kβ

:

kγ

) = (

h

a

:

h

b

:

h

c

)

, kun valitaan

k

=

2[

ABC

]

aα

+

bβ

+

cγ

.

Kun

k

= 1

, koordinaatit

α

,

β

ja

γ

vastaavat pisteen todellisia etäisyyksiä

kolmionsivuihin.

3.2 Barysentriset koordinaatit

Barysentrisiä koordinaattejamerkitäänkolmellakoordinaatillaniinkuin

tri-lineaarisiakoordinaattejakin.Barysentriset koordinaatitilmaisevatsekä

kol-mion sivujen jakosuhteita, kuten kappaleessa 2.2.1 on kuvailtu, että myös

eviaanienleikkauspisteen jakolmion kärkipisteiden muodostamien

kolmioi-den pinta-alojen suhteita, kuten seuraavassa kuvataan. Barysentriset

koor-dinaatitovattrilineaaristen koordinaattientapaan homogeenisiä,eli

koordi-naattienkertominenvakiollaeimuutapisteen paikkaa(kts.luku3.1).

Bary-sentrisillekoordinaateilleonolemassakaksiekvivalenttiamääritelmää,jotka

esitetään seuraavaksi.

Määritelmä 3.3. Pisteen

P

barysentriset koordinaatitkolmion

ABC

suh-teen muodostuvatkolmestajärjestetystäluvusta

α

,

β

ja

γ

, jotkatoteuttavat

seuraavat ehdot:

BD

DC

=

γ

β

,

CE

EA

=

α

γ

ja

AF

F B

=

β

α

.

Tällöinmerkitään

P

= (

α

:

β

:

γ

)

.

Määritelmä 3.4. Pisteen

P

barysentriset koordinaatitkolmion

ABC

suh-teen muodostuvatkolmestajärjestetystä luvusta

α

,

β

ja

γ

jotka toteuttavat

seuraavat ehdot:

z

y

=

γ

β

,

x

z

=

α

γ

ja

y

x

=

β

α

.

pisteiden ja pisteen

P

muodostamien kolmioidenpinta-alojen avulla.

Lemman2.10 nojalla määritelmät3.3ja 3.4 ovat ekvivalentteja.

Huomautus 3.5. Barysentrisetkoordinaatitvoidaannormalisoida

valitsemal-la kerroin

k

sopivasti niin, että koordinaattien summaksi saadaan 1.

Nor-malisointi voidaan tehdä jakamalla jokainen koordinaatti kaikkien kolmen

koordinaatinsummalla,elivalitsemalla

k

=

α

+

β

+

γ

.Olkoonsiispisteen

P

barysentriset koordinaatit

P

= (

α

:

β

:

γ

)

. Normalisoinninjälkeen pisteen

P

koordinaatit ovat:

P

=

α

α

+

β

+

γ

:

β

α

+

β

+

γ

:

γ

α

+

β

+

γ

.

3.3 Kolmion ulkopuolella olevat pisteet

Trilineaariset ja barysentriset koordinaatit voidaan määrittääsekä kolmion

sisällä että ulkopuolella olevillepisteille.Sanomme, että piste

P

on kolmion

ABC

ulkopuolella kärkipisteen

A

suhteen, jos

P

←→

BCA

. Piste

P

on kolmion

ulkopuolella,jos se onkolmion ulkopuolellaainakin yhden kärkipisteen

suh-teen.Huomataan kuitenkin, ettäpiste voiollakolmionulkopuolella

korkein-taan kahden kärkipisteensuhteen.

Kun piste

P

on kolmion ulkopuolella jonkin kärkipisteen suhteen,

sovi-taan, että vastaava barysentrinen koordinaatti saa negatiivisen arvon. Jos

esimerkiksi piste

P

onkolmion ulkopuolella kärkipisteen

A

suhteen, pisteen

P α

-koordinaattionnegatiivinen.Kolmion

ABC

sivuistajatketutsuorat

←→

AB

,

←→

BC

ja

←→

AC

jakavatkolmionulkopuolisenalueenkuuteenlohkoon.Kuvasta10

suhteen kerrallaan,jotenkoordinaateista

α

,

β

ja

γ

vainkaksivoiolla

kerral-laan negatiivisia. Jos kaikki kolme koordinaattia ovat negaviitisia, voidaan

luku

−

1

sisällyttää kertoimeen

k

, jolloin kaikista koordinaateista

α

,

β

ja

γ

saadaanpositiivisiaja piste on kolmion sisällä.

Kuva 10: Kolmion sivujen määräämät suorat jakavat kolmion ulkopuolelle

jäävänalueen kuuteen lohkoon. Kuvassa onesitetty, minkä etumerkin

koor-dinaatit

α

,

β

ja

γ

saavat missäkin lohkossa.

Huomautus 3.6. Kirjallisuudessa esiintyy toinen määritelmä käsitteelle

kul-mansisäpuolellaolevapiste. Pisteen

P

sanotaanolevankulman

∠

BAC

sisä-puolella,jos

P C

←→

AB

ja

P B

←→

AC

.Tällä määritelmälläpiste

P

onkolmion

sisä-puolella, jos se onkunkin kolmion kulman sisäpuolella. Tällöin ulkopuolella

Kunpiste

P

sijaitseekolmion

ABC

sivulla,niinsentrilineaareistavähintään

yksi saa arvon nolla. Tämä seuraa siitä, että pisteen

P

ollessa esimerkiksi

sivulla

BC

, on sen etäisyys

h

a

kyseiseen sivuun nolla. Tällöin siis

α

= 0

ja

P

= (0 :

β

:

γ

)

. Barysentrisille koordinaateille tämä voidaan puolestaan

päätelläsiitä,ettämääritelmän3.4mukaanpiste

P

muodostaakolmion

ABC

kärkipisteiden kanssa kolme kolmiota

P BC

,

P CA

ja

P AB

. Jos kuitenkin

piste

P

onkolmion sivulla

BC

,muodostuuainoastaan kaksi kolmiota

P BA

ja

P CA

. Näin ollen kolmannen kolmion pinta-alaksi voidaan merkitä nolla,

ja barysentriset kordinaatitovat

(0 :

β

:

γ

)

.

Tarkastellaan sitten kolmion

ABC

kärkipisteitä. Kärkipiste

A

sijaitsee

sekä kolmion sivulla

AB

että

AC

, joten koordinaatit

β

ja

γ

saavat arvon

nolla. Koordinaatti

α

voi puolestaan saada minkä tahansa arvon, mutta

si-tä merkitään yleensä luvulla yksi, sillä sen srvo voidaan sisällyttää

kertoi-meen

k

. Kärkipisteen

A

trilineaariset ja barysentriset koordinaatitovat siis

(1 : 0 : 0)

. Vastaava päättely voidaan tehdä kolmion muillekinkärkipisteille:

B

= (0 : 1 : 0)

ja

C

= (0 : 0 : 1)

.

3.4.1 Tasasivuinen ja suorakulmainen kolmio

Määrätäänseuraavaksi homogeeniset koordinaatitkahden erityisen kolmion

pisteille.

Tasasivuinenkolmio

ABC

onkolmio,jonkakaikkikolmesivuaovatyhtä

pitkiä. Olkoot

AD

,

BE

ja

CF

tasasivuisen kolmion mediaaneja ja piste

G

mediaanienleikkauspiste. Koskapisteet

D

,

E

ja

F

sijaitsevatkolmion

sivuil-la, pisteen

D α

-koordinaatti on nolla, pisteen

E β

-koordinaatti on nolla ja

pisteen

F γ

-koordinaattionnolla. Mediaanit jakavatkolmionsivut

yhtäpit-kiinosiin, eli

BD

DC

=

1

1

,

CE

EA

=

1

1

,

AF

F B

=

1

1

.

Pisteiden

D

,

E

ja

F

barysentriset koordinaatitolisivat näin ollen

määritel-män3.3mukaan

D

= (0 : 1 : 1)

,

E

= (1 : 0 : 1)

ja

F

= (1 : 1 : 0)

.

Normalisoi-daan kuitenkin koordinaatit,jolloin saadaan

D

= 0 :

1

2

:

1

2

,

E

=

1

2

: 0 :

1

2

ja

F

=

1

2

:

1

2

: 0

.

Mediaanit

AD

,

BE

ja

CF

leikkaavat pisteen

G

eviaanikolmion

DEF

sivuja pisteissä, joita merkitään kirjaimilla

X

,

Y

ja

Z

. Puolisuorat

−−→

AX

ja

−→

AZ

jakavat kolmion

ABC

sivun

BC

kolmeen yhtä pitkään osaan ja

puo-lisuorat

−−→

BX

ja

−−→

BY

jakavat sivun

CA

kolmeen samanpituiseen osaan. Nyt

koska

γ

β

=

2

1

,

α

γ

=

1

2

ja

β

α

=

1

1

, niinpisteen

X

barysentrisiksikoordinaateiksi

saadaan:

X

= (1 : 1 : 2)

. Normalisoituna koordinaatit ovat

X

=

1

4

:

1

4

:

1

2

.

Vastaavallatavalla pisteiden

Y

ja

Z

barysentrisiksi koordinaateiksi saadaan

Y

=

1

2

:

1

4

:

1

4

ja

Z

=

1

4

:

1

2

:

1

4

.

Määritelmästä3.3saadaanmyöspainopisteen

G

barysentriset

koordinaa-tit,jotkaovattasasivuisessakolmiossanormalisoinninjälkeen

G

=

1

3

:

1

3

:

1

3

(kuva 11).

Huomautus 3.7. Yhtähyvin voidaan kuitenkin ilmaista

G

= (1 : 1 : 1)

.

Kolmionpainopisteentrilineaaritovatsamatkuinsen barysentriset

koor-dinaatit.Lemman2.1nojallapainopisteen

G

kohtisuoratetäisyydetkolmion

sivuilleovat yhtä pitkät, jolloinsen trilineaaritovat

P

= (1 : 1 : 1)

.

Norma-lisoinninjälkeen trilineaareiksisaadaan

P

=

1

3

:

1

3

:

1

3

.

Kuva11:Tasasivuisenkolmioneräidenpisteiden normalisoidutbarysentriset

koordinaatit.

Tasasivuisessakolmiossakolmionpainopiste,kulmanpuolittajien

leikkaus-piste, keskinormaalien leikkauspiste sekä korkeusjanojen leikkauspiste ovat

samapiste. Näinollenhomogeenisetkoordinaatitnäille pisteilleovatkaikille

samat:

1

3

:

1

3

:

1

3

.

Määritetään sitten barysentriset koordinaatit toiselle erikoistapaukselle.

Suorakulmaisessa ja tasakylkisessä kolmiossa kateetit ovat yhtä pitkiä,

jol-loinmediaanit jakavatne yhtä pitkiinosiin:

AF

=

F B

=

BD

=

DC

. T

asa-sivuisenkolmiontapaansuorakulmaisenja tasakylkisenkolmionsivujen

kes-kipisteiden barysentriset koordinaatit ovat normalisoituna

D

= 0 :

1

2

:

1

2

,

E

=

1

₂

: 0 :

1

₂

ja

F

=

1

2

:

1

2

: 0

. Samoin pisteiden

X

,

Y

ja

Z

koordinaatit

ovat

X

=

1

4

:

1

4

:

1

2

,

Y

=

1

2

:

1

4

:

1

4

ja

Z

=

1

4

:

1

2

:

1

4

.

Myöspainopisteen

G

barysentiset koordinaatitovattasasivuisen kolmion

tapaan

G

=

1

3

:

1

3

:

1

3

. Kuvassa 12on esitetty suorakulmaisen ja

tasakylki-sen kolmionjoidenkin pisteiden koordinaatit.

Kuva12:Suorakulmaisenjatasakylkisenkolmioneräidenpisteiden

barysent-riset koordinaatit.

3.4.2 Kolmion klassiset merkilliset pisteet

Kolmion klassisia merkillisiä pisteitä on yhteensä neljä. Nämä ovat kolmion

mediaanienleikkauspiste, kulmanpuolittajienleikkauspiste, keskinormaalien

leikkauspistesekäkorkeusjanojenleikkauspiste.Esitetäänseuraavaksinäiden

pisteiden homogeenisetkoordinaatit.

Mediaanien leikkauspiste. Kolmionpainopiste

G

on esitelty aiemmin

luvussa 2.2.1. Kolmion painopisteen barysentriset koordinaatit ovat

G

=

(1 : 1 : 1)

, tai normalisoituna

G

=

1

3

:

1

3

:

1

3

. Painopisteen trilineaaritovat

puolestaan

G

=

1

a

:

1

b

:

1

c

. [7℄

sutaan suoraa, joka kulkee kulmaa vastaavan kärjen kautta jakaen kulman

kahteen yhtä suureen kulmaan. Kolmion kaikki kolme kulmanpuolittajaa

leikkaavattoisensasamassa pisteessä

I

, jotakutsutaankolmion

kulmanpuo-littajien leikkauspisteeksi (eng. inenter). Kulmanpuolittajien leikkauspiste

on myös kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Kulmanpuolittajien

leikkauspisteen barysentriset koordinaatit ovat

I

= (

a

:

b

:

c

)

ja trilineaarit

I

= (1 : 1 : 1)

[7℄.

Keskinormaalien leikkauspiste. Kolmion keskinormaalilla

tarkoite-taan suoraa, joka kulkee kolmion sivun keskipisteen kautta muodostaen

tä-mänkanssasuorankulman. Kolmionkaikkikolme keskinormaalia leikkaavat

toisensasamassapisteessä

O

.Keskinormaalienleikkauspiste(eng.

irumen-ter)onmyöskolmionympäripiirretynympyränkeskipiste.Keskinormaalien

leikkauspisteen barysentriset koordinaatitovat

O

= (sin 2

∠

BAC

: sin 2

∠

CBA

: sin 2

∠

ACB

)

,

ja trilineaarit

O

= (cos

∠

BAC

: cos

∠

CBA

: cos

∠

ACB

)

tai

O

=

a

−a

2

+

b

2

+

c

2

:

b a

2

−

b

2

+

c

2

:

c a

2

+

b

2

−

c

2

[

7

]

.

Korkeusjanojen leikkauspiste. Kolmionkorkeusjanaksi kutsutaan

ja-naa, joka kulkee kolmion kärkipisteestä vastakkaiselle sivulle muodostaen

tämän kanssa suoran kulman. Kolmion kaikki kolme korkeusjanaa

leikkaa-vattoisensasamassapisteessä

H

,jotakutsutaanmyösortokeskukseksi (eng.

orthoenter).Korkeusjanojenleikkauspisteen barysentrisetkoordinaatitovat

H

= (tan

∠

BAC

: tan

∠

CBA

: tan

∠

ACB

)

ja trilineaarit

H

= (sec

∠

BAC

: sec

∠

CBA

: sec

∠

ACB

)

[7℄.

3.4.3 Ceviaaneilla ja kolmion sivujen suuntaisilla janoilla

liikku-minen

Pohditaan seuraavaksi, miten pisteen

P

liikkuminen eviaanilla

AD

vaikut-taa sen barysentrisiin koordinaatteihin.

Olkoon pisteen

P

barysentriset koordinaatit

P

= (

α

:

β

:

γ

)

. Lemmasta

2.10 saadaan

z

y

=

[

P AB

]

[

P CA

]

=

BD

DC

=

γ

β

.

Kun piste

P

liikkuu eviaanille

AD

, koordinaattien

β

ja

γ

suhde pysyy

samana,silläpiste

D

jakaasivun

BC

edelleen suhteessa

BD

DC

=

γ

β

.Näin ollen

piste

P

liikkuueviaanillakohtipistettä

D

,kolmioiden

P AB

ja

P CA

pinta-alatkasvavat.Tällöinkolmannenkolmion

P BC

pinta-alapienenee suhteessa

muihin,ja kolmannen koordinaatin

α

onmuututtava.Koordinaatti

α

muut-tuu myös,kun piste

P

liikkuu eviaania

AD

pitkinkohtikärkipistettä

A

.

Pisteen

P

liikkuessaeviaanilla

AD

koordinaatit

β

ja

γ

muutuvatsamassa

suhteessa.Vastaavastikunpiste

P

liikkuueviaania

BE

pitkin,koordinaatit

α

ja

γ

muuttuvatsamassasuhteessa,jakunliikkuminentapahtuueviaanilla

CF

, koordinaatit

α

ja

β

muuttuvat samassa suhteessa. Siis, kun piste

P

liikkuujotakineviaaniapitkin,kaksibarysentristäkoordinaattiamuuttuvat

samassasuhteessa.

Tarkastellaan seuraavaksi pisteen

P

liikkumista kolmion

ABC

sivujen

suuntaisia janoja pitkin, ja pohditaan, miten tämä vaikuttaa pisteen

bary-sentrisiinkoordinaatteihin.

Kuva 13: Kolmion sivun suuntaisella janalla liikkuminen pitää yhden

koor-dinaatinsamana.

Olkoon

ABC

kolmioja pisteet

B

′

ja

C

′

kolmionsivuilla

AB

ja

CA

siten,

että jana

B

′

_C

′

on yhdensuuntainen kolmion sivun

BC

kanssa. Olkoonpiste

P

janalla

B

′

_C

′

, ja sen barysentriset koordinaatit

P

= (

α

:

β

:

γ

)

. Piste

P

muodostaakolmionkärkipisteidenkanssakolmekolmiota.Merkitäänkolmion

P BC

korkeutta kirjaimella

h

. Kolmion

P BC

pinta-ala saadaan laskettua

kertomallasivun

BC

pituutta

a

kolmionkorkeudelle

h

jajakamallakahdella,

jolloin

[

P BC

] =

ah

2

. Määritelmän3.4 mukaan

[

P BC

] =

ah

2

=

α

.

Liikutaan sitten janalla

B

′

_C

′

uuteen pisteeseen

R

, jonka barysentriset

koordinaatitovat

R

= (

α

′

_:

_β

′

_:

_γ

′

₎

kärki-pisteiden kanssa kolme kolmiota. Kolmion

RBC

korkeus on sama kuin

kol-mion

P BC

, sillä jana

B

′

_C

′

on yhdensuuntainen janan

BC

kanssa ja näin

ollen janojen välinen etäisyys on yhtä suuri missä tahansa pisteessä. Koska

kolmioiden kanta on myös sama, saadaan kolmion

RBC

pinta-alaksi myös

[

RBC

] =

ah

2

. Edelleen määritelmän3.4 mukaan

[

RBC

] =

ah

2

=

α

′

. Näin

ol-len

α

=

α

′

, ja pisteiden

P

ja

R

ensimmäinen barysentrinen koordinaattion

sama (kuva 13).

Kun piste liikkuu kolmion sivun

BC

suuntaista janaa pitkin, pisteen

α

-koordinaattipysyy siissamana.Vastaavastikunliikutaankolmionsivun

AC

suuntaisellajanalla,pisteen

β

-koordinaattipysyysamana,jasivun

AB

suun-taisella janallaliikkuminen pitää

γ

-koordinaatin samana. Kun siis liikutaan

jotakin kolmion sivun suuntaista janaa pitkin, pisteen barysentrisistä

Tässä luvussa esitetään, kuinka trilineaarisia ja barysentrisiä

koordinaatte-ja voidaan muuntaa toisikseen helpollamuunnoskaavalla. Luvussa esitetään

myös,kuinkayleisemminkäytettyjäkarteesisiakoordinaattejavoidaan

muut-taa barysentrisiksi koordinaateiksi. Luvun lopussa esitetään vielä muutama

esimerkki muunnoskaavojen käytöstä.

4.1 Trilineaaristen jabarysentristenkoordinaattien

muun-noskaava

Muodostetaanmuunnoskaavatrilineaaristenjabarysentristenkoordinaattien

muuntamiseksi toisikseen. Barysentriset koordinaatit voidaan määritelmän

3.4 mukaan ajatella pisteen

P

ja kolmion

ABC

kärkipisteiden

muodosta-mien kolmioiden

P BC

,

P CA

ja

P AB

pinta-aloiksi. Trilineaariset

koordi-naatitovatpuolestaanpisteen

P

kohtisuoratetäisyydet

h

a

,

h

b

ja

h

c

kolmion

ABC

sivuihin(taijatkeisiin).Janat

h

a

,

h

b

ja

h

c

ovatmyöskolmioiden

P BC

,

P CA

ja

P AB

korkeusjanoja. Kolmioiden

P BC

,

P CA

ja

P AB

pinta-alat

saadaan laskettua kertomalla janoja

h

a

,

h

b

ja

h

c

kolmion

ABC

sivujen

pi-tuuksilla

a

,

b

ja

c

, ja kertomalla vielä luvulla

1

2

. Luku

1

2

voidaan kuitenkin

sisällyttää kertoimeen

k

. Tällöin barysentriset koordinaatit saadaan

kerto-malla trilineaarisia koordinaatteja kolmion

ABC

sivujen pituuksilla

a

,

b

ja

c

. Näinollen muunnoskaavaksi saadaan:

Muunnoskaava 4.1.

(

α

:

β

:

γ

) = (

aα

′

_:

_bβ

′

_:

_cγ

′

₎

_,

missä

α

,

β

ja

γ

ovat barysentriset koordinaatit ja

α

′

,

β

′

ja

γ

′

trilineaariset

koordinaatit, ja

a

,

b

ja

c

kolmion

ABC

sivujen pituuksia.

4.2 Barysentristenjakarteesistenkoordinaattien

muun-noskaava

Muodostetaan seuraavaksi muunnoskaava, jonka avulla karteesiset

koordi-naatitvoidaan muuttaa barysentrisiksikoordinaateiksi, ja toisinpäin.

Olkoonpiste

P

kolmion

ABC

sisälllä. Merkitäänkolmion

ABC

kärkipis-teitä vektoreilla

A

= (

a

1

, a

2

)

,

B

= (

b

1

, b

2

)

ja

C

= (

c

1

, c

2

)

.

Tiedetään, että

pisteen

P

karteesiset koordinaatit

P

= (

x, y

)

saadaankärkipisteiden

A

,

B

ja

C

koordinaateista ja barysentrisistä koordinaateista

P

= (

α

:

β

:

γ

)

:

Oletetaan myös,että

α

+

β

+

γ

= 1

⇒

γ

= 1

−

α

−

β.

Näin ollen saadaan:

x

=

αa

1

+

βb

1

+

γc

1

y

=

αa

2

+

βb

2

+

γc

2

⇔

α

(

a

1

−

c

1

) +

β

(

b

1

−

c

1

) =

x

−

c

1

α

(

a

2

−

c

2

) +

β

(

b

2

−

c

2

) =

y

−

c

2

⇔

α

β

a

1

−

c

1

b

1

−

c

1

a

2

−

c

2

b

2

−

c

2

=

x

−

c

1

y

−

c

2

.

Merkitään

a

1

−

c

1

b

1

−

c

1

a

2

−

c

2

b

2

−

c

2

=

T.

Tällöin:

α

β

·

T

= (

P

−

C

)

⇔

α

β

=

T

−1

(

P

−

C

)

.

Matriisi

T

onkääntyvä,jossendeterminatti

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

6

=

0

.

Oletetaan, että determinatti onnolla, jolloin:

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

) = (

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

⇒

a

1

−

c

1

a

2

−

c

2

=

b

2

−

c

2

b

1

−

c

1

⇒

|a

1

−

c

1

|

|a

2

−

c

2

|

=

|b

2

−

c

2

|

|b

1

−

c

1

|

.

Tämä tarkoittaa, että suorien

←→

AC

ja

←→

CB

kulmakertoimet ovat samat,

jolloin pisteet

A

,

B

ja

C

ovat samalla suoralla eivätkä näin ollen muodosta

kolmiota. Tästä syntyy ristiriita, sillä pisteet

A

,

B

ja

C

on oletettu alussa

kolmionkärkipisteiksi.Näinollen

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

6

= 0

.

Nyt käänteismatriisiksi

T

−1

saadaan:

T

−1

=

1

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

b

2

−

c

2

c

1

−

b

1

c

2

−

a

2

a

1

−

c

1

.

Nyt saadaan:

α

β

=

1

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

b

2

−

c

2

c

1

−

b

1

c

2

−

a

2

a

1

−

c

1

x

−

c

1

y

−

c

2

=

1

(

a

1

−

c

1

) (

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

) (

a

2

−

c

2

)

(

b

2

−

c

2

) (

x

−

c

1

) + (

c

1

−

b

1

) (

y

−

c

2

)

(

c

2

−

a

2

) (

x

−

c

1

) + (

a

1

−

c

1

) (

y

−

c

2

)

=

(

b

2

−

c

2

)(

x

−

c

1

)+(

c

1

−

b

1

)(

y

−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)−(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

(

c

2

−

a

2

)(

x

−

c

1

)+(

a

1

−

c

1

)(

y

−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)−(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

!

.











α

=

(

b

2

−

c

2

)(

x

−

c

1

)+(

c

1

−

b

1

)(

y

−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

β

=

(

c

2

−

a

2

)(

x

−

c

1

)+(

a

1

−

c

1

)(

y

−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)−(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

γ

= 1

−

α

−

β,

missä

x

ja

y

ovatpisteen

P

karteesisetkoordinaatit ja

α

,

β

ja

γ

sen

barysent-risetkoordinaatit,ja

a

1

,

a

2

,

b

1

,

b

2

,

c

1

ja

c

2

ovatkolmion

ABC

kärkipisteiden

karteesiset koordinaatit.

4.3 Esimerkkejä

Esitetäänsitten joitakinesimerkkejä muunnoskaavojen hyödyntämisestä.

Lasketaan mediaanien leikkauspisteen sekä kulmanpuolittajien

leikkaus-pisteenhomogeenisetkoordinaatithyödyntäen niidenkarteesisia

koordinaat-teja sekä muunnoskaavoja 4.1 ja 4.2. Koordinaatteja laskettaessa kolmion

ABC

kärkipisteiden karteesisia koordinaatteja merkitään seuraavasti:

A

=

(

a

1

, a

2

)

,

B

= (

b

1

, b

2

)

ja

C

= (

c

1

, c

2

)

.

Kolmionpainopiste

G

onesiteltyaiemminluvuissa2.2.1ja3.4.2.Kolmion

painospisteenkarteesiset koordinaatitovat:

G

=

1

3

(

a

1

+

b

1

+

c

1

)

,

1

3

(

a

2

+

b

2

+

c

2

)

.

Sijoitetaankarteesiset koordinaatit muunnoskaavaan 4.2, jolloinsaadaan:

G

=















α

=

(

b

2

−

c

2

)

(

1

3

(

a

1

+

b

1

+

c

1

)−

c

1

)

+(

c

1

−

b

1

)

(

1

3

(

a

2

+

b

2

+

c

2

)−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)−(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

β

=

(

c

2

−

a

2

)

(

1

3

(

a

1

+

b

1

+

c

1

)−

c

1

)

+(

a

1

−

c

1

)

(

1

3

(

a

2

+

b

2

+

c

2

)−

c

2

)

(

a

1

−

c

1

)(

b

2

−

c

2

)

−

(

b

1

−

c

1

)(

a

2

−

c

2

)

γ

= 1

−

α

−

β

⇒

G

=







α

=

1

₃

·

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

β

=

1

3

·

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

γ

= 1

−

2

₃

·

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

a

1

b

2

−

a

1

c

2

−

b

2

c

1

−

a

2

b

1

+

b

1

c

2

+

a

2

c

1

⇒

G

=







α

=

1

₃

β

=

1

3

γ

=

1

₃

Kolmion painopisteen barysentriset koordinaatit ovat näin ollen

G

=

1

3

:

1

3

:

1

3

. Yhtä lailla voidaan homogeenisuuden nojalla

1

3

sisällyttää

ker-toimeen

k

,jolloinpainopisteenkoordinaatitovatkin

G

= (1 : 1 : 1)

.

Painopis-teentrilineaaritsaadaanpuolestaanmuunoskaavan4.1avulla:

G

=

1

a

:

1

b

:

1

c

.