Teori Himpunan. Matematika Dasar untuk Teori Bahasa Otomata. Operasi pada Himpunan. Himpunan Tanpa Elemen. Notasi. Powerset & Cartesian Product

(1)

TEORI BAHASA & OTOMATA

Shofwatul ‘Uyun, M.Kom

Matematika Dasar untuk

Teori Bahasa Otomata

Teori Bahasa & Otomata

Semester Ganjil 2009/2010

Teori Himpunan

• Himpunan adalah sekumpulan entitas

– tidak memiliki struktur – sifatnya hanya keanggotaan

• Notasi keanggotaan

– x S – x  S

• Menspesifikasikan himpunan

• S = {0, 2, 4, 6,…} • S = {x: x  0, x genap}

Operasi pada Himpunan

• Union (



)

• Intersection (



)

• Difference (

-

)

• Complementation (

S

)

– S = { x : x U, x  S }

Himpunan

Tanpa

Elemen

• disebut Himpunan Kosong

• Notasi:



• Apakah hal berikut membingungkan?

S   = S -  = S S   = 

 = U

S = S

Notasi

• Himpunan Kosong (



)

• Subset (



) & proper subset (



)

• Disjoint  S

1



S

2

=



• Himpunan finit(hingga) dan infinit(tak

hingga)

• |S|  ukuran himpunan finit

– Jumlah elemen himpunan S

Powerset & Cartesian Product

• Powerset  2

s

– himpunan seluruh himpunan bagian dari S – S ={a,b,c}, 2S_={_,_{(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)}}

• Cartesian Product

– S = S1 S2= {(x, y): x  S1, y S2} – S1={2, 4}, S2={1, 2} – S1 S2= {(2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)},

(2)

Definisi Fungsi

• Fungsi (

f

)= suatu aturan yang

memetakan elemen-elemen suatu

himpunan (domain) ke elemen

himpunan lain (range)

f :S

1

 S

2

• Fungsi total & fungsi parsial

– total jika domain adalah seluruh anggota

S1

perbedaan

Fungsi & Relasi

• Fungsi

– Pasangan elemen: {(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),…}

– xipaling banyak muncul sekali sebagai

elemen pertama pada pasangan elemen

• Relasi

– Bentuk umum dari fungsi

– Suatu elemen dapat dipetakan ke lebih dari satu elemen range

Ekuivalensi

• Salah satu macam relasi

• Ekuivalensi  x  y

– Reflexivity • x  x untuk semua x – Symmetry • Jika x  y maka y  x – Transitivity

• Jika x  y dan y  z maka x  z

definisi

Graph

• Graph = suatu bentuk yang terdiri atas dua

himpunan hingga (finite set), yaitu

himpunan vertek dan himpunan edge(tepi)

– Vertek, V = { v1, v2, v3, …}

– Edge, E = { e1, e2, e3, …}

– Setiap edge adalah pasangan dari vertek

ei=(vj, vk )

visualisasi

Graph

• Visualisasi Graph

– Vertek dan edge biasanya diberi label – Vertek  lingkaran

– Edge  garis dengan tanda panah di salah satu ujungnya

visualisasi

Graph

– V = { v1, v2, v3 }

– E = {(v1, v3 ), (v3, v1 ), (v3, v2 ), (v3, v3 )}

• walk, path, simple path, cycle, simple

cycle

(3)

definisi

Tree

• Tree = suatu tipe khusus dari graph

– Directed graph yang tidak memiliki cycles dan memiliki suatu vertek khusus disebut root – Hanya terdapat satu path dari root ke setiap

vertek lain

– Root = vertek tanpa edge yang menuju kepadanya

– Daun = vertek tanpa edge yg keluar darinya

visualisasi

Tree

Level 0 Level 3 kedalaman = 3 daun root

Teknik

Pembuktian

induktif & kontradiktif

• Induktif

– diasumsikan benar untuk: P1, P2, … , Pn (disebut asumsi induktif)

– diperlihatkan benar untuk nilai awal-nya

(basis)

– dibuktikan asumsi tsb juga benar untuk Pn+1 (disebut langkah induktif)

• Kontradiktif

– melakukan asumsi sebaliknya TEORI BAHASA & OTOMATA

Contoh

Teknik Pembuktian

induktif

• Buktikan bahwa sebuah binary tree (pohon biner) dengan ketinggian n memiliki paling banyak 2n_daun!

• Pembuktian:

dinotasikan banyaknya daun adalah l(n), shg l(n)  2n

Basis: l(0) = 1 = 20 _{(yaitu root)}

Asumsi Induktif: l(i)  2i_{, untuk i = 0, 1, 2, …, n}

Langkah induktif:

l(n+1) = 2 l(n) l(n+1)  2 x 2n_{= 2}n+1

Contoh

Teknik Pembuktian

kontradiktif

• Buktikan bahwa 2 bukan bilangan rasional! • Pembuktian:

Diasumsikan sebaliknya, yaitu 2 adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis sbb:

2 =  2 m2_{= n}2

terlihat bahwa n2_{genap, sehingga n = 2k}

2 m2 _{= 4k}2 _{ m}2_{= 2k}2

Karena m adalah genap maka hal ini kontradiksi dengan asumsi kita, sehingga m dan n tidak ada dan 2 bukan bilangan rasional

m n

Tiga Konsep Dasar

(4)

Bahasa

• Bahasa Alami:

bahasa inggris, indonesia, belanda, …

• Definisi informal:

sebuah sistem yang sesuai untuk

mengekspresikan suatu ide, fakta, atau konsep, termasuk didalamnya sekumpulan simbol dan aturan-aturanuntuk memanipulasinya

• Bahasa formal ?

Bahasa Formal

• Alfabet (Σ)

– himpunan simbol, non-empty set

• String :

rangkaian hingga simbol pada alfabet

• Contoh:

Σ = {a, b},

abab dan aaabbb adalah string pada Σ

Bahasa Formal

• Operasi pada string

– Concatenation – Reverse – Panjang string

•  =

empty string

• Σ* =

konkatenasi simbol pada

Σ

sebanyak 0

atau lebih kali (disebut star closure of

Σ

)

• Σ

+

_{= Σ*-(}}

_{(disebut positif closure of}

_Σ

₎

Definisi

Bahasa Formal

• Sebuah

bahasa

didefiniskan secara umum

sebagai subset dari Σ*

– Suatu string w pada suatu bahasa L disebut kata atau kalimat pada L

– Pada teori bahasa formal kata dan kalimat tidak dibedakan

• L = L*

0

_{ L}

1

_{ L}

2

_…

• L

+

_{= L}

1

_{ L}

2

_…

Grammar

• Grammar

(pada bahasa alami)

Untuk menentukan apakah suatu kalimat memiliki format yang baku atau tidak

– Pada bahasa inggris “Sebuah kalimat dapat terdiri dari sebuah noun phrase diikuti oleh sebuah predicate“

– <sentence>  <noun_phrase><predicate>

<noun_phrase>  <article><noun> <predicate>  <verb>

Contoh

Grammar

• Misal :

– <article> = “a” dan “the” – <noun> = “boy” dan “dog” – <verb> = “runs” dan “walks”

•

Contoh kalimat: “a boy runs”, “the dog

(5)

Grammar

Formal

• Sebuah grammar didefinisikan sebagai

sebuah quadruple

G = (V, T, S, P)

dimana:

V = himpunan hingga objek yang disebut variabel T = himpunan hingga objek yang disebut terminal

symbol

S V = spesial symbol yang dinamakan start variabel P = sebuah himpunan berhingga dari production

Production Rule

• Production rule adalah inti dari grammar

menspesifikasikan bagaimana suatu grammar mengubah suatu string manjadi string yang lain, dan mendefinisikan bahasa sesuai dengan grammar yang dipakai

• Format: x  y

dimana x  (V T )+_{dan y (V T )*}

• Misal :

– Sebuah string w memiliki format : w uxv

– Production x y applicable (dapat diaplikasikan) untuk string w – String baru : z uyv

– Dituliskan: w  z

Production Rule

• Jika:

w

1

 w

2



…

 w

n

dikatakan w1menurunkan wn

• w

1

 w

n

* (tanda bintang) mengindikasikan jumlah

langkah yang tak tentu (termasuk nol) untuk menurunkan wn dari w1

• w

₁

 w

_n

+_{(tanda plus) mengindikasikan minimal terdapat}

satu produksi untuk menurunkan wn dari w1 *

+

Bahasa

didefinisikan oleh Grammar

• Jika G = (V, T, S, P) adalah sebuah

grammar. Maka himpunan:

L(G) = {wT*: S  w}

adalah bahasa yang dihasilkan oleh G.

• Jika w  L(G), maka deretan

S w1 w2 …  wn w adalah penurunan untuk kalimat/kata w • String: S, w1, w2, …,wn disebut sentential forms

*

Contoh

• Diberikan grammar G = ({S},{a,b}, S, P), dengan

P sbb.:

S  aSb

S  Maka :

S aSb  aaSbb  aabb dapat dituliskan : S  aabb

• Maka bahasa yang dihasilkan oleh G adalah :

L(G) = {an _bn _{: n}_{ 0}} *

Latihan

1. Cari grammar yang menghasilkan

bahasa L(G) = {a

n

_b

n+1

_{: n}

_{ 0} !}

2. Definsikan bahasa yang dihasilkan oleh

grammar dengan production berikut:

S

 aA

A

 bS

(6)

Otomata

• Model abstrak dari sebuah komputer digital • Fitur utama:

– Membaca input berupa string simbol

• Dari kiri ke kanan • Satu simbol pada satu waktu • Mendeteksi akhir string input

– Menghasilkan output – Memiliki control unit

• Mengontrol perpindahan state

– Dapat memiliki alat penyimpan sementara

Model Visual

Otomata

Input File

Output

Storage Control Unit

Tipe

Otomata

• Deterministic Finit Otomata (DFA)

– jika diketahui konfigurasi dari input, internal state, dan

isi penyimpan sementara maka bisa diprediksi

kelakuan otomata kemudian

• Non-deterministic Finit Otomata (NFA)

– terdapat beberapa kemungkinan perpindahan dari suatu state

• Accepter :

output “ya/diterima” atau “tidak/ditolak”

• Transducer :

output berupa string