Galeri Soal
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
www.matikzone.wordpress.com
April 2012
Semoga sedikit contoh soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika khususnya Bab Limit. Kami mengusahakan agar soal-soal yang kami bahas sevariasi mungkin, sehingga manfaatnya bisa lebih maksimal. Untuk soal latihan, kami belum bisa mencoba semuanya. Untuk itu jika ada yang ingin menambah, memberikan saran dan koreksinya akan kami terima dengan senang hati.
Galeri Soal LIMIT
Email : [email protected]
Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com
HP : 08 581 581 81 51 (SMS only)
Hak Cipta Dilindungi Undang- undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa
www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya
1. Dari gambar di samping, tentukan:
a). lim ( ) 2 f x
x→− , xlim→2+ f(x) dan limx→2 f(x)jika ada. b). lim ( )
5 f x
x→ − , xlim→5+ f(x) , dan limx→5 f(x) jika ada.
Jawab:
Limit kanan dan limit kiri
*) f x L
a
x→ + =
) (
lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. *) f x L
a
xlim→ − ( )= , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L.
Definisi limit f x L
a
xlim→ ( )= (ada) ⇔ xlim→a+ f(x) =xlim→a− f(x)= L
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa: a). lim ( ) 3 2 = − → x f x dan lim ( ) 3 2 = + → x f x maka lim ( ) 3 2 = → f x x b). lim ( ) 3 5 = − → x f x dan lim ( ) 4 5 = + → x f x
, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka lim ( ) 5 f x x→ Tidak Ada 2. Jika diketahui
( )
≥ + < − = 2 ; 3 2 ; 1 4 2 x jk x x jk x xf maka tentuka nilai dari lim ( ) 2 x f x→ − , lim ( ) 2 x f x→ + , dan lim ( ) 2 f x x→ Jawab: • lim ( ) lim 4 1 4.2 1 8 1 7 2 2 = − = − = − − = − → → x x f x x
(limit kiri, dari kiri, digunakan fungsi pertama)
• lim ( ) lim 2 3 22 3 4 3 7 2 2 = + = + = + + = + → → x x f x x
(limit kanan, dari kanan, digunakan fungsi kedua)
• lim ( ) 7
2 =
→ f x
x (limit kiri = limit kanan)
3. Tentukan nilai limit dari: a). lim788 9 → x c). limx→3
(
5x−6)
e). 2 2 lim 2 + − → x x x b). x x 7 lim 8 → d). 1 6 5 lim 3 + − − → x x x f). 4 8 lim 4 + − − → x x x Jawab: Untuk lim f(x) a x→diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh ditinggalkan) 2 5 4 3 x y f(x) a L x y f(x) kiri kanan
www.matikzone.wordpress.com Ø Jika f (a) = c maka lim f(x)
a x→ = c Ø Jika f (a) = 0 c maka lim f(x) a x→ Tidak Ada Ø Jika f (a) = c 0 maka lim ( )=0 →a f x x Ø Jika f (a) = 0 0
maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.
Sehingga: a). lim788 788 9 = → x b). lim7 7.8 56 8 = = → x x c). lim
(
5 6)
5.3 6 15 6 9 3 − = − = − = → x x d). 2 21 2 21 2 6 15 1 3 6 ) 3 ( 5 1 6 5 lim 3 − = − = − − − = + − − − = + − − → x x x e). 0 4 0 2 2 2 2 2 2 lim 2 + = = − = + − → x x x f).( )
0 12 4 4 4 8 4 8 lim 4 − + = − − = + − − → x x x maka 4 8 lim 4 + − − → x x x tidak ada4. Penyelesaian dengan faktorisasi
a). 0 0 6 2 . 5 2 2 2 6 5 2 lim 2 2 2 − + = − = + − − → x x x x BTT, maka
(
)(
)
(
)
1 1 1 3 2 1 3 1 lim 3 2 2 lim 6 5 2 lim 2 2 2 2 − − = − = − = − =− − = + − − → → → x x x x x x x x x x b).( )
0 0 6 5 1 2 3 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 6 5 2 3 lim 2 2 2 2 1 + − = + − = − − − − + − + − = − − + + − → x x x x x BTT, maka(
)(
)
(
)(
)
(
(
)
)
7 1 7 1 6 1 2 1 6 2 lim 6 1 2 1 lim 6 5 2 3 lim 1 1 2 2 1 − − = − =− + − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → x x x x x x x x x x x x x c). 0 0 0 . 7 0 . 2 0 . 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 2 2 3 2 2 3 0 − = + − = − + − → x x x x x x BTT, maka(
)
(
)
(
(
)
)
2 3 0 . 7 2 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 0 2 0 2 2 3 0 − = + − = − + − = − + − = − + − → → → x x x x x x x x x x x x x x x x d).(
)
(
)
(
)
(
)
3 8 1 2 2 2 . 3 2 1 2 3 lim 1 2 2 3 2 lim 2 2 4 8 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 − = − + = − − + = − − − + − = + − − + − + → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x e).(
)(
)
(
)
(
4)(
4 16)
4 lim 16 4 4 4 lim 64 4 lim 2 4 2 4 3 4 − + + − − = + + − − = − − → → → x x x x x x x x x x x x x(
)
48 1 16 4 . 4 4 1 16 4 1 lim 2 2 4− + + =− + + =− = → x x x f).( )
( )
(
(
)(
)(
)
)
2 3 9 6 4 lim 3 2 3 2 9 6 4 3 2 lim 3 2 3 2 lim 9 4 27 8 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 + + + = + − + + − = − − = − − → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x 2 1 3 2 9 6 27 3 3 9 9 9 3 2 3 . 2 9 2 3 . 6 2 3 . 4 2 = = = + + + = + + + =www.matikzone.wordpress.com 5. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)
a). 0 0 2 2 1 8 3 2 1 4 3 lim 2 − = + − = − + − → x x x BTT, maka
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
3 2 6 4 3 3 4 1 2 . 4 3 4 1 4 3 4 lim 1 4 3 2 2 4 lim 1 4 3 2 4 8 lim 1 4 3 2 1 4 9 lim 1 4 3 1 4 3 2 1 4 3 lim 2 1 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 − = − = + − = + + − = + + − = + + − − − = + + − − = + + − + − = + + + + ⋅ − + − = − + − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b). 0 0 3 2 1 2 2 lim 3 − − = − − + → x x x x x BTT, maka(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5 3 5 2 3 2 5 5 3 3 1 3 . 2 2 3 3 3 3 . 2 1 2 2 3 2 lim 3 1 2 2 3 2 3 lim ) ( 3 2 1 2 2 3 2 3 lim 3 2 3 2 . 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 ) 1 2 ( ) 2 ( lim 1 2 2 1 2 2 . 3 2 1 2 2 lim 3 2 1 2 2 lim 3 3 3 3 3 3 3 3 − = − = + + − = − + + + − − = − + + + − − = − − + + + − − − = − − − + + + − + − = + − + − − + + − − + − = − + + − − + − = − + + − − − − + = − + + − + + − − − − + = − − − − + → → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c).(
)
(
7)
16 7 4 9 lim 7 4 7 4 . 7 4 9 lim 7 4 9 lim 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 − + + + − = + + + + + − − = + − − − → − → − → x x x x x x x x x x x x(
)
(
) (
lim 4 7)
4 9 7 4 4 8 9 7 4 9 lim 2 3 2 2 2 3 − = + + = + + = + = + + − = − → − → x x x x x x(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)
6. ... 1 3 1 1 lim 3 1 = − − − → x x x Jawab:
(
)
(
)
(
)
(
(
−)
(
+)
+)
− + + = − − + + − + + = − − − → → → 2 2 1 3 2 2 1 3 1 1 1 3 1 lim 1 3 1 1 1 lim 1 3 1 1 lim x x x x x x x x x x x x x x x x(
)
(
)
(
(
)
(
)(
)
)
(
)
(
)
1 3 3 1 1 1 2 1 1 2 lim 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim 2 2 1 2 1 2 2 1 = = + + + = + + + = + + − − + = + + − − + = → → → x x x x x x x x x x x x x x x x Dikali sekawan pembilang Dikali sekawan penyebut Jika disubtitusi, masihdidapat 0/0
(
)
(
2 2)
3 3 b ab a b a b a − = − + +www.matikzone.wordpress.com 7. ... 1 1 lim 3 2 2 0 − + = → x x x Jawab:
(
)
(
(
)
)
(
(
2)
)
2 3 2 3 2 2 0 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 0 3 2 2 0 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 . 1 1 lim 1 1 lim x x x x x x x x x x x x x x x − + + + + + = + + + + + + + + + − = + − → → →(
)
(
)
(
1 1 1)
3 1 1 1 lim 1 1 1 lim 2 3 2 3 2 0 2 2 3 2 3 2 2 0 − = + + − = + + + + − = − + + + + = → → x x x x x x x x8. Jika lim( +1)=lim(2 −3) →
→n x x n x
x , maka tentukan nilai dari lim( 16)
2 − →n x x Jawab: 4 3 2 1 ) 3 2 ( lim ) 1 ( lim + = − ⇒ + = − ⇒ = → →n x x n x n n n x maka 0 16 16 16 4 ) 16 ( lim ) 16 ( lim 2 2 4 2 − = − = − = − = → →n x x x x 9. Jika 7 3 10 2 5 2 lim 2 2 2 + − = + + − → x ax x x
x , maka nilai a adalah …
Jawab: 10 2 5 2 lim 2 2 2 + − + + − → x ax x x
x , karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai limitnya adalah
7 3
, maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh
( )
3 6 2 2 10 4 0 10 2 2 2 − = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = − − − a a a a 10. 0 4 2 2 2 2 2 2 lim 2 − = + = − + → x x x berarti 2 2 lim 2 − + → x xx tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini: f(x)=(x+2)/(x-2) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y
(
)(
)
(
)(
)
( )
7 3 7 3 5 2 1 2 2 5 1 2 lim 5 2 1 2 2 lim 10 3 2 5 2 lim 2 2 2 2 2 = − − = − − + − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → x x x x x x x x x x x x xwww.matikzone.wordpress.com 11. 0 14 9 3 1 3 . 2 3 9 1 2 lim 2 2 2 2 3 − = − + = − − + → x x x x berarti 9 1 2 lim 2 2 3 − − + → x x x
x tidak ada. Demikian juga untuk
9 1 2 lim 2 2 3 − − + − → x x x x , karena
( )
( )
( )
0 2 9 3 1 3 2 3 9 1 2 lim 2 2 2 2 3 − − = − − + − = − − + − → x x x x . Grafiknya adalah:12. Menentukan nilai limit lim f(x)
x→∞ dengan cara:
a). Subtitusi.
b). Jika diperoleh bentuk tak tentu (
∞ ∞
) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT).
c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞−∞) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT). v Untuk lim f(x) x→∞ dengan subtitusi Ø Jika f(x)= c ∞ maka lim f(x) x→∞ = ∞ Ø Jika f(x)= ∞ c maka lim f(x) x→∞ = 0 Ø Jika f(x)= ∞ ∞
maka dilakukan dengan cara b). Ø Jika f(x)= ∞ – ∞ maka gunakan cara c).
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y
Limit kiri ≠ Limit kanan
Catatan: 1) lim =0; >0 ∞ → x n k n x 2) lim =∞; >0 ∞ → kx n n x 3) lim k k; x→∞ = k konstanta
www.matikzone.wordpress.com Soal-soal: a. limx→∞9=9 b. limx→∞2x+9=2.∞+9=∞ c. ∞ = + ∞ = + ∞ → 8 9 . 7 8 9 7 lim x x d. 0 6 1 6 1 6 lim 2 2 = ∞ = + ∞ = + ∞ → x x
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.
a). ∞ ∞ = − + ∞ → 3 1 2 lim 2 x x x x BTT maka 0 3 0 0 0 3 0 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b). ∞ ∞ = − + ∞ → 3 1 2 lim 2 2 x x x x BTT, maka 3 2 0 0 3 2 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c). ∞ ∞ = − + + ∞ → 3 1 5 2 lim 2 3 x x x x x BTT maka ∞ = = − + + = − + + = − + + = − + + = − + + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → 0 2 0 0 0 0 2 1 lim 1 lim 3 lim 5 lim 2 lim 1 1 3 5 2 lim 1 3 5 2 lim 1 3 5 2 lim 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) adalah x2, maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x2
www.matikzone.wordpress.com 14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan variabel pangkat
tertinggi. a).
(
− + − + −)
=∞−∞ ∞ → 4 5 1 4 7 2 lim x2 x x2 x x BTT, maka(
)
(
) (
(
)
)
(
) (
)
3 4 12 4 2 12 0 0 4 0 0 4 0 12 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − − + − + − = − + + + − − + + + − ⋅ − + − + − = − + − + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b).(
+ − +)
=∞−∞ ∞ → 6 3 lim x x x , BTT maka:(
) (
) (
(
)
)
(
) (
)
0 3 6 3 lim 3 6 3 6 lim 3 6 3 6 3 6 lim 3 6 lim = + − + = + − + + − + = + + + + + + ⋅ + − + = + − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
Ø Jika ... ... ) ( 1 1 + + + + = mn nn−− qx px bx ax x f maka m n x x px ax x f ∞ → ∞ → ( )=lim lim > ∞ = < = m n jk m n jk p a m n jk , , , 0
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.
Ø Jika f(x)= ax2 +bx+c − px2 +qx+r maka lim f(x)
x→∞ < ∞ − = − > ∞ = p a jk p a jk a q b p a jk , , 2 ,
Ø Jika f(x)= ax+b− px+q maka lim f(x)
x→∞ < ∞ − = > ∞ = p a jk p a jk p a jk , , 0 ,
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
2 2 4 4 12 lim x x x x + − ∞ →
VPT pembilang adalah x, dan VPT penyebut x2 (setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar menjadi x2)
Lihat catatan 2
www.matikzone.wordpress.com Soal-soal: a). 3 5 3 5 lim 3 3 − = − − ∞ → x x x x
x (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)
b).
(
)
( )
3 4 6 8 9 2 7 15 1 7 9 2 15 9 lim 2 − + − 2 − + =− − − = − =− ∞ → x x x x x ( nilai a = p ) c). lim(
2 −4− 2 +5)
=0 ∞ → x x x ( nilai a = p ) 16. Teorema LimitUntuk n∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:
Soal-soal: a). a. lim 25 25 6 = → x b. limx→036=36 c. xlim→−29=9 b). lim 4 34 81 3 = = → x x c). lim 3 5 7 23 5.2 7 5 2 − + = − + = → x x x
e). lim 5 5lim 5.( 2) 10 2
2 = →− = − =−
−
→ x x x
x
f). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 68 4 4 2 4 + = → + → = + = + = → x x x x x x x
g). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 28 4 4 2 4 − = → − → = − = − =− → x x x x x x x
h). lim
(
5 3)
(
5 1)
lim(
5 3)
.lim(
5 1)
8.4 32 1 2 1 2 1 + − = → + → − = = → x x x x x x x x x i).(
)
(
)
(
(
)
)
2 4 8 1 5 lim 3 5 lim 1 5 3 5 lim 1 2 1 2 1 − = = + = − + → → → x x x x x x x x x j). lim(
5 2)
(
lim(
5 2)
)
3(
5.1 2)
3 73 343 1 3 1 + = → + = + = = → x x x x k). 3(
)
3(
)
3 1 3 1 5 2 lim 5 2 5.1 2 7 lim + = + = + = → → x x x x l).(
(
)
)
3 100 7 10 75 25 7 ) 5 .( 2 ) 5 .( 3 ) 5 .( 5 7 lim 2 lim 3 lim 5 lim 7 2 lim 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 2 2 2 5 − = + − − − = + − − − − = + − = + − = + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → − → x x x x x x x x x x x x x x x x17. Limit Fungsi Trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:
a. c c a x→ = lim b. n n a x→ x =a lim c. lim f(x) f(a) a x→ = d. limcf(x) clim f(a) a x a x→ = →
e. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
a x a x a x→ + = → + →
f. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
a x a x a x→ − = → − →
g. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
a x a x a x→ • = → • → h. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x a x → → → = ; lim ( )≠0 →ag x x i. n a x n a x (f(x)) (lim f(x)) lim → → = j. n a x n a x f(x) lim f(x) lim → → = ; limx→a f(x)≥0
www.matikzone.wordpress.com Soal-soal: a). 0 1 0 0 cos 0 cos lim 0 = = = → x x x b). 1 0 1 2 1 cos 2 1 sin cos sin lim 2 1 + = + = + = → π π π x x x c). 2.1 2 2 2 sin lim . 2 2 2 . 2 sin lim 2 sin lim 0 2 0 0 = → = → = = → x x x x x x x x x (jika x→0 maka 2x →0) d). 0 0 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 − = + → x x x x
x BTT, maka (khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
3 7 2 5 4 3 2 tan lim 5 lim 4 sin lim 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 0 0 0 0 0 − = + = − + = − + = − + = − + → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e). 0 0 sin 4 cos 1 lim 0 = − → x x x x BTT, maka
(
)(
)
(
)(
)
(
)
8 4 . 2 1 . 4 . 1 . 1 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 . 4 4 sin . 4 4 sin lim 4 . 4 4 . 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 sin . 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 cos 1 lim 4 cos 1 4 cos 1 . sin 4 cos 1 lim sin 4 cos 1 lim 0 0 2 0 2 0 0 0 = = + = + = + = + − = + + − = − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f). 0 0 2 cos lim 2 = − →π x π x x BTT, maka 1 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 cos lim 2 2 2 2 2 − = − − − = − − − = − − − = − − = − → → → → → π π π π π π π π π π π π π π x x x x x x x x x x x x x x x g). 0 0 cos cos lim = − − → x a a x a x , BTT maka(
)
(
)
(
)
(
)
a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x sin 2 1 . sin 2 2 1 sin lim . 2 1 sin lim 2 2 1 sin 2 1 sin 2 lim cos cos lim − = − = − − + − = − − + − = − − → → → →Diketahui rumus trigonometri:
− = x x 2 sin cos π a. 1 sin lim sin lim 0 0 = → = → x x x x x x b. 1 tan lim tan lim 0 0 = → = → x x x x x x c. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ sin = sin lim 0 0 d. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ tan = tan lim 0 0 e. b a bx ax bx ax x x→ = → tan = sin lim sin tan lim 0 0
www.matikzone.wordpress.com h).
(
)
(
)
(
)
0 0 1 tan 1 1 lim 2 2 3 1 − + − = + + − → x x ax x a x x , BTT maka(
)
(
)
(
)
(
(
)(
(
)
)
(
)
)
(
)(
(
)
)(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
( )(
(
)
)
(
a)
a x x x a x x x x x a x x x x x a x x x x x x a x a x x x x ax x a x x x x x x x x − = + − = − − + + − = − − + + − = − + + − − − = − + + − + + − = − + − + + − → − → → → → → → 1 3 1 1 2 1 1 1 tan lim 1 lim lim 1 1 tan 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 lim 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 i). 0 0 tan tan 1 1 tan tan lim = − + − − → y x y x y x y x y x BTT maka(
)
(
) (
)
(
) (
)
( )(
(
)
)
y y x y x y y x y x y y x x y y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x − = − − − = − − − = − − = − − = + − − = − + − − → − → → → → → tan lim tan lim tan lim tan 1 lim tan tan 1 tan tan 1 1 lim tan tan 1 1 tan tan lim 018. Apakah fungsi f(x)=2x+1, kontinu di x = 1 ? Jawab:
Kekontinuan Suatu Fungsi
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f(x) a x→ ada c. lim f(x) a x→ = f (a)
Fungsi f(x)=2x+1, kontinu di x = 1 karena lim
(
2 1)
3( )
11 x f x→ + = = 19. Apakah fungsi
( )
= ≠ − − = 3 ; 3 3 ; 3 9 2 x x x x x f , kontinu di x = 3 ? Jawab: Fungsi( )
= ≠ − − = 3 ; 3 3 ; 3 9 2 x x x x xf maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena
a. lim( 3) 3 3 6 ) 3 ( ) 3 )( 3 ( lim 3 9 lim 3 3 2 3 − = + = + = + − = − − → → → x x x x x x x x x b. f(3) = 3 maka lim ( ) (3) 3 f x f x→ ≠ Ciri:
Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
www.matikzone.wordpress.com 20. Tentukan nilai
(
) ( )
h x f h x f h − + →0lim untuk fung[si 3
2 ) (x x f = Jawab:
(
)
3(
3 2 2 3)
3 2 2 3 3 2 6 6 2 3 3 2 2 ) ( 2 ) (x x f x h x h x x h xh h x x h xh h f = ⇒ + = + = + + + = + + +(
) ( )
(
)
(
)
(
2 2)
2 2 0 2 2 0 3 2 2 0 3 3 2 2 3 0 0 6 0 0 6 2 6 6 lim 2 6 6 lim 2 6 6 lim 2 2 6 6 2 lim lim x x h xh x h h xh x h h h xh h x h x h xh h x x h x f h x f h h h h h = + + = + + = + + = + + = − + + + = − + → → → → → 21. Tentukan nilai(
) ( )
h x f h x f h − + →0lim untuk fungsi f(x)=x2 +3x Jawab: x x x f( )= 2 +3
(
) ( )
[
(
)
(
)
]
[
]
[
] [
]
(
)
(
)
3 2 3 0 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 lim 3 3 3 2 lim 3 3 lim lim 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 + = + + = + + = + + = + + = + − + + + + = + − + + + = − + → → → → → → x x h x h h x h h h h xh h x x h x h xh x h x x h x h x h x f h x f h h h h h h22. Limit Barisan Bilangan
e x x x = + ∞ → 1 1 lim . 1 1 1 1 lim . 3 − ∞ → = − e x x x
(
x)
x e x→∞ + = 1 1 lim . 2(
)
1 1 1 lim . 4 − ∞ → −x x =e x Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ... ! 3 1 ! 2 1 + + (bilangan Euler) Soal-soal: 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim . − + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → = + − = + − + + = + − + = + x x x e x x x x x a x x x x x x x x Atau ( )(
)
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim − − + − ∞ → − + − ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → = + − + = + − = + − = + − + + = + − + = + e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
3 3 3 1 3 3 1 1 3 . 3 1 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim . − − − ∞ → − − ∞ → − − ∞ → ∞ → = + − = − = − = − x x x x e b x x x x x x x x ( )(
)
6 4 4 6 4 2 3 6 4 2 3 6 4 2 3 2 0 1 . 3 2 1 lim . 3 2 1 lim 3 2 1 3 2 1 lim 3 2 1 lim 3 2 1 lim . − − ∞ → − + ∞ → − + ∞ → + − + ∞ → − ∞ → = + = + + + + = + + + + = + + = + + e e x x x x x x c x x x x x x x x xwww.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan Limit
Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. 1. Jika
( )
> ≤ = 0 ; 0 ; 2 2 x jk x x jk x f , tentukan: a. f( )
x x→0− lim , b. f( )
x x→0+ lim , c. f( )
x x 0 lim → jk ada. 2. Jika( )
≥ + < + = 1 ; 4 1 ; 2 3 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f( )
x x→1− lim , b. f( )
x x→1+ lim , c. f( )
x x 1 lim → . 3. Jika( )
> + ≤ + = 1 ; 3 2 1 ; 1 4 2 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f( )
x x→1− lim , b. f( )
x x→1+ lim , c. f( )
x x 1 lim → . 4. Jika( )
− > − = − < − = 1 ; 1 1 ; 0 1 ; 1 x jk x jk x jk x f , tentukan: a. f( )
x x→−1− lim , b. f( )
x x→−1+ lim , c. f( )
x xlim→−1 . 5. Ditentukan( )
≥ < ≤ − − − < = 1 ; 0 1 1 ; 1 1 ; 2 x jk x jk x x jk x fSelidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. f
( )
xxlim→−1 b. limx→1 f
( )
x 6. Tentukan nilai dari: a. lim 11 − + → x x b. 2 1 lim x x→−+ c. 2 0 1 lim x x→ +
7. Tentukan nilai dari: a. x
x 4 lim 4− → b. x x→−2− lim c. x x 2 3 lim 0− →
8. Diketahui fungsi f
( )
x = x. Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. f( )
xx 1 lim
→ b. limx→3 f
( )
x c. limx→16 f( )
x d. limx→0 f( )
x 9. Selidikilah, apakah x x 1 lim 0→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan). 10. Tentukan f
( )
xxlim→−2 dan limx→4 f
( )
x dari gambar berikut:-2 4 1 3 2 x y
( )
x
f
www.matikzone.wordpress.com Carilah Nilai Limit Berikut:
11. lim1000 5 → x 12. lim12345 1 → x 13. lim 2 5 2 + − → x x 14. lim3 2 5 10 0 + − → x x x 15. lim
(
4)(
1)
3 − + − → x x x 16.[
(
) (
3)
]
5 4 7 . 3 lim x x x→− − − 17. 2 lim 4 + → x x x 18. − + − → 2 3 1 3 lim 4 x x x x x 19. 45 6 10 5 3 lim 3 2 0 + − + − → x x x x x 20. 10 7 9 6 lim 2 − + → x x x 21. lim 4 11 9 − → x x 22. lim 2 7 4 − → x x 23. 3 2 1 6 lim x x x − − → 24. 1 6 3 lim 3 2 2 + + + → x x x x 25. 2 1 lim 2 − → x x 26. 24 2 4 lim 2 4 − − + → x x x x 27. 24 2 5 lim 2 1 − − + − → x x x x 28. 6 6 lim 3 + − − → x x x 29. x x x 3 lim 3 − → 30. − + − → x x x x x 6 7 2 3 2 lim 2 31. + + + − → 8 5 5 14 9 lim 2 x x x x 32.(
)(
)
1 2 5 3 lim 5 − − − → x x x x 33.(
)(
)
x x x x x 2 2 5 5 3 lim 7 + + − − → 34. 1 2 6 15 4 5 3 lim 1 − − − + + + → x x x x x 35. lim(
8 2 5 5)
4 − + − + − → x x x 36. lim(
2 2 3 2 2 2 4 3)
3 + − − − + → x x x x x 37. 1 2 9 lim − + → x x a x 38. m x m x 7 lim → 39. n x x n x + → 2 lim40. Jika lim
(
+1)
=lim(
2 −3)
→→n x x n x
x , maka tentukan
nilai dari: lim
(
2 −16)
→n x x 41. Jika a x x x x x − + = − − → 10 21 7 6 lim 2 2 7 , berapakah nilai dari 1 4 3 2 7 4 lim 2 + − − − → x x x a x ? 42. Jika 7 3 10 2 5 2 lim 2 2 2 + − = + + − → x ax x x x , maka a = …www.matikzone.wordpress.com 43. Jika 13 11 30 1 3 lim 2 2 3 − − = − + → x ax ax x x , maka a = … 44. 1 1 lim 1 − − → x x x 45. x x x − − → 1 1 lim 1 46. 1 1 lim 1 − − → x x x 47. x x x − − → 1 1 lim 1 48. 1 6 5 lim 2 1 − − + → x x x x 49. 6 6 2 lim 2 3 + − + − → x x x x 50. x x x x 5 3 lim 2 0 − → 51. x x x x→0 + lim 52. 2 4 lim 4 − − → x x x
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
a. + − → x x x x 1 1 lim 2 0 b. − − − → 1 1 1 2 lim 2 0 x x x c. − − − →1 3 1 3 1 1 lim x x x d. − + − − → 2 8 3 4 2 lim 2 2 2 x x x x 54. 4 3 2 2 lim 2 1 − − + − → x x x x 55. 2 6 3 lim 2 2 − − → x x x x 56.
(
)
3 1 2 lim 2 3 − − − → x x x (Ebtanas IPS 99) 57. 2 3 2 1 2 lim 2 2 1 + − − → x x x x 58. 1 2 4 3 lim 2 2 1 − + − + → x x x x x 59. x x x x x x 3 2 lim 3 2 2 0 + + + → 60. 3 2 2 4 0 2 6 lim x x x x x + − → 61. n n n n n x x x x x x 2 6 lim 4 1 3 0 + − + + + + → 62. 1 3 2 3 2 lim 2 2 3 1 − − − + → x x x x x 63. 2 2 4 8 lim 3 2 2 3 2 − − + + − + → x x x x x x x 64. 12 6 2 6 lim 3 2 2 3 2 − + − − + → x x x x x x x 65. 2 8 lim 3 2 − − → x x x 66. x x x − − → 1 1 lim 3 1 67. 27 3 lim 3 3 − − → x x x 68. 64 4 lim 3 4 − − → x x x 69. 1 1 lim 3 1 − − → x x x 70. 9 4 27 8 lim 2 3 2 3 − − → x x x **www.matikzone.wordpress.com 71. 2 8 2 lim 2 4 − − − → x x x x 72. x x x x − − →1 4 1 lim
73. Diketahui g
( )
x = 1+2x, maka nilai(
1) (
1)
... lim 0 = − − + → x x g x g x 74. 1 3 2 1 lim 1 − + − → x x x 75. 7 5 2 2 3 lim 2 2 + − + + − → x x x x x 76. 6 5 6 10 2 lim 6 − + − − − → x x x x x 77. x x x x x − − − − + → 2 3 1 2 2 lim 3 78. 3 1 5 1 3 3 lim 1 − − + − − − → x x x x x 79. x x x x x x x + − − + − − + + → 3 3 3 2 3 2 lim 2 2 0 80. 9 4 1 5 lim 2 3 − − + → x x x 81. 10 3 1 lim 10 − − − → x x x 82. 9 3 2 lim 2 3 − + − → x x x x 83. 2 2 1 1 1 3 lim x x x x − − − + → 84. − + → x x x x x x 1 lim 2 0 85. + − + − → 1 1 1 lim 2 1 x x x x 86. 7 4 9 lim 2 2 3 − + − − → x x x 87. x x x x − + − → 3 9 5 2 lim 2 0 88. x x x − − − → 5 9 4 lim 2 5 89. 3 1 2 4 lim 3 − + − + → x x x x 90. 5 4 4 lim 5 − − − + → x x x x 91. x x x x + + − − → 2 1 2 2 lim 2 92. 1 5 3 1 5 3 lim 1 + − − − + + → x x x x x 93. x x x x x + − + − − → 3 6 3 2 lim 2 94. 3 3 6 5 lim 2 3 − − − + − − → x x x x x 95. x x x x − − + → 1 1 lim 0 96. x x x x 1 2 1 2 4 lim 0 + − − → 97. 1 1 1 lim 1 − − − − → x x x x 98. 3 2 2 0 1 1 lim x x x→ − + 99. 6 8 2 2 3 lim 1 − + + − → x x x x x 100. p x p p x x p x − − → limwww.matikzone.wordpress.com 101.
(
)
2 3 3 2 1 1 1 . 2 lim − + − → x x x x ** 102. 1 1 lim 1 − − → x xn x ** 103. Diketahui f( )
x =3x2 −2x , tentukan(
)
2 2 ) 2 ( . 4 1 ) ( lim 2 − − + → x x f x f x 104. Diketahui( )
32 x x f = , tentukan(
)
2 ) 2 ( ) ( lim 2 − − → x f x f xHitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
105. x x 2 lim ∞ → 106. 10 5 6 lim x x→∞ 107. 25 2 9 lim x x − ∞ → 108. x x x 2 5 7 lim 3 + ∞ → 109. 20 3 lim 3 − − ∞ → x x 110. lim 4 +99 ∞ → x x 111. lim 2+9 −15 ∞ → x x x 112. 100 3 lim x x→∞ 113. 55 4 7 lim + ∞ → x x 114. 12 25 lim 2 − ∞ → x x 115. 1 2 5 lim − + ∞ → x x x 116. 5 2 3 4 lim + − ∞ → x x x 117. 5 8 6 lim + − ∞ → x x x 118. 5 9 3 10 lim − + ∞ → x x x 119. x x x 3 9 3 10 lim − + ∞ → 120. 3 5 2 3 lim + − ∞ → x x x 121. 2 2 12 3 5 7 lim x x x x + − ∞ → 122. 3 2 3 12 3 11 5 lim x x x x x + − ∞ → 123.
(
)(
)
(
3 12)(
1)
3 2 1 5 lim − + + − ∞ → x x x x x 124.(
3)(
1)
3 5 lim 2 − − − + ∞ → x x x x x 125.(
)(
)
15 3 2 3 1 lim 2 − + − − ∞ → x x x x x 126.(
)
1 2 1 4 lim 3 3 − − ∞ → x x x 127.(
)
x x x x 3 5 3 2 4 lim 3 3 + + ∞ → 128. 2 4 2 8 4 lim x x x x + ∞ → 129. 2 5 3 1 3 4 lim 2 2 − + − + ∞ → x x x x xwww.matikzone.wordpress.com 130. 2 3 3 lim 3 3 − + ∞ → x x x x 131.
(
)
(
2)
2 4 2 3 5 2 lim + − ∞ → x x x 132. 3 4 4 3 2 5 6 lim x x x x x x − − + ∞ → 133.(
)
3 2 4 5 1 2 lim x x x x x − + ∞ → 134.(
)
1 1 2 lim 3 3 + − ∞ → x x x 135.(
3)(
1)
2 6 lim 3 + − + ∞ → x x x x x 136.(
)(
)
(
1)(
1)
2 2 lim 2 2 + − + − ∞ → x x x x x x 137. x x x x x − − + ∞ → 2 3 5 7 2 lim 138. 3 2 3 6 2 lim x x x x x + + ∞ → 139. 3 2 2 lim 4 − + ∞ → x x x x 140. 2 3 4 9 lim x x x x x − + ∞ → 141. 1 2 5 3 lim 3 2 − + − ∞ → x x x x 142. 5 4 2 5 3 lim 2 + + + ∞ → x x x x 143. x x x x x 10 5 7 5 3 lim 3 2 + − + ∞ → 144. 5 5 17 lim 3 6 2 − + − ∞ → x x x x 145. 9 3 1 5 lim 2 2 − − + ∞ → x x x x 146. − + − + ∞ → 3 1 2 4 lim x x x x 147. 2 3 5 5 17 lim 6 3 6 2 − + − + − ∞ → x x x x x 148. 1 6 2 4 2 lim 2 2 − − − + − ∞ → x x x x x 149. 1 9 3 1 5 lim 4 2 + − − + ∞ → x x x x x 150. lim(
+6 − +3)
∞ → x x x 151. lim(
+3− +2)
∞ → x x x 152. lim(
2 −1− +4)
∞ → x x x 153. lim(
4 +2− −3)
∞ → x x x 154.(
x x)
x→∞ +5− lim 155. lim(
3 +1− 3 −1)
∞ → x x x 156. lim(
+1−2 −3)
∞ → x x x 157.(
x x)
x→∞3 +6 −2 1− lim 158.(
ax b px q)
x→∞ + − + lim untuk: a = p, a > p dan a < p 159.(
x x x x)
x→∞ + + − + 2 2 2 1 lim 160. lim(
4 2 +6 −1− 5 2 − +9)
∞ → x x x x x 161. lim(
2 +2 −1−(
−2)(
2 +9)
)
∞ → x x x x x 162.(
x x x)
x 4 5 3 lim 2− − 2 − ∞ → 163. lim(
2 2 + −5− 2 −3 +12)
∞ → x x x x xwww.matikzone.wordpress.com 164. lim
(
(
3 +1)(
−5)
− 2 +7 +1)
∞ → x x x x x 165. lim(
(
3 −5)(
+4)
− 3 2 −7 +1)
∞ → x x x x x 166. lim(
− 4 2 −7 −1)
∞ → x x x x 167. lim(
(
+2)
− 4 2 −7 +8)
∞ → x x x x 168. lim(
+5− 2 − −9)
∞ → x x x x 169. lim(
(
+3) (
− −3)(
+3)
)
∞ → x x x x 170. lim(
3 2 +3 −5− +4)
∞ → x x x x 171. lim(
2 +6 +5− −4)
∞ → x x x x 172. lim(
2 −1−2 −3)
∞ → x x x 173. lim(
4 2+3 −5−(
2 −3)
)
∞ → x x x x 174. lim(
9 2 + −4−(
3 +5)
)
∞ → x x x x 175. lim(
2 2 −3 +5)
∞ → x x x 176. lim(
2 −3 − 2 2 +8)
∞ → x x x x 177. − − − + − ∞ → 3 4 3 2 5 lim x x x x x 178. lim(
4 4 +3 2 −1− 4 4 +5 2 +1)
∞ → x x x x x 179. lim(
3−4− 3 +8)
∞ → x x x 180. + − + ∞ → x x x x 2 2 9 1 4 1 lim 181. + − + ∞ → x x x x 2 2 4 1 lim 182.(
x(
x x)
)
x→∞ +2 − lim 2 183. − + ∞ → 2 3 4 lim 2 x x x 184. − + − − + ∞ → 7 5 2 1 2 3 lim x x x x x 185. + − − + − ∞ → 5 3 5 9 2 4 lim 2 2 x x x x x x 186. 2 3 3 2 lim x x x x x + ∞ → ** 187. x x x x x x 2 2 3 2 6 3 lim + − ∞ → **Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
188. x x x cos 5 sin lim 2 + →π 189.
(
x x)
x sin 2 .cot lim 0 → 190. + → x x x x 3sin cos 5 6 sin lim 2 π 191. x x x 2 cos lim 0 → 192. x x x cos 5 lim 0 + → 193. x x x sin5 2 tan lim 0 → 194. x x x 5 3 sin lim 0 → 195. x x x x sin 3 5 sin lim 2 0 → 196. x x x x sin3 sin2 2 1 tan lim 2 0 →www.matikzone.wordpress.com 197. x x x 2 2 0 sin 2 lim → 198.
( )
2 2 0 3 3 sin lim x x x→ 199. x x x x sec2 2 tan lim 0 → 200. 2 cos 2 sin lim 0 x x x x→ 201. x x x cos 2 lim 0 → 202. 2 2 0 2 sin lim x x x→ 203. 2 0 3 cos cos lim x x x x − → 204. x x x x 4 sin 3 sin lim 0 + → 205. x x x 2 cos 1 lim 0 − → 206. x x x sin2 cos 1 lim + →π 207. 2 0 2 2 cos 1 lim x x x − → 208.( )
x x x x sin 3 2 sin lim 2 2 2 0 + → 209. x x x x x x x 2 sin3 cos2 6 3 tan 4 sin lim 2 3 2 0 + → 210. a x a x a x − − → cos cos lim 211. x x x x 1 cos 3 cos cos lim 0 − − → 212. x x x x 1 cos 9 cos 5 cos lim 0 − − → 213. x x x 4 2 cos lim 4 − →ππ 214. x x x 1 sin cos lim 2 4 − →π 215.(
)
(
)
(
1)
sin(
1)
1 tan 1 lim 2 1 2 2 1 3 1 − − − − → x x x x x 216.(
)
(
)
(
1)
sin 2 1 2 sin 1 lim 2 2 1 − − − − → x x x x 217. x x x x sin cos 1 lim 0 − → 218.(
x x)
x tan sec lim 2 − →π 219. 3 0 tan sin lim x x x x − → 220.(
)
(
)
y x y x y x y x 9 9 tan 3 3 lim + + + + − → 221.(
x x)
x cot2 lim 0 → 222. x x x tanπ 1 lim 1 − → 223. x x x cos2 1 tan lim 4 − →π 224.(
tan 1)
2 cos lim 4 − → x x x x π 225. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → x x x 226. x x x→ 1− 1− 4 sin lim 0 227. 1 1 1 cos 1 1 sin lim 1 − − − → x x x xwww.matikzone.wordpress.com 228.
(
)
2 2 sin lim 2 − − → x x x 229.(
)
π π π − − → x x x sin lim 230.(
) (
)
3 2 1 sin 1 3 lim 2 1 + − − + → x x x x x 231.(
)
3 2 1 sin lim 3 − − + → x x x 232. x x x − − → 2 sin 1 lim 2 π π 233. 4 4 sin sin lim 4 π π π − − → x x x 234. x x x sec tan 2 lim 2 π → 235. 2 0 5 3 tan . 2 tan lim x x x x→ 236. x x x 1 sin cos 1 lim 0 + + → 237. x x x 1 cos 2 cos 1 lim 0 − − → 238. x x x x sin 3 lim 2 0 + → 239. x x x 2 1 cos 1 2 lim 2 2 0 − → 240. 3 0 4 2 cos . 3 sin 3 sin lim x x x x x − → 241.(
)
(
)
(
2)
2 2 2 2 2 sin 6 5 lim − − − + − → x x x x x x 242.(
)
x x x x x x 3 2 6 sin 1 lim 3 2 2 0 + + − → 243. x x x x x 4 cos3 2 sin 8 sin lim 0 + → 244. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → x x x 245. − − → x x x x x sin8 sin3 2 sin 5 sin lim 0 246. − − → x x x x x sin2 sin tan 2 tan lim 0 247. − − → x x x 4 tan 1 lim 4 π π 248. − → x x x x sin 4 cos 1 lim 2 π 249. → x x x cos ) sin(cos lim 2 π 250. π π 4 1 sin cos lim 4 1 − − → x x x x 251. 3 2 2 3 4 sin 3 3 sin lim 3 π π π π + − + + − → x x x x 252. x x x x 1 sin2 cos sin lim 2 1 − − → π 253.(
)
1 1 sin lim 2 1 − − → x x x 254. x x x cos 2 cos 1 lim 2 1 + → π 255.(
)
(
x a)
x a a x a x sin 2 2 3 lim − + − − → 256.(
1)
tan( 1) ) 1 ( lim 2 2 3 1 − + − + + − → x x ax x a x xwww.matikzone.wordpress.com 257. π π − + → x x x cos 1 lim 258.
(
)
(
x)
x x x x tan 1 3sec cos 1 2 sin lim 0 + + → 259.(
x)
x x x x 1 cos3 3 sin 2 2 sin 3 lim 0 − − → 260. x x x x sin2 tan2 lim 3 0 − → 261. 3 0 sin tan lim x x x x − → 262.(
)
9 6 3 cos 1 lim 2 3 + + + − − → x x x x 263.(
)
(
x a)
(
x a)
a x a x − − − − − → tan5 sin 1 1 lim 2 264.(
)
− − − − → sin 3 3 3 lim 3 x x x x 265. x x x x x x x 3sin sin3 18 sin 10 sin 6 sin 2 sin lim 0 − − + + → 266. − + − − → y x y x y x y x y x tan tan 1 1 tan tan lim **Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu: 267.
( )
x x x x f + − = 22 1 268.( )
3 2 − = x x x f 269.( )
2 3 4 2 2 + − − = x x x x f 270.( )
1 3 2 3 2 − + + = x x x x f 271.( )
2 3 5 2 2 2 − + − − = x x x x x f 272.( )
10 3 1 2 2 − + + = x x x x f 273.( )
1 1 2 2 − + + = x x x x f 274.( )
≥ − < = 0 ; 1 0 ; 1 x unt x x unt x f 275.( )
≥ − < = 0 ; 0 ; 2 x unt x x unt x x f 276.( )
> = < = 0 ; 0 ; 1 0 ; 2 x unt x x unt x unt x x f 277.( )
1 1 2 − − = x x x f 278.( )
= ≠ − − = 1 ; 2 1 ; 1 1 2 x unt x unt x x x fSelidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
279. f
( )
x =5, pada x = 1 280. f( )
x =5x−10, pada x = – 3 281.( )
3 8 − = x x f , pada x = 3www.matikzone.wordpress.com 282.
( )
6 1 2 − − = x x x f , pd x = 3 dan x = –2 283.( )
12 7 12 3 2 − + − = x x x x f , pada x = 4 284.( )
12 2 2 6 3 3 2 2 − − − + = x x x x x f , pada x = – 2Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
285. 1 1 lim + ∞ → + x x x x 286. x x x 2 3 2 1 lim − ∞ → + + 287. 6 3 5 lim + ∞ → + + x x x x 288. x x x x 2 6 2 2 2 lim + + ∞ → 289. x x x a + ∞ → 1 lim 290. ax x x + ∞ → 1 1 lim 291. 3 2 5 3 1 3 lim + ∞ → + + x x x x 292. 3 2 5 1 5 2 lim + ∞ → − − x x x x 293. 2 7 1 6 5 6 lim + ∞ → − + x x x x 294. 1 1 2 2 2 1 5 2 3 lim + + ∞ → + + + + x x x x x x x
Hitunglah nilai dari
(
) ( )
h x f h x f h − + →0 lim dari fungsi-fungsi berikut: 295. f
( )
x =9 296. f( )
x =5x 297. f( )
x =8x−10 298.( )
2 x x f = 299. f( )
x =3x2 300. f( )
x =−2x2 +1 301. f( )
x =2x2 +3x 302. f( )
x = x3 303. f( )
x =2x3 304. f( )
x = x 305. f( )
x =2 x 306. f( )
x =2 x+1Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
307. Jika
(
(
)
)
4 9 1 2 lim 2 + − − = ∞ → ax ax x x ,carilah nilai a yang memenuhi. 308. Diketahui lim
( )
6 2 = → f x x . Nilai( )(
)
( )
1 3 5 lim 2 2 + − + + → x x f x x f x adalah ... 309. Diketahui lim( )
16 10 = → f x x dan( )
2 lim 10 =− → g x x . Maka nilai( )
( )
(
)
4 10 3 lim f x g x x→ + adalah ...www.matikzone.wordpress.com 310. Buktikan bahwa lim sin 2 =2
∞ → x x x 311. Buktikan bahwa 2 cos 1 lim 2 2 a n a n n = − ∞ → 312. Diketahui 2 4 5 lim 1 + =− − − → x p x . Maka nilai p adalah...
313. Hitunglah a dan b jika diketahui 2 9 lim 2 3 − =− − → x b ax x . 314. Jika
(
1 4 7 2)
4 lim 2 + − − 2 − + = ∞ → ax bx x x x ,maka tentukan nilai a + b. 315. Hitunglah nilai a + b, jika
3 1 4 5 3 lim 4 − = + − − → x bx ax x . Sumber:
a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen
Kanginan.
c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk.
d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team.
e. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. f. Matematika IPA kelas XI, Intan Pariwara, Kartini
dkk.
g. Matematika 2 SMU, Balai Pustaka, Andi Hakim N. h. PR matematika XI IPA, Intan Pariwara, Anna YA
dkk. i. Lainnya. Catatan: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
