BAB I ALJABAR
A. DASAR-DASAR OPERASI BILANGAN 1.Hukum-Hukum Operasi Bilangan
Hukum Penjumlahan dan perkalian Komutatif a + b = b + a a.b = b.a Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) a(b.c) = (ab)c
Distributif terhadap perkalian : a ( b+c) = ab + ac ( b+c)a = ba + ca a ( b-c) = ab - ac ( b-c)a = ba – ca Hukum-Hukum Perpangkatan 1. apaq ap q 2. 1 jikaa 0 p q q p q p a a a a 3. (ap)q apq 4. (ab)p apbq 0 b jika ; p p p b a b a Kompetensi.
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar
▸ Baca selengkapnya: setelah mempelajari materi tentang walisanga pelajaran yang dapat kita petik adalah
(2)5. a0 1; a ± 0 6. p p a a 1 Contoh: 1. 2 5 2 ( 5) 3 .a a a a 2. a6:a2 a6 2 a4 3. 3 3 1 a a 4. ab3 (ab).(ab)(ab) a3b3 2. Akar
Akar pangkat ke n dari a ditulis n
a.
Jika n
a = b maka bn = a. Dengan kata lain n
a akan menghasilkan suatu bilangan, jika
bilangan tersebut dipangkatkan n maka hasinya a. Aturan akar sama dengan aturan
pemangkatan karena, n a an
1
Hukum Pengakaran
Jika a dan b adalah genap dan positip, maka:
1. n a n a 2. n ab (n a)(n b) 3. n n n b a b a 4. n m n m a a 5. m n a mna Contoh
Menyederhanakan bentuk akar
2. 2 3 6 3 3 3 6 3 ) 2 ( 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( y x y x y x 3. 3 274 3 (33)4 34 81 4. 3 5 6 3 3 3 6 2 3 2 2 ) )( 2 ( 8x y x y x xy x 5. 4 3 2 2 2 4 4 8 4 2 2 3 4 2 2 3 6 3 2 3 4 3 6 2 3 14 2 1 2 14 . 2 2 . 2 7 8 7 x b y a x b x b x b y a x b x b x b y a x b y a 3 7 2 8 3 ) 5 2 ( 2 ) 5 3 ( 50 75 12 18 2 5 3 5 3 2 3 2 6 7. 4 2 2 4 4 5 3 4 3 3 x 3 ) ( 3 x y xy y xy 8. 6 7 6 6 7 6 3 6 4 2 1 3 2 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 . 2 2 . 4 9. 3 3 3 2 2 3 3 3 45 3 1 3 45 3 3 . 3 5 3 5 3 5 5 ) 2 3 2 ( 10 ) 2 3 2 ( 5 2 12 ) 2 3 2 ( 5 2 3 2 2 3 2 . 2 3 2 5 2 3 2 5 . 10 3. Logaritma.
Jika bx = n dimana n adalah bilangan positif dan b bilangan positif bulat yang tidak sama
dengan 1, maka eksponen x dalah logaritma n dengan bilangan pokok b, dan ditulis.
n x blog
bx = n dengan x blognadalah merupakan hubungan ekivalen , bx = n disebut bentuk
eksponensial, dan x blogn disebut bentuk logaritma.
Jika m dan n adalah bilangan positif dan b ≠ 1, maka:
1. blog mn = blog m + blog n
2. blog n m = blog m – blog n 3. blog mp = p. blog m 4. blog 1 = 0 5. blog b = 1 6. blog a = logb 1 a 7. blog m n = n m log n m log c c c = ≠ 1
8. (blog c)(clog d) = blog d ; c = ≠ 1
Catatan
10
log x ditulis log x
Contoh
1. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log 22 – log 6 + log 32
= log 4 – log 6 + log 9 = log 6 9 . 4 = log 6
2. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log x
log 22 – log 6 + log 32 = log x
log 4 – log 6 + log 9 = log x
log logx 6 9 . 4 log 6 = log x x = 6
Contoh Penerapan
1. Perbandingan tegangan kerapatan (Tt) dan kelendutan (Ts) suatu sabuk yang
menggerakkan puli, dinyatakan dengan rumus 2,718
s t T T
, dimana = koefisien
gesekan antara sabuk dan puli, = sudut putaran dalam radian. Tentukanlah Tt ketika Ts
= 60 N; = 0,2 dan = 120 0 Penyelesaian: = 1200 = .2πrad 2,094radian 360 120 0 0 = 2. 2,094 = 0,4188 4188 , 0 t 718 , 2 60 T
Kedua ruas dinyatakan ke dalam logaritma. Maka:
4188 , 0 t 718 , 2 log 60 T log
Log Tt – log 60 = 0,4188 log 2,718
Log Tt – 1,7782 = 0,4188 . 0,4343
Log Tt = 1,9601
Tt = antilog 1,9601 = 91,22 91
Jadi tegangan kerapatan sabuk = 91 N
2. Penyimpangan Energi dalam kapasitor dinyatakan dengan CV joule
2 1
E 2 .
Hitunglah Energi, jika kapasitansi C = 5 x 10 -6 farad dan tegangan V = 240 v
Penyelesaian: CV 2 1 E 2 2 2 6 2 6 .10 24 . 10 5. 2 1 240 . 10 5. 2 1 E E = 1440. 10-4 E = 144. 10-3 E = 0,144 Joule
Latihan Soal-Soal 1. Hitunglah a. 163/4 b. 3 2 27 c. 2 3 1 8 d. 3 1 16 e. (25 x 2-1) : 22 f. 3-1 ( 33 + 32) g. 2 2 3 3 ) 2 ( 3 2 . ) 2 ( h. 2 3 3 2 3 2 ) 2 ( 4 ) 3 ( 3 i. 2 3 4 10 4 7 ) 3 ( 4 ) 2 ( 8 2 5 5 j. q p p pq q pq 2 2 3 3 : 3 3 k. 2log 32 l. log 4 10 m. 3log 9 1
3. Tentukanlah harga x dari:
a. 2log x = 3 b. Log x = -2 c. 3log (2x + 1) =1 d. 4log x3 = 2 3 e. (x-1)log (4x - 4) = 2
4. Tentukanlah harga y dari:
a. 2 log y = log 16
b. 3 log y + 2 log 2 = log 32
c. 3log y = 3log 4 – 2. 3log x
d. 2log (30 – y) = 2log (30 – 2t)
5. Ubahlah ke dalam bentuk yang paling sederhana
a. 3 640 b. 50 2 5 2 a c. 75a2b3 b a d. 3 3 2 3 e. 4 9 4 3 d. 45 4 60 6. Hitunglah : a. 96 3 2 6 54 2 b. 2 150 4 54 6 48= c. 2 3 6 3 3 3 6 = d. 3 5 7 3 5 7 = e. 2 3 1 3 2 = f. 18 12 10 6 = g. 3 2 2 3 xy y 2x y x y x
h. 3 2 4 3 5 z y x = i. z y x 2 -z 1 y x 8 5 3 4 3 2 =
7. Dari hasil suatu hasil perhitungan ilmu ukur didap[atkan panjang x, y, dan z dari sisi sebuah segitiga sebagai berikut.
8 3 8 5 14 x ; 8 3 1 5 y dan 2 1 5 2 z
a. Sebutkan sisi terpanjang
b. Apakah segitiga tersebut siku-siku.
9. Hitunglah pernyataan berikut, jika diberikan x = -2; y = 4; z = 1/3; a = -1; dan b = ½
a. 2xy 6az b. by ax 4x 3y2 c. 4y 3x y) (x y x2 d. 2 2 3 z xy b a 4 x y
10.Rumus-rumus berikut merupakan terapan praktis dari ilmu keteknikan. Selesaikanlah
sampai 3 angka di belakang koma.
a. S = A ekt jika A = 300; k = 0,05; t = 14 b. T1 = T2 e jika T2 = 80; = 0,4; 6 5 c. 2 2 T L 4π g jika L = 3,5 ; T = 3,4 d. 0,42 0,14 f d 55 S jika d = 3,5; f = 0,2
e. n 1 n 2 1 p p K jika p1= 2; p2 = 4; n = 1,4 f. n 100 r 1 A S jika A = 500; r = 6; dan n = 4 g. n 1 a b r jika n = 9; b = 600; a = 24 h. 4 d 4D p d C 2 2 2 jika d = 4; p = 10; D = 22
10.Hilangkan simbol-simbol pengelompokan dari tiap-tiap pernyataan berikut dan
sederhanakan hasilnya dengan penggabungkan suku-suku yang sejenis.
a. (x + 3y –z) – ( 2y – x - +2z) + (4z – 3x +2y)
b. 3(x2 – 2yz + y2) – 4(x2 – y2 – 3yz) + x2 y2
c. 3x + 4y + 3{x – 2(y – x) – y}
d. 3 – {2x –[1 – ( x + y )] + [x – 2y]}
11. Jumlahka pernyataan aljabar dari tiap-tiap kelompok berikut.
a. 2x2 + y2 – x + y; 3y2 + x – x2 ; x – 2y + x2 - 4y2
b. a2 – ab + abc + 3c2 ; 2ab + b2 - 3bc – 4c2; ab – 4bc + c2 – a2; a2 + 2c2 + 5bc –
2ab
c. 2a2bc – 2cb2 + 5c2ab; 4b2ac + 4 bca2 – 7 ac2b; 4abc2 – 3a2bc – 3ab2c; b2ac – abc2
– 3a2
bc
12. Kurangkan pernyataan aljabar yang kedua dari yang pertama. a. 3xy – 2yz + 4zx; 3zx + yz – 2xy
b. 4x2 + 3y2 – 6x + 4y -2; 2x – y2 + 3x – 4y + 3
13. Tentukan hasil kali pernyataan aljabar di tiap-tiap kelompok berikut.
a. -4x2y; 3xy2 – 3xy2 – 4xy
b. r2s + 3rs3 – 4rs + s3; 2r2s4 c. y – 4; y + 3 d. x3 + x2y + xy2 + y3; x – y e. x2 + 4x + 8; x2 – 4x + 8 f. 3r –s – t2 ; 2s + r + 3t2 g. 3 – x – y; 2x + y + 1; x – y
14. Kerjakanlah pembagian yang doberikan berikut. a. 2 5 2 3 st 4r t s 18r b. 3 2 4 2 3 2 3 c 2ab c b 12a bc 3a 4ab c. 1 x 2 3x 5x 4x3 2 d. x 1 x x 1 2 4 e. 1 3y y 2 3y y 2y 2 5 3 f. 3xy 2y x 2xy x y 5x y 4x 2 2 3 4 2 2 3
15. Kerjakan operasi berikut dengan menggunakan harga-harga x = 1; y = 2 a. (x4 + x2y2 + y4) ( y4- x2y2 + x4) b. 2 2 4 2 2 3 3 4 y x xy y y 2x y x xy x
B. HASIL KALI KHUSUS
Beberapa hasil perkalian yang sering terjadi dalam matematika, diberikan sebagai berikut. Mahasiswa harus mengenal dan pembuktiannya dapat ditunjukkan dengan mengalikan bentuk tersebut. 1. a(c + d) = ac + ad 2. (a – b)(a + b) = a2 - b2 3. (a + b)(a + b) = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4. (a - b)(a - b) = ( a - b)2 = a2 - 2ab + b2 5. (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab 6. (ax + b)(cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd 7. (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd 8. (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 9. (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 10.( a - b )( a2 + ab + b2 = a3 – b3 11.( a + b )( a2 - ab + b2 = a3 + b3 12.(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2 ac + 2 bc
13.Bentuk – bentuk berikut dapat dibuktikan dengan perkalian
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a – b )(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 – b4 (a – b )(a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4 ) = a5 – b5 (a – b )(a5 + a4 b + a3b2 + a2b3 + ab3 + b5 ) = a6 – b6
Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum:
(a – b )(an-1 + an-2 b + an-3b2 + ...+ abn - 2 + b n - 1 ) = a n – bn ... (14) n adalah sembarang bilangan positif ( 1, 2, 3, ...)
Dengan cara yang sama didapatkan:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a + b )(a4 - a3 b + a2b2 - ab3 + b4 ) = a5 + b5
Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum:
(a + b )(an-1 - an-2 b + an-3b2 - ...- abn - 2 + b n - 1 ) = a n + bn ... (15) n adalah sembarang bilangan ganjil( 1, 3, 5, 7, ...)
Contoh Penerapan.
1. (3x +5y)2 = (3x)2 + 2(3x)(5y) + (5y)2 = 9x2 + 30 xy + 25y2 (sifat 3)
2. (7x2 - 2xy)2 = (7x2)2 – 2 (7x2)( 2xy) + (2xy)2 = 49x2 – 28 x3y + 4x2y2 (sifat 4)
3. (x + y + 3)(x + y - 3) = (x + y)2 – 32 = x2 + 2xy + y2 -9
4. (2x – y – 1)(2x – y + 1) = (2x – y )2 – 12 = 4x2 – 4xy + y2 – 1
5. ( xy – 2)3 = (xy)3 – 3(xy)2.2 + 3 xy. 22 - 23 = x3y3 – 6x2y2 + 12 xy – 8
6. (x – 1)( x2 + x + 1) = x3 -1
7. (2x + 3y + z)2 = (2x)2 + (3y)2 + z2 + 2 (2x)(3y) + 2 ( 2x)z + 2(3y).z
= 4x2 + 9y2 + z2 + 12 xy + 4 xz + 6 yz 8. ( x + y + z + 1)2 = [(x + y) + ( z + 1)]2 = (x + y)2 + 2(x + y) ( z + 1) + ( z + 1)2 = x2 + 2xy + y2 + 2(xz + x + yz + y) + z2 + 2z + 1 = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2x + 2yz + 2y + z2 + 2z + 1 9. (u – v)3 (u + v)3 = {(u – v)(u + v)}3 = ( u2 – v2)3 = (u2)3 - 3 (u2)2 v2+ 3 u2(v2)2 –(v2)3 = u6 – 3 u4v2 + 3u2v4 – v6 10.(x2 – x + 1)2( x2 + x + 1)2 = {(x2 – x + 1)( x2 + x + 1)}2 = {(x2 + 1– x)( x2 + 1+ x)}2 = {(x2 + 1)2– x2)} 2 = (x4 + 2x2 + 1 – x2)2 =( x4 + x2 + 1)2 = (x4)2 +( x2)2 + 12 + 2 x6 + 2x4 + 2x2 = x8 + 2x6 + 3x4 + 2x2 +1
Latihan
Carilah tiap – tiap hasil kali berikut 1. a. (2st3 – 4rs2 + 3s3t)(5rst2) b. (5xy + 4)(5xy – 4) c. ( 3 – 2x2)2 d. (xy + 6)(xy - 4 ) e. (2t2 + s)(3t2 + 4s) f. (x2 + 4y)(2x2 y – y) g. (r + s – 1)( r + s +1) h. (x – 2y +z)(x - 2y – z) i. (x2 + 2x +4)(x2 – 2x + 4) 2. a. (2x + 1)3 b. (2x + 2y)3 c. (r - 2s)3 d. (x2 -1)3 e. (ab2 – 2b)3 f. (t – 2)(t2 + 2t + 4) g. (z – x)(x2 + xz + z2) h. (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2) 3. a. (x – 2y + z)2 b. (s – 1)(s3 + s2 + s + 1) c. (1 + t2)(1 - t2 + t4 – t6) d. (3x + 2y)2(3x – 2y)2 e. (x2+ 2x +1)2(x2 - 2x + 1)2 f. (y -1)3(y + 1)3
g. (u + 2)(u – 2)(u2 + 4)(u4 + 16)
4. Faktorkanlah Bentuk Berikut a. 3x2y4 + 6x3y3 =
b. 12s2t2 – 6s5t4 + 4s4t = c. 4y2 – 100 = d. x2y2 – 8xy +16 = e. 4x3y + 12x2y2 + 9xy3 = f. m4 – 4m2 – 21 = g. 4s4t – 4s3t2 – 24s2t3 = h. 36z6 + 6a2b2 + 3b4 = i. y3 + 27 = j. x3y3 – 8 = k. 8x4y – 64xy4 =
5. Sederhanakanlah Pecahan Berikut
a. 2 2 3 3 xy y x x y y x = b. 2 2 2 2 x y 3y 4xy x = c. 27 r 9rs s 3r s r 3 2 3 = d. 3 4 2 2 y y 8x ) 4y (8xy = e. 2 2 3 2 1 4 4 12 6 x x y x xy x = g. ab a)x (b x a 2ax x x a bc cx ab ax 2 2 2 2 2 = h. 3 1 2x 2 5x 2x2 = i. 4 y y 2 y 2 2 y 3 2
j. 32 10x 8x 3 3x 6 6x 5 2x 16 12x 4x 6 3x 2 2 2 2 k. b a b a 1 b a b a b a b a l. 2 y 2 y y 2 1 3y m. 4 y 4 1 2 y 2y y 2 = n. 2 x 2 2 2 1 2 2 o. 1 2a 1 2a 3 1 2 1 1
BAB II
MATRIK DAN DITERMINAN
Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1.Melakukan operasi hitung pada matrik 2. Mencari invers sebu ah matrik
3.Menyelesaikan sebuah sistem persamaan lenier dg menggunakan matrik 4. Menulis bentuk determinan ordo 2
6. Menghitung determinan ordo 2
7. Menghitung determinan nan ordo 3 dengan cara sarrus 8. Menentukan minor dan kofaktor matrik
9. Menghitung determinan ordo n dengan mengunakan Minor dan kofaktor 10.Menyelesaikan sistem liner n variabel dengan determinan
A. Matriks Difinisi:
Matriks adalah suatu kumpulan dari pada angka-angka atau huruf-huruf yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbrntuk empat persegi panjang, di mana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Sebuah matriks dinyatakan dengan huruf besar sedang elemen atau anggotanya apabila merupakan huruf dinyatakan dengan huruf kecil. Apbila sebuah matrik A terdiri dan m baris dan n kolom, maka A bisa ditulis sebagai berikut:
mn m m n n n mxn a a a a a a a a a a a a A ... . . . . ... . . . . ... ... 2 1 3 32 31 2 22 21 1 12 11
(dibaca matriks A ; m kali n, atau A bigitu saja)
aij merupakan elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j , i dan j dinamakan index
yaitu petunjuk letak ( posisi) bagi setiap elemen. Misalnya: 6 4 2 0 7 5 3 1 8 7 5 3 6 4 2 1 A a12 = 3, a22 = 5, dan a43 = 7 1. Ordo matriks
Ordo suatu matriks A adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks A. Jika matrik A memiliki m baris dan n buah kolom, maka matrik A dikatakan
matriks berordi m x n dan ditulis A mxn
Contoh 6 4 2 0 7 5 3 1 8 7 5 3 6 4 2 1 A
2. Jenis-jenis Matris
Matriks kwadrad ( Squre Matriks), ialah matriks di mana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom ( m = n ). Apabila m = n maka matrik A disebut matris kwadrat ordo n atau matriks jajaran genjang . Misalnya:
4 3 4 1 3 5 4 3 2 5 2 1 1 4 3 2 5 4 3 2 B A
Matriks identitas (Identity Matrix), Ialah suatu matrik di mana-mana elemen-elemennya mempunyai nilai 1 pada diagonal pokok dan 0 pada tempat lain di luar diagonal pokok.
Jadi kalau matrik A = (aij), i = j = 1, 2, 3, …, n dan apabila :
aij = 1 untuk i = j
aij = 0 untuk i j
maka matriks adalah matriks Identitas dan biasa dinyatakan dengan In
Misalnya: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 I
Matriks Nol ( Null Matrix), ialah suatu matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol dan biasanya dinyatkan dengan simbul O
Contoh: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O
Tanspose Dari Suatu Matriks . Difinisi:
Transpose dari suatu matriks A =(aij) ialah suatu matriks baru yang mana
elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matrik A dengan syarat bahwa baris-baris
dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang
baru. , dengan kata lain baris ke –i dari matrik A menjadi kolom ke j dari matrik baru.
Biasanya transpose dari Maytrik A dinyatkan dengan A/ ( dibaca A aksen) dan ditulis
A/ =(a /ij) =(aji) Contoh: 5 3 2 6 4 2 5 3 1 maka 5 6 5 3 4 3 2 2 1 . 2 maka . 1 44 34 24 14 43 33 23 13 42 32 22 12 41 31 21 11 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 B B a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a A 3 Operasinal Matriks. Difinisi:
Dua matrik A dan B dikatakan sama yaitu A = B apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen pada baris dan kolom
yang bersangkutan harus sama ( aij = bij ) untuk semua nilai i dan j , dimana :
aij = elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j.
bij = elemen matriks B dari baris ke i dan kolom ke j.
Apabila A tidak sama dengan B ditulis A B ini berarti aij bij untuk semua
beberapa nilai i dan j . Penjumlahan Matriks.
Kalau matriks A = (aij) dengan m baris dan n kolom, dan matriks B = (bij) juga dengan m
baris dan n kolom, dijumlahkan (dikurangkan) maka diperoleh matriks C =(cij) dengan m
baris dan n kolom dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan
(mengurangkan) elemen-elemen matriks A dengan elemen matriks B yaitu : cij = aij bij,
C c c c c c c c c c b b b b b b b b b a a a a a a a a a B A mn n n m m mn n n m m mn n n m m . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 12 1 21 11 Contoh: 16 12 7 14 10 4 11 7 2 9 7 5 8 6 2 6 4 1 7 5 2 6 4 2 5 3 1 9 7 5 8 6 2 6 4 1 7 5 2 6 4 2 5 3 1 B A B A Pengurangan Matriks. A – B = A +(-1)B Contoh: 1 2 3 2 2 0 1 1 0 9 7 5 8 6 2 6 4 1 7 5 2 6 4 2 5 3 1 ) 1 ( 9 7 5 8 6 2 6 4 1 7 5 2 6 4 2 5 3 1 B A B A B A
Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan matriks B, kedua matriks tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama atau dimensinya sama
Hukum assosiatif dan komutatif berlaku juga bagi penjumlahan matriks>
a. A + B = (aij+bij)=(bij+aij)= B + A.
b. (A + B ) + C = ((aij + bij) +cij) = (aij + (bij +cij)) = A + (B + C).
Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k,
Contoh: 3 4 16 8 3 2 8 4 2 2 maka 2 k dan 3 2 8 4 A A
Perkalian Matriks Dengan Matriks. Difinisi:
Apabila Amxn = (aij) yaitu matriks Bnxp = bij matriks dengan n baris dan p kolom,
kemudian dengan perkalian matriks A x B = A.B = AB (tampa tanpa tanda hasil
kali), kita maksudkan suatu matriks Cmxp; (AB=C), yaitu matriks dengan m baris dan
p kolom, di mana elemen C dari baris ke i kolom ke j diperoleh dengan rumus: cij= ai1b1j + ai2b2j + …+ ainbnj n t tj it ij a b c 1 dimana i = 1, 2, 3,……, n dan j = 1, 2, 3, ….,p AB = C C c c c c c c c c c b bp b b b b b b b a a a a a a a a a mp p p m m np p n n mn n n m m . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . 2 1 2 22 12 1 21 11 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 12 1 21 11
Jika diperhatikan benar-benar, maka agar hasil kali AB bisa dicari, syarat utama yang perlu dipenuhi ialah bahwa jumlah kolom dari matriks A, atau matriks pertama, harus sama dengan jumlah baris matriks B atau matrik kedua.
Jadi dalam menentukan apakah dua buah matriks bisa dikalikan atau tidak dan sekaligus untuk menentukan jumlah baris dan dan kolom dari hasil kalinya, kita harus yakin benar bahwa jumlah kolom dari matriks sebelah kiri ( matriks A) harus sama dengan jumlah baris dari matriks sebelah kanan (matriks B).
Contoh: 22 22 12 21 22 12 12 11 21 22 11 21 21 12 11 11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21 11 dan . 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a AB b b b b B a a a a A C AB B A 22 17 16 11 5 . 4 1 . 2 5 . 3 1 . 1 3 . 4 2 . 2 3 . 3 2 . 1 5 1 3 2 4 3 2 1 5 1 3 2 dan 4 3 2 1 . 2 51 15 21 32 10 12 8 . 2 7 . 5 8 . 1 7 . 1 8 . 0 7 . 3 6 . 2 4 . 5 6 . 1 4 . 1 6 . 0 4 . 3 8 7 6 4 2 1 0 5 1 3 8 7 6 4 dan 2 1 0 5 1 3 . 3 AB B A
Perlu juga disebutkan disini bahwa perkalian matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB ≠ BA, didalam hal khusus dimana AB = BA maka kedua matriks itu
dikatakan Commute .
Suatu hal yang perlu diperhatikan ialah bahwa didalam mengalikan dua buah matriks harus benar-benar diketahui matriks mana yang berada di sebelah kiri mana berada disebelah kanan tanda perkalian. AB memang tidak selalu sama dengan BA.
Perkalian Matriks Dengan Scalar
Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k,
Contoh: Jika 1 3 5 dan 4 3 2 B A
4 12 20 3 9 15 2 6 10 4 3 2 1 3 5 26 1 . 4 3 . 3 5 . 2 1 3 5 4 3 2 BA AB
Hasil kali diatas AB ≠ BA.
Latihan 1. Diketahui Matriks: 3 5 4 7 2 6 5 4 3 dan 4 6 5 8 7 4 9 8 3 B A Carilah A + B dan A – B 2 Diketahui Matriks 6 1 2 4 5 1 2 3 4 dan 6 7 5 6 4 3 2 1 8 , 5 4 2 1 2 3 2 4 1 C B A Carilah: a. A + ( B + C ) b. ( A + B ) + C c. A + B + C 3. Dikethui matriks 3 2 4 8 dan 6 4 1 5 , 6 4 3 2 C A Carilah: a. A (BC) b. (AB)C
3 Diketahui Matriks 3 1 2 2 4 6 1 3 4 dan 2 4 5 7 6 4 3 7 8 Y X Carilah: a. 2( X + Y ) b. ( X + Y )2 c. 2X + 2Y 5. Diketahui Matriks: 2 2 1 3 dan 6 3 5 4 B A Carilah: a. ( A + B ) 2 b. A2 + 2 AB + B2 6. Diketahui Matriks 8 9 3 5 4 3 Y X Carilah:
a. X.X/ ( X/ adalah transpose dari X )
b. X/X
c. XY/
d. X/Y
8. Carilah AB jika A dan B
1 1 2 1 0 2 6 4 11 8 3 2 1 1 0 4 2 1 B A
9. Jika 3 4 4 2 3 2 1 1 2 A Tunjukkan bahwa A2 = A 10. Jika 3 Carilah 3 6 3 1 2 1 2 5 1 A 11. . Diketahui matrik 5 q p 2 2 A dan 5 3 2q 4
B , jika A = B tentukan nilai p
12. Jika b a 1 1 2 3 y x dan q p 2 5 3 2 b a maka carilah y x
13. Bila determinan matrik 2
2 2 2 x x x x A maka nilai x 14.Jika A = 1 5 , 0 5 , 0 1 dan B = 3 2 2 1 , tentukanlah: a) B-1 b) B. A c) B-1.A 15. Jika A = 6 0 8 4 7 1 5 3 2
B. SIFAT-SIFAT ELEMENTER DARI DETERMINAN
1. Determinan dari suatu matriks Kwadrat.
Detrminan yang paling mudahialah determinan dari suatu matriks yang mempunyai 2 baris dan 2 kolom. Determinan dari matriks A ditulis /A/ atau det (A).
21 12 22 11 22 12 21 11 ) det( maka Jika A a a a a a a a a
A ( yaitu hasil kali elemen-elemen yang
berada di diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen
yang berada di dagonal dari kanan atas ke kiri bawah).
Misalnya: maka det( ) 4.5 3.2 14
5 3 2 4 Jika A A
Salah satu kegunaan dari determinan adalah untuk menyesaikan sistem persamaan linier. Untuk dua persamaan linier dengan dua variabel dapat diselesaikan dengan determinan matriks ordo 2 Misalanya: Untuk persamaan C AX c c y x b b a a c y b x a c y b x a 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ditulis
Matriks A disebut matriks koefisien dan C disebut matriks konstanta Harga x dan y dapat dihitung sbb:
) det( ) det( ) det( ) det( A A y A A x y x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) det( dan ) det( dan ) det( c c a a A b b c c A b b a a A x y
Misalnya carilah harga x dan y pada sistem persamaan berikut:
2 2 3 4 2 4 y x y x
Pennyesaian dengan determinan: 2 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 4 y x y x y x 2 3 . 2 2 . 4 2 2 3 4 ) det(A 2 3 . 4 2 . 4 2 4 3 4 ) det( dan 4 2 . 2 2 . 4 2 2 2 4 ) det(Ax Ay 2 2 4 ) det( ) det( 2 2 4 ) det( ) det( A A y A A x y x
2. Mencari Determinan Dengan Menggunakan Kofaktor. Difinisi:
Kalau dari matriks A dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke i dan kolom ke j, maka determinan dari matriks kwadrat dengan ( n-1) baris dan (n – 1) kolom,
yaitu sisa matrik yang tinggal disebut matriks Matriks minor dari elemen aij. Dan
dinyatakan dengan Aij Apabila setiap minor ditambahkan tanda + (plus) atau –
(minus) sebagai tanda pada determinant dan selanjutnya dinyatakan dengan simbul:
(-1)i+j Aij , selanjutnya disebut Kofaktor dari elemen aij dan biasanya dinyatkan
dengan Kij. Jadi kofaktor dari elemen aij yaitu Kij = (-1)i+j Aij . Ini berarti setiap
elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri.
Nilai determinan dari matriks A sama dengan penjumlahan dari hasil kali semua elemen daru sesuatu baris (kolom) dari matriks A tersebut dengan kofaktor masing-masing, yaitu:
1. Dengan menggunakan elemen-elemen dari baris ke-i
Det(A) = A = ai1Ki1 + ai2Ki2 + ……+ ainKin n t it itK i n a A Det 1 ,..., 3 , 2 , 1 , ) (
2. Dengan menggunakan elemen-elemen dari kolom ke j
Det(A) = A = a1jK1j + a2jK2j + ……+ anjKnj n t tj tjK n a A Det 1 ,..., 3 , 2 , 1 j , ) (
Contoh:
1. Tentukan determinan dari matriks
1 2 4 2 1 2 3 5 1 A
(i).Dengan menggunakan baris ke 1 ( i = 1).
13 13 12 12 11 11 ) det(A A a K a K a K 7 3 10 2 1 3 5 ) 1 ( 1 ) 6 5 ( 1 2 3 5 ) 1 ( 3 4 1 1 2 2 1 ) 1 ( 13 3 1 13 12 2 1 12 11 1 1 11 A K A K A K Det(A)=1.(-3) + 2(1) + 4(7) = -3 +2 + 28 Det(A) = 27
(ii). Dengan mepergunakan kolom ke 1 ( j = 1)
31 31 21 21 11 11 ) det(A A a K a K a K 0 4 4 2 4 1 2 ) 1 ( 6 ) 8 2 ( 1 4 2 2 ) 1 ( 3 4 1 1 2 2 1 ) 1 ( 31 1 3 31 21 1 2 21 11 1 1 11 A K A K A K Det(A)=1.(-3) + 5(6) + 3(0) = -3 +30 + 0 Det(A) = 27
3. Carilah Determinant dari matriks
3 9 2 7 2 3 3 2 3 7 3 4 2 5 2 3 A
Penyelesaian:
Dengan menggunakan baris pertama ( i = 1 )
14 14 13 13 12 12 11 11 ) det(A A a K a K a K a K 1 10 18 27 ) 9 14 ( 2 ) 27 21 ( 3 ) 18 9 ( 3 2 3 3 7 2 3 9 3 7 3 3 9 2 3 3 3 9 2 2 3 3 3 7 3 ) 1 ( 11 1 1 11 K K 1 ) 8 9 18 ( )] 6 10 ( 2 ) 18 15 ( 3 ) 18 9 ( 2 [ 2 3 2 5 2 3 9 2 5 3 3 9 2 3 2 3 9 2 2 3 3 2 5 2 ) 1 ( 12 2 1 12 K K 1 ) 2 9 12 ( )] 14 15 ( 2 ) 18 15 ( 3 ) 27 21 ( 2 [ 3 7 2 5 2 3 9 2 5 3 3 9 3 7 2 3 9 2 3 7 3 2 5 2 ) 1 ( 13 3 1 13 K K 1 ) 3 12 10 ( )] 14 15 ( 2 ) 6 10 ( 3 ) 9 14 ( 2 [ 3 7 2 5 3 2 3 2 5 3 2 3 3 7 2 2 3 3 3 7 3 2 5 2 ) 1 ( 14 4 1 14 K K 14 14 13 13 12 12 11 11 ) det(A A a K a K a K a K det(A) = 3(1) + 4(1) + 2(-1) + 7(-1) det(A) = -2
3. Sifat-Sifat Determinant.
Kadang-kadang determinant tingkat n ditulis:
nm m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a .... . ... . ... .... .... .... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 33 23 13 2 32 22 12 1 31 21 11
Sifat-sifat determinant yaitu:
I. Pertukaran baris dengan kolom dari determinat tidak mengubah nilai determinant
3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c b a c b a c b a c c c b b b a a a
II. Apabila setiap elemen disebuah baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai determinan
adalah nol. 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 c c c a a a
III. Pertukaran sembarang dua baris ( atau kolom) akan mengubah tanda determinant.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a c c c b b b a a a
IV Apabila dua baris (atau kolom) determinan identik, maka nilai determinant adalah nol. 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 a a a b b b a a a
V. Apabila tiap-tiap elemen pada sebuah baris ( atau kolom ) determinant dikalikan dengan bilangan yang sama p, maka nilai determinant dikalikan dengan p.
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a p c c c b b b pa pa pa
VI. Apabila setiap elemen dari sebuah baris ( atau kolom ) determinan dinyatkan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih ) suku-suku, maka determinan dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih) determinan.
3 2 1 3 2 1 3 ' 2 ' 1 ' 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 c c c b b b a a a c c c b b b a a a c c c b b b a a a a a a
VII. Apabila pada setiap elemen dari sebuah baris (atau kolom) determinan ditambah m kali elemen yang bersesuaian dari sembarang baris ( atau kolom) lain, maka nilai determinan tidak berubah. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 c c c b b b a a a c c c b b b mc a mb a mb a
Minor dari sebuah elemen pada determinant tingkat n adalah determinan tingkat n – 1 yang
diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang diberikan.Minor
dari sebuah elemen dinyatakan dengan huruf besar. Jadi minor dari elemen b3 dinyatakan
oleh B3. Nilai determinan dapat diperoleh dalam suku-suku minor sebagai berikut:
1. Pilih sembarang baris ( atau kolom)
2. Kalikan setiap elemen di baris (atau kolom) dengan minor yang bersesuaian didahului
dengan tanda tanda positif atau negatif sesuai dengan jumlah nomor kolom dan nomor baris genap atau ganjil.
3. Jumlahkan secara aljabar hasil kali yang diperoleh (2).
Sebagai contoh, mari kita ekspansikan determinan
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 d d d d c c c c b b b b a a a a
dengan elemen-elemen dibaris ketiga. Minor-minor dari a3, b3, c3, d3 masing-masing adalah
A3, B3, C3, D3. Tanda yang bersesuaian pada elemen a3 adalah + karena tampak dikolom
pertama dan baris ketiga dan 1 + 3 = 4 adalah genap. Begitu juga tanda-tanda yang
bersesuaian dengan elemen-elemen b3, c3, d3 masing-masing adalah - , + , - . Jadi nilai
determinannya adalah: a3A3 – b3B3 + c3C3 – d3D3.
Sifat VII berguna dalam menghasilkan nol dalam kolom atau baris yang diberikan. Sifat ini digabungkan dengan ekspansi dalam-dalam suku-sukur minor membuat perhitungan nilai determinan lebih mudah.
Misalnya, gunakan sifat VII untuk mentransformasikan determinan 1 4 3 3 1 2 2 2 1 ke dalam
determinan yang nilainya sama dengan nol dibaris pertama kolom kedua dan ketiga. Penyelesaian:
Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan 2 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke dua, maka diperoleh
1 4 3 1 3 0 2 2 1 1 4 3 3 ) 2 )( 2 ( 1 ) 2 )( 2 ( 2 ) 1 )( 2 ( 2 2 1
Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan -3 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke tiga, maka diperoleh
7 2 0 1 3 0 2 2 1 1 ) 2 )( 3 ( 4 ) 2 )( 3 ( 3 ) 1 )( 3 ( 1 3 0 2 2 1
Hasil tersebut bisa diperoleh dalam satu langkah dengan menulis
7 2 0 1 3 0 2 2 1 1 ) 2 )( 3 ( 4 ) 2 )( 3 ( 3 ) 1 )( 3 ( 3 ) 2 )( 2 ( 1 (2)(2) 2 (1) 2 2 2 1
Jika dihitung determinannya diperoleh:
19 )} 1 )( 2 ( ) 7 . 3 {( 1 3 2 2 ) 0 ( 7 2 -2 2 ) 0 ( 7 2 -1 3 ) 1 ( 7 2 0 1 3 0 2 2 1 1 ) 2 )( 3 ( 4 ) 2 )( 3 ( 3 ) 1 )( 3 ( 3 ) 2 )( 2 ( 1 (2)(2) 2 (1) 2 2 2 1 1 4 3 3 1 2 2 2 1
Latihan
Hitunglah nilai diterminan berikut:
1 3 2 5 1 3 5 2 4 . 3 3 3 6 1 1 2 4 5 8 . 2 3 3 6 1 1 2 2 2 4 . 1 2 4 1 1 3 1 2 1 4 1 3 2 3 3 2 1 . 6 4 2 3 1 1 3 0 2 3 1 2 1 1 2 4 3 . 5 3 3 4 2 2 1 2 3 2 3 1 1 1 1 3 2 . 4 4. Bila matrik 7 6 5 a 1 a 2 1 a
A disebut sebagai matrik singular, yaitu Det (A) = 0,
tentukanlah harga a
5. Carilah harga yang memenuhi persamaan:
0 2 2 2 1 3 3 2 3 x x x 6. Selesaikanlah persamaan 0 6 4 3 6 3 2 3 2 x x x
C. INVERSE DARI SUATU MATRIKS KWADRAT
1. Arti Dan Keguanaan Dari Pada Inverse.
Pada suatu persamaan
b a a b x b ax 1
a-1 disebut kebalikan atau inverse dari pada a sebab jika dikalikan yaitu a. a-1= a-1 .a = 1.(
sifat identitas perkalian).Dari persamaan matriks AX = H, jelaslah untuk mencari X (=
vektor kolom) diperlukan inverse dari matriks A yaitu 1/A atau A-1 jadi X jadi X = H/A atau
X = A-1H. Jadi inverse dipergunakan untuk mencari pemecahan suatu sistem persamaan.
2. Difinisi Inverse Dari Suatu Matriks.
Difinisi.
Misalkan A merupakan suatu matriks kwadrat dengan n baris dan n kolomdan I n
suatu matriks identity. Apabila ada square matriks A –1 sedemiakian sehingga berlaku
hubungan sebagai berikut A.A-1 = A-1.A = I, maka A-1 ini disebut inverse dari
matriks A
Selanjutnya bagaimana caranya untuk menghitung suatu inverse. Dalam uraiannya berikutnya akan dibahas akan tetapi sebelumnya diberikan suatu ilustrasi sederhana untuk menghitung inverse dengan cara yang amat sederhana.
Jika diketahui suatu matriks cari 1
5 3 3 2 A A Misalkan d b c a A 1
Maka 1 0 0 1 . 5 3 3 2 . . 1 d b c a I A A ) 4 ( 1 5 3 ) 3 ( 0 5 3 ) 2 ( 0 3 2 ) 1 ( 1 3 2 d b c a d b c a
Dari persamaan (1) dan (3) dengan mengeminasi a diperoleh harga c = -3 Dari persamaan (2) dan (4) dengan mengeminasi b diperoleh harga d = 2 Dengan mensubstitusi harga c = -3 ke (1) diperoleh harga a = 5
Dengan mensubstitusi harga d = 2 ke (2) diperoleh harga b = -3 Jadi harga a = 5, b = -3, c = -3, dan d = 2.
Singga ahkirnya 2 3 3 5 1 d b c a A
3. Mencari Inverse Suatu Matriks Dengan Mempergunakan Adjoint.
Misalkan A suatu matriks kwadrat dengan baris dan kolomnya masing-masing sebesar n.
Jadi A = (aij), i, j = 1,2, 3, ….., n. Dan setiap elemen dari matriks masing-masing
mempunyai kofaktor, yaitu elemen aij mempunyai kofaktor Kij. Apabila semua kofaktor itu
dihitung untuk semua elemen dari matriks A, kemudian dibentuk suatu matriks K dengan kofaktor dari semua elemen matriks A sebagai elemnya, maka:
nn n n n n ij K K K K K K K K K K K .... ... ... ... ... .... .... ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11
disebut matriks kofaktor
Difinisi:
Yang disebut adjoint dari matriks A ialah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari transpose dari semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu
apabila K = Kij, dimana Kij ialah kofaktor dari elemen aij, maka adjoint dari matriks A
yaitu: adj (A) = K/ = (K ij/ = Kji). Jadi Adj (A) = ialah tranpose dari matriks kofaktor
K, yaitu: nn n n n n K K K K K K K K K K A Adj .... ... ... ... ... .... .... ) ( 2 1 2 22 21 1 12 11 / Contoh:
Diketahui suatu matriks A sebagai berikut:
1 3 2 2 2 1 4 1 2 A
Maka adj (A) diperoleh sebagai berikut:
4 ) 6 2 ( 1 1 3 2 2 ). 1 ( 1 3 2 2 dan ) 1 ( 11 11 11 1 1 11 K M M K 11 ) 12 1 ( 1 1 3 4 1 ). 1 ( 1 3 4 1 dan ) 1 ( 12 12 12 2 1 12 K M M K 6 ) 8 2 ( 1 1 2 2 1 ). 1 ( 2 2 4 1 dan ) 1 ( 13 13 13 3 1 13 K M M K 3 ) 4 1 ( 1 1 2 2 1 ). 1 ( 1 2 2 1 dan ) 1 ( 21 21 21 1 2 21 K M M K
6 ) 8 2 ( 1 1 2 4 2 ). 1 ( 1 2 4 2 dan ) 1 ( 22 22 22 2 2 22 K M M K 0 ) 4 4 ( 1 2 1 4 2 ). 1 ( 2 1 4 2 dan ) 1 ( 23 23 23 3 2 23 K M M K 1 ) 4 3 ( 1 3 2 2 1 ). 1 ( 3 2 2 1 dan ) 1 ( 31 31 31 1 3 31 K M M K 4 ) 2 6 ( 1 3 2 1 2 ). 1 ( 3 2 1 2 dan ) 1 ( 32 32 32 2 3 32 K M M K 3 ) 1 4 ( 1 2 1 1 2 ). 1 ( 2 1 1 2 dan ) 1 ( 33 33 33 3 3 33 K M M K 3 4 1 0 6 3 6 11 4 ) ( Jadi / 33 32 31 23 22 21 13 12 11 / 33 23 13 32 22 12 31 21 11 K A Adj K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
Difinisi:
Apabila matriks A adalah matriks kwadrat n baris dan n kolom, dan merupakan
matriks yang non singular yaitu det (A) tidak nol dan Kij kofaktor dari elemen aij,
maka inverse matriks A yaitu A-1 dirumuskan sebagai berikut:
/ / ) ( / / 1 / 1 A K A Adj A A / / .... / / / / .... ... ... ... ... / / .... / / / / / / .... / / / / .... ... ... ... ... .... .... / / 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1 A K A K A K A K A K A K A K A K A K K K K K K K K K K A A nn n n n n nn n n n n Contoh
1. Carilah inverse dari matriks A berikut:
2 1 3 4 A /A/ = 4.2 – 1.3 = 5 22 21 12 11 1 / / 1 K K K K A A 4 ) 4 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 4 22 3 21 3 12 2 11 K K K K 5 / 4 5 / 1 5 / 3 5 / 2 4 1 3 2 5 1 Jadi A 1
2. Carilah inverse dari matriks X berikut:
d c b a X /X/ = ad - cd 22 21 12 11 1 / / 1 K K K K X X
a a K c c K b b K d d K ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 4 22 3 21 3 12 2 11 cb ad a cb ad b cb ad c cb ad d b c d cb ad X a 1 Jadi 1 3. Jika 2 1 2 2 1 3 1 2 4 A carilah A-1 Penyelesaian: 2 1 1 2 , 2 1 1 2 , 2 1 2 1 13 12 11 M M M 3 ) 1 4 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 3 ) 1 4 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 0 ) 2 2 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 4 13 4 13 3 12 3 12 2 11 2 11 M K M K M K 2 3 1 4 , 2 2 1 4 , 2 2 2 3 23 22 21 M M M 5 ) 3 8 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 6 ) 2 8 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 2 ) 4 6 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 5 23 5 23 4 22 4 22 3 21 3 21 M K M K M K 1 3 2 4 , 1 2 2 4 , 1 2 1 3 33 32 31 M M M 2 ) 6 4 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 0 ) 1 4 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 1 ) 2 3 ( ) 1 ( / / ) 1 ( 6 33 6 33 5 32 5 32 4 31 4 31 M K M K M K 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 0 ( 4 / /A a11K11 a12K12 a13K13
3 / 2 0 3 / 1 3 / 5 2 3 / 2 1 1 0 2 0 1 5 6 2 3 3 0 3 1 ) ( / / 1 A Jadi 2 0 1 5 6 2 3 3 0 ) ( 1 -33 32 31 23 22 21 13 12 11 A Adj A K K K K K K K K K A Adj
4. Mencari Inverse Dengan Metode Kounter.
Metode ini didasarkan atas teori transformasi elementer terhadap baris dari matriks yang inversenya akan dicari.
Dalil:
Apabila A suatu matriks kwadrat yang non singular yaitu determinanya tidak
nol, baris dan kolom masing-masing sebanyak n dan In diletakkan disebelah
kanan matriks A, maka diperoleh suatu matiks M yang disebut Augmented
matriks sebagai berikut: M = A In. Selanjutnya apabila terhadap baris-baris
baik pada matriks A maupun matriks In, jelasnya terhadap baris-baris
augmented matriks M, dilakukan troansformasi elementer sedemikian
sehingga matriks A berubah menjadi matriks In maka akan diperoleh inverse
dari matriks A yaitu A-1 yang berada ditempat dari mana In berasal, dengan
kata lain setelah A berubah menjadi In maka In berubah menjadi A-1.
Contoh:
Carilah inverse matriks dengan menggunakan metode kounter, jika matriks A adalah sebagai berikut: 23 1 2 7 5 3 6 2 1 A
Dibentuk augmented M sebagai berikut:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 23 1 2 7 5 3 6 2 1 M
a. Terhadap matriks M, baris yang kedua ditambah dengan 2 kali yang pertama,
baris yang ketiga dikurangi denga 6 kali yang pertama, maka diperoleh mariks
M1.sebagai berikut: 1 0 0 0 1 0 6 2 1 35 3 2 11 1 3 0 0 1 6 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 23 1 2 7 5 3 6 2 1 M 1 1 1 M R R
b. Terhadap matriks M1, baris yang pertama dikurangi dengan 3 kali yang kedua,
baris yang ketiga ditambah 11 kali yang kedua, maka diperoleh mariks
M2.sebagai berikut 1 0 0 11 1 3 16 2 7 2 3 7 0 1 0 0 0 1 11 3 1 0 0 0 1 0 6 2 1 35 3 2 11 1 3 0 0 1 2 2 2 1 M R R M
c. Terhadap matriks M2, baris yang pertama dikurangi dengan 7/2 kali yang ketiga,
baris yang kedua ditambah 3/2 kali yang ketiga, maka diperoleh mariks
M3.sebagai berikut 2 / 1 2 / 3 2 / 7 2 / 11 2 / 35 2 / 71 8 26 49 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 / 1 ) 2 / 3 ( ) 2 / 7 ( 1 0 0 11 1 3 16 2 7 2 3 7 0 1 0 0 0 1 3 3 3 2 M x R R M
Oleh karena A sudah berubah menjadi I3, maka matriks yang berada disebelah
kanan A yaitu I3 menjadi A-1.
Jadi 2 / 1 2 / 3 2 / 7 2 / 11 2 / 35 2 / 71 8 26 49 1 A
Latihan 3
1. Dengan menggunakan Adjoint carilah inverse dari matriks berikut a. 3 0 2 1 A b. 5 0 2 4 1 1 8 0 4 B c. 1 7 3 9 2 5 1 8 7 4 2 7 6 1 4 5 X
2. Carilah inverse dari matrik A, B dan C dengan metode kounter, Apabila matriks A, B
dan C adalah sebagai berikut:
3 9 2 7 2 3 3 2 3 7 3 4 2 5 2 3 dan 1 7 6 9 5 3 2 1 4 , 7 6 5 4 C B A
D. SISTEM PERSAMAAN LINIER
Didalam persamaan linier untuk mengetahui berapa besarnya dari variavel-variabel yang belum diketahui bisa diselesaikan dengan bermacam-macam sistem penyelesaian. Sistem persamaan linier dengan n buah persamaan dan n bilangan anu (variabel) bisa diselesaikan dengan bermacam-macam metode. Diantara metode tersebut yang umum dipergunakan yaitu: metode eleminasi Gauss –Jordan dan metode Aturan Cramer.
Bentuk Umum sistem n persamaan linier dengan n buah variabel adalah:
n nn nn n n n n n n n n n n n n h x a x a x a x a h x a x a x a x a h x a x a x a x a h x a x a x a x a ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 33 32 32 31 31 2 2 2 23 23 22 22 21 21 1 1 1 13 13 12 12 11 11
Dalam bentuk persamaan matriks:
H n X n A nn n n n n n h h h h x x x x a a a a a a a a a a a a .... .... .... ... ... ... ... ... .... .... 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 32 22 12 1 31 21 11 Atau AX = H A= matriks koefisien X= matriks Variabel H = matriks konstanta
1. Metode Elimenasi Gauss-Jordan
Pemecahan dengan metode Gauss-Jordan didasarkan atas teori Row Operation ( Elementary
transformation) terhadap matriks augmegted AH sedimikian sehingga A menjadi I
AH = A H] matriks augmented dari persamaan AX = H
Contoh:
Tentukan harga x1, x2 dan x3 pada sistem persamaan berikut:
16 3 3 10 2 3 16 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Penyelesaian: AX = H 16 10 16 3 1 4 3 2 1 1 3 2 3 2 1 x x x M A H A A H H 16 10 16 3 1 4 3 2 1 1 3 2
Dengan melakukan operasi baris/ row operation ( lihat metode cuonter) sehingga matriks A berubah menjadi matriks I dan H berubah menjadi X. Jadi I.X = H
X = H * ( H yang telah berubah karena row operation)
2 2 1 1 1 5 2 8 14 8 1 5 2 2 / 5 2 / 1 2 / 1 0 0 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 3 ( 2 / 1 16 10 16 3 1 4 3 2 1 1 3 2 R x R M R R x M ) 24 / 1 ( ) 24 / 10 ( ) 24 / 7 ( 78 28 22 24 10 7 0 1 0 0 0 1 5 2 8 14 8 1 5 2 2 / 5 2 / 1 2 / 1 0 0 1 3 3 2 2 2 2 x R R M R x R M
3 2 1 Jadi 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 3 x x x H IX M H I 2. Aturan Cramer.
Untuk menyelesaikan n persamaan linier yang simultan dalam n variabel adalah analog dengan aturan dalam bab sebelumnya untuk kasus n = 3 ataupun n = 3.
Jika diketahui n persamaan linier dengan n variabel x1, x2, x3, ………, xn sebagai berikut
n nn nn n n n n n n n n n n n n h x a x a x a x a h x a x a x a x a h x a x a x a x a h x a x a x a x a ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 33 32 32 31 31 2 2 2 23 23 22 22 21 21 1 1 1 13 13 12 12 11 11 (1)
Misalkan adalah determinan dari koefisien-koefisien x1, x2, x3, ………, xn,yaitu:
nn n n n n n a a a a a a a a a a a a .... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 2 32 22 12 1 31 21 11
Determinan dengan kolom ke k ( yang bersesuaian dengan koefisien-koefisiendari
variebel xk ) diganti dengan kolom dari koefisien-koefisien pada sisi sebelah kanan (1)
dinyatakan dengan k, maka:
0 ; ... , , , 3 3 2 2 1 1 n n x x x x
Apabila 0 ada satu dan hanya satu penyelesaian. Dan apabila = 0 maka persamaan bisa mempunyai penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh:
1. Selesaikanlah sistem persamaann berikut dengan menggunakan determinan:
5 4 3 2 0 2 3 6 3 2 2 4 2 w z y x w z y x w z y x w z y x Penyelesaian: 86 5 0 6 4 1 1 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 258 4 2 3 1 5 0 6 4 3 1 2 1 2 3 1 2 172 4 2 3 1 1 1 2 1 5 0 6 4 2 3 1 2 86 4 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 1 5 0 6 4 86 4 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 4 3 2 1 1 86 86 dan ; 3 86 258 ; 2 86 172 y ; 1 86 86 2 3 4 1 w z x
2. Arus-arus i1,i2,i3,i4,i5( diukur dalam amper) dapat ditentukan dari sistem persamaan
3 2 0 2 2 2 1 5 3 3 2 5 4 3 1 5 4 3 2 5 3 2 1 5 4 2 3 2 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i 19 1 2 1 1 0 2 2 0 3 0 1 1 1 0 1 0 2 1 1 2 1 0 1 0 1 ; 38 1 2 1 1 0 2 2 0 3 0 3 0 1 5 3 0 2 1 1 2 1 0 1 0 1 3 amper 2 19 38 3 3 i Latihan
1. Dengan menggunakan cara matrik selesaikanlah persamaan berikut
2 4 6 4 8 2 3 5 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x
1. Selesaikan Setiap sistem persamaan berikut dengan menggunakan determinan:
2 2 3 2 12 4 2 4 3 4 2 3 2 4 3 2 ). w z y x w z y x w z y x w z y x a 4 3 0 4 2 5 3 5 3 2 ). y x w x w z w z y z y x b
2.Carilah i1 dan i4 untuk sistem persamaan arus pada suatu rangkaian:
5 2 9 2 2 3 2 3 0 2 2 2 3 4 3 2 2 1 5 3 1 5 4 2 1 5 4 3 2 1 4 3 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i
BAB III GEOMETRI
Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menunjukan hubungan antara derajat dengan radian 2. Mengetahui sifat-sifat segitiga
3. Menghitung luas luas segitiga 4. Mengetahui sifat-sifat segi empat
5. Menghitung luas segi empat(persegi empat, bujur sangkar, jajaran genjang, belah ketupat dan trapesium)
6. Mengit:kll,luas, dan luas bagian lingkaran
7. Menghitung luas daerah dengan aturan Tarapesium 8. Menggambar betuk prisma, limas, . bola dan elipsoida
9. Menghit luas permukaan prisma kubus,baluk,tabung, limas, kerucut dan bola 10. Menghit volume sebuah prisma, balok,tabung, kerucut, bola dan elipsoida
1. Sudut Datar dan Garis
Sudut datar adalah daerah yang dibentuk oleh perpotongan dua garis pada satu titik.
A O .
B AOB
Bisa juga diartikan sebagai daerah yang dibentuk bila sinar garis diputar, sudut besarnya positif bila arah putaran berlawanan denga arah jarum jam dan sudut besarnya negatif bila arah putaran searah dengan jarum jam.
+
Satuan sudut yang sering digunakan adalah derajat dan radian
1 putaran = 3600 (derajat) 1 derajat = 60’ (menit) 1 menit = 60 “ (detik) lingkaran jari jari lingkaran busur Panjang radian dalam Sudut
Hubungan antara radian dan derajat adalah sebagai berikut Keliling lingkaran = 2 r
Sudut dalam radian = 2 2
r r
1 putaran = 3600 ( sama dengan keliling limgkaran), berarti
2 radian = 3600 radian = 1800 1 radian = 0 0 3 , 57 180
Contoh 1 : Nyatakan sudut 1,5 radian dalam derajat dan menit
Jawab: 0 0 56 , 85 180 5 , 1 5 , 1 rad
Contoh 2: Nyatakan sudut 1100 kedalam radian Jawab: 1,92 . 180 110 110 0 0 0 rad
Ada beberapa jenis sudut yaitu:
Sudut lancip 00< <900
Sudut siku =900
Sudut tumpul 900< <1800
Sudut lurus =18900
Sudut refleks 1800< <3600
Dua sudut yang 900 merupakan sudut penyiku atau komplemen, dan dua sudut yang
jumlahnya 1800 merupakan sudut pelurus atau suplemen . Komplemen dari 350 adalah 450
dan suplemennya adalah 1450
Jika dua garis lurus berpotongan, ada dua sudut bertolak belakang yang sama.
1 2 A 3 4 belakang bertolak sudut Sudut 4 2 3 1 A A A A
Jika ada dua garis sejajadipotong oleh satu garis lurus, maka ada sudut-sudut yang sama, yaitu:
Sudut sehadap
Sudut dalam berseberangan Sudut luar bersebrangan
3 2 A 4 1 3 2 B 4 1 an bersebrang luar sudut Sudut an bersebrang dalam sudut Sudut sehadap sudut Sudut 1 3 4 2 2 4 3 1 4 4 3 3 2 2 1 1 B A B A B A B A B A B A B A B A Contoh
Hitunglah pada gambar berikut:
1240
1000
Jawab
Untuk mempermudah penyelesaian buat perpanjangan setiap garis
124o 100o x y = 1800 +( x + y ) = 1800 +( 800+ 860 ) = 440
2. Bentuk bidang dalam demensi dua 1. Segitiga
Bentuk-bentuk segitiga
Dilihat dari sisi dan sudutnya ada beberapa jenis segitiga, yaitu:
a. Segitiga lancip, semua sudutnya lebih kecil dari 900
b. Segitiga siku-siku, salah satu sudutnya 900
c. Segitiga tumpul, salah satu sudutnya lebih dari 900
d. Segitiga samakaki, ada dua sisi dan dua sudut yang sama
e. Segitiga sama sisi, ketiga sisinya mempunyai panjang yang sama.
Dalam setiap segitiga berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
a). Jumlah sudut dalamnya sama dengan 1800.( + + = 1800)
b). Jumlaj sudut luar sama dengan 3600 (.( 1+ 1 + 1 = 3600)
c). Hubungan antara sudut luar denga dalam
1=. + 1 = + 1 = + 1 1 1
Segitiga sama dan sebangun
Dua buah segitiga disebut sama dan sebangun , jika:
a. Satu sisi dan dua sudut sama besar
z z \ .x . y < \ x y < // //
b. Dua sisi dan sudut antara dua sisi tersebut sama besar.
\\ 0 0 /\ /\ c. Ketiga sisinya sama
\ // \ // /\ /\ Segitiga sebangun
Dua segitiga adalah sebagun, jika ketiga sudut yang seletak sama besar C D E A B sebangun adalah dan DEC ABC CBA CDE CAB CDE ACB DCE
Untuk segitiga sebangun berlaku perbandingan berikut (lihat gambar)
CB CE CA CD AB DE
Luas daerah segitiga dan keliling segitiga C b t a A B c Keliling segitiga s = a + b + c 2 ) )( )( ( 2 c b a s c s b s a s s L tinggi x alas L
Garis-garis istimewa pada segitiga a. Garis Berat
Garis berat adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga ke sisi segitiga dan membagi dua sama besar sisi dihadapannya
C \ // D Z E \ zb \\ za zc A /\ /\ B F
Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik Z dengan perbandingan ZA:ZE = 2: 1
ZB:ZD = 2:1 ZC:ZF = 2:1
Panjang garis berat 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 c b a zc b c a zb a c b za c. Garis tinggi.
Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga sehingga tegak lurus dengan sisi dihadapannya.
C tc E D T ta tb A B F
Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik T
Perbandingannya ta : tb : tc = 1/a : 1/b : 1/c Panjangnya: . 2 ) )( )( ( 2 . 2 ) )( )( ( 2 . 2 ) )( )( ( 2 L c c s b s a s s c t L b c s b s a s s b t L a c s b s a s s a t c b a d. Garis bagi
Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga kesisi dihadapannya sedemikian hingga membagi dua sama besar sudut tersebut.
C 0 0 b I a * Ia Ib ** * ** A c1 c2 B c
Ketiga garis bagi sebuah segitiga berpotongan di satu titik I Perbandingannya: c 1 : c2 = b:a c a ac c b a bc c1 dan 2 Panjangnya: 2 1 2 1 2 1 c c ab i b b ac i a a bc i c b a
Teorema Phytagoras pada segitiga
Pada setiap segitiga siku-siku berlaku: kwadrat sisi miring sama dengan jumlah kwadrat yang lain.
a c
b
Perbandingan seharga dalam segitiga a e a e c c b f b f d d a : b = e : f a : ( a+b) = c : f e : (e+f) = c : d Contoh
Hitunglah x dari dua segitiga berikut:
C F 600 60 cm 600 15 cm A 400 D E x 8 cm Jawab
Dari ABC: BAC = 1800 – ( 600 + 400) = 800
Dari DEF: DEF = 1800 – ( 600 + 800) = 400
Berarti ABC dan DEF sebangun, sehingga berlaku:
cm x x FE CB x 32 8 . 60 15 15 60 8
Contoh Soal
1. Sebuah baji yang simetris mempunyai panjang ( dari alas kepuncaknya 100 mm).
Lebar alasnya 20 mm. Bila baji tersebut ditempatkan pada celah yang lebarnya 8 mm, berapakah panjang baji tersebut dari celah
Penyelesaian: Misalkan panjang baji dari celah = x mm
20 mm 8 mm x 100 - x 100 mm 100 : (100-x) = 20 : 8 x = 60 mm
2. Sebuah kerucut mempunyai diameter 48 mm dengan tinggi 60 mm. Dari kerucut
ini dibentuk kerucut yang lebih kecil yang tingginya 20 mm. Hitung diameter dari kerucut yang lebih kecil tersebut.
Penyelesaian: A 20 20 D F F 60 24 24
B G C 48 AFE AGC 8 24 3 / 1 24 60 20 FE X FE FE GC FE AG AF
Jadi diameter kerucut yang lebih kecil 2.8 mm =16 mm
Soal-soal tentang segitiga
1. Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 15 mm, 24 mm, 36 mm, panjang sisi terpendek
segitiga sebangunnya adalah 20 mm. Hitunglah panjang kedua sisi yang lainnya.
2. Sabuk penggerak bersilangan menghubungkan pully yang berdiameter 100 mm dan 240
mm. Hitung jarak di mana sabuk bersilangan diukur dari pusat pully yang terbesar.
240 mm
100 mm
400 mm
3. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku 100 mm. Dua sisi lainnya mempunyai
perbandimgan 5:1. Hitunglah panjang sisi terpendek.
4. Profil yang tidak mempunyai garis lurus seperti gambar.
R=120
R = 50 w
Hitung lubang yang paling kecil dari frofil (w)
5. Tiga kabel melalui lubang berbentuk lingkaran. Bila kabel berdiameter 8 mm. Tentukan
kemungkinan terkecil diameter lubang (D) Gambar.
6. Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 78 mm dan 50 mm berpotongan pada A
dan B. Jika tali busur AB mempunyai panjang 30 mm, sedangkan C dan D masing-masing adalah lingkaran yang besar dan kecil . Hitunglah:
a. Jarak pusat lingkaran – lingkaran tersebut ( CD)
b. Luas setiga CAD
2. Segiempat.
Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup.
D
C AB; CB; CD; dan DA sisi-sisi segiempat A
B
D c C E d b A a B AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal
Keliling = 2 ( panjang + lebar ) Luas = panjang x lebar
2.2. Bujur Sangkar D a C a E a A a B AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal AC = BD AE=EC=DE=EB DE AC Keliling = 4a Luas = a2 2.3.Jajaran Genjang
Sifat-sifat jajaran genjang:
- Dua buah pasang sisinya sejajar
- Sudut yang berhadapan sama besar.
D C E A B
AC = DC ; AD = BC
AE = EC ; DE = EB
A = C ; B = D Kll = ( AB + BC ).2 Luas = alas x tinggi atau Luas = ½ ( hasil kali diagonal) Contoh:
Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing 5
mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 600 . Hitunglah:
a). Panjang diagonal-diagonalnya b). Luas jajaran genjang
c). Jarak antara garis-garis yang sejajar.
Penyelesaian: D C 600 A F B E G a. BE = ½ BC BE = ½ x 5 =2,5 CE = ½ 3x BC = 2,5 3. mm BD FB DF BD mm AC CE AE AC 7 49 ) 5 , 2 8 ( ) 3 5 , 2 ( 36 , 11 ) 3 5 , 2 ( ) 5 , 2 8 ( 2 2 2 2 2 2 2 2
b. Luas = alas x tinggi
L = AB x DF
L = 8 x 2,5 3=34,64 mm
c. DF = 2,5 3 = 4,33 mm
BG = ½ AB = ½ . 8
= 4 mm 6,93mm 48 4 8 AG BG AB AG 2 2 2 2 2.4. Belah Ketupat
Sifat-sifat belah ketupat
-. Panjang semua sisi adalah sama -. Sisi yang berhadapan adalah sejajar
-. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar. D C E A B AB = BC = CD = DA AB//CD AD//BC DE AC Luas = ½ ( AC x BD ) Luas = alas x tinggi
2.4. Trapesium
Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar.
D C A B AB//CD + + + = 3600 Kll = AB + BC + CD + DA x tinggi 2 sejajar sisi Jumlah Luas
Trapesium siku-siku di titik A D C A B (AD) x 2 DC AB Luas
Trapesium sama kaki
D C AB//DC AD = BC = = A F B (DF) x 2 DC AB Luas Contoh:
1. Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal terpanjang 10,5 mm
D 10,5 A C 7,2 B Penyelesaian: Metode 1.
Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5
a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2 2 87 , 25 ) 2 , 7 45 , 12 )( 5 , 10 45 , 12 )( 2 , 7 45 , 12 ( 45 , 12 Luas ) )( )( ( Luas 45 , 12 2 2 , 7 5 , 10 2 , 7 2 mm ABC c s b s a s s ABC c b a s
Luas belah ketupat (L) = 2 x L. ABC
L = 2 x 25,87 = 51,7 mm2
Dengan metode 2 Dengan jajaran genjang.
Diagonal AD dan CB saling berpoyongan tegak lurus ditengah-tengah sehingga ABE segitiga siku-siku. D A E C 7,2 B AB = 7,2 AE = ½ x AC = ½ x 10,5 = 5,25
(AB)2 = (AE)2 + (BE)2
(7,2)2 = (5,25)2 + (BE)2
(BE)2 = 51,84- 27,56
(BE)2 = 24,28
BE = 4,93
Diagonal BC = 2 (BE) = 2 x 4,93 = 9,85 Luas belah ketupat = ½ ( hasil kali diagonal )
2. Perbandingan garis sejajar sebuah trapesium 7 : 10. Jarak antaranya ½ kali sisi
terpanjang. Luas trapesium itu 170 mm2. Hitunglah panjang sisi-sisi trapesium tersebut.
Penyelesaian: D a C c A E b B 20mm 1,7 680 b 1,7 170.4 b 170 b 2 1 . 2 b) b 10 7 ( 170 .c 2 b) (a b 2 1 c dan b 10 7 a 10 7 b a 2 a = 7/10 x 20 = 14 dan c = ½ x 20 = 10 3. Segi Banyak.
3.1. Segi Banyak Tak Beraturan.
Segi n tak beraturan : Garis yang menghubungkan setiap dua titik sudut disebut
diagonal. Jumlah titik sudut (n) pada segi n adalah = (n –2 )x 1800. Banyak
diagonal yang ditarik dari titik sudut = n – 3. Banyak diagonal seluruhnya = ½ n ( n – 3)
D
C
E
B A
3.2. Segi Banyak Beraturan.
Besar Sudut segi n beraturan menjadi
n 180 x 2) -(n 0
; n adalah jumlah sisi segi
banyak.
Lingkaran dapat dibuat segi banyak beraturan dengan segi tak berhingga.
Jumlah sisi Nama
3 4 5 6 7 8 10 12
Segi 3 (Bujur sangkar) Segi 5 ( pentagonal ) Segi 6 ( hexagonal ) Segi 7 (heptagonal) Segi 8 (oktagonal) Segi 10 ( dekagonal) Segi 12 (dodekagonal) Contoh:
Segi enam beraturan yang mempunyai panjang sisi 40 mm, maka luasnya dapat dihitung sebagai berikut.
40 40 40
2 57 , 41 ) 40 60 )( 40 60 )( 40 60 ( 60 6 c) -b)(s -a)(s -s(s 6 6 segi Luas 60 2 40 3. s mm 4. Lingkaran
4.1. Jari-jari, tali busur dan sumbu simetri.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r).
P r
diameter tali busur
Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan talibusur.
Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis tengah/diameter
Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali busur, membagi dua tali bususr itu. Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali busur, tentu tegak lurus talibusur itu. Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu
A M B
