Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.)

(1)

Pemodelan Teknik Kimia - 2016

Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.)

Contoh #1: Kepedulian terhadap Iklan

Suatu produk sereal baru (diberi nama “Oat Puff”) diperkenalkan melalui kampanye iklan untuk populasi 1 juta pelanggan potensial. Tingkat di mana penduduk mendengar (peduli) tentang produk tersebut diasumsikan sebanding dengan jumlah orang yang belum menyadari adanya produk sereal tersebut. Pada akhir tahun pertama (tahun ke 1), setengah dari populasi telah mendengar dari produk. Berapa banyak orang atau populasi yang akan pernah mendengar tentang hal tersebut pada akhir tahun ke 2?

Solusi:

Bila kita gunakan vaiabel

y

sebagai suatu bilangan atau jumlah (dalam jutaan) orang pada waktu

t

yang telah mendengar tentang produk sereal tersebut. Hal ini berarti bahwa



1 

y



adalah jumlah orang yang belum mendengar, sedangkan

dy dt

adalah suatu laju dalam hal mana suatu penduduk mendengar tentang produk dimaksud. Dari asumsi yang diberikan, maka Anda dapat menulis persamaan diferensial (PD) yang terbentuk sebagai berikut:

dy

k



1 y



dt





Laju perubahan

y

adalah sebanding dengan selisih antara 1 dan

y

(1)

Persamaan diferensial di atas, dengan menggunakan teknik pemisahan variabel dalam suatu persamaan matematis umumnya, maka dapat disusun ulang menjadi:

1 dy

k dt

y





(1-1)

Jika kita integralkan kedua suku di atas sebagai berikut

1 dy

k dt

y







(1-2)

Hasil integralnya adalah





ln 1

y

k t

c







(1-3)

(2)





ln 1



y

 

k t



c

(1-4)

Jika kita ekponenkan kedua suku di atas, dan kemudian dilakukan penyusunan ulang hasilnya dengan penulisan konstanta c

C



e

 , maka akan didapatkan solusi atau jawab umum dari PD di atas sebagai berikut:

1

k t

y

 

C e

 (jawab umum) (1-5)

Untuk mencari harga-harga konstanta

C

dan

k

, maka dapat digunakan data kondisi awal yang diberikan. Artinya, pada saat

t



0

diketahui bahwa

y



0

, maka dapat ditentukan bahwa

C



1

. Demikian pula, karena diketahui bahwa pada saat

t



1

harga

y



0,5

maka

0,5 1

k

e



 

, yang berarti bahwa

k



ln 2 0,693



. Sehingga, dapat diperoleh jawab khusus dari PD di atas adalah:

0,693

1

t

y

 

e

 (jawab khusus) (1-6)

Model ini ditunjukkan secara grafik seperti pada gambar di bawah ini.

Menggunakan model tersebut, saudara dapat menentukan jumlah orang yang telah mendengar tentang produk tersebut pada akhir tahun ke 2, sebagai berikut:





0,693 ( )

1 0,75

1 juta orang

oran

.

g

y

 

e









2

750 000

(3)

Contoh #2: Pemodelan Reaksi Kimia

Selama terjadinya suatu reaksi kimia dalam satu reaktor dengan volume konstan, spesi A diubah menjadi spesi B yang sebanding dengan kuadrat dari konsentrasi spesi A (reaksi orde 2). Pada saat awal, digunakan 60 mol spesi A, dan setelah 1 jam terjadinya reaksi kimia, ternyata terdapat 10 mol spesi A yang tersisa atau tidak terkonversi menjadi spesi B. Berapakah jumlah tersisa dari spesi A setelah 2 jam reaksi?

Solusi:

Dimisalkan

y

adalah jumlah mol spesi A yang belum terkonversi pada setiap saat

t

. Dari asumsi yang diberikan tentang laju konversi seperti pernyataan (Contoh #2) di atas, maka saudara dapat menulis persamaan diferensial yang terbentuk sebagai berikut.

dy

k y

2

dt



Laju perubahan

y

sebanding dengan kuadrat

y

(2)

Dari persamaan diferensial yang menggambarkan (model) perubahan spesi A dalam reaksi kimia seperti di atas, dapat disusun ulang (penulisan persamaan matematisnya) dengan menggunakan teknik pemisahan variabel menjadi:

2 2

dy

y dy

k dt

y





(2-1)

Jika kita integralkan kedua suku di atas sebagai berikut

2

dy

k dt

y





(2-2)

Hasil integralnya adalah

1 k t

c

y







(2-3)

Jika kita lakukan penyusunan ulang dari persamaan di atas, maka hasilnya adalah jawab umum dari PD di atas, yaitu sebagai berikut:

1 y

k t

c







(jawab umum) (2-4)

Harga-harga konstanta

c

dan

k

seperti di atas dapat dicari dengan menggunakan data kondisi awal. Yaitu, bahwa pada saat

t



0

diketahui bahwa

y



60

, yang berarti bahwa

(4)

1 60

c



 . Selanjutnya, dengan cara yang sama, pada saat

t



1

harga

y



10

maka diperoleh

 

1

10

1

1 ₆₀

k







yang berarti bahwa 1

12

k

 

. Sehingga, dapat diperoleh jawab khusus dari PD di atas sebagai berikut:

 

1

 

1

2

60 y

t









(subtitusi untuk

k

dan

c

)

60

5

1 y

t





(jawab khusus) (2-5)

Dengan menggunakan model seperti di atas, maka saudara dapat menentukan jumlah dari spesi A yang tidak terkonversi (menjadi B) setelah reaksi berlangsung selama 2 jam, yaitu:

 

2

60

5

1 mol

y







5,45

Perhatikan gambar profil perkembangan jumlah spesi A seperti di bawah ini. Terjadinya reaksi konversi kimia sangatlah cepat pada 1 jam pertama. Kemudian, setelah sejumlah mol spesi A terkonversi, maka konversinya menjadi lebih melambat.

(5)

Contoh #3: Pemodelan suatu Campuran Bahan Kimia

Sebuah tangki berisi 150 liter larutan 10% alkohol (etanol) dalam air. Kemudian, larutan kedua yang terdiri dari 50% alkohol ditambahkan ke dalam tangki dengan laju penuangan sebesar 15 liter per menit dan dalam hal ini tangki mengalami pengadukan secara sempurna (well mixing). Secara bersamaan, tangki juga mengalami pengosongan (di bagian bawahnya)

dengan laju alir sebesar 15 liter per menit juga, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Dengan asumsi bahwa larutan diaduk secara sempurna seperti di atas, berapa banyak kah jumlah alkohol yang akan berada di dalam tangki setelah waktu 10 menit?

massa alkohol dalam tangki setiap waktu  y Solusi:

Bila kita gunakan variabel

y

sebagai jumlah (volume) alkohol dalam tangki di setiap saat

t

, sedangan

q

_in dan

q

_out masing-masing sebagai laju alir larutan (campuran) alkohol-air yang memasuki dan keluar tangki dalam liter/menit. Dengan menggunakan variabel-variabel sebagai representasi proses pengadukan dalam tangki sebagai berikut:



y

= volume (dinamik) alkohol yang berada dalam tangki 150-liter setiap saatnya



150

y = konsentrasi (dinamik) alkohol yang berada dalam tangki

 q_in 15 L/menit

 C_in  50% = konsentrasi alkohol yang memasuki tangki

 q_out  15 L/menit  out ₍₁₅₀ ₎ ₁₅₀ in out y C q q

 y _ _  = konsentrasi alkohol yang keluar tangki

Maka, dapat disusun neraca massa alkohol dalam tangki pencampuran seperti di atas sebagai berikut:

(6)

in in out out

Laju Akumulasi Alkohol Laju Alkohol Masuk

Laju Alkohol Keluar

=

q

C

q

C











atau, dalam bentuk persamaan diferensial:

Laju

akumulasi

alkohol

dikurangi dengan laju alir alkohol

yang keluar

adalah sama dengan laju alir alkohol

yang masuk

50

15

100

150 7,5

10 dy

y

dt

y











_

_









(3)

Dalam persamaan diferensial seperti di atas, jumlah alkohol yang memasuki reaktor (yang awalnya berisi larutan 50% alkohol) setiap menitnya adalah sebesar 7,5 (suatu konstanta): Dalam bentuk baku, persamaan diferensial linier yang terbentuk adalah sebagai berikut|:

1 7,5

10 y

 

y



(PD linier, dalam bentuk standar) (3-1) PD (Persamaan Diferensian) di atas merupakan persamaan diferensial linier yang bentuk umunya adalah sebagai berikut (liihat juga "Lecture Notes" yang berjudul: Chapter 2 - First

Order Differential Equations, halaman 10-11):

( )

y

 

p t y



g t

(3-2)

Jika

p t

( )

dan

g t

( )

masing-masing berupa konstanta bukan nol, maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai:



0 

y

 

a y



b a



(3-3)

Bentuk persamaan diferensial linier seperti di atas, dengan menggunakan metode faktor integrasi, langkah-langkah pencarian solusinya adalah sebagai berikut:

 ( ) 1

10

p t  a  (3-4)

 g t( )  b  7,5 (3-5)

 Nilai faktor integrasinya adalah

 

exp a t

a dt e

(7)

 Maka, bentuk solusi umum dari PD dimaksud adalah: a t a t a t b a t b a t y e e b dt e e c c e a a        _  _    



(3-7)

 Sehingga, diperoleh persamaan berikut:

 

1 10 7,5 75 1 10 t a t a t b y c e c e c e a          (3-8)

 Karena harga y  10% 150  15 pada saat awal (t  0), maka diperoleh harga

60

c  

 Maka, bentuk solusi khusus dari PD di atas adalah: 1

10

75

60

t

y





e

 _(3-9)

Menggunakan seperti di atas (Persamaan 3-9.), maka dapat dihitung jumlah (volume) alkohol di dalam tangki pada menit ke 10 (pada saat t  10) sebagai berikut:

  1 10 10

52,93 lit

75

6 er

0 y

e









(8)

Latihan di Rumah 1. _{Carilah solusi}

_{y x}

_{( )}

_{secara implisit dari PD berikut:}

2

cos ( )

1 dy

x

dx





y

2. _{Tentukan solusi eksplisit}

_{y x}

_{( )}

_{dari PD berikut:}





2

6

5

4 ,

(0)

1

2

1 dy

x

y

dx

y





 



3. _{Pada saat awal (t = 0), tangki berisi}

0

Q

kilogram NaCl yang dilarutkan dalam 100 liter air. Dengan menganggap yang mengandung 0,33 kilogram/L garam memasuki tangki pada laju alir  liter/menit. Pada saat yang sama, larutan atau campuran yang diaduk secara sempurna tersebut dikuras dari tangki dengan laju alir yang sama. (a). Hitung lah konsentrasi garam di dalam tangki setiap saat t ≥ 0!

(b). Pada saat t →∞, yaitu setelah waktu yang lama, adakah jumlah batas dari

Q

_L? 4. _{Suatu tangki mengandung 50 kilogram NaCl yang dilarutkan dalam 100 kilogram air.}

Kapasitas tangki adalah 500 liter. Sejak awal (yaitu t0), sebanyak 250 gram garam per liter dimasukkan ke dalam tangki dengan laju alir 4 kg/menit, dan diaduk secara sempurna sambil dikuras dari tangki dengan laju alir 2 litee/menit. Tentukanlah: (a) waktu

t

pada saat cairan (campuran) meluap dari tangki!

(b). Jumlah NaCl sesaat sebelum meluap! (c). Konsentrasi dari NaCl pada saat meluap!