1. Periksa apakah pernyataan berikut benar atau salah.
(a) Misalkan f (x) ≤ 1 pada daerah asal f , maka nilai maksimum dari f adalah 1.
(b) Misalkan f (x) > 0 pada daerah asal f . Jika x = a adalah titik maksimum dari fungsi f , maka x = a adalah titik minimum dari fungsi
1 f.
(c) Suatu fungsi kontinu yang terdefinisi pada suatu selang tertutup mencapai nilai maksi-mum pada selang tersebut.
(d) Jika f0(c) > 0 untuk setiap c pada suatu selang tutup [a, b], maka f mencapai maksi-mum di b.
(e) Fungsi linier f (x) = mx + c, m 6= 0, tidak mencapai nilai minimum dan maksimum un-tuk setiap interval buka (a, b).
(f) Jika suatu fungsi yang terdiferensialkan di daerah definisinya mencapai nilai maksimum pada c yang merupakan suatu titik dalam daerah definisinya, maka f0(c) = 0.
(g) Adalah mungkin bagi suatu fungsi untuk memiliki tak berhingga banyaknya titik kri-tis pada suatu selang tertutup.
(h) Suatu fungsi kontinu yang monoton naik pada selang (−∞, ∞) haruslah terdifferen-sialkan di mana-mana.
(i) Jika f fungsi yang terdiferensialkan pada I dan f naik pada I maka f0(x) > 0 untuk se-tiap x di I. (Hati-hati!)
(j) Jika f0(x) > 0 untuk setiap x di selang I maka f monoton naik pada I.
(k) Hasil kali dari dua fungsi yang monoton naik adalah fungsi monoton naik.
(l) Jika f0(c) = 0 dan f00(c) = 0, maka f (c) bukanlah nilai maksimum ataupun minimum dari f .
(m) Suatu fungsi kuadrat tidak mempunyai titik belok.
(n) Suatu fungsi polinom pangkat ganjil selalu mempunyai titik belok.
(o) Jika f0(0) = 0 dan f00(x) > 0 untuk setiap x ≥ 0, maka f monoton naik pada [0, ∞). (p) Jika f00(c) = 0 dan f000(c) = 0 maka c bukan
merupakan titik belok dari f .
(q) Fungsi rasional yang tidak terdefinisi pada dua bilangan real mempunyai dua asimtot tegak.
(r) Diantara semua persegi panjang yang memi-liki luas K, persegi panjang dengan keliling maksimum adalah suatu persegi.
2. Tentukan titik kritis, nilai minimum, dan nilai maksimum dari fungsi yang digambarkan pada grafik berikut
(a)
(b)
(c)
(d)
3. Tentukan semua titik kritis dari fungsi-fungsi yang didefinisikan pada interval yang diberikan. Lalu tentukan nilai maksimum dan nilai minimumnya.
(a) y = x3− 6x2+ 8, [1, 6] (b) y = x 2+ 1 x − 4, [5, 6] (c) y = 2√x2+ 1 − x, [0, 2] (d) y = (1 − t2)1/3, [−1, 2] (e) y = sin x cos x, [0, π/2] (f) y = tan x − 2x, [0, 1] (g) y = |x − 2|, [0, 4]
4. Tentukan selang kemonotonan (selang dimana fungsi naik atau turun) dari fungsi-fungsi berikut
(a) f (x) = 3x4+ 8x3− 6x2− 24x (b) f (x) = x4− 4x3/2 untuk x > 0 (c) f (x) = x 3 x2+ 1 (d) f (θ) = θ + sin θ + cos θ (e) f (θ) = sin2θ + sin θ
5. Tentukan selang-selang di mana fungsi-fungsi berikut terbuka ke atas atau ke bawah dan ten-tukan semua titik beloknya (jika ada)
(a) y = θ + sin2θ, [0, π] (b) y = x7/2− 35x2
(c) y = x(x − 8√x), x ≥ 0 (d) y = x − 1
x2+ 8
6. Tentukan semua titik kritis dari f kemudian gunakan uji turunan pertama atau kedua un-tuk menenun-tukan titik-titik yang memberikan nilai maksimum lokal dan minimum lokal.
(a) f (x) = x3− 2x2+ x
(b) f (x) = x3/2− 4x−1/2, x > 0 (c) f (x) = 1
x4+ 1
(d) f (θ) = cos θ
1 + sin θ, 0 < θ < 2π
7. Grafik berikut menunjukkan posisi s = f (t) dari suatu partikel yang bergerak maju dan mundur pada suatu suatu sumbu koordinat.
(a) Kapan partikel bergerak menjauhi titik asal (s=0)? Menuju titik asal?
(b) Kira-kira kapan partikel mempunyai ke-cepatan nol? perke-cepatan nol?
(c) Kira-kira kapan partikel percepatannya posi-tif? negaposi-tif?
8. Gambarkan sketsa grafik fungsi yang memenuhi se-mua informasi yang diberikan:
f (0) = f (3) = 3; f (2) = 4; f (4) = 2; f (6) = 0; f0(x) > 0 pada (0, 2); f0(x) < 0 pada (2, 4) ∪ (4, 5) f0(2) = f0(4) = 0; f0(x) = −1 pada (5, 6);
f00(x) < 0 pada (0, 3)∪(4, 5); f00(x) > 0 pada (3, 4) 9. Gunakan turunan dari f berikut untuk menen-tukan semua titik kritis dari f . Kemudian ten-tukan apakah titik-titik kritis ini memberikan nilai maksimum lokal atau minimum lokal. Pada setiap kasus asumsikan f kontinu dimana-mana.
(a) f0(x) = x2(x3− 5) (b) f0(x) = √2 − 3x3 x + 2 (c) f0(x) = 4x3− 9x (d) f0(x) = x 2− 7 3 √ x2+ 4 (e) f0(x) = 1 x2− x + 3
10. Cari jika mungkin, nilai maksimum dan minimum (global) dari fungsi-fungsi berikut
(a) f (x) = 2x x2+ 4 pada [0, ∞) (b) g(x) = 1 x2+ 4 pada [0, ∞) (c) h(x) = 6√x − 4x pada [0, ∞) (d) r(t) = t2/3 pada (−∞, ∞)
11. Berdasarkan kurva f0(x) dan f00(x) yang diberikan, buatlah perkiraan sketsa dari grafik fungsi y = f (x) jika grafik f (x) melewati titik P .
(a)
(b)
12. Buat sketsa grafik dari persamaan berikut (a) y = x3+ 6x2+ 9 (b) y = 2x5− 5x2+ 1 (c) y = x x − 1 (d) y = x (x − 1)2 (e) y = x√5 − x (f) y = √ x x2− 1 (g) y = x5/3− 5x2/3 (h) y = r x x − 5 (i) y = 3 sin x − sin3x (j) y = sin x − tan x (k) y = sin x
1 + cos x 13. Kawat sepanjang 12 m akan dibagi menjadi dua
bagian dan masing-masing bagian dibentuk men-jadi suatu persegi dan suatu lingkaran.
Bagaimana pemotongan ini harus dilakukan agar jumlah total luas persegi dan lingkaran sekecil mungkin?
14. Sebuah pipa lentur mempunyai panjang 4 m akan dibengkokkan sehingga berbentuk huruf L. Di mana pipa harus dibengkokkan agar jarak antara kedua ujung pipa minimum?
15. Tentukan titik pada kurva y = x+2
x dengan x > 0 yang jaraknya paling dekat dengan titik asal. 16. Titik manakah yang berada pada x
a+ y
b = 1 yang paling dekat dengan titik (0, 0)?
17. Diantara semua bilangan positif a, b yang jumlah-nya 8 yang manakah yang hasil perkalianjumlah-nya pa-ling besar?
18. Tentukan luas terbesar dari persegi panjang yang dapat disisipkan ke dalam daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 − x
2 + x dan kedua sumbu koordinat.
19. Suatu barang memerlukan biaya c ratus ribu rupiah untuk diproduksi dan dipasarkan. Jika barang tersebut dijual seharga x ratus ribu rupiah, maka banyak barang yang terjual adalah
n = a
x − c + b(100 − x)
dengan a dan b suatu konstanta. Tentukan harga jual yang memaksimumkan banyak barang yang terjual.
20. Seorang petani ingin memagari tempat pengem-balaan yang terletak di samping sebuah sungai. Tempat penggembalaan ini harus mempunyai luas 245.000 meter persegi untuk menyediakan rumput yang cukup bagi domba-domba piaraannya. Jika daerah sepanjang sungai tidak perlu dipa-gari, berapa ukuran daerah gembala tersebut agar kawat pagar yang dipergunakan sesedikit mungkin?
21. Gaya F (dalam Newton) yang diperlukan untuk menarik benda dengan massa m yang diikat de-ngan tali adalah
F (θ) = f mg cos θ + f sin θ
dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh tali dan garis horizontal, f adalah koefisien gesek statis, dan g = 9, 8 m/s2. Tentukan besar sudut θ yang meminimumkan gaya F yang diperlukan, dengan asumsi f = 0, 4.
22. Tentukan luas segitiga sama kaki terbesar yang bisa disisipkan ke dalam lingkaran dengan jari-jari 6
(a) Selesakan masalah di atas dengan menyata-kan luas segitiga sebagai fungsi dari α. (b) Selesaikan masalah di atas dengan
menyata-kan luas segitiga sebagai fungsi dari h. 23. Anda berada 2 mil di lepas pantai. Anda ingin
pergi ke titik Q yang berjarak 1 mil dari pan-tai. Anda dapat mendayung dengan kecepatan 3 mil/jam dan berjalan dengan kecepatan 4 mil/jam. Ke titik manakah di tepi pantai anda harus meng-arahkan perahu anda untuk mencapai titik Q se-cepat mungkin?
24. Tentukan apakah Teorema nilai rata-rata berlaku pada fungsi dan selang berikut. Jika ya, carilah se-mua nilai c yang memenuhi teorema tersebut; jika tidak sebutkan alasannya.
(a) f (x) = |x|, [−2, 2] (b) g(x) = (x + 1)3, [−1, 1] (c) C(θ) = csc θ, [−π, π] (d) h(x) =px(x − 1), [0, π] (e) f (x) = ( x3, −2 ≤ x ≤ 0 x2, 0 < x ≤ 2
25. Gunakan teorema nilai rata-rata untuk menun-jukkan bahwa fungsi f (t) = 1
t turun pada selang manapun dimana fungsi tersebut didefinisikan.
26. Tentukan semua nilai c yang memenuhi kesimpu-lan teorema nilai rata-rata pada gambar berikut di selang [0, 8].
27. Asep melakukan perjalanan sejauh 112 km dalam dua jam dan mengklaim bahwa ke-cepatan kendaraannya tidak pernah melebihi 55 km/jam. Gunakan Teorema nilai rata-rata untuk menyangkal pernyataan Asep tersebut.
Petunjuk: Misalkan f (t) adalah jarak yang ditem-puh oleh Asep dalam waktu t.
28. Suatu termometer yang baru dikeluarkan dari freezer membutuhkan waktu 14 detik ketika ditem-patkan di dalam air yang mendidih agar suhunya naik dari −19oC menjadi 100oC. Tunjukkan bahwa termometer tersebut pernah mengalami kenaikan temperatur dengan laju 8.5oC/detik.
29. Misalkan posisi suatu benda diberikan oleh per-samaan s(t) = at2 + bt + c. Tunjukkkan bahwa
kecepatan rata-rata benda tersebut pada selang [A, B] sama dengan kecepatan sesaat benda terse-but di titik tengah selang [A, B].
30. Tentukan anti turunan berikut (a) Z 1 5− 2 x3 + 2x dx (b) Z x2px3+ 4 dx (c) Z t√t +√t t2 dt (d) Z 2 5sec θ tan θ dθ (e) Z
cos θ(tan θ + sec θ) dθ
31. Selesaikan persamaan differensial dengan kondisi nilai awal yang diberikan
(a) dy dx = 1 √ x + 1; y = 18 di x = 3 (b) dy dx = csc y; y = π di x = 0 (c) dy dt = t 2y4; y = 1 di t = 1 (d) dy dx = 6x − x3 2y ; y = 3 di x = 0 (e) dy dx = x sec y; y = π di x = 0
32. Selesaikan persamaan differensial dengan kondisi nilai awal yang diberikan
(a) d 2y dx2 = 0; y 0 (0) = 2, y(0) = 0 (b) d 2r dt2 = 2 t3; r 0(1) = 1, r(1) = 1 (c) d 3y dx3 = 6; y 00(0) = −8, y0(0) = 0, y(0) = 5
33. Tentukan kurva y = f (x) yang melalui titik (9, 4) dan di setiap titik memiliki kemiringan garis singgung sebesar 3√x
34. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah dan berikan alasannya.
(a) Z 6(2x + 1)2dx = (2x + 1)3+ C (b) Z √ 2x + 1 dx =px2+ x + C (c) Z √ 2x + 1 dx = 1 3 √ 2x + 13+ C (d) Z −15(x + 3)2 (x − 2)4 dx = x + 3 x − 2 3 + C (e) Z x cos(x2) − sin(x2) x2 dx = sin(x2) x + C
35. Diketahui bahwa kecepatan suatu benda yang bergerak sepanjang garis koordinat adalah
v = ds/dt, dimana s(t) adalah posisi benda pada waktu t. Tentukan s(t) jika
(a) v = 9.8t + 5 s(0) = 0 (b) v = sin πt, s(0) = 0 (c) v = 2 π cos 2t π , s(π2) = 1
36. Diketahui bahwa percepatan suatu benda yang bergerak sepanjang garis koordinat adalah
a = d2s/dt2. Tentukan posisi benda tersebut pada saat t jika diberikan percepatan, kecepatan awal, dan percepatan awal seperti berikut
(a) a = 9.8, v(0) = −3, s(0) = 0 (b) a = −4 sin 2t, v(0) = 2, s(0) = −3 (c) a = 9 π2 cos 3t π , v(0) = 0, s(0) = −1 37. Suatu roket meluncur meninggalkan permukaan
bumi dengan percepatan konstan 20m/detik2. Be-rapa kecepatan roket tersebut 1 menit kemudian? 38. Berapa perlambatan yang diperlukan oleh se-buah mobil yang sedang melaju dengan kecepatan 20 meter/detik agar dapat berhenti sepenuhnya dalam jarak 50 meter?
Problem Solving
39. Misalkan f (x) = (
x4sin2(1/x), x 6= 0
0, x = 0.
(a) Tunjukkan bahwa f0(0) = f00(0) = 0.
(b) Tunjukkan bahwa x = 0 merupakan titik minimum lokal bagi f akan tetapi kita tidak bisa mempergunakan uji turunan pertama atau kedua untuk membuktikan fakta terse-but.
40. Misalkan a > 0 dan f (x) = 1 1 + |x|+
1 1 + |x − a|. (a) Tentukan semua titik kritis dari f (x).
(b) Tunjukkan bahwa f (x) mempunyai nilai maksimum tapi tidak memiliki nilai mini-mum.
(c) Tentukan nilai maksimum dari f (x).
41. Misalkan a, b bilangan real dengan b > a > 0. Su-atu partikel bergerak lurus dari titik (0, a) ke suSu-atu titik (x, 0) dan kemudian dilanjutkan ke titik (1, b) dengan 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Definisikan fungsi f dalam x yang menyata-kan jarak tempuh partikel.
(b) Tunjukkan bahwa ketika nilai f (x) minimum maka sudut α sama besarnya dengan sudut β.
(c) Gunakan argumen geometris dengan meng-gunakan garis terputus-putus pada gambar untuk menunjukkan bahwa ketika α = β maka jarak tempuh partikel nilainya mini-mum.
42. Tentukan nilai minimum dari fungsi f (x) = |x − 2| + |x − 3| + |x − 5| + |x − 8|.
43. Misalkan a1 < a2 < · · · < an dan
f (x) = |x − a1| + |x − a2| + · · · + |x − an|
(a) Tunjukkan bahwa f0(x) < 0 jika k < n − k dan ak< x < ak+1.
(b) Tunjukkan bahwa f0(x) > 0 jika k > n − k dan ak< x < ak+1.
(c) Jika n = 2m + 1, tunjukkan bahwa f (x) men-capai nilai minimum di am+1.
(d) Jika n = 2m tunjukkan bahwa f (x) menca-pai nilai minimum di setiap titik di selang [am, am+1].
44. Misalkan
f (x) = | sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x|. (a) Misalkan z = sin x + cos x. Tunjukkan bahwa sin x+cos x+tan x+cot x+sec x+csc x = z+ 2
z − 1 (b) Tunjukkan bahwa nilai minimum dari f (x)
sama dengan nilai minimum |z + z−12 | pada selang [−√2,√2].
(c) Buat sketsa grafik g(z) = z +z−12 pada selang [−√2,√2].
(d) Tentukan nilai minimum dari f (x) dengan melihat nilai minimum dari |g(z)|.
45. Tanpa menghitung nilai√66 secara langsung, buk-tikan bahwa 1 9 < √ 66 − 8 < 1 8 46. Tentukan Z −x3 (2x + 5)3/2 + 3x2 √ 2x + 5 dx 47. Jika a0 1 + a1 2 + · · · + an n + 1 = 0, butikan bahwa a0+ a1c + · · · + ancn= 0 untuk suatu c di [0, 1].
48. Sebuah silinder tegak dengan jari-jari alas r dan tinggi h akan dimasukkan ke dalam sebuah keru-cut dengan jari-jari R dan tinggi H.
Tentukan nilai r yang memaksimumkan luas per-mukaan silinder (termasuk bagian tutup dan alas) yang dapat dimasukkan ke dalam kerucut. (Petunjuk: tinjau kasus H ≤ 2R dan H > 2R) 49. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk
membuk-tikan bahwa (a) lim
x→∞
√
x + 2 −√x = 0
50. Garis yang menghubungkan P dan Q memotong dua garis sejajar seperti terlihat pada gambar. Titik R berjarak d dari P . Seberapa jauh titik S dari Q ditempatkan agar jumlahan kedua luas daerah segitiga yang diarsir sekecil mungkin ? sebesar mungkin ?
51. (a) Untuk setiap 0 < x < y tunjukkan bahwa √
y −√x < y − x 2√x.
(b) Gunakan ketaksamaan di atas untuk mem-buktikan bahwa√xy < 12(x + y) untuk setiap 0 < x < y.