Pendahuluan Pengantar Metode Simpleks. Fitriani Agustina, Math, UPI

Pendahuluan

Pengantar Metode

Simpleks

METODE SIMPLEKS (

PRIMAL

)

•

Masalah Program Linear

• Masalah Program Linear dalam Bentuk Matriks

• Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL

• Bentuk Standar Masalah Program Linear

• Bentuk Standar Pembatas Linear

• Bentuk Standar Peubah Keputusan

• Bentuk Standar PL dalam Bentuk Matriks

• Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel

• Memperbaiki Nilai Fungsi Tujuan z

Masalah Program Linear

• Maksimasi (Minimasi) : dengan pembatas linear

dan pembatas tanda

n n

x

c

x

c

x

c

z



_{1 1}



_{2 2}



















_m n mn m m n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a





































,

,

,

,

,

,

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11













j n



x_j  0,  1, 2, ,

Masalah PL dalam bentuk matriks

• Maksimasi (Minimasi) :

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

dimana: 0 0

x

c

z



t

b

x

A

_{0 0}



x

₀



0

             mn m m n n a a a a a a a a a A       2 1 2 22 21 1 12 11 0              n c c c c  2 1 0              n x x x x  2 1 0              m b b b b  2 1

Ketentuan dalam Bentuk Standar

Masalah PL

• Seluruh pembatas linear harus berbentuk

persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif.

• Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif.

• Fungsi tujuan merupakan maksimasi /minimasi.

Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk memperoleh bentuk standar masalah PL sesuai ketentuan di atas berkaitan dengan pembatas linear dan peubah

Bentuk Standar Pembatas Linear

• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≤”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu ditambahkan

slack variable.

• Pembatas linear bertanda ”≤” berhubungan dengan penggunaan dan ketersediaan sumber daya,

sehingga slack variable mewakili jumlah sumber daya yang tidak dipergunakan.

• Misalkan pembatas linear ke-p bertanda ”≤”, maka diperoleh bentuk standar:

dimana merupakan slack variable

p p n n pn p p

x

a

x

a

x

x

b

a

_{1 1}



_{2 2}









_



x

_

• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≥”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu dikurangkan

surplus variable.

• Pembatas linear bertanda ” ≥” berhubungan

dengan persyaratan spesifikasi minimum,

sehingga surplus variable mewakili jumlah

kelebihan sesuatu dibandingkan dengan

spesifikasi minimumnya.

• Misalkan pembatas linear ke-q bertanda ” ≥”,

maka diperoleh bentuk standar:

dimana merupakan surplus variable

q q n n qn q q

x

a

x

a

x

x

b

a

_{1 1}



_{2 2}









_



q n

x

_

• Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua

ruas dengan .

• Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas

dikalikan dengan .

• Pembatas linear dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.

1



1

Bentuk Standar Peubah Keputusan

• Suatu peubah keputusan yang tidak terbatas

dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua peubah

keputusan nonnegatif dengan menggunakan

substitusi:

dimana dan . Selanjutnya substitusi

ini harus dilakukan pada seluruh pembatas linear dan fungsi tujuannya.

• Oleh karena itu bentuk standar masalah PL dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:

j

x

2 1 j j j

x

x

x





0

1



j

x

_x

2_j



₀

Bentuk Standar Masalah PL dalam

Bentuk Matriks

• Misalkan terdapat m pembatas linear dimana sebanyak g pembatas linear dengan tanda "≤", dan sebanyak h pembatas linear dengan tanda "≥",

maka dapat dinyatakan bahwa terdapat

(m – g – h ) pembatas linear dengan tanda "=".

• Maksimasi (Minimasi) :

dengan pembatas linear dan pembatas tanda

s t s t x c x c z  _{0 0} 

b

x

A



x



0

Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel

• Bentuk standar pembatas linear adalah

(1) Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini:

(2)

dimana adalah vektor-vektor yang

merupakan vektor kolom pada matriks A dengan

orde dimana .

• Pada pembahasan ini diasumsikan bahwa

persamaan (1) konsisten.

b

x

A



b

x

x

x

₁



₁



₂



₂







_N



_N



N

a

a

a

₁

,

₂

,



,



m N



N  n  g  h

• Persamaan (1) diasumsikan bahwa dan

serta tiap peubah secara tetap

diasosiasikan berkoresponden dengan vektor

kolom .

• Apabila dipilih m vektor kolom yang membentuk

matriks A adalah bebas linear, dan peubah

lain yang berkoresponden dengan vektor-vektor yang tersisa pada matriks A tersebut mempunyai

nilai nol, sehingga himpunan m persamaan

simultan itu mempunyai penyelesaian tunggal yang dinamakan penyelesaian dasar (solusi basis).

N m 

 

A m Rank 

x

_j j





N  m



• m peubah dari solusi basis yang berasosiasi

dengan m vektor kolom yang bebas linear

dinamakan peubah dasar (basic variable/BV),

• (N – m) peubah sisanya dinamakan peubah

nondasar (nonbasic variable/NBV) pada umumnya ditetapkan bernilai nol.

• Apabila terdapat satu/lebih BV yang bernilai nol maka masalah program linear tersebut dinamakan degenerasi dan BV yang bernilai nol dinamakan peubah degenerasi.

• Jika seluruh peubah pada suatu solusi basis bernilai nonnegatif, maka solusi itu dinamakan

Memperbaiki nilai fungsi tujuan z

• Misalkan diberikan z tertentu sebagai solusi basis awal, maka pada iterasi berikutnya akan dicoba untuk memperoleh solusi basis fisibel yang baru dengan nilai fungsi tujuan yang berubah.

• Apabila maksimasi maka nilai z

akan ditingkatkan dengan cara memperoleh solusi basis fisibel yang baru sampai mencapai nilai maksimum (optimal),dan berlaku sebaliknya untuk kasus minimasi.



x x x_n



f

• Misalkan untuk bentuk standar masalah PL diketahui solusi basis fisibel awalnya dan B merupakan matriks dengan orde (m x m) dimana kolom-kolom dari matriks B merupakan vektor basis, sehingga B dinamakan matriks basis yaitu suatu sub matriks dari matriks A yang non singular

                                 mN n m n m mn m m N n n n N n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a A             2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 22 21 1 2 1 1 1 1 12 11



























1

0

0

0

1

0

0

0

1

2 1 2 22 21 1 12 11

























mn m m n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

                                              1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1             mN n m n m N n n N n n a a a a a a a a a B

• Ambil sembarang vektor basis dan vektor harga

dari peubah basis , kemudian dari

diidentifikasi sejumlah NBV dan BV dari persamaan awal yang merupakan solusi basis fisibel:

atau

dan fungsi tujuannya adalah dimana

b

x

A



b x B _B  B t B x c z  B x B

c

             1 0 0 0 1 0 0 0 1       B              b b b b  2 1              B B B x x x x  2 1 b d x d x d x d x_{B1 1}  _{Br r}  _{Br1 r1}  _{Bm m} 



  m i i Bi d b x 1

• Perlu diingat bahwa B merupakan matriks berorde

(m x m) dan , hal ini berarti

bahwa tiap kolom dari matriks A , yaitu

merupakan kombinasi linear dari kolom pada

matriks B. Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: atau dimana:

 

A m Rank

 

B Rank   j



i

d



     m i ij i j m mj j j a d d a d a 1 1 1





 j j



B

a







T mj j j

a

a

a



₁



• Solusi basis fisibel yang baru diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan hanya mengganti satu kolom matriks B.

• Matriks basis baru yang non singular dinotasikan

dengan yang dibentuk melalui perubahan kolom

dari matriks B dan penempatan kembali kolom

( ) dari matriks A. Dalam hal ini dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :

(3) B r

d

k  _{ 0} k





_k m d d₁,, m mk r rk k k



a

1

d

1







a

d







a

d



• apabila solusi persamaan (3) untuk disubstitusi

ke persamaan akan diperoleh solusi

basis baru yaitu:

• Solusi basisnya harus fisibel, yaitu: untuk dimana: r

d



  m i i Bi d b x 1

b

a

x

d

x

a

a

x

_k rk Br m r i i i Br rk ik Bi





















 



; 1 0          _Br rk ik Bi Bi x a a x x



i 1 , , m dan i  r



0   Br Br a x x min ; 0 0 , , 1           ik



Bi m i Br a a x a x 

• Nilai fungsi tujuan dapat ditentukan oleh , dan untuk permasalahan memaksimumkan z, diperoleh

dan

tetapi karena , dan maka

diperoleh:

dimana dan adalah solusi

basis fisibel untuk suatu k yang diberikan karena

dan diketahui. z z 







m i Bi Bi

x

c

z

1



_



m i Bi Bi

x

c

z

1 Bi Bi c c 



_i  _r



cBr  c_k



_{k k}





_{k k}



rk Br c z z c z a x z z       i t B m i ik Bi k c a c a z 



 1 k z B c k a

Mengakhiri perhitungan simpleks

Secara garis besar pada tiap iterasi metode simpleks, terdapat tiga aspek yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Vektor (berkorespondensi dengan peubah )

adalah calon peubah untuk menjadi peubah masuk (entering variable/EV) pada matriks basis apabila k memenuhi syarat:

(a.1) k 

x

_k



;

0



min

, , 1











 N j j j j j k k

c

z

c

z

c

z



• Penyataan jika dan hanya jika dan

menunjukkan bahwa dapat dipilih vektor

dari matriks A untuk masuk dalam matriks basis.

• Apabila terdapat lebih dari satu k yang

menunjukkan bahwa maka nilai k yang

dipilih adalah nilai k yang menunjukkan yang paling minimum

.

z z  z_k  c_k  0 0  



_k 0   _k k c z 0   _k k c z

2. Vektor (berkorespondensi dengan peubah ) akan menjadi peubah keluar (leaving variable/LV) meninggalkan matriks basis apabila r memenuhi

syarat: (a.2)

3. Fungsi tujuan dapat diperbaiki (ditingkatkan

apabila memaksimumkan) jika dan hanya jika

dan dimana θ diperoleh pada aspek

ke-2. 0 0 ; min , , 1           ik



ik Bi m i rk Br a a x a x  0   0   _k k c z r

d

xBr

4. Apabila tidak ada k yang menunjukkan

Dengan kata lain terdapat nilai untuk tiap

kolom vektor pada matriks A. Hal ini berarti

bahwa nilai fungsi tujuan telah mencapai

maksimum.

Untuk masalah program linear dengan maksimasi z = ct x dengan pembatas linear Ax = b dan pembatas tanda x ≥ 0. Misalkan solusi basis fisibel ada dan

paling sedikit untuk satu nilai k, z_k – c_k < 0 dan a_ik ≥ 0

untuk semua (i = 1, ..., m), maka masalah program linear tersebut mempunyai nilai tak tebatas untuk fungsi tujuannya. 0   _k k c z 0   _k k c z j



Untuk masalah program linear dengan maksimasi

dengan pembatas linear dan

pembatas tanda . Apabila pada solusi basis

fisibel yang diperoleh terdapat untuk tiap

kolom dari matriks A yang tidak terdapat pada

matriks B maka solusi basis fisibelnya adalah optimal. x c z  t _Ax  _b

0



x

0   _j j c z j

