Logika Klasik Misalkan himpunan klasik A dan B. P adl nilai kebenaran bahwa x A dan Q adl nilai kebenaran bahwa x B. jika x A maka T(P) = 1, jika x A

Logika Fuzzy

 _{Logika Klasik}

Misalkan himpunan klasik A dan B. P adl nilai kebenaran bahwa xA dan

Q adl nilai kebenaran bahwa xB.

jika xA maka T(P) = 1, jika xA maka T(P) = 0

jika xB maka T(Q) = 1, jika xB maka T(Q) = 0

Atau menggunakan fungsi karakteristik sebagai berikut (untuk P adl nilai

kebenaran bahwa xA) :

Operator OR maka Operator AND maka Operator NOT Jika T(P) = 1 maka Jika T(Q) = 1 maka 3 0 ) (P  T 0 ) (Q  T

 _{Logika Fuzzy}

Misalkan himpunan fuzzy A dan B. P adl kebenaran yang didefinisikan pada himpunana fuzzy A

Dengan cara yang sama Q adl kebenaran kebenaran yang didefinisikan pada himpunana fuzzy B.

Operator-operator dasar pada logika klasik juga berlaku pada logika fuzzy, yaitu OR, AND, dan NOT

Operator OR maka Operator AND maka Operator NOT 5

 Ada banyak cara untuk menentukan nilai-nilai atau fungsi-fungsi keanggotaan ke variabel fuzzy

 _{Proses ini dapat dilakukan dengan cara intuitif atau berdasarkan suatu algoritma}

atau operasi logika tertentu

 _{Beberapa metode yang dapat digunakan adalah:}

 Intuisi

 Inferensi

 Urutan rangking (rank ordering)

 Penalaran induktif

 Jaringan saraf

 Algoritma genetik

 _{Metode ini hanya berdasarkan intuisi manusia belaka}

 _{Diturunkan dari kapasitas manusia untuk membentuk fungsi}

keanggotaan melalui kecerdasaan dan pengetahuannya sebagai manusia saja

 _{Intuisi meliputi pengetahuan kontekstual dan semantik terkait masalah}

yang bersangkutan; juga termasuk nilai kebenaran linguistik Contoh:

Fungsi keanggotaan untuk variabel fuzzy suhu dalam serajat celcius yang berbagi menjadi sangat dingin, dingin, normal, panas, dan sangat panas

Ilustrasi:

 _{Fungsi keanggotaan di atas tentu saja untuk suatu konteks tertentu,}

misalnya untuk jangkauan suhu dimana manusia merasa nyaman. Jika konteksnya berbeda misalnya untuk jangkauan suhu dimana mesin dapat beroperasi aman maka kurvanya akan berubah.

Contoh

Misalkan semesta berat badan manusia dalam kilogram. Gunakan intuisi untuk menentukan fungsi keanggotaan yang mungkin.

Penyelesaian:

Misalkan dalam bahasa manusia dikatakan:

Sangat Ringan (VL) adalah berat badan kurang atau sama dgn 30 kg Ringan (L) adalah berat badan 30 – 45 kg

Rata-rata (A) adalah berat badan 45 – 60 kg Berat (H) adalah berat badan 60 – 75 kg

Sangat berat (VH) adalah berat badan lebih dari 75 kg

 _{Dalam metode inferensi digunakan penalaran deduktif, artinya akan}

dilakukan deduksi atau menarik kesimpulan dimana ada sejumlah fakta dan pengetahuan yang telah dimiliki

 _{Contoh: akan dilakukan identifikasi sebuah segitiga, maka akan dilihat}

fakta apa saja yang ada dan diperlukan pengetahuan mengenai geometri serta bentuk-bentuk geometri

 _{Jika fungsi keanggotaan tentang suhu di atas ditentukan menggunakan}

metode inferensi, fakta-fakta apa yang harus diketahui dan pengetahuan tentang apa pula yang harus diketahui sebelumnya?

Identifikasi Jenis Segitiga. Sudut segitiganya adalah A, B, dan C, dengan

urutan A ≥ B ≥ C ≥ , serta U adalah semesta segitiga yaitu

U = {(A, B, C) | A  B  C  ; A + B + C = 18 } Segitiga akan dikelompokkan ke dalam 5 jenis yaitu:

I : mendekati segitiga sama kaki R : mendekati segitiga siku-siku

IR : mendekati segitiga sama kaki dan siku-siku E : mendekati segitiga sama sisi

Penentuan nilai keanggotaan akan dilakukan dengan metode inferensi karena kita mempunyai pengetahuan tentang geometri untuk membantu menentukan nilainya.

harus diingat bahwa A  B  C   dan A + B + C = 18 

Maka:

 _{Utk segitiga yg mendekati segitiga sama kaki (I) maka:}

Misalnya, jika A = B atau B = C maka nilai keanggotaan dlm segitiga sama kaki _I = 1; dan jika A = 120, B = 60, C = 0 maka _I = 0

(Ingat bhw pd segitiga samakaki, dua sudutnya pasti sama besar)

 _{Untuk segitiga siku-siku (R)}

Misalnya:

Jika A = 90 maka nilai keanggotaan dlm segitiga siku-siku _R = 1; dan jika

A = 180 maka _R = 0 (Ingat bhw pd segitiga siku-siku, satu sudutnya pasti

sebesar =90 ).

 _{Untuk segitiga sama kaki dan siku-siku (IR)}

Untuk ini bisa ditentukan dengan mengambil logika irisan (operator AND) antara fungsi keanggotaan segitiga sama kaki dan fungsi keanggotaan segitiga siku-siku

 _{Untuk segitiga sama sisi (E)}

Misalnya:

Jika A = B = C maka nilai keanggotaan dlm segitiga siku-siku _E= 1; dan jika

A = 180 maka _E = 0. (Ingat bhw pd segitiga sama sisi maka A = B = C =

60).

 _{Untuk segitiga lainnya (T)}

Untuk ini akan digunakan aturan De Morgan atau komplemen dari union I, R, E.

Menggunakan ketentuan fungsi keanggotaan di atas, maka misalkan ada suatu segitiga x pada gambar di bawah. Termasuk dalam himpunan

fuzzy yang manakah segitiga x tersebut? Dapat ditentukan dengan

menghitung nilai keanggotaan segitiga x tersebut dlm himpunan fuzzy I, R, IR, E dan T, kemudian meemilih nilai keanggotaan yang terbesar untuk menentukan jenis segitiga x.

{X | A = 85  B = 50  C = 45; A + B + C = 180} Tentukanlah nilai keanggotaan dalam himpunan: - segitiga sama kaki (I)

- segitiga siku-siku (R)

- segitiga sama kaki dan siku-siku ((IR) - segitiga sama sisi (E)

- segitiga lainnya (T)

Nilai keanggotaan segitiga x dalam himpunan segitiga sama kaki (I):

Nilai keanggotaan segitiga x dalam himpunan segitiga sama sisi (E) :

Tugas: Tentukan nilai keanggotaan segitiga x dalam jenis segitiga yang lain.

18

92

,

0

0833

,

0

1

)

5

(

60

1

1

)

5

,

35

min(

60

1

1

)

(















    

x

I



78

,

0

222

,

0

1

)

40

(

180

1

1

)

(











 

x

E



Selengkapnya:

Terlihat bahwa nilai keanggotaan segitiga x yang tertinggi adalah dalam jenis segitiga siku-siku yaitu sebesar 0,94. Bagaimana dengan yang lain?

19

05

,

0

)

(

92

,

0

)

(

78

,

0

)

(

94

,

0

)

(

92

,

0

)

(











x

x

x

x

x

T IR E R I











Menggunakan ketentuan fungsi keanggotaan segitiga seperti di atas, maka tentukan jenis suatu segitiga y jika sudut-sudutnya adalah 45, 75, dan 60.

Tentukanlah nilai keanggotaan dalam: - segitiga sama kaki (I)

- segitiga siku-siku (R)

- segitiga sama kaki dan siku-siku (IR) - segitiga sama sisi (E)

- segitiga lainnya (T)

 _{Nilai keanggotaan variabel fuzzy dapat ditentukan menggunakan}

metode-metode untuk mengakses preferensi dari seseorang (individual), suatu komite, atau polling dan cara-cara memperoleh opini yang lain.

 _{Preferensi ditentukan dengan perbandingan berpasang-pasangan}

(pairwise) dan hal ini akan menentukan urutan keanggotaan.

 _Contoh

1o000 orang responden diberi kuesioner untuk memilih sepasang warna yang disukai diantara 5 warna yaitu X = {merah, oranye, kuning, hijau, biru}. Tentukan himpunan fuzzy A pada semesta warna untuk “warna terbaik”

Berikut hasil survai dan ilustrasi penentuan urutan rangkingnya:

Jumlah preferensi untuk setiap warna (jumlahan menurut baris) dihitung dan hasilnya diurutkan rangkingnya pada kolom terakhir.

Presentase preferensi diplot dalam skala yg dinormalisasi maka fungsi keanggotaan diperlihatkan pada gambar berikut.

Hasil fungsi keanggotaan:

Perhatikan bahwa:

urutan diambil menaik fungsinya diskret

 _{Penalaran induktif menarik sesuatu yang sifatnya umum (general) dari}

sesuatu yang khusus (spesifik)

 _{Induksi dilakukan menggunakan prinsip minimisasi entropi. Entropi}

merupakan suatu ukuran ketidakpastian dari suatu distribusi; entropi juga didefinisikan sebagai nilai ekspektasi informasi. Dikatakan bahwa aturan induksi adalah suatu aturan yang konsisten dengan semua

informasi yang ada (available) dimana entropinya minimum

 _{Dalam kasus satu dimensi; misalkan probabilitas kejadian sampel ke-i}

yaitu w_i adalah {p(w_i)}. Jika kita observasi w_i di masa datang dan ternyata

benar maka kita bisa menghitung nilai informasinya yaitu I(w_i)

Dan jika ternyata tidak benar maka nilai informasinya adalah:

Entropi untuk keseluruhan N sampel adalah:

Dengan:

k : parameter normalisasi p_i = p(w_i)

tanda negatif dalam k digunakan utk memastikan bahwa S   karena

ln x   untuk   x  1

 _{Untuk membagi data set ke dalam fungsi keanggotaan, diperlukan}

prosedur untuk menentuan nilai ambang (threshold) antara kelas-kelas

data.

 _{Garis nilai ambang dapat ditentukan menggunakan metode screening}

minimisasi entropi, kemudian selanjutnya dilakukan proses segmentasi; pertama data dibagi menjadi 2 kelas. Prosedur kemudian diulang-ulang dengan cara yg sama sampai diperoleh segmentasi sesuai jumlah kelas (himpunan fuzzy) yang diinginkan.

 _{Cara ini dilakukan untuk membagi data ke dalam kelas-kelas sekaligus}

Misalkan contoh pada gambar berikut:

Misalkan akan dicari nilai ambang utk sampel pada jangkauan nilai x₁

hingga x₂. Tentukan entropi utk wilayah [x₁, x] dan [x, x₂]; wilayah

pertama disebut wilayah p dan wilayah kedua disebut wilayah q. Dengan cara memindah-mindahkan nilai ambang x, maka dapat diperoleh entropi

utk tiap nilai ambang x yg berbeda  pilihlah yg minimum

Entropi utk tiap nilai ambang x dlm wilayah x₁ dan x₂ ditentukan sbb:

Dengan

Dan

p_k(x) : probabilitas kondisional utk kelas k pd wilayah [x₁, x₁+x]

q_k(x) : probabilitas kondisional utk kelas k pd wilayah [x₁+x, x₂]

p(x) : probabilitas semua sampel berada dlm wilayah [x₁, x₁+x]

q(x) : probabilitas semua sampel berada dlm wilayah [x₁+x, x₂]

p(x) + q(x) = 1

Nilai x yang membeikan entropi minimum disebut nilai ambang optimum. Berikut formula-formula yg dibutuhkan:

Dengan:

n_k(x) : jumlah sampel kelas k yg berada di [x_ℓ, x_ℓ +x]

n(x) : jumlah total sampel yg berada di [x_ℓ, x_ℓ +x]

N_k(x) : jumlah sampel kelas k yg berada di [x_ℓ +x, x₂]

N(x) : jumlah total sampel yg berada di [x_ℓ +x, x₂]

n : jumlah total sampel di [x₁, x₂]

ℓ : jarak tertentu dalam interval [x₁, x₂]