BAB III MODEL MATEMATIKA DINAMIKA PENYEBARAN AEDES AEGYPTI BERDASARKAN ANGIN DAN SAYAP

(1)

BAB III MODEL MATEMATIKA DINAMIKA PENYEBARAN AEDES AEGYPTI BERDASARKAN ANGIN DAN SAYAP

BAB III

MODEL MATEMATIKA DINAMIKA

PENYEBARAN AEDES AEGYPTI

BERDASARKAN ANGIN DAN SAYAP

Bentuk reaksi difusi adalah model yang sangat beralasan untuk mempelajari penyebaran hewan, termasuk serangga. Telah dikatakan oleh Kareiva (1983) bahwa penyebaran suatu spesies selaras dengan model reaksi difusi dengan koefisien difusi konstan. Begitu juga pada tugas akhir ini, model dinamika penyebaran nyamuk Aedes aegypti akan menggunakan model reaksi difusi, yang memilki bentuk dasar U x t_t( , )=DU_xx( , )x t dengan D adalah koefisien difusi konstan.

Untuk memodelkan dinamika penyebaran nyamuk Aedes aegypti, akan diambil beberapa asumsi untuk membatasi masalah yang ada, yakni sebagai berikut:

1. Populasi nyamuk dibagi menjadi dua bagian:

a. Populasi nyamuk Aedes aegypti dewasa (fase mature). Yang termasuk populasi nyamuk dewasa disini adalah nyamuk dewasa betina saja karena hanya nyamuk betina yang menyebarkan virus Dengue.

b. Populasi jentik nyamuk (fase aquatic). Yang termasuk dalam fase aquatic ini adalah telur, larva, dan pupa.

(2)

2. Faktor yang mempengaruhi penyebarannya adalah angin dan sayap nyamuk. Penyebaran nyamuk dewasa dipengaruhi oleh angin dan sayap, sedangkan persebaran jentik nyamuk hanya dipengaruhi oleh angin.

3. Nyamuk dewasa maupun jentik nyamuk yang terbawa kendaraan atau sesuatu yang menimbulkan pergerakan (berpindah tempat) tidak termasuk dalam populasi pengamatan.

4. Kecepatan angin dianggap konstan.

Untuk memodelkan penyebaran populasi Aedes aegypti secara matematika, perlu dilihat hubungan antara nyamuk dewasa dan jentik nyamuk karena keduanya saling berkaitan. Populasi jentik nyamuk mempengaruhi jumlah populasi nyamuk dewasa karena nyamuk dewasa lahir dari perkembangan jentik nyamuk. Begitu juga dengan populasi nyamuk dewasa berpengaruh pada jumlah populasi jentik nyamuk karena nyamuk dewasa mengeluarkan telur. Karena hal inilah, perubahan populasi nyamuk dewasa dan jentik nyamuk setiap waktunya tidak bisa dipisahkan, begitu juga dengan analisis yang akan dilakukan selanjutnya.

Berikut akan diilustrasikan bagaimana keterkaitan antara populasi nyamuk dewasa dan jentik nyamuk.

penyebaran

nyamuk dewasa

jentik nyamuk

mati

γ

2

µ

r

2

k

₁ 1

µ

(3)

Arti dari ilustrasi di atas adalah: 1. Populasi jentik nyamuk

a. Populasi jentik nyamuk akan berkurang seiring dengan jumlah pupa yang hendak menjadi nyamuk dewasa dengan rata-rata sebesar γ . b. Populasi jentik nyamuk akan berkurang karena faktor kematian dengan

rata-rata sebesar µ₂.

c. Populasi jentik nyamuk akan bertambah seiring dengan jumlah telur yang dihasilkan oleh nyamuk dewasa dengan rata-rata sebesar r dan mampu bertahan hidup di lingkungan jentik nyamuk dengan daya dukung lingkungan sebesar k₂.

2. Populasi nyamuk dewasa

a. Populasi nyamuk dewasa akan bertambah seiring dengan jumlah pupa yang mampu bertahan hidup di lingkungan nyamuk dewasa dengan daya dukung lingkungan sebesar k₁.

b. Populasi nyamuk akan berkurang karena faktor kematian dengan rata-rata sebesar µ₁.

c. Karena nyamuk dewasa memiliki sayap sehingga dia mampu terbang kemana saja yang ia mau. Hal ini menyebabkan adanya pergerakan bebas dari nyamuk dewasa sehingga mempengaruhi populasi nyamuk yang diamati. Dalam hal ini terjadi keluar-masuk nyamuk ke dan dari populasi. Pada kejadian ini, terdapat nyamuk yang menyebar dari populasi pengamatan tetapi ada juga nyamuk dari populasi luar masuk ke dalam populasi pengamatan. Penyebaran nyamuk dari populasi pengamatan ini dinamakan proses difusi. Proses penyebaran ini ada yang disebabkan oleh sayap nyamuk saja dan ada yang dipengaruhi oleh angin. Angin disini membantu penyebaran nyamuk lebih cepat.

(4)

Bila ditinjau dari pergerakan penyebaran nyamuk, maka proses penyebarannya dapat diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Proses penyebaran pada fase mature dipengaruhi oleh pergerakan nyamuk yang dipengaruhi oleh faktor angin dan sayap. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, penyebaran nyamuk yang disebabkan oleh sayap adalah penyebaran atas kehendak nyamuk itu sendiri, sedangkan pergerakan angin membantu proses penyebaran nyamuk lebih cepat.

2. Pada fase aquatic, proses penyebaran jentik nyamuk tidak dipengaruhi oleh faktor angin dan sayap seperti pada fase mature, jadi pada fase ini tidak terjadi proses penyebaran nyamuk.

Parameter-parameter yang akan digunakan pada model dinamika penyebaran Aedes aegypti adalah sebagai berikut:

Table 1. Parameter yang digunakan pada model

Simbol Definisi Keterangan

( , )

M x t Banyaknya nyamuk Aedes aegypti pada fase mature / dewasa.

Variabel

( , )

A x t Banyaknya nyamuk Aedes aegypti pada fase aquatic / jentik nyamuk.

Variabel

D Koefisien proses difusi. Km2/hari

v Kecepatan angin. Km/hari

1

k Daya dukung lingkungan nyamuk dewasa.

2

k Daya dukung lingkungan jentik nyamuk.

1

µ Rata-rata kematian nyamuk dewasa. Populasi/hari

2

µ Rata-rata kematian jentik nyamuk. Populasi/hari

γ Rata-rata banyaknya jentik nyamuk yang hendak dewasa (dari fase aquatic ke fase

(5)

mature).

r Rata-rata banyaknya jentik nyamuk yang hendak dewasa (dari fase aquatic ke fase mature).

Populasi/hari

Berdasarkan asumsi-asumsi, ilustrasi dan variable-variabel di atas, maka diperoleh model dinamika penyebaran nyamuk Aedes aegypti sebagai berikut:

1. Model dinamika penyebaran nyamuk dewasa

2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 M x t ( , ) M x t D M x t v M x t A x t M x t t x x γ k µ ⎛ ⎞ ∂ ₌ ∂ ₋ ∂ ₊ ₋ ₋ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ _⎝ _⎠ (4.1)

Representasi dari model (4.1) adalah: a. M x t( , )

t ∂

∂ menyatakan perubahan populasi nyamuk dewasa setiap waktu. b. 2 2 ( , ) D M x t x ∂

∂ menyatakan proses penyebaran nyamuk yang disebabkan oleh pergerakan sayapnya nyamuk sendiri (proses difusi).

c. v M x t( , ) x

∂

∂ menyatakan proses penyebaran nyamuk yang disebabkan oleh pergerakan angin. Angin membantu penyebaran nyamuk menjadi lebih cepat dibandingkan hanya dengan sayap saja. Tanda minus pada suku bagian ini dikarenakan angin yang bepengaruh pada proses penyebaran nyamuk tentunya akan mengurangi jumlah populasi nyamuk yang diamati.

d. 1 ( , ) ( , ) 1 M x t A x t k γ ⎛_⎜ − ⎞_⎟

⎝ ⎠ menyatakan jumlah jentik nyamuk yang hendak dewasa dan mampu menyesuaikan diri dengan daya dukung lingkungan nyamuk dewasa sehingga mampu bertahan hidup. Model ini diambil dengan mengikuti fungsi logistik. Bila dilihat dari penggalan suku ini maka dapat diartikan bahwa γA x t( , ) merepresentasi jumlah seluruh jentik nyamuk yang hendak dewasa dan γA x t( , )M x t( , ) merepresentasikan jumlah jentik nyamuk yang

(6)

hendak dewasa tetapi tidak mampu bertahan hidup karena tidak dapat beradaptasi dengan daya dukung lingkungan nyamuk dewasa. Pada bagian kedua ini, terlihat bahwa disana ada interaksi antara jentik nyamuk dan nyamuk dewasa yang diwakilkan dengan ( , )A x t M x t( , ). Sebenarnya tidak terjadi interaksi langsung antara nyamuk dewasa dan jentik nyamuk kecuali saat nyamuk dewasa memberi asupan darah pada saat jentik nyamuk dalam fase telur. Interaksi disini maksudnya adalah hubungan keduanya dengan daya dukung lingkungannya. Pada saat jentik nyamuk berada dalam fase larva, jentik nyamuk sangat membutuhkan air yang cukup. Perkembangan larva akan sangat terganggu apabila kekurangan air selama pertumbuhannya. Pada saat memasuki pupa, jentik nyamuk mendapat asupan makanan dengan cara membuat pusaran air kecil dalam air dengan menggunakan bagian ujung dari tubuh mereka yang ditumbuhi bulu sehingga mirip kipas. Kisaran air tersebut menyebabkan bakteri dan mikro-organisme lainnya tersedot dan masuk ke dalam mulut larva nyamuk. Oleh karena itu air sangat berpengaruh terhadap perkembangan jentik nyamuk. Tetapi hal ini bertolak belakang dengan perilaku nyamuk muda. Setelah nyamuk muda keluar dari pupa, nyamuk muda ini sebisa mungkin tidak bersinggungan dengan air karena akan mengakibatkan kematian bagi nyamuk tersebut. [9] . Hal inilah yang menjadi penjelasan mengapa pada model fungsi logistik tersebut terjadi pengurangan pada populasi nyamuk dewasa.

e. µ₁M x t( , ) menyatakan jumlah nyamuk dewasa yang mati sehingga mengurangi populasi nyamuk dewasa.

2. Model dinamika penyebaran jentik nyamuk

2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 A x t ( ) ( , ) A x t rM x t A x t t k µ γ ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₋ ₋ ₊ ⎜ ⎟ ∂ _⎝ _⎠ (4.2) Representasi model (4.2) adalah:

(7)

b. 2 ( , ) ( , ) 1 A x t rM x t k ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ menyatakan jumlah telur nyamuk yang lahir dari nyamuk dewasa dan mampu beradaptasi dengan daya dukung lingkungan jentik nyamuk dan bertahan hidup. Seperti halnya pada model dinamika nyamuk dewasa, model bagian ini pun mengikuti fungsi logistik. Apabila kita lihat penggalan suku ini, maka rM x t( , ) menyatakan jumlah seluruh telur yang ada di bongkol nyamuk dewasa yang akan lahir, sedangkan

2

( , ) ( , )A x t rM x t

k menyatakan jumlah telur yang mati akibat tidak mampu beradaptasi dengan daya dukung lingkungan jentik nyamuk. Sama halnya seperti di atas, pada bagian kedua ini terdapat interaksi antara jentik nyamuk dan nyamuk dewasa. Pemberian makanan berupa darah oleh nyamuk dewasa kepada telur adalah bentuk interaksi keduanya, namun disini lebih ditekankan saat telur masih berada di bongkol nyamuk. Asupan darah tersebut disalurkan kepada telur nyamuk pada saat nyamuk dewasa menghisap darah manusia, karena sebenarnya nyamuk dewasa menghisap darah bukan hanya untuk dirinya sendiri melainkan untuk kelangsungan hidup sang telur yang ada di bongkolnya. Oleh karena itu, asupan darah yang diberikan oleh nyamuk dewasa kepada telur sebagai nutrisi makanannya sangat mempengaruhi kelangsungan hidup telur dan apabila asupan nutrisi itu kurang maka jumlah populasi jentik nyamuk pun akan ikut berkurang.

c. (µ γ₂+ ) ( , )A x t menyatakan jumlah kematian jentik nyamuk dan seluruh jentik nyamuk yang hendak dewasa. Kedua hal ini akan mengurangi jumlah populasi jentik nyamuk.

Model pertama di atas adalah reaksi difusi. Analisis yang kemudian akan dilakukan pada kedua model di atas adalah dengan memisalkan bahwa pada model di atas terdapat gelombang berjalan. Hal ini dikarenakan, untuk menyelesaikan persamaan reaksi difusi dapat didekati dengan solusi gelombang

(8)

berjalan, tetapi tidak mengubah interpretasi sistem dinamika penyebarannya. Pemisalan gelombang berjalan ini diambil agar analisis yang dilakukan dibatasi untuk kasus satu-dimensi.

Oleh karena itu, pada bab selanjutnya akan dilakukan analisis pada titik kesetimbangan, syarat eksistensi gelombang berjalan, dan melihat bagaimana perilakunya model secara numerik.