ISSN : 2339-1553
SEPARABILITAS SUATU KLAS SANDI GRAY N-ERSIKLIK
Oleh
I Nengah Suparta, IGP. Yudi Hartawan Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Ganesha
Singaraja Bali
Email: isuparta@yahoo.com Abstrak
Suatu prosedur rekursif untuk mengkonstruksi sandi-sandi Gray N-er siklik diperkenalkan. Prosedur ini merupakan modifikasi sederhana dari prosedur yang diperkenalkan oleh Sharma dan Khanna (1978), akan tetapi dapat ditunjukkan bahwa prosedur yang diperkenalkan di sini lebih sederhana dan lebih efisien dibandingkan dengan prosedur Sharma dan Khanna. Sandi-sandi Gray yang dihasilkan oleh prosedur ini tampak merupakan perumuman paling natural dari sandi Gray biner standar. Persoalan separabilitas dari sandi-sandi Gray ini akan di pecahkan.
Kata-kata kuci: Separabilitas, sandi Gray N-er siklik Abstract
A recursive procedure for constructing cyclic N-ary Gray codes is introduced. This procedure differs only slightly from the procedure introduced by Sharma and Khanna (1978). Our procedure however, is simpler and more efficient in terms of codewords length. We obtain that Gray codes constructed using our method are the best natural generalization of the binary standard Gray codes. We solve the separability problem of the resulting codes.
Keywords: Separability, cyclic N-aryGraycode
1. Pendahuluan
Kode Gray biner ditemukan dan dipatenkan oleh Frank Gray dari Laboratorium Bell pada tahun 1953. Sandi Gray adalah suatu lis (list) dari kata-kata sandi dimana setiap dua kata sandi yang berurutan bedanya hanya pada satu posisi angka. Dalam penerapannya, sandi Gray biner dapat digunakan untuk berbagai keperluan di dunia nyata, seperti dalam konversi signal analog ke signal digital. Selain itu, sandi Gray juga dapat digunakan untuk keperluan lainnya seperti mendapatkan solusi efisien untu persoalan MenaraHanoi (Hanoi Tower), atau pada penentuan alamat memori dalam komputer.
Sandi Gray N-er dengan panjang n adalah sebuah lis (terurut) dari Nn buah string N-er berbeda dengan panjang n sehingga setiap dua kata sandi yang berurutan di lis berbeda dengan tepat hanya pada satu posisi angka. Untuk nilai basia N = 2, sandi Gray N-er disebut sandi Gray biner. Apabila diperlukan bahwa perbedaan dari dua kata sandi pada posisi tertentu tersebut adalah ±1 (mod N), maka dapat dikatakan bahwa katasandi-Kata sandi yang bertetangga tersebut dalam lis berada pada jarak Lee 1, berkaitan dengan gelanggang Zn. Pada
tulisan ini akan dikonsentrasikan diskusinya berdasarkan konsep jarak Lee ini. Selanjutnya, apabila kata sandi terakhir dan
kata sandi pertama dalam lis juga berbeda hanya pada satu posisi bit (berjarak Lee 1), maka sandi Gray disebut siklik. Jika sifat ini tidak dipenuhi sandi Gray tersebut dinamakan tidak siklik. Secara praktis maupun teoritis, sandi Gray siklik lebih menarik untuk didiskusikan.
Untuk selanjutnya lis dari semua Nn kata sandi N-er yang berbeda tersebut akan dituliskan sebagai bentuk matriks berorde Nn × n, dimana kolom-kolom matriksnya akan dinomori dari kanan ke kiri mulai dari nomor 1 sampai dengan nomor n. Lebih jauh, kata sandi ke-i dalam lis akan dituliskan dengan
gi.
Sandi Gray yang sangat terkenal yang memenuhi sifat di atas adalah sandi Gray standar atau baku yang juga dikenal dengan sebutan sandi Gray tercermin N-er (lihat misalnya Er (1984), Flores (1956), Sharma dan Khanna (1978), dan van Zanten dan Suparta (2003)).
Pada artikel ini diskusinya difokuskan pada pengkonstruksian sandi-sandi Gray siklik N-er untuk sebarang nilai radiks N. Selanjutnya akan diperkenalkan suatu metode konstruksi untuk sandi-sandi Gray dengan jenis ini. Sebelum tiba pada konstruksi tersebut, pertama-tama kita akan menelaah konstruksi dari Sharma dan Khanna (1978) yang disajikan pada bagian 2. Perlu disampaikan bahwa prosedur yang
ISSN : 2339-1553
diperkenalkan pada artikel ini merupakan modifikasi dari prosedur Sharma dan Khanna ini. Ditunjukkan bahwa prosedur yang merupakan modifikasi ini lebih efisien dibandingkan dengan prosedur Sharma dan Khanna berkaitan dengan berparameter N dan n yang sama. Prosedur yang dimaksudkan ini akan disajikan pada bagian 3.
Jarak Hamming dari dua buah kata sandi xdanyadalah banyaknya posisi bit dimana mereka berbeda, dinotasikan dengan dH(x, y). Sedangkan jarak lis dari dua kata
sandi xi dan xjdalam sandi Gray N-er dengan
panjang n, dinotasikan dengan dL(xi,xj),
didefinisikan sebagai nilai mutlak dari selisih i dan j.
Jadi,
𝑑𝐿(𝐱𝑖, 𝐱𝑗)= min{| j –i|, Nn - |j – i|}.
Dalam sandi Gray atau sandi terurut, suatu pertanyaan teoritis sekaligus praktis yang relevan adalah sebagai berikut. Jika dua kata sandi berbeda pada m posisi angka, seberapa jauhkah mereka terpisah satu sama lainnya di lis kata sandi? Lebih besar jarak lis mereka dalam suatu kode, lebih sedikit banyaknya galat angka terjadi ketika kata sandi ditransmisikan menggunakan signal analog. Lebih tepatnya, ketika indeks diberikan dalam lis dari 0 hingga𝑁𝑛− 1, dan jika dua kata sandi 𝐱
𝑖
dan 𝐱𝑗 memiliki jarak Hamming 𝑑𝐻(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) =
𝑚, dapatkah kita menemukan fungsi pembatas b yang bernilai bulat sedemikian hingga jarak lisnya memenuhi 𝑑𝐿(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) ≥ 𝑏(𝑚), untuk suatu m,1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛?Fungsi batas yang paling menarik disini adalah fungsi yang memberikan batas bawah tajam (sharp lower bound) untuk setiap nilai 𝑚, sedemikian hingga untuk setiap nilai 𝑚
terdapat paling sedikit satu pasang dari kata sandi dengan jarak lis 𝑏(𝑚). Pertanyaan mengenai bagaimana mencari fungsi yang ditentukan inilah yang disebut dengan masalah keterpisahan. Fungsi keterpisahan b dinamakan fungsi keterpisahan (separability function).
Yuen (1974) menyelesaikan masalah keterpisahan sandi Gray baku sebagai ⌈2𝑚
3⌉,
untuk kasus biner (𝑁 = 2). Penyelesaian ini dilakukan dengan memanfaatkan sistem indeks dari sandi Gray tercermin, yaitu hubungan antara kata sandi xi dan indeks
𝑖, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑛− 1 dalam lis. Dengan cara yang
sama Cavior (1575) menurunkan batas atas tajam dari lis, sandi ini sebagai2𝑛− ⌈2𝑚
3⌉,
1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛. Sedangkan lis kata-kata sandi dalam kedua artikel tersebut diinterpretasikan sebagai lis linier
(non-siklik).Sedangkan, sandi Gray baku biner ini dikenal sebagai sandi Gray siklik. Oleh karena itu, hasil dari Yuen dan Cavior tersebut dapat dikombinasikan sebagai implikasi berikut:
𝑑𝐻(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) = 𝑚 → 𝑑𝐿(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) ≥ ⌈2𝑚
3⌉.
Implikasi ini disebut sebagai sifat keterpisahan dari sandi Gray biner baku. Park dan Bose (2003) mengkonstruksi suatu klas sandi Gray dan membuktikan bahwa klas sandi tersebut mempunyai sifat keterpisahan berikut Jika 𝑑𝐻(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) = 𝑚, maka 𝑑𝐿(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) ≥ {⌈ 4 152 𝑚⌉ , jika 𝑚 ganjil ⌈7 152 𝑚⌉ , jika 𝑚 genap.
Dapat dilihat bahwa klas sandi Gray ini mempunyai kapasitas pemisahan yang lebih baik daripada sandi Gray baku untuk m genap yang lebih dari 4, akan tetapi untuk m ganjil yang lebih dari 4, kapasitas pemisahannya lebih jelek.
Selanjutnya van Zanten dan Suparta (2003) memformulasikan sifat keterpisahan sandi Gray N-er baku untuk N genap. Perhatikan bahwa sandi Gray N-er baku untuk N genap merupakan sandi Gray siklik, dan tidak siklik untuk N ganjil. Meskipun sistem indeks dari sandi ini diketahui, tetapi van Zanten dan Suparta (2003) dalam menyelesaikan masalah keterpisahan sandi Gray N-er siklik, bebas dari sistem indeks; dan merumuskan sifat keterpisahannya sebagai
𝑑𝐻(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) = 𝑚 → 𝑑𝐿(𝐱𝑖, 𝐱𝑗) ≥ ⌈𝑁𝑚
𝑁2−1⌉.
Kolom dari lis sandi Gray dengan panjang n,diurutkan dari kanan ke kiri dengan urutan 1, 2, . . . , n. Selanjutnya, seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, lis dari sandi Gray disepadankan dengan matriks, dimana baris dari matriks adalah kata-kata sandi dari lis.
2. Prosedur rekursif Sharma dan Khanna untuk Membangun Sandi Gray Siklik
Misalkan L(n, N) merupakan urutan natural dari bilangan-bilangan N-er dengan panjang n. Sharma dan Khanna (1978) memperkenalkan suatu pemetaan bijektif yang mengkonversikan kata-kata dari L(n, N) ke dalam kata-kata sandi dari suatu sandi Gray N-er dengan panjang n, yang dinotasikan dengan GN(n). Misalkan anan–
1...a2a1 merupakan sebuah kata dengan
panjang n dalam siatem bilangan N-er yang menyajikan nilai ∑𝑛 𝑎𝑖𝑁𝑖−1
𝑖=1 . Kata sandi gngn–
1...g2g1 dalam sandi Gray GN(n) yang
dibangun oleh pemetaan ini didefinisikan sebagai
ISSN : 2339-1553 gn = an, gi = ai – ai+1 (mod N), untuk i = 1, 2, ..., n – 1. (1) Sebaliknya, diperoleh an = gn, ai = gi + ai+1 (mod N), untuk i = 1, 2, ..., n – 1. (2)
Sandi yang diperoleh dengan
mengaplikasikan (1) adalah sandi siklik. Berikut ini akan dibahas suatu alternatif yang diperkenalkan oleh Sharma dan Khanna (1978) untuk membangun sandi-sandi yang sama.
Untuk selanjutnya transpos dari suatu matriks A akan dinotasikan dengan AT. Dengan mudah dapat dilihat bahwa (1) menghasilkan GN(1) = (0 1 ... N–1) T . Misalkan GN(1) [i]
= (N–i N–i+1 ... N–i–1)T (3) diperoleh dengan cara menggeser secara siklik entri-entri dari GN(1) sejauh i tempat ke
kanan. Catat bahwa GN(n)[0] = GN(n) = (0 1 ...
N – 1)T. Kemudian GN(2) dibangun sebagai
berikut GN(2) = ( 0 1 𝐺𝑁(1)[0] 𝐺𝑁(1)[1] ⋮ 𝑁 − 1 ⋮ 𝐺𝑁(1)[𝑁−1]) . (4)
Untuk memperluas prosedur ini dalam rangka mendapatkan bentuk umum GN(n),
notasi-notasi berikut diperlukan. Definisikan
GN(n) [0] = GN(n) = ( g0(𝑛) g1(𝑛) ⋮ g𝑁𝑛−1(𝑛) ) ,(5)
dimana gi(n) adalah kata sandi ke-i dari sandi
Gray GN(n) dengan panjang n, sedangkan
g0(n) kata sandi nol dengan panjang n, dan
GN(n)[k] = ( g0(𝑛: 𝑘) g1(𝑛: 𝑘) ⋮ g𝑁𝑛−1(𝑛: 𝑘) ) .(6) Di sini dipergunakan gi(n:k) = gi(n) + kg𝑁𝑛−1(𝑛) (mod N), (7)
dimana hasil kali dari suatu kata sandi dengan bilangan bulat k ≤ N – 1, merupakan perkalian komponen per komponen dari elemen-elemen ZN = {0, 1, ..., N –1}, yaitu suatu himpunan bilangan bulat modulo N. Berhubungan dengan notasi ini GN(n+1)
dibangun dengan cara seperti berikut.
GN(n+1) = ( 0 1 𝐺𝑁(𝑛)[0] 𝐺𝑁(𝑛)[1] ⋮ 𝑁 − 1 ⋮ 𝐺𝑁(𝑛)[𝑁−1]) . (8)
Sharma dan Khanna (1978) menekankan bahwa GN(n)
[k]
, sebagaimana didefinisikan pada (6) dan (7), adalah identik dengan pergeseran siklis sejauh k komponen ketika n = 1. Secara umum, jika n = l(l > 0), GN(l)
mempunyai N blok yang masing-masing mempunyai panjang Nl–1.GN(l)
[k]
adalah sebuah penyusunan (arrangement) yang diperoleh melalui penggeseran secara siklis blok-blok sejauh k posisi blok, dan secara simultan melakukan k pergeseran siklis di dalam setiap blok. Dengan memperhatikan catatan ini, dapat diamati bahwa untuk membanguna sebuah sandi dengan panjang n + 1, prosedur ini menerapkan N(Nn– 1)(N – 1) pergeseran siklis pada blok-blok di dalam sandi dengan panjang n tersebut. Banyaknya pergeseran bertambah secara eksponensial sebagai fungsi dari n.
3. Suatu Prosedur Efisien untuk Membangaun GN(n)
Mari dilakukan pengamatan yang lebih dalam pada relasi (7). Perhatikan bahwa
g𝑁𝑛−1(𝑛: 𝑁 − 1) = g𝑁𝑛−1(𝑛) + (N –
1)g𝑁𝑛−1(𝑛) = 0 (mod N),
untuk setiap n ≥ 1. Itu berarti, kata sandi terakhir dari GN(n)
[N – 1]
adalah kata sandi nol dengan panjang n. Ini berakibat bahwa kata sandi terakhir dari GN(n + 1), sebagaimana
didefinisikan pada (8), merupakan kata sandi dengan nol-nol pada n posisi pertama dari kanan, dan N – 1 dalam posisi ke (n + 1). Berdasarkan fakta ini, perhitungan pada (7) tidak akan mempengaruhi n kolom pertama dari GN(n+1) ketika menghitung GN(n+1)
[k] untuk semua k, 0 ≤ k ≤ N – 1. Apa yang sejatinya terjadi pada (7) hanyalah penjumlahan dari bilangan k(N – 1) ≡ N – k (mod N) pada setip angka dalam kolom terakhir dari GN(n) ketika membangun
GN(n) [k] . Misalkan GN(n) k = GN(n) + Uk (mod N), (9)
dimana Uk adalah matriks N n
× n yang setiap barisnya sama dengan (N–1 0 0...0), N – 1 ≥ k ≥ 0. Jadi, GN(n) [k] sesungguhnya sama dengan GN(n) k , untuk N–1 ≥ k ≥ 0.
Lebih jauh, misalkan p merupakan permutasi siklik (0, n–1, ..., 1), dan misalkan piG adalah
sandi yang diperoleh melalui penerapan permutasi p pada kolom ke-i dari sandi G, sedangkan pk berarti melakukan k kali permutasi p. Dengan mudah dapat dilihat bahwa GN(n)
k
= 𝑝𝑛𝑘GN(n). Oleh karena itu,
GN(n) k
dapat dipandang sebagai hasil kombinasi dari sebuah matriks penjumlahan dan sebuah permutasi siklik. Berdasarkan
ISSN : 2339-1553
pada pengamatan ini diperkenalkan suatu prosedur yang sedikit berbeda untuk
mendapatkan sandi yang sama
sebagaimana dalam (8). Prosedur yang dimaksud didefinisikan sebagai berikut.
GN(n+1) = ( 0 1 𝐺𝑁(𝑛)0 𝐺𝑁(𝑛)1 ⋮ 𝑁 − 1 ⋮ 𝐺𝑁(𝑛)𝑁−1 ), (10) dengan GN(1) 0 = GN(1) = (0 1 ... N – 1) T . Untuk menghasilkan sandi dengan panjang n+1, metode di atas hanya menerapkan N – 1 permutasi siklik p = (0, n – 1, ..., 1) pada kolom ke-n dari sandi dengan panjang n sebelumnya. Perhatikan bahwa kata sandi terakhir dari GN(n)k sama dengan kata sandi
pertama dari GN(n)
k+1, 0 ≤
k ≤ N – 1. Karena GN(n)
k
sebuah sandi Gray untuk setiap k, 0 ≤ k≤ N – 1, GN(n+1) adalah suatu sandi Gray
juga. Lebih jauh, tampak jelas bahwa kata sandi pertama dari GN(n)
0
dan kata sandi terakhir dari GN(n)
N – 1
adalah semuanya kata sandi nol. Oleh karena itu, kata sandi terakhir dan pertama dari GN(n+1) berjarak Lee 1.
Jadi dapat disimpulkan bahwa sandi GN(n+1)
adalah suatu sandi siklik.
Contoh. Misalkan G3(1)0 = (0 1 2)T, G3(1)1 = (2 0 1)T, dan G3(1)2 = (1 2 0)T. Selanjutnya diperoleh G3(2)0 = (000111222 012201120) 𝑇 , G3(2)1 = (222000111 012201120) 𝑇 , G3(2)2 = (111222000 012201120) 𝑇 , danG3(3)T= ( 000000000111111111222222222 000111222222000111111222000 012201120012201120012201120 ) 𝑇 .
4. Ekuivalensi Sandi Terurut
Misalkan 𝑉𝑛,𝑁 menotasikan sebagai
himpunan semua sandi Gray N-er siklik dengan perubahan minimal. Misalkan juga G adalah sebuah sandi dalam 𝑉𝑛,𝑁. Diperkenalkan sejumlah trasformasi yang memetakan G ke elemen lain pada 𝑉𝑛,𝑁 : (i) Jika a adalah permutasi dari bilangan
bulat 1, 2, … , 𝑛, maka aG adalah sandi dengan panjang n yang diperoleh dengan mempermutasikan kolom berdasarkan a
(ii) Jika b adalah permutasi siklik
(0, 1, 2, … , 𝑁 − 1), maka 𝑏𝑖𝐺 adalah sandi dengan panjang n yang diperolehdengan cara melakukan permutasi bilangan bulat dari kolom ke i berdasarkan b, untuk 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑛}
(iii) Jika c sama dengan permutasi (0, 𝑁 − 1)(1, 𝑁 − 2) … (𝑁−2
2 , 𝑁
2), untuk N genap,
atau sama dengan permutasi(0, 𝑁 − 1)(1, 𝑁 − 2) … (𝑁−3
2 , 𝑁+1
2 ) untuk N ganjil,
dan 𝑁 ≥ 2, maka 𝑐𝑖𝐺 adalah sandi dengan panjang n, yang diperoleh dengan melakukan permutasi bilangan bulat dari kolom ke-i berdasarkan c, untuk 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑛}.
Definisi Duaatau lebih sandi Gray dengan perubahan minimum yang dapat ditransformasikan satu dengan lainnya, dengan menggunakan satu atau lebih transformasi (i), (ii), atau (iii) disebut ekuivalen.
Relevansi dari definisi ini akan tampak ketika mendiskusikan sifat dari keterpisahan sandi-sandi Gray yang ekuivalen.
5. Kontraksi sandi Terurut
Misalkan G sembarang sandi dalam
𝑉𝑛,𝑁. Ambil string dengan panjang k𝒂 ≔ 𝑎1𝑎2… 𝑎𝑘∈ {0, 1, … , 𝑁 − 1}𝑘, dan 𝒊 ≔
𝑖1𝑖2… 𝑖𝑘, dengan 𝑖 ≤ 𝑖1< 𝑖2< ⋯ < 𝑖𝑘≤ 𝑛,
untuk nilai k yang sama, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. String a disebut pola bit dan i sebagai vektor posisi. Sekarang kita perhatikan bahwa sublis dari G terdiri dari semua kata sandi yang mempunyai 𝑎𝑗 pada posisi 𝑖𝑗, untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘. Dengan mengeliminasi bit a dari kata kode-kata sandi ini menghasilkan sandi terurut dari kata-kata sandi dengan panjang
𝑛 − 𝑘. Kita sebut sandi ini sebagai kontraksi G oleh pasangan (a,i), dan kita tulis G(a,i). Teorema1
Misalkan 𝐺𝑁(𝑛) adalah sandi Gray N-er dengan panjang 𝑛 > 1. Maka untuk sebarang pasangan (a,i), kontraksi𝐺𝑁(𝑛; 𝐚, 𝐢)
adalah sandi Gray yang ekuivalen dengan sandi Gray 𝐺𝑁(𝑛 − 𝑘) dengan panjang 𝑛 − 𝑘. Bukti dari teorema ini segera dapat dipahami dari prosedur kontraksi.
6. Fungsi Keterpisahan Sandi GN(n)
Perhatikan bahwa dengan menerapkan transformasi (i), (ii), atau (iii) pada G akan mengawetkan jarak Hamming dan juga jarak lis dalam G. Hal ini berakibat bahwa transformasi-transformasi ini mengawetkan sifat keterpisahan dari G. Jadi, diperoleh Proposisi berikut.
Proposisi 2
Sandi-sandi yang equivalen memenuhi sifat keterpisahan yang sama.
ISSN : 2339-1553 Teorema3 (Separabilitas Sandi Gray Siklik)
Misalkan GN(n)adalah sandi Gray
N-er dengan panjang n yang dibangun menggunakan (10). Jika jarak Hamming antara dua buah kata sandi g dan h
memenuhi 𝑑𝐻(g, h)= 𝑚, maka jarak lis antara dua buah kata sandi g dan h
memenuhi 𝑑𝐿(g, h) ≥ ⌈ 𝑁
𝑚
𝑁2−1⌉. Selanjutnya,
batas bawah adalah tajam untuk setiap nilai m dengan 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛.
Bukti. Perhatikan kembali sandi GN(n)
sebagaimana yang dihasilkan oleh (10). Bukti lengkap dari teorema ini akan dilakukan dalam dua tahap.
a. Misalkan m = n dan kata-kata sandi g dan h dalam GN(n) mempunyai jarak
Hamming m = n. Misalkan juga g = gng
n-1v dan h = hnhn-1w, dimana v dan w masing-masing adalah elemen dari GN(n
– 2)l dan GN(n – 2) l’
untuk suatu l dan l’, dengan 0 ≤ l, l’ ≤ N – 1. Agar gn ≠ hn dan
gn-1 ≠ hn-1, masing-masing kata sandi
yang berawal dengan gngn-1dan hnhn-1
terpisah oleh paling sedikit satu blok yang mempunyai jenis GN(n – 2)
l
dengan ukuran panjang lis Nn – 2. Misalkan v = v
n-2vn-3x dan w = wn-2wn-3y dengan x dan y masing-masing dalam GN(n – 4)
s
dan GN(n – 2)
s’
untuk suatu s dan s’, 0 ≤ s, s’ ≤ N – 1. Dengan menggunakan argumen yang serupa seperti sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa jika vn-2 ≠ wn-2 dan v
n-3 ≠ wn-3, kata-kata sandi dalam GN(n –
2)lyang masing-masingberawal dengan
vn-2vn-3 dan wn-2wn-3 terpisah oleh paling
sedikit satu blok berjenis GN(n – 4) s
dengn ukuran panjang lis Nn-4. Melanjutkan argumen dengan cara seperti ini dapat disimpilkan bahwa kata-kata sandi g dan h yang berjarak Hamming m = n, pasti terpisah paling sedikit oleh sebarisan blok yang beukuran Nn-2, Nn-3, ..., N (atau 1) jika n ganjil (atau genap). Itu berarti jarak lis dari g dan h paling sedikit sama dengan Nn-2 + Nn-3 + ... + Nε + 1, dengan ε = 1 atau 0, yang sama dengan ⌈ 𝑁𝑚
𝑁2−1⌉.
b. Sekarang asumsikan m<n. Misalkan g dan h berbeda pada m posisi. Jadi, g dan h mempunyai angka sekutu sebanyak k = n – m, yang ditunjukkan oleh vektor posisi i = i1i2...ik. Nilai yang
bersesuaian dengan dengan koordinat-koordinatnya akan diberikan oleh a = a1a2...ak. Perhatikan kontraksi GN(n; a, i).
Misalkan v dan w merupakan kata-kata sandi pada kontraksi ini yang
masing-masing bersesuaian dengan kata-kata sandi g dan h. Itu berarti diperoleh dH(v,
w) = m. Karena GN(n; a, i) ekuivalen
dengan GN(m), berdasarkan Proposisi 2
dan bagian a dari bukti ini, dapat disimpulkan bahwa jarak lis dari v dan w memenuhi dL(v, w) ≥ ⌈
𝑁𝑚
𝑁2−1⌉ dalam sandi
kontraksi. Oleh karena itu, dalam GN(m)
diperoleh juga dL(g, h) ≥ ⌈ 𝑁𝑚 𝑁2−1⌉. □
Dari bukti bagian a dapat dengan mudah diamati bahwa untuk m = n, batas bawah tersebut adalah tajam (sharp). Sedangkan untuk n>m, sifat ketajaman batas ini dapat ditunjukkan menggunakan induksi pada n. 7. Simpulan
Terdapat suatu prosedur rekursif yang relatif sederhana untuk membangun sandi Gray N-er siklik, sebagaimana disajikan oleh aturan (10).Fungsi keterpisahan dari sandi Gray N -erGN(n) yang diproduksi oleh (10),
sebagaimana dibuktikan pada Teorema 3, adalah 𝑑𝐿(g, h) ≥ ⌈𝑁𝑚
𝑁2−1⌉untuk sebarang
radiksN dan jarak Hamming m.
Daftar Pustaka
Cavior, S.R. (1975).An upper bound associated with errors in Gray code, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-21, p. 596,
Er, M.C. (1984). On generating the N-er Reflected Gray codes, IEEE Trans. Computers, 33, pp. 739-741.
Flores, I. (1956).Reflected number system, IRE Trans. Electron Comput., 5, pp. 79-82. Park, J.P. dan Bose, B. (2003).Separability of
binary Gray codes designed over Z4,
IEEE International Symposium of Inform. Theory, 29 Juji-4 Juli.
Pless, V.S. and Huffman, W.C. eds., (1998). “Handbook of coding theory”, Elsevier, Amsterdam.
Sharma, B.D. dan Khanna, K.N. (1978). On m-er Gray codes, Information Sciences, 15, pp. 31-43.
Suparta, I N. dan van Zanten, A.J. (2002). On the list distance in cyclic N-er Gray codes,
Rept. CS 02-01, Institute for Knowledge and Agent Technology, Universiteit Maastricht.
Yuen, C.K. (1974)The separability of Gray codes,
IEEE Trans. Inform. Theory, 20, p. 668. van Zanten, A.J. dan Suparta, I N. (2003).The
separability of standard cyclic N-er Gray codes, IEEE Trans. On Inform. Theory,
