Defleksi balok-balok yang dibebani secara lateral

Defleksi balok-balok yang dibebani secara lateral

Obtaiend from : Strength of Materials Part I : Elementary Theory and Problems by S. Timoshenko, D. Van Nostrand Complany Inc., 1955

1. Persamaan diferensial kurva defleksi

Pada desain balok, ahli teknik umumnya tidak hanya tertarik pada tegangan-tegangan yang dihasilkan oleh aksi gaya-gaya tetapi juga pada defleksi-defleksi yang dihasilkan oleh beban-beban tersebut. Pada kebanyakan kasus, perlu dilakukan pembatasan defleksi maksimum yang terjadi agar tidak melebihi nilai- nilai tertentu pada setiap bagian dari bentangan balok.

Gambar 1. ilustrasi defleksi balok

Perhatikan kurva AmB pada Gambar 1 di atas yang menyatakan bentuk sumbu balok setelah melentur.

Lenturan terjadi pada bidang simetri akibat dari gaya-gaya transversal yang bekerja pada bidang tersebut.

Kurva tersebut dinamakan dengan kurva defleksi. Untuk mendapatkan persamaan diferensial kurva tersebut, diletakkan sumbu koordinat seperti terlihat pada gambar dan mengasumsikan kelengkungan kurva defleksi pada setiap titik tergantung semata-mata hanya pada besarnya momen lentur M pada titik tersebut. Pada kasus tersebut hubungan antara kelengkungan dan momen lentur sama dengan kasus pada lentur murni, sehingga diperoleh :

1 M

r = EI … (a)

Untuk mendapatkan sebuah pernyataan tentang hubungan antara kelengkungan dengan bentuk kurva, perhatikan dua buah titik yang saling bersebelahan, m dan m1, yang dipisahkan oleh jarak sejauh ds pada kurva defleksi. Bila sudut dimana tangen di m terhadap sumbu x dinotasikan dengan θ, sudut antara garis tegaklurus terhadap kelengkungan pada m dan m1 adalah dθ. Titik perpotongan O pada garis tegaklurus ini memberikan sebuah pusat kelengkungan dan menyatakan panjang r, jari-jari kelengkungan. Maka

.

ds = r d θ

dan 1 d r ds

=

θ

… (b)

Dua buah garis tegak mengindikasikan nilai-nilai absolut, dimana maknanya hanya nilai-nilai numeris kelengkungan saja yang akan diperhatikan. Berkaitan dengan tanda, perlu dicatat bahwa momen lentur memiliki nilai positif pada persamaan (a) bila kelengkungannya menghasilkan cekungan yang mengarah ke atas. Dengan demikian, kelengkungannya bernilai positif bila pusat kelengkungannya di atas kurva seperti terlihat pada Gambar 1. Namun sangatlah mudah terlihat untuk kelengkungan seperti itu, sudut θ berkurang saat titik m bergerak sepanjang kurva dari A ke B. Dengan demikian, untuk setiap kenaikan positif ds bersesuaian dengan nilai dθ yang negatif. Sehingga agar mendapatkan tanda yang sesuai, maka persamaan (b) harus ditulis dalam bentuk sebagai berikut :

1 d

r ds

= −

θ

… (c)

Pada aplikasi-aplikasi praktis defleksi yang diperbolehkan terjadi pada balok sangatlah kecil dan kurva defleksinya sangat datar. Pada kasus demikian dapat diasumsikan dengan akurasi yang cukup bahwa :

ds ≈ dx

dan tan dy

θ

≈

θ

=dx … (d) Mensubstitusikan nilai-nilai perkiraan ds dan θ pada persamaan (c) diperoleh

2 2

1 d y

r = − dx

… (e) Persamaan (a) dengan demikian menjadi :

2

2

EI d y M

dx = −

… (1)

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial kurva defleksi dan harus diintegrasikan dalam setiap kasus tertentu untuk mendapatkan defleksi balok. Perlu dicatat bahwa tanda pada persamaan (1) tergantung pada arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, bila dianggap sumbu y positif ke arah atas, maka kita perlu untuk menempatkan:

dy

θ

≈ −dx

Pada persamaan (d), dan memperoleh tanda positif pada suku kanan persamaan (1).

Pada kasus batang-batang yang sangat langsing, dimana defleksi yang terjadi mungkin sangat besar, maka tidak diperbolehkan untuk menggunakan persamaan penyederhanaan (d), dan harus ditelusur pernyataan yang sebenarnya :

arctan dy

θ

= ^dx^

  Sehingga :

2

2 2 32

arctan 1

1

dy d y

d d dx dx dx

r ds dx ds

dy dx θ ^{ } _ ^{ } _

= − = − = −

 +   

     

 

 

… (f)

Membandingkan hasil ini dengan persamaan (e), dapat disimpulkan bahwa penyederhanaan yang diperlihatkan pada persamaan (d) ekivalen untuk mengasumsikan

dy 2

dx

 

 

  pada penyebut di persamaan (f) kecil nilainya dibandingkan dengan keseluruhannya dan dengan demikian dapat diabaikan. Dengan mendiferensiasikan persamaan (1) terhadap x, maka diperoleh :

3

3

EI d y V dx = −

Dan

4 4

EI d y q

dx =

… (2)

Persamaan yang terakhir di atas seringkali digunakan untuk defleksi balok-balok yang mendapatkan beban terbagi meratas.

2. Lentur balok yang dibebani secara merata

Gambar 2. Balok ditumpu sederhana dan dibebani merata

Pada kasus balok yang ditumpu sederhana dan dibebani secara merata (Gambar 2), momen lentur pada suatu penampang mn, pada jarak x dari tumpuan kiri adalah :

2

2 2

qlx qx

M = −

Dan persamaan diferensial (1) menjadi :

2 2

2

2 2

d y qlx qx EI dx = − +

Kedua suku kiri dan kanan dikalikan dengan dx dan dilakukan integrasi terhadap kedua suku sehingga menghasilkan :

2 3

4 6

dy qlx qx

EI C

dx = − + +

… (a)

Dimana C merupakan konstanta integrasi yang harus disesuaikan untuk memenuhi kondisi pada masalah ini. Pada tahap ini, kita mencatat bahwa sebagai hasil kesimetrisan kemiringan pada tengah bentangan adalah nol. Dengan mengatur dy/dx = 0 saat x = l/2, diperoleh :

3

24 C = ql

Dan persamaan (a) menjadi :

2 3 3

4 6 24

dy qlx qx ql

EI dx = − + +

… (b)

Integrasi kedua memberikan :

3 4 3

12 24 24

1

qlx qx ql x

EIy = − + + + C

… (c)

Konstanta integrasi yang baru, C1, ditentukan dari konodisi bahwa defleksi pada tumpuan adalah nol.

Dengan cara mensubstitusikan nilai y = 0 dan x = 0 ke dalam persamaan (c), diperoleh nilai C1 = 0.

Persamaan (c) dengan demikian menjadi :

(

^{3 2 3 4}

)

24

y q l x lx x

= EI − + … (3)

Persamaan tersebut merupakan persamaan kurva defleksi balok yang ditumpu sederhana dan dibebani secara merata. Defleksi maksimum untuk balok jenis ini berada di tengah bentangan. Mensubstitusikan nilai x = l/2 pada persamaan (3) diperoleh :

4 max

5 384 y ql

= EI

… (4)

Sudut kemiringan maksimum terdapat pada ujung kiri balok. Dengan mensubstitusikan nilai x=0 pada persamaan (b) diperoleh :

3

max

24

dy ql

dx EI

  =

 

 

^{… (5)}

Pada kasus balok kantilever yang dibebani secara merata, momen lentur pada potongan melintang mn pada jarak x dari tumpuan kirinya adalah:

2

2

M = − qx

Gambar 3. Balok kantilever yang dibebani merata

Dan persamaan (1) menjadi :

2 2

2

2

d y qx EI dx =

Integrasi pertama menghasilkan :

3

6 dy qx

EI C

dx = +

… (d)

Konstanta integrasi diperoleh dari kondisi bahwa kemiringan pada tumpuan jepitnya adalah nol, sehingga dy/dx = 0 untuk x = l. mensubstitusikan nilai ini pada persamaan (d) diperoleh :

3

6 C = − ql

Integrasi kedua menghasilkan :

4 3

24 6

1

qx ql x

EIy = − + C

… (e)

Konstanta C1 diperoleh dari kondisi bahwa defleksi akan menghilang pada ujung jepit. Dengan demikian, mensubstitusikan x = l, y = 0 pada persamaan (e) diperoleh :

4

1

8

C = ql

Mensubstitusikan nilai tersebut pada persamaan (e), diperoleh :

(

^{4 4 3 3 4}

)

24

y q x l x l

= EI − + … (6)

Persamaan tersebut di atas mendefinisikan kurva defleksi balok kantilever yang dibebani secara merata.

Bila tumpuan jepitnya berada di sisi kanan, maka kurva defleksinya diperoleh dengan mensubstitusikan l-x (bukan x) ke dalam persamaan (6). Dengan cara ini akan diperoleh :

(

^{4 4 3 6 2 2}

)

24

y q x lx l x

= EI − + … (7)

3. Defleksi balok ditumpu sederhana dengan beban terpusat

Gambar 4. Balok yang dibebani beban terpusat

Pada kasus ini, terdapat dua pernyataan berbeda yang berhubungan dengan momen lentur. Hal ini berhubungan dengan dua bagian dari balok yang dibebani secara merata. Sehingga, persamaan (1) tentang kurva defleksi harus ditulis untuk setiap bagian. Dengan cara ini diperoleh:

2 2

d y Pb

EI x x a

dx = − l → ≤

Dan

( )

2

2

d y Pb

EI x P x a x a

dx = − l + − → ≥

Dengan mengintegrasikan persamaan tersebut diperoleh :

2

2 dy Pbx

EI C x a

dx = − l + → ≤

Dan

( )

²

2

2 2

1

P x a dy Pbx

EI C x a

dx l

= − + − + → ≥

Oleh karena untuk kedua persamaan kurva defleksi tersebut harus memiliki sebuah tangen pada titik bekerjanya gaya P, pernyataan (a) di atas untuk kemiringan kurva harus sama untuk x = a. berdasarkan hal ini dapat disimpulkan bahwa konstanta integrasi bernilai sama,, yakni C = C1. Dengan nilai tersebut dilakukan integrasi kedua dan mensubstitusikan nilai C untuk C1, diperoleh :

3

6

2

EIy Pbx Cx C x a

= − l + + → ≤

Dan

( )

³

3

6 6

3

P x a

EIy Pbx Cx C x a

l

= − + − + + → ≥

(a)

(b)

Oleh karena kedua persamaan kurva defleksi tersebut memiliki defleksi yang sama di titik bekerjanya gaya, kedua pernyataan di (b) harus sama untuk x = a. Berdasarkan hal ini dapat diketahui bahwa C2 = C3. Akhirnya kita hanya perlu untuk menentukan dua buah konstanta C dan C2, dimana untuk menentukannya kita memiliki dua buah kondisi, sebut saja defleksi pada setiap tumpuan pada balok bernilai nol.

Mensubstitusikan x = 0 dan y = 0 pada pernyataan pertama persamaan (b), diperoleh : C2 = C3 = 0 … (c)

Mensubstitusikan y = 0 dan x = l pada pernyataan kedua persamaan (b) diperoleh :

(

^{2 2}

)

3

6 6 6

Pb l b Pbl Pb

C l l

= − = −

… (d)

Mensubstitusikan nilai konstanta di persamaan (c) dan (d) ke dalam persamaan (b), untuk kurva defleksi diperoleh :

(

^{2 2 2}

)

6

EIy Pbx l b x x a

= l − − → ≤ … (8)

Dan

(

^{2 2 2}

) ^{( )}

³

6 6

P x a

EIy Pbx l b x x a

l

= − − + − → ≥

… (9)

Persamaan pertama menyatakan defleksi balok pada bagian kiri beban dan persamaan kedua menyatakan defleksi balok pada bagian kanan beban. Mensubstitusikan nilai-nilai (d) ke dalam persamaan (a) diperoleh:

(

^{2 2 3 2}

)

6 dy Pb

EI l b x x a

dx = l − − → ≤

Dan

(

^{2 2}

³

²

) ^{( )}

²

6 2

P x a dy Pb

EI l b x x a

dx l

= − − + − → ≥

Berdasarkan kedua persamaan tersebut, sudut kemiringan pada setiap titik kurva defleksi dapat dihitung dengan mudah. Seringkali diperlukan nilai sudut kemiringan pada ujung balok. Dengan mensubstitusikan nilai x = 0 pada persamaan pertama (e), x = l, dan menyatakan sudut kemiringan pada ujung-ujung yang bersangkutan dengan notasi θ1 dan θ2, diperoleh :

( )

( )

2 2

1

0

2

6

6

x

x l

Pb l b dy

dx lEI

Pab l a dy

dx lEI

θ θ

=

=

  −

=  =

 

  +

=  = −

Defleksi maksimum muncul pada titik dimana tangen kurva defleksi berupa garis horisontal. Bila a > b, maka defleksi maksimum diperoleh pada bagian kiri balok. Kita dapat memperoleh posisi titik tersebut dengan menyamakan pernyataan pertama persamaan (e) dengan nol untuk mendapatkan :

2 2 2

3 0

l −b − x =

(e)

(10)

(11)

Dimana

2 2

3 l b

x −

= … (f)

Nilai tersebut di atas merupakan jarak dari tumpuan kiri sampai ke titik defleksi maksimum. Untuk mencari defleksi maksimumnya, pernyataan (f) disubstitusikan ke persamaan (8) yang memberikan:

(

^{2 2}

)

³²

max

9 3

Pb l b y

lEI

= −

… (g)

Bila beban P bekerja di tengah bentangan, maka defleksi maksimumnya berada pada tengah bentangan pula.

Nilai defleksinya diperoleh dengan mensubstitusikan b = l/2 pada persamaan (g) yang memberikan :

( )

^{/ 2 3}

x l

48

a b

y Pl

=

EI

=

=

… (12)

Dari persamaan (f) dapat disimpulkan bahwa pada kasus satu beban terkonsentrasi, posisi defleksi maksimum selalu berada dekat dengan tengah bentangan. Saat b = l/2 maka ia berada di tengah bentangan;

pada kasus terbatas, saat b sangat kecil dan P berada dekat dengan tumpuan, jarak x seperti yang diberikan pada persamaan (f) adalah

3

l

, dan titik defleksi maksimumnya berada pada jarak :

0, 077 3 2

l l

− = l

Dari tengah bentangan. Akibat fakta ini defleksi pada tengah kira-kira sangat dekat dengan defleksi maksimumnya. Untuk memperoleh defleksi pada tengah bentangan, kita substitusikan x = l/2 dalam persamaan (8) yang memberikan :

( )

^{/ 2}

(

^{3 2 4 2}

)

x l 48

a b

y = Pb l b

> = − … (13)

Perbedaan defleksi (g) dan (13) pada kebanyakan kasus dimana b mendekati nol, hanya sekitar 2,5% dari defleksi maksimumnya.

4. Penentuan defleksi menggunakan diagram momen lentur Pada artikel sebelumnya dijelaskan tentang proses memperoleh kurva defleksi balok dengan metode integrasi ganda menggunakan persamaan (1). Pada kebanyakan kasus, terutama saat kita memerlukan defleksi pada titik-titik yang telah ditentukan daripada persamaan umum kurva defleksi, perhitungannya dapat lebih disederhanakan menggunakan

diagram momen lentur. Gambar 5. Kurva defleksi dengan

diagram momen lentur

Pada Gambar 5 di samping, AB menyatakan bagian dari kurva defleksi balok dan a1b1 merupakan bagian dari diagram momen lentur yang bersesuaian. Dua buah potongan penampang balok yang bersebelahan dipisahkan pada jarak ds setelah melentur akan berpotongan pada sudut dθ, dan diperoleh :

1 M

d ds ds

r EI

θ

= =

Untuk balok-balok yang digunakan sebagai elemen struktur, kelengkungannya sangatlah kecil dan kita dapat menggunakan dx untuk menggantikan ds. Maka diperoleh :

d M dx

θ

= EI … (a)

Interpretasi secara grafis, hal ini berarti bahwa sudut elemental dθ antara dua jari-jari yang berturut-turut atau tangen-tangen yang berturut-turut terhadap kurva defleksi sama dengan luasan elemental terarsir Mdx dari diagram momen lentur, dibagi dengan kekakuan lenturnya. Hal ini sesuai untuk setiap elemen, sudut θ antara tangen-tangen di A dan B akan diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen tersebut seperti diberikan pada persamaan (a). Dengan demikian:

B

1

A

EI Mdx

θ = ∫

^{… (14)}

Yakni, sudut antara tangen-tangen pada dua titik A dan B dari kurva defleksi sama dengan luasan diagram momen lentur di antara garis-garis vertikal yang bersesuaian, dibagi dengan kekakuan lentur balok.

Sekarang mari perhatikan jarak titik B di kurva defleksi dari tangen AB’ pada titik A. Kembali dinyatakan bahwa kurva defleksinya merupakan kurva yang rata, jarak tersebut di atas dapat diukur sepanjang garis vertikal BB’. Kontribusi yang diberikan terhadap jarak ini terhadap lenturan elemen balok mn dan dimasukkan di antara dua tangen-tangen yang berturut-turut pada m dan n adalah sama dengan:

xd xMdx

θ

= EI

Diinterpretasikan secara grafis, hal ini merupakan momen luasan terarsir Mdx sehubungan dengan garis vertikal melewati B, dibagi dengan EI. Integrasinya memberikan defleksi total BB’:

' 1

B

A

BB xMdx

δ EI

= = ∫

^{… (15)}

Yakni jarak B dari tangen pada titik A sama dengan momen yang berhubungan dengan garis vertikal yang melewati B dari luasan diagram momen lentur antara A dan B, dibagi dengan kekakuan lentur EI.

Menggunakan persamaan (14) dan (15) garis kemiringan kurva defleksi dan besarnya defleksi pada setiap potongan penampang balok dengan mudah dapat dihitung dalam setiap kasus tertentu. Kita hitung pertama- tama nilai-nilai absolut θ dan δ. Kemudian dengan mengambil arah-arah koordinat positif, kita perhatikan rotasi sebuah tangen terhadap kurva defleksi bernilai positif apabila rotasi tersebut berarah searah jarum jam, dan defleksi balok bernilai positif bila defleksi mengarah ke sumbu y positif. Metode menghitung defleksi dengan cara ini dinamakan dengan metode luasan momen (area-moment method).

Perhitungan integrasi pada persamaan (14) dan (15) sering dapat disederhanakan menggunakan formula- formula yang telah diketahui yang berhubungan dengan luasan dan pusat berat. Beberapa formula-formula yang sering digunakan dalam aplikasi diberikan dalam gambar berikut ini :

l

h

c

1/3 (l+c)

Triangle, area ½(l)(h)

l

3/8l

h

Parabola, area 2/3 (l)(h)

h

l

¼ l

Parabola, area 1/3 (l)(h)

l

1/3 l

Cubic parabola, area ¼ (l)(h)

h

Gambar 6. Beberapa formula dasar luasan momen

5. Defleksi balok kantilever dengan metode luasan momen

Pada kasus sebuah balok kantilever yang diberi beban terpusat pada ujung bebasnya, diagram momen lentur digambarkan seperti pada Gambar 7.

Oleh karena tangen pada ujung A terjepit sempurna, jarak titik-titik kurva defleksi dari tangen ini merupakan defleksi aktualnya.

Sudut θb yang merupakan suatu tangen kurva defleksi di titik B terhadap tangen di titik A adalah :

1

2

2 2

b

l Pl

Pl EI EI

θ = × × =

… (16)

Defleksi δ dihitung berdasarkan persamaan (15) sebagai momen dari luasan aba1 terhadap sumbu bb1 dibagi dengan EI. Diperoleh :

Gambar 7. Kurva defleksi balok kantilever dengan beban terpusat