ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN

SENDIKMAD 2012 1

ESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL DENGAN MODEL REGRESI LINIER BERGANDA BAYESIAN

Vania Mutiarani^a, Adi Setiawan^b, Hanna Arini Parhusip^c

a Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, vania.mutiarani@yahoo.com

b Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, adi_setia_03@yahoo.com

c Program Studi Matematika FSM UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, hannaariniparhusip@yahoo.co.id

ABSTRAK

Regresi linier berganda merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan lebih dari satu variabel independen. Dalam makalah ini, diambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan sebagai variabel dependen dan pengeluaran masyarakat Salatiga (pengeluaran untuk konsumsi makanan dan pengeluaran untuk konsumsi non makanan) sebagai variabel independen dengan sampel 𝑛 = 135. Hubungan antar variabel tersebut membentuk garis lurus yang tidak dapat ditentukan secara tepat dan membutuhkan taksiran parameter yang dapat dicari menggunakan model regresi linier Bayesian yaitu dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior (dari model regresi linier Bayesian) dengan bantuan Gibbs sampling. Sehingga dengan mencari rata-rata dari sebanyak 4500 nilai Gibbs sampler diperoleh hasil taksiran parameter yaitu 𝜍²= 0.032, 𝛽₀= 1.44, 𝛽₁= 0.355, dan 𝛽₂= 0.493 dan dihasilkan pula fungsi densitasnya. Dari fungsi densitas tersebut dihasilkan interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter 𝜍², 𝛽₀, 𝛽₁, dan 𝛽₂ berturut-turut yaitu (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan (0.365, 0.621).

Kata Kunci : model regresi linier berganda Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel.

ABSTRACT

Multiple linear regression is a linear regression model using one dependent variable and more than one independent variable. In this paper, data are taken SUSENAS (National Socio- Economic Survey) from BPS Salatiga in 2011. The income is supposed as the dependent variable and expenditure of Salatiga society (expenditure for food consumption and non-food consumption expenditure) as an independent variable with sample size of 𝑛 = 135. The relationship between these variables form a straight line that can not be precisely determined and requires estimates of parameters using the Bayesian linear regression model. Markov chain design can be constructed based on the posterior distribution (Bayesian linear regression model) using Gibbs sampling. So by finding the average of the 4500 of the Gibbs sampler values, point estimation of parameters can be found i.e. 𝜍²= 0.032 , 𝛽₀= 1.44 , 𝛽₁= 0.355 , and 𝛽₂= 0.493 and also its density function.

Based on the density function can be found 95% credible intervals for each parameter estimates 𝜍², 𝛽₀, 𝛽₁, and 𝛽₂ respectively are (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) and (0.365, 0.621) . Keywords : Bayesian multiple linear regression model, parameter estimates, credible intervals.

SENDIKMAD 2012 2 Pendahuluan

Analisis regresi merupakan alat statistik yang banyak digunakan dalam berbagai bidang yang bertujuan untuk mengetahui hubungan antara variabel dependen dan variabel independen (Suwarno, 2009). Hubungan antara variabel dependen dan independen membentuk garis lurus yang disebut juga garis regresi yang tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier.

Untuk memperoleh taksiran parameter tersebut, biasanya dicari dengan metode kuadrat terkecil. Namun, ada cara lain yaitu dengan model regresi linier Bayesian.

Pada makalah terdahulu (Mutiarani dkk., 2012) telah dijelaskan tentang penerapan model regresi linier Bayesian untuk mengestimasi parameter dan interval kredibel dengan mengambil data SUSENAS tahun 2011 yang diperoleh dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel 𝑛 = 30 . Untuk mengestimasi parameter garis regresi dengan model regresi linier Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan bantuan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan diperoleh taksiran parameter yang merupakan rata-rata dari nilai Gibbs sampler yaitu 𝜍² = 0.0057 , 𝛽₀ = 2.101

dan 𝛽₁ = 0.708 sehingga persamaan garis regresi dugaan : 𝑦 = 2.101 +_𝑖 0.708 𝑥_𝑖 dengan 𝑦 adalah dugaan untuk _𝑖 pendapatan masyarakat dan 𝑥_𝑖 adalah pengeluaran masyarakat. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah didapatkan, dihasilkan fungsi densitas untuk masing- masing parameter sehingga interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) 95% untuk taksiran parameter 𝜍² adalah (0.0034, 0.0097), untuk 𝛽₀ yaitu (1.607, 2.601) dan (0.6282, 0.7879) untuk parameter 𝛽₁.

Dalam penelitian ini dilakukan pengembangan dari makalah sebelumnya yaitu dengan model regresi linier berganda. Regresi linier berganda merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan lebih dari satu variabel independen. Dalam makalah ini akan digunakan model regresi linier berganda dalam konteks Bayesian.

Dengan mengambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga (pengeluaran untuk konsumsi makanan dan pengeluaran untuk konsumsi non makanan) dengan sampel 𝑛 = 135, akan dijelaskan bagaimana mengestimasi parameter dan interval kepercayaan Bayesian (interval Kredibel) dengan model regresi linier berganda Bayesian.

SENDIKMAD 2012 3 Dasar Teori

1. Regresi Linier Berganda Bayesian Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Saat model regresi memiliki error yang berdistribusi normal, dan jika bentuk khusus dari distribusi prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia untuk distribusi probabilitas posterior dari parameter model.

Analisis regresi linier berganda adalah pengembangan dari analisis regresi linier sederhana. Analisis regresi linier berganda ialah suatu alat analisis peramalan nilai pengaruh dua atau lebih variabel independen terhadap variabel dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih 𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃, … , 𝑋_𝑛 dengan satu variabel dependen (Suwarno, 2009).

Persamaan regresi ganda dengan dua variabel bebas dirumuskan:

𝑦_𝑖 = 𝛽₀+ 𝛽₁𝑥_1𝑖 + 𝛽₂𝑥_2𝑖 + 𝜀_𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan galat 𝜀_𝑖~𝑁(0, 𝜍²).

Fungsi likelihood :

𝑝 𝐲 𝐗, 𝜷, 𝜍² ∝ 𝜍^{2−𝑛 /2}exp − ¹

2𝜍² 𝐲 − 𝐗𝜷 ^𝑇 𝐲 − 𝐗𝜷 . dengan 𝐗 = 𝟏 𝑥_1𝑖 𝑥_2𝑖 ; 𝜷 = 𝛽₀, 𝛽₁, 𝛽₂ ^T.

1.1. Distribusi Prior Konjugat Prior konjugat adalah suatu prior yang jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan suatu posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior (Gelman, 2006).

Dengan 𝜷 = 𝛽₀, 𝛽₁, 𝛽₂ ^T, bentuk untuk prior :

𝑝 𝜷, 𝜍² = 𝑝 𝜍² 𝑝 𝜷 𝜍²

dengan 𝜍² berdistribusi Inv − Gamma(𝑎₀, 𝑏₀) dengan 𝑎₀ = 𝑣₀/2 dan 𝑏₀ = 𝑣₀𝑠₀² dengan 𝑣₀ = 1 dan 𝑠₀² = 1 . Kepadatan prior ditulis sebagai

𝑝 𝜍² ∝ 𝜍^{2 − 𝑣0/2+1} exp −^𝑣0𝑠02

2𝜍² . Lebih lanjut, prior bersyarat 𝜷|𝜍² berdistribusi 𝑁(𝝁₀, 𝜍²𝚲⁻¹₀ ) . Pada makalah ini, 𝝁₀= 𝛽₀⁽⁰⁾, 𝛽₁⁽⁰⁾, 𝛽₂ ^{0 T} = 0, 0, 0 ^T, 𝚲₀ = I dan memiliki kepadatan prior bersyarat :

𝑝(𝜷|𝜍²) ∝ 𝜍^2−𝑘/2exp − 1

2𝜍² 𝜷 − 𝝁0 T𝚲0 𝜷 − 𝝁0

dengan 𝜷 − 𝝁₀ ^T𝚲₀ 𝜷 − 𝝁₀ yang dijabarkan sebagai berikut :

𝛽₀ 𝛽₁ 𝛽₂

− 𝛽₀ ⁰ 𝛽₁ ⁰ 𝛽₂ ⁰

T

I_3×𝟑 𝛽₀ 𝛽₁ 𝛽₂

− 𝛽₀ ⁰ 𝛽₁ ⁰ 𝛽₂ ⁰

= 𝛽0− 𝛽₀ ⁰ , 𝛽1− 𝛽₁ ⁰ , 𝛽2− 𝛽₂ ⁰ I3×𝟑

𝛽0− 𝛽₀ ⁰ 𝛽₁− 𝛽₁ ⁰ 𝛽₂− 𝛽₂ ⁰

= 𝛽₀−𝛽₀^{0 𝟐}+ 𝛽₁−𝛽₁^{0 𝟐}+ 𝛽₂−𝛽₂^{0 𝟐}

Sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :

SENDIKMAD 2012 4

𝑝(𝜷|𝜍²) ∝ 𝜍^{2 −𝑘/2}exp − 1

2𝜍² 𝛽₀− 𝛽₀ ^{0 𝟐}

+ 𝛽₁− 𝛽₁ ^{0 𝟐}+ 𝛽₂− 𝛽₂ ^{0 𝟐}

1.2. Distribusi Posterior

Posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi invers-gamma dan diparameterisasi sebagai berikut :

𝑝(𝜷, 𝜍²|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗)𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi 𝑁 𝝁_𝑛, 𝜍² 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹ dan Inv − Gamma(𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛) dengan

parameternya diberikan oleh 𝑎_𝑛 =¹

2(𝑛 + 𝑣₀) , (pada makalah ini 𝑣₀ = 1 dan 𝑛 = 135)

𝑏_𝑛 = 𝑏₀+¹

2(𝐲^T𝐲 + 𝝁₀^T𝚲₀𝝁₀− 𝝁_𝑛^T𝚲_𝑛𝝁_𝑛), 𝝁_𝑛 = 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹ 𝐗^T𝐲 + 𝚲₀𝝁₀ , 𝚲₀ = I.

Pada makalah ini, 𝐗^T𝐗 bertipe 3 × 3 sehingga 𝚲₀ bertipe 3 × 3 yaitu I_3×3.

1.3. MCMC (Markov Chain Monte Carlo) Salah satu cara untuk merancang rantai Markov yaitu dari distribusi posterior dengan

𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛) dan 𝑝 𝜷 𝜍², 𝐲, 𝐗 ~𝑁 𝝁_𝑛, 𝜍² 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹ yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat.

Jika 𝜍²~Inv − Gamma(𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛), maka : 𝜍²|𝐲, 𝐗~Inv − Gamma ¹

2 𝑛 + 𝑣₀ , 𝑏₀+

1

2 𝐲^T𝐲 + 𝝁₀^T𝚲₀𝝁₀− 𝝁_𝑛^T𝚲_𝑛𝝁_𝑛

(*) Jika

𝛽₀ 𝛽₁ 𝛽₂

~𝑁₃ 𝜇₁ 𝜇₂

𝜇₃ , Σ₁₁ Σ₁₂ Σ₂₁ Σ₂₂ , (Jennings et al., 2010) maka distribusi dari 𝛽₀ bersyarat pada 𝛽₁ ⁰ , 𝛽₂ ⁰ :

𝛽₀|𝛽₁ ⁰ , 𝛽₂ ⁰ ~𝑁 𝜇₁+ Σ₁₂Σ₂₂⁻¹ 𝛽₁ ⁰ 𝛽₂ ⁰ − 𝜇₂

𝜇₃ , Σ₁₁− Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₁₂^′ . (**)

dengan Σ₁₁ = 𝜍₁₁ , Σ₁₂ = 𝜍12 𝜍₁₃ , Σ₂₂ = 𝜍₂₂ 𝜍₂₃

𝜍₂₃ 𝜍₃₃ .

Diberikan 𝜍² dan vektor 𝜷 yang tidak diketahui : 𝜷 = 𝛽₀, 𝛽₁, 𝛽₂ ^T

1. Dipilih nilai awal 𝜍²⁽⁰⁾, 𝛽₀ ⁰ , 𝛽₁ ⁰ , 𝛽₂ ⁰ .

2. Sampel 𝜍²⁽¹⁾ dari 𝑝 𝜍²⁽¹⁾ 𝐲, 𝐗 sehingga 𝜍²⁽¹⁾|𝐲, 𝐗 memenuhi (*).

Sampel 𝛽₀ ¹ dari

𝑝 𝛽₀ ¹ 𝜍²⁽¹⁾, 𝛽₁ ⁰ , 𝛽₂ ⁰ , 𝐲, 𝐗 sehingga 𝛽₀ ¹ |𝜍^{2 1} , 𝛽₁ ⁰ , 𝛽₂ ⁰ memenuhi (**).

3. Langkah 2 diulangi sebanyak bilangan besar B, misalnya 5000 kali.

4. Akhirnya didapatkan sampel dari 𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 dan 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗) dalam bentuk rantai Markov.

1.4. Interval Kredibel (Interval Kepercayaan Bayesian)

Dalam statistik Bayesian, interval kredibel 1 − 𝛼 100% merupakan

SENDIKMAD 2012 5 interval di dalam domain dari distribusi

probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web 2).

Salah satu metode untuk mengestimasi interval kredibel yang paling mudah digunakan adalah interval kredibel dua ekor (Johnson, 2009).

Interval kredibel dua ekor disusun dengan menemukan kuantil 𝛼/2 dan 1 − 𝛼/2 dengan tingkat signifikansi 𝛼.

Metode Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian adalah nilai logaritma dari data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) masyarakat Salatiga tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan sebagai variabel dependen 𝐲 terhadap pengeluaran untuk konsumsi makanan sebagai variabel independen 𝐗_𝟏 dan pengeluaran untuk konsumsi non makanan sebagai variabel independen 𝐗_𝟐 dengan sampel 𝑛 = 135 . Dalam melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3.

Langkah-langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter dan interval kredibel menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut : 1. Merancang rantai Markov dari

distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍²|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗) dengan 𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛)

dan 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁_𝑛, 𝜍² 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹) yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan 4 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter 𝜍², 𝛽₀, 𝛽₁ dan 𝛽₂.

2. Taksiran parameter 𝜍², 𝛽₀, 𝛽₁ dan 𝛽₂ diperoleh dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler.

3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk 𝜍² berdistribusi invers-gamma dan 𝛽₀, 𝛽₁ dan 𝛽₂ berdistribusi normal.

4. Mencari interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter berdasarkan pada fungsi densitas dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

Hasil dan Pembahasan

Pada Gambar 1 diperlihatkan diagram pencar untuk data logaritma pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma pengeluaran untuk konsumsi makanan (𝐗_𝟏), sedangkan Gambar 2 merupakan diagram pencar untuk data logaritma pendapatan (𝐲) terhadap data logaritma pengeluaran untuk konsumsi non makanan (𝐗_𝟐).

SENDIKMAD 2012 6 Gambar 1. Diagram Pencar Data

Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi

Makanan (𝐗_𝟏)

Gambar 2. Diagram Pencar Data Logaritma Pendapatan (𝐲) Terhadap

Data Logaritma Pengeluaran Untuk Konsumsi Non Makanan (𝐗_𝟐)

Selanjutnya untuk mendapatkan estimasi parameter 𝜍² dan 𝜷 = 𝛽₀, 𝛽₁, 𝛽₂ ^T dengan model regresi linier berganda Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior 𝑝(𝜷, 𝜍²|𝐲, 𝐗) ∝ 𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗) dengan

𝑝 𝜍²|𝐲, 𝐗 ~Inv − Gamma(𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛) dan 𝑝(𝜷|𝜍², 𝐲, 𝐗)~𝑁(𝝁_𝑛, 𝜍² 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹) dengan 𝝁_𝑛 = 1.431, 0.355, 0.494 ^T dan kovarians

𝜍² 𝐗^T𝐗 + 𝚲₀ ⁻¹=

0.175 −0.029 0.0001

−0.029 0.009 −0.004 0.0001 −0.004 0.004

yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi.

1. Taksiran Parameter 𝜍² dan Interval Kredibel 𝜍²

Untuk mendapatkan taksiran parameter 𝜍² yang berdistribusi invers-gamma, dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dengan memilih nilai awal 𝜍^{2 0} = 1.

Kemudian 500 iterasi pertama dipotong dan diperoleh rantai Markov yang konvergen pada Gambar 3.

Gambar 3. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝜍²

Diperoleh hasil taksiran parameter 𝜍² = 0.032 dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler. Dari nilai Gibbs sampler tersebut dihasilkan fungsi densitas pada Gambar 4 sehingga interval kredibel 95% untuk taksiran 𝜍² adalah (0.025, 0.041).

5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

4.5 5 5.5 6 6.5 7

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

SENDIKMAD 2012 7 Gambar 4. Fungsi Densitas Taksiran

Parameter 𝜍²

2. Taksiran Parameter 𝛽₀ dan Interval Kredibel 𝛽₀

Dengan memilih nilai awal 𝛽₀ ⁰ = 0, lalu dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Setelah memotong 500 iterasi pertama untuk taksiran 𝛽₀ yang berdistribusi normal, didapatkan rantai Markov yang konvergen pada Gambar 5.

Gambar 5. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽₀

Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler yang ada, diperoleh hasil taksiran 𝛽₀ = 1.44 dan dihasilkan fungsi densitas pada

Gambar 6 sehingga interval kredibel 95% adalah (0.596, 2.271).

Gambar 6. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽₀

3. Taksiran Parameter 𝛽₁ dan Interval Kredibel 𝛽₁

Untuk memperoleh taksiran parameter 𝛽₁ yang berdistribusi normal, dipilih nilai awal 𝛽₁ ⁰ = 0 kemudian dengan melakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama, diperoleh rantai Markov yang konvergen pada Gambar 7.

Gambar 7. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽₁

Dari 4500 nilai Gibbs sampler yang ada pada Gambar 7 di atas, setelah dicari rata-ratanya didapat hasil

SENDIKMAD 2012 8 taksiran 𝛽₁ = 0.355. Nilai-nilai Gibbs

sampler tersebut menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 8 sehingga interval kredibel 95% adalah (0.176, 0.543).

Gambar 8. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽₁

4. Taksiran Parameter 𝛽₂ dan Interval Kredibel 𝛽₂

Dipilih nilai awal untuk 𝛽₂ ⁰ = 0 . Kemudian dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi, dan memotong 500 iterasi pertama sehingga diperoleh rantai Markov yang konvergen pada Gambar 9.

Gambar 9. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter 𝛽₂

Selanjutnya dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler yang

ada, diperoleh hasil taksiran 𝛽₂ = 0.493 . berdasarkan nilai-nilai Gibbs sampler tersebut dihasilkan fungsi densitas pada Gambar 10 dan interval kredibel 95% (0.365, 0.621).

Gambar 10. Fungsi Densitas Taksiran Parameter 𝛽₂

Dengan estimasi parameter yang

telah diperoleh yaitu

𝜷 = 1.44, 0.355, 0.493 ^T dibentuk persamaan garis regresi linier berganda dugaan :

𝑦 = 1.44 + 0.355 𝑥_{𝑖 1𝑖} + 0.493 𝑥_2𝑖. Gambaran penggunaan:

Dipilih nilai 𝑥₁ = 6.15 dan 𝑥₂ = 5.96 , kemudian nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan regresi linier berganda di atas, sehingga didapatkan hasil dugaan 𝑦 = 6.56 . Artinya, dalam nilai logaritma, dengan pengeluaran untuk konsumsi makanan sebesar 6.15 dan pengeluaran untuk konsumsi non makanan sebesar 5.96, dugaan untuk pendapatan sebesar 6.56 atau Rp 3.643.594,183. Sedangkan

SENDIKMAD 2012 9 pendapatan pada data asli sebesar

Rp 3.550.000, sehingga error (galat) dalam persamaan garis regresi dugaan

pada titik data tersebut yaitu

𝑒 = 𝑦 − 𝑦 = 3550000 − 3643594.183 = −93594.183 = 93594.183 atau sebesar 2.64 %.

Sebagai perbandingan, dengan program R 2.15.1., diperoleh hasil estimasi sebagai berikut :

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1.43890 0.42138 3.415 0.000849 ***

x1 0.35401 0.09423 3.757 0.000257 ***

x2 0.49355 0.06422 7.686 3.08e-12 ***

---

Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „

‟ 1

Jadi, hasil estimasi parameter 𝛽₀, 𝛽₁, dan 𝛽₂ signifikan karena berdasarkan uji t, nilai p masing-masing parameter lebih kecil dari tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, dengan mengambil data SUSENAS masyarakat Salatiga tahun 2011 dari BPS Salatiga dengan sampel 𝑛 = 135 sebagai simulasi, dapat disimpulkan bahwa:

1. Dengan merancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan bantuan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi, lalu memotong 500 iterasi pertama agar tidak mengacaukan hasil taksiran dan diperoleh hasil taksiran untuk masing-masing parameter yang tidak

diketahui, yaitu 𝜍² = 0.032 , 𝛽₀ = 1.44, 𝛽₁ = 0.355, dan 𝛽₂ = 0.493.

2. Dari sebanyak 4500 nilai Gibbs sampler yang ada, dihasilkan fungsi densitas untuk taksiran parameter 𝜍² berdistribusi invers-gamma dan taksiran parameter 𝛽₀ , 𝛽₁ , dan 𝛽₂ berdistribusi normal. Sehingga dengan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 , diperoleh interval kredibel 95% untuk taksiran parameter 𝜍², 𝛽₀, 𝛽₁, dan 𝛽₂ berturut-turut yaitu (0.025, 0.041), (0.596, 2.271), (0.176, 0.543) dan (0.365, 0.621).

Pustaka

Gelman, A. 2006. Bayesian Analysis.

Department of Statistics and Department of Political Science : Columbia University.

Hair, J. F. 2010. Multivariate Data Analysis Seventh Edition. USA : Pearson Prentice Hall.

Johnson, M. S. 2009. Introduction to Bayesian Statistics with WinBUGS. New York : Columbia University.

Johnson, R. A. and Wichern, Dean W.

1982. Applied Multivariate Statistical Analysis. New Jersey : Prentice Hall.

Mutiarani, V., Setiawan, A., & Parhusip, H. A. 2012. Penerapan Model Regresi Linier Bayesian Untuk Mengestimasi Parameter Dan Interval Kredibel. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY tanggal 10 November 2012.

Supranto. 2004. Analisis Multivariat: Arti dan Interpretasi. Jakarta : Rineka Cipta.

SENDIKMAD 2012 10 Suwarno, B. 2009. Rumus dan Data

dalam Analisis Statistika.

Bandung : Alfabeta.

Widyaningsih, N. 2010. Statistika dan Probabilitas. Universitas Mercu Buana : Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan.

Pustaka Internet

Jennings, R., Wakeman-Linn, M., &

Zhao, Xin. 2010. “Multivariate Normal Distribution” tersedia di http://www.colorado.edu/economi cs/morey/7818/jointdensity/Notes OnMultivariateNormal/Multivaria te%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf.

Diakses tanggal 12 November 2012.

Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/

Bayesian_linear_regression Bayesian Linear Regression Diunduh pada 28 Agustus 2012 Web 2 : http://en.wikipedia.org/wiki/

Credible_interval Credible Interval

Diunduh pada 5 September 2012 Wijayanto, A. 2003. “Analisis Regresi

Linear Berganda” tersedia di http://eprints.undip.ac.id/ANALIS IS_REGRESI_LINEAR_BERGA NDA/, Diakses tanggal 21 November 2012.