Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P14 15

(1)

Integral Fungsi Multivariabel

(2)

•

TIU :

 Mahasiswa dapat melakukan integral fungsi multivariabel

•

TIK :

 Mahasiswa mampu menggunakan integral ganda untuk mengevaluasi integral lipat pada daerah planar

 Mahasiswa mampu menghitung volume benda

• Sub Pokok Bahasan :

 Integral Lipat Dua

(3)

Jika f suatu fungsi dua variabel yang terdefinisi pada

suatu persegi panjang tertutup R, Jika :

ada, maka dikatakan f dapat diintegralkan pada R.

Lebih lanjut, disebut integral lipat dua

dari f pada R, diberikan oleh :









 

n

k

k k

k

P f x y A

1

0 ,

lim

 



R

dA y x f ,

 









  _ 

n

k

k k

k P

R

A y

x f dA

y x f

1 0

, lim

(4)

 Integral Lipat Dua

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

(5)

R = {(x,y) : a < x < b, c < y < d}, Maka :

 

x

y

dA

f

x

y

dy

dx

f

dy

dx

y

x

f

dA

y

x

f

b

a d

c R

d

c b

a R

 



 































)

,

(

,

(6)

Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini

4. Tentukan volume V dari benda pejal di bawah permukaan z = 4-x2_-y

dan di atas persegi panjang R = {(x,y) : 0 < x < 1, 0 < y < 2}

Problem Set 13.2 No. 1 - 24

(7)

daerah yang ditentukan oleh :

S = {(x,y) : f₁(x) < y < f₂(x), a < x < b} Maka :

(8)

Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini





 





1

0 0 5

3

2 2

2 .

2

10 4

. 1

dy dx ye

dx dy y x

y

x x

(9)

3. Dengan menggunakan integral lipat hitung volume tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan permukaan 3x+6y+4z-12=0

4. Hitung volume benda pejal di oktan pertama (x>0, y>0, z>0), yang dibatasi oleh paraboloid bundar z=x2_+y2_{, tabung x}2_+y2_{=4 dan bidang-bidang koordinat}

(10)

 Luas Permukaan

Misalkan F adalah suatu fungsi tiga variabel yang mempunyai turunan parsial pertama f_x dan f_y yang kontinu. Lihat permukaan F(x,y,z) = k dan misalkan G sebagian dari permukaan yang proyeksinya suatu daerah tertutup terbatas S di bidang x,y. Maka luas permukaan G :

dA f

f G

A

S

y x



 

 1

)

(11)

Jika S daerah persegi panjang di bidang xy yang dibatasi oleh garis x=0, x=1, y=0, dan y=2, tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung z= (4 – x2₎1/2_{yang terproyeksikan pada S.}