lim ; dengan lim f ( x) = 0 = lim g( x) lim ; dengan lim ( ) lim g( x), 2 lim fxgx ( ) ( ); dengan lim fx ( ) = 0 dan lim gx ( ) =.

Koko Martono – FMIPA - ITB

019

Jenis Bentuk Tak-tentu Limit Fungsi Bentuk Tak-tentu 0/0 Akan dihitung

( ) ( )

lim ; dengan lim ( ) 0 lim ( )

x c x c x c f x g x f x g x Æ Æ = = Æ . Ilustrasi: 0 sin lim x x x Æ , 4 2 4 lim x x x x Æ - -- , _xlim₄sin ( 4 2) x x x Æ - -- , dan sebagainya.

Bentuk Tak-tentu

∞

/

∞

Akan dihitung

( ) ( )

lim ; dengan lim | ( )| lim | ( )|

x x x f x g x f x g x Æ• Æ• = =• Æ• . Ilustrasi: 3 2 3 3 lim x x x x x Æ• -- ,_xlim 4 x x x Æ• -- , 2 2 4 lim x x x x Æ• + - , 2 2 4 lim x x x x Æ-• + - , dansebagainya.

Bentuk Tak-tentu

0

⋅

∞

Akan dihitung

lim ( ) ( ); dengan lim ( ) 0 dan lim | ( )|

xÆc f x g x xÆcf x = xÆc g x =• .

Limitini dapat diubah ke bentuk 0/0 karena ( )

1/ ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x = dengan ( ) 0 f x Æ dan 1 ( ) 0

g x Æ dan ke bentuk

∞/∞

karena

( ) 1/ ( ) ( ) ( ) g x f x f x g x = dengan ( )g x Æ• dan 1 | ( )|f x Æ•.

Ilustrasi: lim sin1

xƕx x, /4

1 4

lim

(

)

sec 2

Bentuk Tak- tentu

∞

−

∞

Akan dihitung

lim ( ( ) ( )); dengan lim ( ) dan lim ( )

xÆ• f x -g x xÆ•f x =• xÆ•g x =•.

Limit ini dapat diubah ke bentuk

∞/∞

dengan berbagai cara.

Ilustrasi: lim

(

1

)

xƕ x- - x ,

(

)

2 lim 2 xƕ x + x - , x

(

)

2 lim 2 xÆ-• x + x + , x 3 2 lim( ) xÆ• x -x , 3 2 lim ( ) xÆ-• x +x , dan sebagainya.

Bentuk Tak- tentu 00 Dengan logaritma natural akan dihitung ( )

lim( ( ))g x ; dengan lim ( ) 0 lim ( )

xÆc f x xÆcf x = = xÆcg x . Ilustrasi: 0 lim x, x x + Æ sin 0 lim x, x x + Æ 3 /(4 2 ln ) 0 lim x, x x + + Æ dan sebagainya. Bentuk Tak-tentu •0 Dengan logaritma natural akan dihitung

( )

lim( ( ))g x ; dengan lim ( ) dan lim ( ) 0

xÆc f x xÆcf x = • xÆcg x = . Ilustrasi: lim 1/x, xÆ•x 1/ln lim (1 ) x, xÆ• +x 1/ln 0 lim (cot ) x, x x + Æ dan sebagainya. Bentuk Tak- tentu 1• Dengan logaritma natural akan dihitung

( )

lim( ( ))g x ; dengan lim ( ) 1 dan lim | ( )|

xÆc f x xÆcf x = xÆc g x =•. Ilustrasi: 1/sin 0 lim (1 ) x, x x + Æ -2 1/ 0 lim (cos 2 ) x , xÆ x

( )

1 lim , x x x x Æ• + dan sebagainya. Berbagai Teknik Pemecahan Bentuk Tak- tentu Limit Fungsi

Untuk bentuk 0/0, buatlah manipulasi aljabar sehingga bentuknya bukan 0/0. Cobalah teorema L′Hôpital′s atau prinsip apit (jika mungkin)

Untuk bentuk

∞

/

∞

, munculkan 1/xn(nŒ`) yang limitnya 0 pada pembi-lang dan penyebutnya, atau cobalah teorema L′Hôpital′s jika mungkin. Untuk bentuk

∞

−

∞

, ubahlah menjadi

∞

/

∞

dengan merasionalkan, atau munculkan bentuk 1/xn(nŒ`) yang limitnya 0.

Untukbentuk 00,

∞

0,dan0∞, ambil limit dari ln fungsinya kemudian gu-nakan teorema L′Hôpital′s dan sifat kekontinuan ln.

Teorema L′Hôpital′s

Aturan L′Hôpital′s untuk Bentuk 0/0 Jika lim ( ) 0 lim ( )

xÆcf x = = xÆcg x dan ( ) ( ) lim x c f x g x Æ ¢

¢ ada,

∞

, atau −

∞

, maka

( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x g x g x Æ Æ ¢ ¢ = .

Catatan x → c dapat diganti x → c+, x → c−, x →

∞

, atau x → −

∞

. Secara intuitif, jika f x( ) dan g x( ) balapan menuju 0, maka hasilnya ber-gantung pada perbandingan kecepatan f x( ) dan g x( ), yaitu f x¢( )/g x¢( ). Aturan L′Hôpital′s untuk Bentuk

∞

/

∞

Jika lim | ( )| lim | ( )|

xÆ• f x = =• xÆ•g x dan ( ) ( ) lim x f x g x Æ• ¢

¢ ada,

∞

, atau −

∞

, maka

( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x f x g x g x Æ• Æ• ¢ ¢ = .

Catatan x → c dapat diganti x → c+, x → c−, atau x → −

∞

.

Secaraintuitif, andaikan f t( ) dan g t( ) menyatakan posisi dua mobil yang bergerak di sumbu-t dan pada saat t kecepatannya adalah f t¢( ) dan g t¢( ). Jika perbandingan kecepatan kedua mobil adalah L, maka untuk jangka panjang perbandingan jarak kedua mobil juga sama dengan L.

Arti Geometri Teorema L′Hôpital′s untuk Bentuk 0/0 y f(x) = px g(x) = qx 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim

x x x f x px p f x g x qx q g x Æ Æ Æ ¢ ¢ = = = y y = f(x) f c¢( ) g c¢( ) y = g(x) 0 c x f ′, g′ kontinu di c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x f c g x g x g c Æ Æ ¢ ¢ ¢ ¢ = =

Aneka Ragam Contoh Bentuk Tak-tentu Limit Fungsi

Bentuk Tak- tentu 0/0

0 0 0 0

sin cos

1

lim lim lim cos cos lim

(

)

cos 0 1

x x x x L x x x x x Æ = Æ = Æ = Æ = = . 4 4 4 ( 2)( 1) 2 1 2 1 3 4 ( 2)( 2) 2 2 2 4

lim lim lim

x x x x x x x x x x x x Æ Æ Æ - + - - + + - = - + = + = + = . Cara lain ¾ 1 ₁ 2 4 4 4 1 ₁ 2 3 4 1 1 4 lim lim x x L x x x x Æ Æ - -- -- = = = . 2 2 4 4 4 4 4 4 ( 2) ( 2) 2 4 4 4 4 ( 2) ( 4) ( 2) ( 4)( 1) 5 4 1 3 4 ( 4) ( 2) ( 4) ( 2) 2 ( ) ( ) ( )

lim lim lim

lim lim lim .

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Æ Æ Æ Æ Æ Æ - - - + - - - + -- - - + - - + - + - + + - - + - - + - + = ◊ = = = = = 4 4 sin ( 2) sin ( 2) 2 4 2 4 lim lim x x x x x x x x x x x x Æ Æ - - - -- = - - ◊ -4 4 sin ( 2) 2 3 3 4 4 4 2 lim lim 1 x x x x x x x x x Æ Æ - - - -- -= ◊ = ◊ = . 0 0 0 1 1

lim lim lim 1

x x x x x x L e e x e Æ Æ Æ - _{= = =} . 2 2 1 1 1 ln 1 2 2 1 (2ln ) 0 lim lim x 0 x x L x x x x Æ - Æ - -◊ ◊ = = = . 2 2 2 2 2 2 tan sec ₁ 4 2 2 2 1 4 2 cos

lim lim lim

x x x L x x x x x x p p p p p p p Æ - = Æ = Æ = ◊ ◊ = . 0 0 0

1 cos sin cos 1 ₁

2

sin cos sin sin cos cos 0 1 1

lim lim lim

x x L L x x x x x x x x x x x x x Æ Æ Æ -+ - + + + + = = = = . 3 2 0 0 0 0

sin 1 cos sin cos ₁

6

6 6

3

lim lim lim lim

L L L x x x x x x x x x x x x Æ Æ Æ Æ - ₌ - _{= = =} .

2 2 _{(2cos 2 ) sin 2 sin 2}

sin sin 2 sin ₂

3

cos cos 2 sin 2sin 2 cos 4cos 2

lim lim lim

x x L L x x x x x x x x x x x x x x x x p p p p Æ Æ Æ + + + + = - - = - - = - . ¾

Bentuk Tak- tentu

∞

/

∞

( )

( )

₂ 2 3 3 2 3 ₃ 1 3 3 1 1 1 1 0 1 0 3 _{1 1}

lim lim lim 1

x x _x x x x x x x x x x _x Æ• Æ• Æ• - -- -- = _- = - = = . Cara lain 3 2 2 3 2 3 2 6 2 6 6 6 3 3 3

lim lim lim lim 1

L L x x x x L x x x x x x x x x Æ• Æ• Æ• Æ• - - -- = - = = = .

( )

( )

1 4 1 4 1 1 _{1 0} 4 1 1 1 0

lim lim lim x 1

x x x x x x x x x x _x Æ• Æ• Æ• - -- -- = _- = - = - = . Cara lain 1 2 1 _{1 0} 4 1 1 lim lim x 1 x x x x x Æ• Æ• -- -- = = = .

( )

( )

( )

2 2 1 1 1 4 4 4 1 _{1 1} 1 2 2 4 2 2 2

lim lim x lim x lim x

x x x x x x x x _x x x x _{x x} Æ• Æ• Æ• Æ• + _{◊ + +} + - = - = - = - = .

( )

( )

( )

2 2 4 1 _{1 1} 4 4 1 _{1 1} 1 2 2 4 _{2 2} 2

lim lim lim lim

x x _{x x} x x x x x x x _x x x x _{x x} Æ -• Æ -• Æ -• Æ -• + _{- ◊ + +} + - = - = - = - - = - .

Kedua contoh ini tak dapat diselesaikan dengan teorema L′Hôpital′s.

2

/2 /2 /2 /2

1 2sec 2sec tan tan

tan _sec sec

lim lim 2 lim 2 lim sin 2

x x x L x x x x x x _x x x p p p p Æ Æ Æ Æ + _{= = = =} .

Bentuk Tak- tentu 0⋅

∞

1 4

/4 /4 /4

1 1 1 1

4 cos 2 2sin 2 2 1 2

lim

(

)

sec 2 lim lim

L x x x x x x x x p p p p p Æ Æ Æ -- ◊ -- = = = = - . 1 1 0 sin sin 1

lim sin lim x lim 1

x x x t t x _t x ₊ Æ• = Æ• = Æ = . 2 2 2 1 tan _sec

lim ( ) cot lim lim lim cos ( 1) 1

x x L x x x x _x x x x p p p p p p Æ Æ Æ Æ -- = = = = - = . 2 1 1 1 0 0 0 0 ln

lim ln lim lim x lim ( ) 0

x _x x x x x L x x x x + + + + Æ = Æ = Æ - = Æ - = .

Bentuk Tak- tentu

∞

−

∞

(

)

1 1 1

1 1

( )( )

lim 1 lim lim 0

x x x x x x x x x x x x x x x Æ• Æ• Æ• - - - + -- + - + - - = = = .

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )

lim 2 lim lim

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Æ• Æ• Æ• + - + + + -- + - + + - = =

( )

2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 lim lim 1

(

_x

)

x x x x x x x x Æ• _{+ +} Æ• _{+ +} + + = = = = .

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

lim 2 lim ( )( ) lim

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Æ -• Æ -• Æ -• + + + - + -- -- -+ + = =

( )

2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 lim lim 1

(

_x

)

x x x x x x x x Æ -• Æ -• -+ -+ - + + + -= = = = - .

( )

3 2 3 1 lim( ) lim 1 xÆ• x -x = xÆ•x - x = •;

( )

3 2 3 1 lim ( ) lim 1 xÆ-• x -x = xÆ -•x - x = -•.

(

)

(

)

0 0 0 0

1 1 sin 1 sin cos cos sin sin

tan cos cos sin cos

lim lim lim lim

x x x L x x x x x x x x x x x x x x x x x x Æ Æ Æ Æ - + + - + - = - = = 0 cos 2sin 0 1 2 0 0 sin cos 0 0 1 1 lim 0 x x x x x x x Æ + ◊ + ◊ - + - ◊ + = = = = .

(

)

0 0 1 1 ln 1 ln ln lim lim x x x x x x x x + + Æ Æ + + = = • karena untuk x → 0+ , (lnx+ Æ -1) •

dan xlnxÆ0 dari bawah. Bentuk Tak- tentu 00

Untuk menghitung 0 lim x, x x + Æ misalkan x y = x dan hitunglah 0 lim x y + Æ . Dari x y = x diperoleh lny = xlnx, sehingga 2 1 1 1 0 0 0 0 0 ln

lim ln lim ln lim lim x lim ( ) 0

x _x L x x x x x x y x x x + + + + + Æ = Æ = Æ = Æ - = Æ - = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka

0 ln lim ln1 x y + Æ = , akibatnya 0 0 lim lim x 1 x x y x + + Æ = Æ = .

Untuk menghitung sin 0 lim x, x x + Æ misalkan sin x y = x dan hitunglah 0 lim x y + Æ . Dariy = xsin xdiperoleh lny = (sin ) lnx x, sehingga

2 1 0 0 0 0 0 0 ln csc csc cot

sin sin sin

cos cos

lim ln lim (sin ) ln lim lim

lim lim 1 0 0. x x x x x x x L x x x x x x x x x x x y x x + + + + + + Æ Æ Æ Æ Æ Æ -= = = = - = - ◊ = - ◊ =

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka

0 ln lim ln1 x y + Æ = , akibatnya sin 0 0 lim lim x 1 x x y x + + Æ = Æ = . Untuk menghitung 3 /(4 2 ln ) 0 lim x , x x + + Æ misalkan 3 /(4 2 ln )x y = x + dan hitunglah 0 lim x y + Æ . Dari 3 /(4 2 ln )x y = x + diperoleh 3 3ln 4 2ln 4 2ln ln ln x x x y= ₊ ◊ x= ₊ , sehingga 3 2 0 0 0 0 3ln 3 3 4 2ln 2 2

lim ln lim lim x lim

x L x x x x x x y + + + + Æ = Æ + = Æ = Æ = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka 3/2 0 ln lim ln , x y e + Æ = akibatnya 3/(4 2ln ) 3/2 0 0 lim lim x x x y x e e e + + + Æ = Æ = = .

Bentuk Tak- tentu

∞

0

Untuk menghitung lim 1/x,

xƕx misalkan

1/x

y = x dan hitunglah lim

xÆ•y. Dari 1/x y = x diperoleh ln 1 ln lnx x x y = ◊ x = , sehingga 1 ln 1 1

lim ln lim lim x lim 0

L x x x x x x x y Æ• = Æ• = Æ• = Æ• = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim ln1

xƕy = , akibatnya

1/ lim lim x 1

Untuk menghitung 1/ ln 0 lim (cot ) x, x x + Æ misalkan 1/ln (cot ) x y = x dan hitung-lah 0 lim x y + Æ . Dari 1/ln (cot ) x y = x diperoleh 1 ln cot ln ln ln ln cot x x x y = ◊ x = , se-hingga 2 sin 1 cos _sin 1 0 0 0 0 ln cot 1 ln sin cos

lim ln lim lim lim 1

x x _x x x x L x x x x x x x y + + + + -◊ Æ Æ Æ Æ -= = = ◊ = - .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka 1 0 ln lim ln x y e + -Æ = , akibatnya 1/ ln 1 0 0 1

lim lim (cot ) x

x x e

y x e

+ +

-Æ = Æ = = .

Bentuk Tak- tentu 1∞

Untuk menghitung 1/sin

0 lim (1 ) x, x x + Æ - misalkan 1/sin (1 ) x, y = -x dan hitung-lah 0 lim x y + Æ . Dari 1/sin (1 ) x, y = -x diperoleh 1 ln (1 ) sin sin ln ln (1 ) x x x y = ◊ - =x - , sehingga 1 1 0 0 0 0 ln (1 ) 1 sin cos 1

lim ln lim lim x lim 1

L x x x x x x x y + + + + -Æ Æ Æ Æ - -= = = = - .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka 1 0 ln lim ln x y e + -Æ = , akibatnya 1/sin 1 0 0 1 lim lim (1 ) x x x e y x e + + -Æ = Æ - = = .

Untuk menghitung lim

( )

1 x,

x x x Æ• + _misalkan

( )

x 1 x_, x y = + dan hitunglah lim xƕy. Dari

( )

1 x_, x x y = + diperoleh lny = xln x_x+1, sehingga

( )

2 2 1 1 1 1 1 ln 1

lim ln lim ln lim lim 1

x x _x x x x _x x x x L x x x y x + + ◊ -Æ• Æ• Æ• Æ• + -= = = = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim ln

xƕy = e, akibatnya

( )

1 lim lim x x x x x y e Æ• Æ• + = = .

Jenis Integral Tak-wajar

Integral tak-wajar pada selang tak-hingga y y = f(x) y 0 a x y = f(x) y y = f(x) 0 a b x 0 b x y y = f(x) Integral tak wajar pada kasus ini

tidak tergantung pada pemilihan c.

0 c x

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y= f(x) pada selang tak-terbatas [a,

∞

) didefinisikan sebagai ( ) lim b ( )

a f x dx _bÆ a f x dx

•

•

=

Ú

Ú

.

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y= f(x) pada selang tak-terbatas (−

∞,b]

didefinisikan sebagai ( ) lim b ( )

a a b f x dx f x dx -• = Æ-•

Ú

Ú

.

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y= f(x) pada selang tak-terbatas (−

∞,∞)

didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) lim c ( ) lim b ( ) c _a a _b c c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx Æ Æ • • -• = -• + = _-• + _•

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

.

Kekonvergenan integral tak-wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak-wajarnya dikatakan konvergen dan jika

ti-dak demikan dikatakan divergen (limitnya ±

∞

atau kurva beroskilasi).

( ) a f x dx • Ú ( ) b a f x dx

Ú

b f x dx( ) -• Ú ( ) f x dx -• • Ú

Integral tak-wajar pada selang tak-hingga y y = f(x) y y y y = f(x) 0 a b x y = f(x) y = f(x) y = f(x) 0 a c b x 0 a c b x 0 a q p r b x

Df= (a,b] Df= [a,b) Df= [a,b] − {p}

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f(x) pada selang ter-batas (a,b] didefinisikan sebagai b ( ) lim b ( )

a f x dx = _cÆa+ c f x dx

Ú

Ú

. Dengan

penggantian e = - diperoleh c a c a= +e dan cÆa+ ¤ Æe 0+, se-hingga 0 ( ) lim ( ) b b a f x dx = e_Æ + a+e f x dx

Ú

Ú

.

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f(x) pada selang ter-batas [a,b) didefinisikan sebagai b ( ) lim c ( )

a f x dx = _cÆb- a f x dx

Ú

Ú

. Dengan

penggantian e = - diperoleh c bb c = - dan e cÆb- ¤ Æ , se-e 0+ hingga 0 ( ) lim ( ) b b a f x dx a f x dx e e + -Æ =

Ú

Ú

.

¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y= f(x) pada selang ter-batas [a,b] − {p} didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

b p b q b

a f x dx = a f x dx+ p f x dx = _qÆp- a f x dx+_rÆp+ r f x dx

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

.

Kekonvergenan integral tak-wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak-wajarnya dikatakan konvergen dan jika

ti-dak demikan dikatakan divergen (limitnya ±

∞

atau kurva beroskilasi).

( ) b a f x dx

Ú

( ) b a f x dx

Ú

b ( ) a f x dx

Ú

b ( ) a f x dx

Ú

Aneka Ragam Contoh Integral Tak-wajar pada Selang Tak-hingga

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu ( ) 1₂ x f x = pada [1,

∞

) adalah

( )

(

)

2 2 1 1 1 1 1 _(ko

lim b lim b lim 1 1 nvergen)

b b b dx dx x b x _Æ x _{Æ Æ} • • • • = = - = - + =

Ú

Ú

.

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu ( ) 1 x

f x = pada [1,

∞

) adalah

( )

(

)

1 lim 1 lim 2 1 lim 2 1

b b b b b dx dx x _Æ x _Æ x _Æ b • • • • = = = - =•

Ú

Ú

(divergen)

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f x( ) = sinx pada [0,

∞

) adalah

(

)

₀

(

)

0 sin lim 0 sin lim cos lim cos 1

tidak ada (divergen).

b _b b b b x dx x dx x b Æ Æ Æ • • • • = = - = - + =

Ú

Ú

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu ( ) ₃1 x f x = pada [−

∞

,−1) adalah

(

)

(

)

3 3 1 1 1 _{3 2 / 3 3 2 / 3} 2 2

lim lim lim 1

a a a a a dx dx x x x a -- -Æ Æ Æ -• = _-• = _-• = _-• - = -•

Ú

Ú

(divergen)

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu 2 1 1 ( ) x f x = ₊ pada (−

∞

,

∞

) adalah

(

)

(

)

(

) (

)

( )

2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 lim lim

lim tan lim tan lim tan lim tan

(konvergen). b a a b b a a b a b dx dx dx dx dx x x x x x x x a b p p p Æ Æ - - - -Æ Æ Æ Æ • • -• -• -• • -• • -• • + = + + + = + + + = + = - + = - - + =

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f x( ) = coshx pada (−

∞

,

∞

) adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

0 0 0 0 0 0

cosh cosh cosh lim cosh lim cosh

lim sinh lim sinh lim sinh lim si

(diverg ) h n n e . b a a b b a a b a b xdx xdx xdx xdx xdx x x a b Æ Æ Æ Æ Æ Æ • • -• -• -• • -• • -• • = + = + = + = - + = - -• • •+ =

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Aneka Ragam Contoh Integral Tak-wajar pada Selang Hingga Fungsi 1 1 ( ) x f x

-= kontinu pada (1,5] dengan 1 1 1 lim xÆ + x- = • . Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [1,5] adalah

(

)

5

(

)

5 5

1 1 _clim₁ c 1 _clim 2₁ 1 c _clim 4 2₁ 1 4 (konvergen).

dx dx

x- = _Æ + x- = _Æ + x- = _Æ + - c- =

Ú

Ú

Fungsi f x( ) =lnx kontinu pada (0,1) dengan 0 lim ln x x + Æ = -•. Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah

(

)

(

)

1 ₁

0lnx dx=_clim_Æ0+ xlnx- x c=_clim_Æ0+ - -1 clnc+ = -c 1(konvergen).

Ú

Fungsi 1

1

( ) x

f x = _- kontinu pada [−1,1) dengan

1 1 1 lim xÆ -x- = -• . Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [−1,1] adalah

(

)

(

)

1 1 1 ₁ 1 ₁ 1 ₁ 1 ( 1)

1 lim 1 lim 1 lim ln| 1|

lim ln| 1| ln 2 (divergen). c c _c c c c c d x dx dx x x x x c - - -- _Æ - _Æ - _Æ Æ -- = - = - = -= - - = -•

Ú

Ú

Ú

Fungsi 2 1 9 ( ) x f x

-= kontinu pada [0,3) dengan

2 3 1 9 lim xÆ - -x = • . Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,3] adalah

(

)

(

)

2 2 3 _{1 1} 0 ₃ 0 ₃ 0 ₃ 1 3 3 9 9 1 2 lim lim s (konverg in lim sin 0 sin 1 en). c c c c c dx dx _{x c} x x p - - -- -Æ Æ Æ -- = - = = -= =

Ú

Ú

Fungsi 2 1 ( ) x

f x = kontinu pada [−1,0) ∪ (0,1] dengan 2

0

1

lim

xÆ x = •.

Inte-gral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [−1,1] adalah

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 0 ₀ 1 _{0 0 0} 0 0 1 1 1 1

lim lim lim lim

lim 1 lim 1 (divergen).

q q r r q r q r q r dx dx dx dx dx x x x x x x x q r - + - + - + -- - _Æ - _{Æ Æ Æ} Æ Æ = + = + = - + -= - - + - + = + =• • •

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Fungsi ₃ 1 1 ( ) x f x

-= kontinu pada [0,1) ∪ (1,2] dengan

3 1 1 1 lim xÆ x- = ±•.

Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah

(

)

(

)

(

) (

)

3 3 3 3 3 2 1 2 2 0 0 1 ₁ 0 ₁ 2 2/3 2/3 0 1 1 2/3 2/3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 lim lim lim ( 1) lim ( 1) lim ( 1) lim ( 1) (konvergen) 0 . q r q r q r q r q r dx dx dx dx dx x x x x x x x q r - + - + - + Æ Æ Æ Æ Æ Æ - = - + - = - + -= - + -= - - + - -= - + -=

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Aneka Ragam Variasi Contoh Integral Tak-wajar

Selidiki kekonvergenan integral tak-wajar • sechx dx

-•

Ú

.

¾ Integral tak-tentu dari f x( ) =sechx adalah

2 2 1 2 2 cosh ₁ ( ) 1 ( ) sech 2 2 tan x x x x x x x dx dx e dx x e e e d e e xdx e C -+ + -+ = = = = = +

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

¾ Integral tak-wajar dari f x( ) =sechx yang kontinu pada (−

∞

,

∞

) adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

sech sech sech

lim sech lim sech

lim 2 tan lim 2 tan lim

(konvergen

2 tan lim 2 tan

20 2 ). a a b b x x a a b a b a b b xdx xdx xdx xdx xdx e e e e p p p p p p Æ Æ - -Æ Æ - -Æ Æ • • -• -• -• • -• • -• • = + = + = + = - + -= - ◊ + ◊ - =

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Selidiki kekonvergenan integral tak-wajar 0 (1 ) dx x x • +

Ú

.

¾ Integral tak-tentu dari

(1 ) ( ) dx x x f x = ₊ pada (0,

∞

) adalah 2 1 2 ( ) (1 ) 1 ( ) 2 tan d x dx x x x x C -+ = + = +

Ú

Ú

¾ Jenisintegral tak-wajarini pada selang hingga dan selang tak-hingga ka-rena

(1 )

( ) dx x x

f x = ₊ kontinu pada (0,∞) dengan

0 1 (1 ) lim xÆ + x +x = • . Integal tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,

∞

) adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 (1 ) 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 1 4 4 1 1 1 4 2 4 lim lim

lim 2 tan lim 2 tan

2 lim tan 2 lim tan

2 0 2 (konvergen). b c b c b c b c b c dx dx dx dx dx x x x x x x x x x x x x c b p p p p p p + + + Æ Æ - -Æ Æ - -Æ Æ • • • • • + = + + + = + + + = + = - + -= - + - =

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Tunjukkan 1 r x dx •

Ú

konvergen jika r<−1 dan divergen jika r≥−1, rŒ\ .

¾ Untuk kasus r π -1,r Œ\ integral tak-wajarnya adalah

)

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim lim lim

, jika 1 0 , jika 1 , jika 1 0 , jika 1 r b r b r r b b b x b r r r r x dx x dx r r r r + + Æ Æ Æ • • • • -+ + - -+ + Ê Ê = = _Ë = _Ë Ï _{+ <} Ï _< -Ô Ô = _Ì = _Ì • + > • > -Ô Ô Ó Ó

Ú

Ú

¾ Untuk kasus r = -1, r Œ\ integral tak-wajarnya adalah

( )

1

1

1 1 lim 1 lim ln lim ln .

b b b b b dx dx x x x dx- x b Æ Æ Æ • • • • • = = = = = •

Ú

Ú

Ú

¾ Jadi 1 r x dx •

Aplikasi Integral Tak-wajar untuk Fungsi Padat Peluang

Percobaan acak Suatu hasil percobaan dikatakan acak jika bervariasi untuk beberapa percobaan tetapi untuk jangka panjang setelah sejumlah besar pengulangan hasilnya mempunyai distribusi yang teratur.

Peluang Perbandingan munculnya kejadian dalam rangkaian percoba-an jpercoba-angka ppercoba-anjpercoba-ang dinamakpercoba-an peluang. Himpunan hasil percobaan yang mungkin untuk kejadian A ditulis P(A). Peluang dari kejadian A meme-nuhi sifat berikut.

1. Untuk setiap kejadian A berlaku 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. Himpunan S dari semua hasil percobaan yang mungkin dinamakan

ruang sampel, dan untuk S berlaku P(S) = 1.

3. Jika kejadian A dan B saling terasing (tanpa hasil percobaan sama),

maka P(AatauB) = P(A) + P(B). Akibatnya, jika AC adalah himpunan semua hasil percobaan di ruang sampel S yang bukan kejadian A, ma-ka P(AC) = 1 − P(A).

Peubah acak Suatu aturan yang mengaitkan nilai numerik dengan hasil percobaandinamakan peubah acak.Sebagaiilustrasi, pelantunansebuah koin menghasilkan munculnya muka (M) atau belakang (B). Jika sebuah koin dilantunkan tiga kali, ruang sampelnya adalah himpunan

{MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB}.

Peubah acak X dapat didefinisikan sebagai banyaknya muka dalam tiga kali pelantunan koin ini. Distribusi peluang dari X adalah daftar semua nilai yang mungkin dari X beserta peluang yang terkait.

Peubah acak X dikatakan diskrit jika himpunan nilai yang mungkin dari

X adalah {x1, x2, ⋅⋅⋅} dan dikatakan kontinu jika nilai X terletak pada

su-atu selang dari bilangan real.

PDF, fungsi padat peluang (probability density function) PDF y= f(x) daripeubah acakkontinu X didefinisikan 0di luar himpunan hasil perco-baan yang mungkin dan bersifat (1) f(x) ≥ 0, (2) • f x dx( ) 1

-• =

Ú

. x P(X=x) 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

y PDF dari X y = f(x) 0 c d x f(x) ≥ 0 dan • f x dx( ) 1 -• = Ú ( ) d ( ) c P c x d£ £ =Ú f x dx

¾ Rata-rata dan variansi dari suatu peubah acak di-definisikan sebagai m E X( ) • x f x dx( ) -• = =

Ú

dan 2 2 ( ) ( ) ( ) V X x f x dx s • m -• = =

Ú

- .

¾ Kaitan antara rata-rata dan variansi adalah

2 2 2

( ) .

E X

s = - m

PDF dari masa pakai sebuah komponen listrik adalah ( ) , 0

0 , 0 x e x f x x l l -Ï _≥ = Ì _< Ó ,

λ konstanta. (1) Tunjukkan f memenuhi syarat PDF, (2) Tentukan rata-rata dan variansinya, (3) Tentukan fungsi distribusi kumulatif F(x) = P(X ≤ x),

(4) Jikaλ=0,01 dan t dalam jam, hitunglah P(X > 20).

(1) Fungsi f memenuhi syarat PDF karena f(x) ≥ 0 dan

(

)

0 0 0 0 ( ) 0 x lim x lim x b 1 b b b f x dx dx le-l dx le-l dx e-l Æ Æ • • -• = -• + = _• = _• - =

Ú

Ú

Ú

Ú

.

(2) Rata-rata dari peubah acaknya adalah

(

)

(

)

0 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 lim lim lim . x x b b x x b b b b b E X x f x dx dx xe dx xe dx xe e be e l l l l l l l l l l m l - l -Æ - - - -Æ Æ • • -• -• _• • • = = = + = = - - = - - + =

Ú

Ú

Ú

Ú

Variansi dari peubah acaknya adalah

( )

2 2 2 2 ₀ 2 2 2 2 2 0 2 0 1 1 1 1

(kerjakan perhitungan tekn

( ) isnya ( ) 0 lim !) x x b b E X x f x dx dx x e dx x e dx l l l _l l l s m l l -Æ • • -• -• • = - = - = + -= - =

Ú

Ú

Ú

Ú

(3) Fungsi distribusi kumulatifnya adalah

( )

0 0 0 ( ) ( ) x ( ) 0 x t t x 1 x. F x P X x f t dt dt le-l dt e-l e-l -• -• = £ =

Ú

=

Ú

+

Ú

= - = -(4) Untukλ=0,01, 0,01 0,01 20 20 ( 20) 0,01 t lim 0,01 t 0,82 b b P X e- dt e- dt Æ • • > =

Ú

=

Ú

ª .

Pokok Bahasan: Bentuk Tak-tentu dan Integral Tak-wajar

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Untuk sebarang bilangan asli n berlaku lim n_x 0

x x e Æ• = . B − S 2. Jika lim ( ) xÆ•f x =• dan lim ( ) , xÆ•g x = -• maka ( ) ( ) lim 1 x f x g x Æ• = - . B − S 3. Jika ( ) ( ) lim 3 x f x g x Æ• = , maka xlim ( ( ) 3 ( )) 0. f x g x Æ• - = B − S 4. Jika lim ln ( ) 2, xÆ• f x = maka 2 lim ( ) . xÆ• f x =e B − S

5. Jika f dan g terdiferensialkan dan

0 ( ) ( ) lim x f x g x L Æ ¢ ¢ = , maka 0 ( ) ( ) lim x f x g x L Æ = . B − S

6. Jika f adalah fungsi genap dan

0 f x dx( ) •

Ú

konvergen, maka f x dx( ) -• •

Ú

konvergen. B − S 7. Jika lim b ( ) b b f x dx

-Æ•

Ú

ada dan hingga, maka - f x dx( )

• •

Ú

konvergen. B − S

8. Jika f¢ kontinu pada [0,∞) dan lim ( ) 0,

xÆ• f x = maka 0 f x dx( ) • ¢

Ú

konvergen. B − S 9. Jika 0£ f x( )£e-x " Œx [0, )• , maka 0 f x dx( ) •

Ú

konvergen. B − S

10. Jika f kontinu pada (a,b) dan lim ( ) lim ( )

x a x b f x f x + -Æ =•= Æ , maka ( ) b a f x dx

Ú

divergen. B − S

Hitunglah setiap limit berikut. 11. 3 0 sin lim x x x x Æ - 12. 0 tan sin 2 2 lim x x x x x Æ -- 13. xlimÆ0xln | |x 14. 1₃ 0 tan lim x x x x -Æ -15. ₂ 0 cosh 1 lim x x x Æ - _16. 2 0 2 2 1 lim x x x x Æ + - + 17.

(

)

0 1 lim csc x x x Æ - 18. 0 (1 cos ) sin lim x x x x x Æ

-- 19. _xlim_/21 cos 21 sin x x p Æ -+ 20. ₂ /2 ln (sin ) ( 2 ) lim x x x p p Æ - 21. 0 2 3 lim x x xÆ x - _22. ln (2 ) 3 lim x x e x Æ• + 23.

(

_{2 2}

)

0 1 1 sec lim xÆ x -x x 24. xlim ln 2Æ•( x-ln (x+1)) 25. ₁

(

)

1 1 1 ln lim xÆ + x- x -26. 1/(1 ) 1 lim x x x + -Æ 27. 1/ lim (ln ) x x x Æ• 28. 1/(2 ln ) lim (1 2 ) x xÆ• + x 29. / 3 3 / 0 lim ( x ) x xÆ x+e 30. 0 0 1 lim x 1 sin x x t dt Æ

Ú

+ 31. 1 1 lim x 1 t x x e dt -Æ•

Ú

+

1

Ú

Ú

x -x

Ú

7 _x +₁ 35. 1 ln e x xdx •

Ú

36. ₂ 2 ln x x dx •

Ú

37. 1 1 ₃ (2x 3) dx -•

-Ú

38. 2 ₂2 1 x dx --•

-Ú

39. ₂ 1 2 10 x x dx • -• + +

Ú

40. • e-| |x dx -•

Ú

41. 2 1 0 1 1 x- dx

Ú

42. 2 2 1 1 1 x x - dx

Ú

43. / 2 0 sin 1 cos x xdx p

-Ú

44. ln 3 0 ₁ x x e e - dx

Ú

45. 2 2 2 ₄ x x dx -

-Ú

46. 2 ₂ 2 1 4 x dx -

-Ú

47. 0 1 (1 x) xdx • +

Ú

48. 2 2 4 2 1 4 , 0 c c _x - _c dx c>

Ú

49. / 2 ₂ /3 tan (ln cos ) x x dx p p

Ú

Soal Aneka Ragam

50. Hitunglah luas daerah di bawah kurva y=2 4/( x2- dan di sebelah kanan garis x = 1. 1)

51. Jelaskan mengapa pernyataan ( ) lim c ( )

c c f x dx f x dx -Æ • -• = •

Ú

Ú

tidak benar.

52. Jika f kontinu, ( )f x ≥ pada [0,0 ∞),

0 f x dx( ) ,

•

<•

Ú

dan lim ( )

xƕf x ada, buktikanxlim ( )ƕf x =0.

53. Daerah D terletak di kuadran pertama, di bawah kurva y=x-2/3, dan di sebelah kiri garis x = 1. Tunjukkan luas daerah D hingga tetapi jika D diputar terhadap sumbu x volumnya tak hingga.

54. Tentukan semua nilai p sehingga integral tak wajar 1 0

1 p x dx

Ú

(a) konvergen dan (b) divergen.

55. Uji banding: untuk 0£ f x( )£ g x( ) pada [ , )a• ,

0 g x dx( ) •

Ú

konvergen ⇒ 0 f x dx( ) •

Ú

konvergen dan 0 f x dx( ) •

Ú

divergen ⇒ 0 g x dx( ) •

Ú

divergen. Dengan menggunakan uji ini tunjukkan semua integral tak wajar berikut konvergen. (a) _{4 4}

1 1 1 ( ) x x dx • +

Ú

(b) 2 1 x e- dx •

Ú

(c) ₂ 1 1 ln ( 1) x x dx • +

Ú

. Kunci Jawaban 1. B 2. S 3. S 4. B 5. S 6. B 7. S 8. B 9. B 10. S 11. 6 12. 1 4 - 13. 0 14. 1 3 - 15. 1 2 16. 1 4 17. 0 18. 3 19. 1 4 20. 1 8 - 21. 2 3 ln 22. 1 3 23. 1 2 24. ln2 25. 1 2 - 26. 1 e 27. 1 28. e 29. e 4 30. 1 31. 1 32. _2e1 33. ln2 34. divergen 35. divergen 36. 1 2(ln 2 1)+ 37. 1 4 - 38. ln3 39. 1 3p 40. 1 41. 1 2p 42. 1 3p 43. divergen 44. 2 2 45. 0 46. divergen 47. π 48. ln 2( + 3) 49. 1 ln 2 -50. 1

2ln 3 51. Contoh penyangkal: ( )f x = , ( ) sinx f x = x 53. luas D = 3 (hingga) 54. (a) p ≤ 1, (b) p > 1 55. Tunjukkan pada [1,∞) berlaku (a) ₄ 1 ₄ 1₄

1 ( ) x +x £ x , (b) 2 x x e- £e- , (c) ₂ 1 1₂ ln ( 1) x x+ £ x