Teori Statistika 1 UAS GANJIL 2009-2010

UAS GANJIL 2009/2010

Mata Kuliah : Teori Statistika 1

Soal:

1. X1,X2,...,Xn adalah peubah acak yang saling bebas serta sebarannya identik dengan

sebaran dari peubah acak X yang mempunyai fkp:

fx(x)=

{

1 2e

−x/2_,untuk0 <x<∞

0, untuk x lainnya

Peubah acak Y1,....Yn didefenisikan sebagai berikut :

Y_i=

{

1, bila Xi>E(x)

0,bila X_i≤ E(x)untui=1,2,…, n

Petunjuk : Ingat peubah acak eksponensial dengan =2

a) Perlihatkan bahwa fungsi sebaran untuk peubah acak X adalh :

F_x(x)=P(X ≤ x)=

{

0,untuk x ≤0

1−ex/2

,untuk0<x<∞

b) Perlihatkan bahwa fmp/fkp peubah acak Yi adalah :

fy(y)=

{

e −1

(e−1)1−y, untuk y=0,1 0,untu y lainnya

Ekspektasi peubah acak eksponensial (=2) adalah 2 Petunju : Ingat bentuk peubah acak Bernoulli.

c) Berikan fmp/fkp peubah acak W=

∑

i=1

n

Yi .Tunjukkan bagaimana cara memperolehnya.

2. Peubah acak kontinu (X,Y)mempunyai fkp seperti berikut :

f_{x , y}(x , y)= 1,untuk(x , y)∈A

0,untuk(x , y)lainnya , sedangkan A=

{

(x , y);0<|y|<x<1

}

a) Gambarkan himpunan A pada salib sumbu (X,Y). Petunjuk A=A₁∪A_{2 , sedangkan} A₁=

{

(x , y);0<y<x<1

}

dan A₂=

{

(x , y);0←y<x<1

}

c) Berikan fkp untuk peubah acak (V<W), sebagai hasil transformasi dari peubah acak (X,Y). Tunjukkan bagaimana cara memperolehnya.

3. Peubah acak (X,Y) mempunyai fkp sebagai berikut :

f_{x , y}(x , y)=

{

1

1−x, untuk o<x<y<1

0,untuk(x , y)lainnya

a)Berikan fkp marjinal masing-masing untuk peubah acak X dan Y b)Berikan Cov(X,Y)

4. X1,X2,...,Xn adalah contoh acak dari populasi

X Xi−´¿

¿ ¿2 ¿ ¿

∑

i=1

n

¿

N

(

μ , σ2

)

,_X´₌

∑

i=1

n Xi

n dan S

2

=¿

.

Telah

dibuktikan bahwa W=(n−1)S 2

σ2 menyebar merata secara χ

2 _{dengan derajat bebas}

p=n-1. Jadi fkp untuk peubah acak W adalah :

(p/2)2p.2

Γ¿ ¿ ¿−1w

(

p

2

)

_e−2w_{, untu0<w<∞}

¿ ¿

f_w(w)¿

Perlihatkan bahwa E(S)=c,sedangkan c=

σ Γn

2

Γ(n−1

2 )

√

2