RESUME GRUP, GRUP PERMUTASI, RING, dan RING POLINOMIAL oleh WAYAN RUMITE NRP 1213201037 Kelas: A

TUGAS ALJABAR

RESUME GRUP, GRUP PERMUTASI, RING, dan RING POLINOMIAL

oleh

WAYAN RUMITE NRP 1213201037

Kelas: A

Dosen Pengampu MK: Dr. SUBIONO, M.Sc.

PROGRAM PASCASARJANA MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

1.

GRUP

1.1 Definisi Grup

Suatu grup (𝐺,∗) merupakan himpunan tidak kosong (𝐺 ≠ ∅) bersama-sama dengan suatu

operasi biner ∗: 𝐺 𝑥 𝐺 → 𝐺 dengan (𝑎, 𝑏) didefinisikan pada 𝐺 dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Tertutup terhadap operasi biner(∗): 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. 2. Berlaku sifat assosiatif: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺. 3. Mempunyai elemen identitas: ∃ 𝑒 ∈ 𝐺, ∋ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺. 4. Setiap elemen mempunyai invers: ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 ∃ 𝑎−1 ∋ 𝑎 ∗ 𝑎−1= 𝑒 = 𝑎−1∗ 𝑎 Biasanya lambang (𝐺,∗) hanya dituliskan 𝐺, demikian juga ab artinya 𝑎 ∗ 𝑏.

Tambahan: Jika juga terpenuhi bahwa 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, maka grup 𝐺 dinamakan grup komutatif/Abelian.

Contoh:

Himpunan bilangan bulat ℤ (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), merupakan grup komutati (abelian) dengan operasi penjumlahan biasa.

Bukti:

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, maka:

1. 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ, untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ (tertutup).

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ (assosiatif).

3. Ada suatu elemen 0 ∈ ℤ sehingga 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, Untuk semua 𝑎 ∈ ℤ (0 disebut elemen identitas).

4. Setiap 𝑎 ∈ ℤ ada suatu elemen −𝑎 ∈ ℤ sehingga 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 (−𝑎 disebut invers dari 𝑎).

1.2 Sifat-Sifat Grup

Misalkan 𝐺 adalah suatu grup, maka:

4. Jka 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑔 ∗ 𝑦, maka 𝑥 = 𝑦 untuk 𝑥, 𝑦, 𝑔 ∈ 𝐺 (kanselasi kiri). Bukti:

Jika 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑔 ∗ 𝑦, maka 𝑔−1∗ 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑔−1∗ 𝑔 ∗ 𝑦 (kanselasi kiri) 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑒 ∗ 𝑦

𝑥 = 𝑦

5. Jka 𝑥 ∗ 𝑔 = 𝑦 ∗ 𝑔, maka 𝑥 = 𝑦 untuk 𝑥, 𝑦, 𝑔 ∈ 𝐺 (kanselasi kanan). Bukti:

Jika 𝑥 ∗ 𝑔 = 𝑦 ∗ 𝑔 maka 𝑥 ∗ 𝑔 ∗ 𝑔−1= 𝑦 ∗ 𝑔 ∗ 𝑔−1 (kanselasi kanan) 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑦 ∗ 𝑒

𝑥 = 𝑦 6. Jika 𝑔 ∈ 𝐺, maka (𝑔−1)−1 = 𝑔.

Bukti:

Karena 𝑔 ∈ 𝐺 maka 𝑔−1∈ 𝐺 sehingga 𝑔 ∗ 𝑔−1= 𝑒 (𝑔 ∗ 𝑔−1) ∗ (𝑔−1)−1= 𝑒 ∗ (𝑔)−1

𝑔 ∗ (𝑔−1∗ (𝑔−1)−1) = (𝑔−1)−1 𝑔 ∗ 𝑒 = (𝑔−1)−1 𝑔 = (𝑔−1)−1

7. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, maka berlaku (𝑎𝑏)−1= 𝑏−1𝑎−1. Bukti:

Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka 𝑎−1, 𝑏−1 ∈ 𝐺 sehingga (𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑒 (𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑏−1= 𝑒 ∗ 𝑏−1

(𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑏−1 (𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ 𝑎 = 𝑏−1 (𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ 𝑎 ∗ 𝑎−1= 𝑏−1∗ 𝑎−1

(𝑎 ∗ 𝑏)−1∗ 𝑒 = 𝑏−1∗ 𝑎−1 Jadi, (𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑏−1∗ 𝑎−1.

1.3 Order Grup dan Order Elemen

i. Order dari suatu grup 𝐺 adalah banyaknya elemen dalam grup 𝐺 dan biasanya ditulis |𝐺|. ii. Order dari suatu elemen/unsur 𝑔 ∈ 𝐺 merupakan bilangan bulat positif terkecil 𝑛 sehingga

memenuhi 𝑔𝑛 = 𝑒 . Jika tidak ada 𝑛 yang demikian, maka |𝑔| = +∞. iii. Sifat untuk order elemen:

Contoh:

Diberikan (ℤ₄, +) adalah grup yang elemen-elemennya adalah ℤ4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4} maka:

i. Order grup ℤ₄ adalah 4, ditulis |ℤ₄| = 4. ii. Order elemen ℤ₄ yaitu:

|[0]4| = 1

|[1]4| = [1]4 + [1]4 + [1]4 + [1]4 = [1 + 1 + 1 + 1]4 = [4]4 = [0]4 = 4

|[2]4| = [2]4 + [2]4 = [2 + 2]4 = [4]4 = [0]4 = 2

|[3]4| = [3]4 + [3]4 + [3]4 + [3]4 = [3 + 3 + 3 + 3]4 = [12]4 = [0]4 = 4

1.4 Subgrup (Grup Bagian) i. Definisi:

Misalkan 𝐺 suatu grup dan 𝐻 ⊆ 𝐺 dengan 𝐻 ≠ ∅, 𝐻 dikatakan subgrup dari 𝐺 jika 𝐻 merupakan grup dengan operasi biner yang sama dengan grup 𝐺. Hal ini dinotasikan oleh 𝐻 < 𝐺.

ii. Sifat Subgrup

Misalkan 𝐺 adalah suatu grup. Himpunan 𝐻 adalah subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika untuk sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 maka 𝑎𝑏−1∈ 𝐻 (𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻).

Bukti:

(⟹). Diketahui 𝐻 < 𝐺, berarti 𝑖). 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻 𝑖𝑖). 𝑎 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎−1 ∈ 𝐻 𝑎 ∈ 𝐻, 𝑏−1 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻

(⟸). Jika 𝑎 ∈ 𝐻 maka 𝑎𝑎−1= 𝑒 ∈ 𝐻 𝑒 ∈ 𝐻, 𝑎 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑒𝑎−1 _{= 𝑎}−1 _{∈ 𝐻}

𝑏 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑏−1∈ 𝐻

Jadi, 𝑎, 𝑏−1 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎(𝑏−1)−1 = 𝑎𝑏 ∈ 𝐻. Untuk Sifat Assosiatif menurun, karena 𝐻 ⊆ 𝐺.

Jadi, 𝐻 < 𝐺 jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1∈ 𝐻 (𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻). iii.Contoh

Himpunan 𝑆𝐿(𝑛, ℝ) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).

Bukti:

 _{𝑆𝐿(𝑛, ℝ)} adalah suatu matrik dengan determinan sama dengan 1.  Ambil sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, ℝ).

det(𝐴−1_{𝐵) = det(𝐴}−1_{) . det (𝐵)}

= 𝟏

det(𝐴) . det(𝐵)

=𝟏

1 . 1 = 1 .1 = 1 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, ℝ)

Jadi, himpunan 𝑆𝐿(𝑛, ℝ) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).

1.5 Sifat Subgrup

Jika {𝐻_𝛼} adalah himpunan subgrup-subgrup dari grup 𝐺, maka irisan dari anggota-anggota 𝐻𝛼 adalah subgrup dari 𝐺.

Bukti:

Jika 𝐻 =∩ 𝐻_𝛼, maka 𝐻 ≠ ∅. Karena 𝑒 ∈ 𝐻. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, maka 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻_𝛼 dan 𝑎 ∗ 𝑏−1∈ 𝐻𝛼, juga 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻. Jadi untuk 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 mengakibatkan 𝑎 ∗ 𝑏−1∈ 𝐻, sehingga 𝐻 <

𝐺.

1.6 Grup Siklik dan Generator

Misalkan 𝐺 adalah grup. Grup 𝐺 dikatakan grup siklik jika dan hanya jika ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian hingga setiap elemen dari 𝐺 dapat dibangun oleh 𝑎.

Dalam hal ini, jika 𝐺 dibangun oleh 𝑎, maka ditulis sebagai 𝐺 = 〈𝑎〉 atau 𝐺 = {𝑎𝑛|𝑛 ∈ ℤ}. Dengan 𝑎 ∈ 𝐺 disebut sebagai generator atau pembangun.

Contoh:

(ℤ4, +) adalah grup siklik, karena ℤ4 = 〈1,3〉, untuk 1,3 ∈ ℤ4.

 _{〈[1]4〉 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4}} membangun ℤ₄. (untuk 𝑛 = 1,2,3,4)  _{〈[3]4〉 = {[3]4, [2]4, [1]4, [0]4}} membangun ℤ₄. (untuk 𝑛 = 1,2,3,4)

1.7 Sifat Grup Siklik

Setiap grup siklik adalah komutatif (abelian) Bukti:

Misal 𝐺 adalah grup siklik yang dibangun oleh 𝑎, maka dapat ditulis 𝐺 = 〈𝑎〉 atau 𝐺 = {𝑎𝑘_{|𝑘 ∈ ℤ}.}

1.8 Homomorfisma Grup dan Isomorfisma Grup

Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah grup dan 𝑓 merupakan fungsi pemetaan dari 𝐺 ke 𝐻 yang dinotasikan oleh 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 maka 𝑓 dikatakan homomorpisma jika 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. Suatu homomorpisma grup yang bijektif dinamakan isomorpisma grup dan 𝐺 isomorpik dengan 𝐻 dinotasikan oleh 𝐺 ≅ 𝐻.

Contoh:

Pemetaan 𝑓: ℤ ⟶ ℤ_𝑛. 𝑓 merupakan suatu homomorpisma terhadap operasi penjumlahan. Bukti:

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ.

Misal 𝑓(𝑎) = [𝑎]_𝑛 dan 𝑓(𝑏) = [𝑏]_𝑛. Maka:

𝑓(𝑎 + 𝑏) = [𝑎 + 𝑏]𝑛 = [𝑎]𝑛+ [𝑏]𝑛 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏).

1.9 Sifat Homomorfisma

Misalkan 𝑓 adalah suatu homomorfisma grup 𝐺 → 𝐻, maka:

1. 𝑓(𝑒_𝐺) = 𝑒_𝐻 dengan masing-masing 𝑒₁ dan 𝑒₂ adalah elemen identitas di 𝐺 dan 𝐻. Misalkan 𝑔 ∈ 𝐺 maka 𝑓(𝑔) . 𝑒_𝐻 = 𝑓(𝑔)

= 𝑓(𝑔 ∗ 𝑒_𝐺) = 𝑓(𝑔) . 𝑓(𝑒_𝐺) (𝑓(𝑔))−1 . 𝑓(𝑔) . 𝑒_𝐻 = (𝑓(𝑔))−1 . 𝑓(𝑔) . 𝑓(𝑒_𝐺)

𝑒_𝐻 . 𝑒_𝐻 = 𝑒_𝐻 . 𝑓(𝑒_𝐺) 𝑒_𝐻= 𝑓(𝑒_𝐺)

2. Untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 berlaku 𝑓(𝑔−1) = (𝑓(𝑔))−1 Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐺 maka 𝑓(𝑎)−1= 𝑓(𝑎)−1𝑜 𝑒_𝐻

= 𝑓(𝑎)−1_{𝑜(𝑓(𝑒} 𝐺))

= 𝑓(𝑎)−1_{𝑜(𝑓(𝑎 ∗ 𝑎}−1₎₎

= 𝑓(𝑎)−1_{𝑜(𝑓(𝑎)𝑜𝑓(𝑎}−1₎₎

= (𝑓(𝑎)−1_{𝑜𝑓(𝑎))𝑜𝑓(𝑎}−1₎

= 𝑒𝐻𝑜𝑓(𝑎−1)

1.10 Kernel (Ker) dam Imagr (Im)

Jika f suatu homomorfisma grup, maka:

i. Kernel dari f yaitu: 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑔 ∈ 𝐺|𝑓(𝑔) = 𝑒_𝐻}

ii. Image dari f yaitu: 𝐼𝑚(𝑓) = {ℎ ∈ 𝐻|ℎ = 𝑓(𝑔), untuk beberapa 𝑔 ∈ 𝐺}

1.11 Koset dan Partisi

Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dan 𝐻 subgrup dari 𝐺. Jika 𝑔 elemen tetap di 𝐺, maka 𝑔𝐻 = {𝑔ℎ|ℎ ∈ 𝐻} disebut koset kiri dari 𝐻 di 𝐺 dan 𝐻𝑔 = {ℎ𝑔|ℎ ∈ 𝐻} disebut koset kanan dari 𝐻 di 𝐺.

Contoh:

Diberikan 𝐺 = (ℤ, +) suatu grup dengan operasi penjumlahan dan 𝐻 = 2ℤ = {2𝑟 |𝑟 ∈ ℤ} suatu subgrup dari 𝐺. Tunjukkan bahwa 𝐻_+𝑛 = 𝐻, untuk 𝑛 bilangan bulat genap.

Jawab:

Misal 𝑛 = 2𝑚, 𝑚 ∈ ℤ, maka koset kanan dari 𝐻 di 𝐺 yaitu: 𝐻+𝑛= { ℎ + 𝑛 |ℎ ∈ 𝐻, 𝑛 = 2𝑚, 𝑚 ∈ ℤ}

= {2𝑟 + 2𝑚|𝑟, 𝑚 ∈ ℤ} = {2(𝑟 + 𝑚)|𝑟, 𝑚 ∈ ℤ} = {2𝑘|𝑘 ∈ ℤ}

= 𝐻

1.12 Sifat Koset

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dan 𝐻 < 𝐺, maka i. Jika 𝑎~𝑏 maka 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 (𝑎𝐻 = 𝑏𝐻)

ii. Jika 𝑎 ≁ 𝑏 maka 𝐻𝑎 ∩ 𝐻𝑏 = ∅ (𝑎𝐻 ∩ 𝑏𝐻 = ∅) iii. 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 jika dan hanya jika 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻 iv. 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1∈ 𝐻

Bukti:

i. Misal 𝑎~𝑏 maka ℎ₀ = 𝑎𝑏−1 untuk ℎ₀ ∈ 𝐻, didapat 𝑎 = ℎ₀𝑏 atau 𝑏 = ℎ₀−1𝑎. Misal ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝑎, didapat ℎ𝑎 = ℎ(ℎ₀𝑏) = (ℎℎ₀)𝑏 ∈ 𝐻𝑏. Sehingga 𝐻𝑎 ⊂ 𝐻𝑏. Misal ℎ𝑏 ∈ 𝐻𝑏 maka ℎ𝑏 = ℎ(ℎ₀−1𝑎) = (ℎℎ₀−1)𝑎 ∈ 𝐻𝑎. Sehingga 𝐻𝑏 ⊂ 𝐻𝑎. Jadi 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏.

ii. Misal 𝑎 ≁ 𝑏 dan andaikan 𝑔 ∈ 𝐻𝑎 ∩ 𝐻𝑏 maka 𝑎 = ℎ₁−1𝑔 dan 𝑏−1= 𝑔−1ℎ₂ untuk ℎ1, ℎ2 ∈ 𝐻. Sehingga 𝑎𝑏−1= ℎ1−1𝑔𝑔−1ℎ2 = ℎ1−1ℎ2 ∈ 𝐻. Jadi 𝑎~𝑏. Kontradiksi

dengan 𝑎 ≁ 𝑏. Jadi haruslah 𝐻𝑎 ∩ 𝐻𝑏 = ∅ .

Jadi, 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻 jika dan hanya jika 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻.

iv. Jika 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 maka 𝐻𝑎𝑏−1= 𝐻𝑏𝑏−1⟺ 𝐻𝑎𝑏−1 = 𝐻di dapat 𝑎𝑏−1∈ 𝐻. Jika 𝑎𝑏−1∈ 𝐻 maka diperoleh 𝐻𝑎𝑏−1= 𝐻 ⟺ 𝐻𝑎 = 𝑏𝐻.

Jadi, 𝐻𝑎 = 𝐻𝑏 jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1∈ 𝐻.

1.13 Teorema Lagrange

Misalkan 𝐺 adalah grup dan 𝐻 < 𝐺 dengan |𝐺| berhingga, maka |𝐺| = |[𝐺: 𝐻]|𝐻|. Bukti:

Misal |𝐺| = 𝑚, |𝐻| = 𝑛 dan |[𝐺: 𝐻]| = 𝑘.

Berdasarkan definisi |𝐻| = |𝐻 ∗ 𝑎| = |𝑎 ∗ 𝐻| = 𝑛, maka untuk setiap 𝑔𝐻 ∈ [𝐺: 𝐻] atau dengan kata lain 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + ⋯ + 𝑛⏟

𝑘

= 𝑚. Sehingga 𝑘𝑛 = 𝑚. Jadi |𝐺| = |[𝐺: 𝐻]|𝐻|. 1.14 Centralizer, Normalizer, dan Center dari Suatu Grup

Misal 𝐺 adalah grup dan 𝐴 ⊂ 𝐺 dengan 𝐴 ≠ ∅. 1. Normalizer

Normalizer didefinisikan sebagai himpunan elemen di 𝐺 yang memenuhi 𝑔 ∗ 𝑎 ∗ 𝑔−1 ∈ 𝐴 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴, atau bisa dituliskan dengan 𝑁_𝐺(𝐴) = {𝑔 ∈ 𝐺|𝑔 ∗ 𝐴 ∗ 𝑔−1, 𝑎 ∈ 𝐴}.

2. Centralizer

Centralizer didefinisikan dengan himpunan elemen-elemen di 𝐺 yang komutatif dengan semua elemen 𝐴. Atau biasa dituliskan dengan 𝐶_𝐺(𝐴) = {𝑔 ∈ 𝐺|𝑔 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑔, 𝑎 ∈ 𝐴}. 3. Center

Center didefinisikan sebagai himpunan elemen di 𝐺 yang komutatif dengan semua elemen 𝐺, atau bisa dituliskan dengan 𝑍(𝐺) = {𝑔 ∈ 𝐺|𝑔 ∗ ℎ = ℎ ∗ 𝑔, ℎ ∈ 𝐺}. Karena 𝑔 ∗ 𝑎 ∗ 𝑔−1 _{= 𝑎 iff 𝑔 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑔 maka 𝐶}

𝐺(𝐴) dapat dinyatakan dengan 𝐶𝐺(𝐴) = {𝑔 ∈

II.

GRUP PERMUTASI

2.1 Sifat Subgrup

a. Bila 𝐻 < 𝐺 maka 𝐻𝐻 = 𝐻 dan 𝐻−1= 𝐻.

b. Bila 𝐻 suatu subgrup dari 𝐺 maka (𝑎𝐻)(𝑏𝐻) = (𝑎𝑏)𝐻 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 bila dan hanya bila 𝑐𝐻𝑐−1 = 𝐻 untuk semua 𝑐 ∈ 𝐺.

Bukti:

a. i) 𝐻 < 𝐺, ambil sebarang 𝑥 = 𝑎𝑏 ∈ 𝐻𝐻.

Akan dibuktikan 𝑎𝑏 ∈ 𝐻. Pada 𝑎𝑏 ∈ 𝐻𝐻, meunjukkan untuk suatu 𝑎𝑏 ∈ 𝐻. Karena 𝐻 Adalah subgrup, maka 𝑎𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐻. Jadi, ∀𝑥 ∈ 𝐻𝐻 → 𝑥 ∈ 𝐻 atau dapat ditulis

𝐻𝐻 ⊆ 𝐻.

ii) Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐻. Akan dibuktikan 𝑥 ∈ 𝐻𝐻.

𝑥 ∈ 𝐻, karena 𝐻 subgrup maka 𝑒 ∈ 𝐻, sehingga 𝑥𝑒 ∈ 𝐻𝐻 = 𝑥 ∈ 𝐻𝐻 Jadi, ∀𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ 𝐻𝐻 atau dapat ditulis 𝐻 ⊆ 𝐻𝐻.

Dari i) dan ii) diperoleh 𝐻𝐻 = 𝐻.

iii) Jika ℎ ∈ 𝐻 (𝐻 subgrup), maka ℎ−1∈ 𝐻. Sehingga (ℎ−1)−1 ∈ 𝐻−1 ⟺ ℎ ∈ 𝐻−1. Jadi 𝐻 ⊆ 𝐻−1. Sebaliknya, 𝑥 ∈ 𝐻−1 maka 𝑥 = ℎ−1 dengan ℎ ∈ 𝐻. Jika ℎ ∈ 𝐻 maka ℎ−1∈ 𝐻 (𝐻 subgrup). Akibatnya 𝑥 ∈ 𝐻. Jadi 𝐻−1⊆ 𝐻. Sehingga 𝐻−1= 𝐻.

b. i. Jika 𝐻𝐾 < 𝐺 maka 𝐻𝐾 memuat semua invers dari 𝐻𝐾. 𝐻𝐾 = (𝐻𝐾)−1= 𝐾−1∗ 𝐻−1= 𝐾𝐻

ii. Misal 𝐻𝐾 = 𝐾𝐻 didapatkan (𝐻𝐾)−1= 𝐾−1𝐻−1= 𝐾𝐻 = 𝐻𝐾 .

Jadi, semua elemen di 𝐻𝐾 punya invers. Untuk (𝐻𝐾)(𝐻𝐾) = 𝐻𝐾𝐻𝐾 = 𝐻𝐻𝐾𝐾 = 𝐻𝐾. Jadi, untuk (𝐻𝐾)(𝐻𝐾) = 𝐻𝐾, tertutup. Elemen identitasnya adalah dirinya sendiri, sesuai dengan definisi. Berlaku hukum assosiatif, karena 𝐻 dan 𝐾 subgrup dari 𝐺.

2.2 Subgrup Normal dan Grup Faktor (Kuasi)

𝑎𝑁𝑎−1_{= 𝑁 untuk semua 𝑎 ∈ 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑁 ⊲ 𝐺. Ddikatakan juga sebagai}

subgrup normal jika koset kanan sama dengan koset kiri.

Jika 𝑁∇𝐺 maka 𝐺/𝑁 dinamakan grup faktor atau grup kuasi dari 𝐺 oleh 𝑁.

Jika 𝑁 ∇𝐺 dan |𝐺| < ∞, maka dari teorema Lagrange diperoleh |𝐺/𝑁| = |[𝐺: 𝑁]| = |𝐺|/|𝑁|. Contoh:

Diberikan grup GL(𝑛,ℝ), maka SL(𝑛,ℝ) adalah subgroup normal dari GL(𝑛,ℝ). Ambil 𝐴 ∈ GL(𝑛, ℝ) dan 𝐵 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, ℝ), maka:

det (𝐴𝐵𝐴−1) = (det 𝐴)(det 𝐵)(det 𝐴)−1 , (det 𝐴)−1= 1

det 𝐴)

= 1 . 1 . 1

1= 1

Jadi, 𝐴𝐵𝐴−1 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, ℝ)untuk semua 𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) dan 𝐵 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).

2.3 Grup Permutasi

Misalkan 𝑆 = {1,2,3, … , 𝑛} dan 𝑆_𝑛 adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu pada 𝑓 ∶ 𝑆 → 𝑆. Jika dengan operasi komposisi fungsi 𝑆_𝑛 adalah suatu grup, maka 𝑆_𝑛 dinamakan grup permutasi atau grup simetri.

Misalkan 𝑓(1) = 𝑎₁, 𝑓(2) = 𝑎₂,…., 𝑓(𝑛) = 𝑎_𝑛, dengan 𝑎_𝑖 ∈ 𝑆 untuk 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛. Notasi pemetaan 𝑓 yaitu:

𝑓 = (_𝑎1 2 … 𝑛

1 𝑎2 … 𝑎𝑛)

 Hasil dari komposisi ini juga bijektif, sehingga 𝑓𝑜𝑔 ∈ 𝑆_𝑛.

 Dalam kompoosisi fungsi berlaku sifat assosiatif yaitu: 𝑓(𝑔ℎ) = (𝑓𝑔)ℎ.  Elemen netral di 𝑆_𝑛, yaitu fungsi identitas:

𝑒 = (_{1 2 … 𝑛)}1 2 … 𝑛

 Untuk 𝑓 ∈ 𝑆_𝑛, maka invers 𝑓 ∈ 𝑆_𝑛 adalah 𝑓−1 diberikan oleh: 𝑓−1 _{= (}𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛

1 2 … 3 )

Contoh:

𝑐 = (_{2 3 1) , 𝑑 = (}1 2 3 1 2 3_{3 1 2 ) , 𝑓 = (}1 2 3_{3 2 1)}

Kemudian

𝑎𝑏 = (_{1 3 2) (}1 2 3 1 2 3_{2 1 3) = (3 1 2) = 𝑑,} 1 2 3

𝑏𝑎 = (1 2 3_{2 1 3) (}1 2 3_{1 3 2) = (}1 2 2_{2 3 1) = 𝑐,}

𝑎−1₍1 2 3

1 3 2) = 𝑎, 𝑑−1(

1 2 3 2 3 1) = 𝑐. Terlihat bahwa 𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎, sehingga 𝑆₃ tidak komutatif.

2.4 Sikel dan Notasi Sikel

 Misalkan 𝑆 = {1,2,3,… , 𝑛} dan 𝑎_𝑖,𝑎_𝑗, … ∈ 𝑆. Bila 𝑓 ∈ 𝑆_𝑛 dengan 𝑓(𝑎₁) = 𝑎₂, 𝑓(𝑎₂) = 𝑎3, … . , 𝑓(𝑎𝑘−1= 𝑎𝑘, 𝑓(𝑎𝑘) = 𝑎1 dan 𝑓(𝑎𝑗) = 𝑎𝑗 untuk 𝑗 ≠ 1,2,3, … . , 𝑘. 𝑆𝑛 dikatakan

suatu permutasi sikel atau sikel-𝑘 dan dinotasikan dengan 𝑓 = (𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑘), jika terdapat suatu fungsi pemetaan 𝑓 ∈ 𝑆_𝑛, dengan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆, yaitu 𝑓(𝑎_𝑖) = 𝑎_{(𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑘)+1} untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘 dan 𝑓(𝑎_𝑗) = 𝑎_𝑗 untuk 𝑗 ≠ 1,2,3, … , 𝑘.Dalam hal ini 𝑘 adalah panjang sikel 𝑓.

 Notasi sikel untuk 𝑆₃ yaitu: 𝑒 = (), 𝑎 = (2,3), 𝑏 = (1,2), 𝑐 = (1,2,3), 𝑑 = (1,3,2) dan 𝑓 = (1,3).

 Sikel dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Pada 𝑆₃ yang merupakan transposisi yaittu: 𝑎 = (2,3), 𝑏 = (1,2), dan 𝑓 = (1,3).

 Dua sikel 𝑓 dan 𝑔 adalah disjoint bila representasi dari masing-masing sikel tidak ada yang sama dan berlaku 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓.

2.5 Teorema Sikel

Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah dua sikel yang saling asing di 𝑆_𝑋, maka 𝑓 𝑜 𝑔 = 𝑔 𝑜 𝑓. Bukti:

Misal 𝑓 = (𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … , 𝑎_𝑚) dan 𝑔 = (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, … , 𝑏_𝑛).

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓 𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑜 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Jika 𝑥 tidak di 𝑓 atau di 𝑔, maka 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥.

Untuk 𝑖 = 2 maka 𝑗 yang mungkin adalah 3.

i. Grup Alternating dinotasikan dengan 𝐴_𝑛 yaitu himpunan bagian dari grup permutasi 𝑆𝑛yang menyatakan himpunan dari semua permutasi genap dan banyaknya permutasi

genap di 𝑆_𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 adalah 𝑛!

2.

Contoh:

Grup Alternating 𝐴₄ dari grup permutasi 𝑆₄ dengan elemen–elemen permutasi genap yaitu:

( ), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4)(1,4,2), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4), (2,4,3).

2.9 Orbit dan Stabilizer

i. Misalkan grup (𝐺,∗) bertindak pada suatu himpunan berhingga 𝑋, maka

Contoh:

Diberikan 3 jenis warna yaitu merah, hitam, biru dan sati batang tongkat yang terdiri dari dua bagian. Berapa banyak cara yang berbeda dari hasil pewarnaan tongkat itu, bila aturan pewarnaan tongkat tersebut yaitu setiap bagian hanya boleh diwarnai oleh satu warna saja.

Penyelesaian:

 Dimisalkan warna-warna yangdiberikan yaitu: 𝑚 = merah, ℎ = hitam, dan 𝑏 = biru.  Maka kemungkinan pewarnaan dari 2 bagian tongkat tersebut adalah 32 = 9 cara

pewarnaan.

 Kemungkinan-kemungkinan itu yaitu: 𝑥₁ = 𝑚𝑚, 𝑥₂ = ℎℎ, 𝑥₃ = 𝑏𝑏, 𝑥₄ = 𝑚ℎ, 𝑥₅ = 𝑚𝑏, 𝑥6 = ℎ𝑏, 𝑥7 = ℎ𝑚, 𝑥8 = 𝑏𝑚, 𝑥9 = 𝑏ℎ.

 Sehingga himpunan tak kosong = {𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑥₄, 𝑥₅, 𝑥₆, 𝑥₇, 𝑥₈, 𝑥₉} dan 𝐺 = {( ), (1,2)} adalah grup permutasi.

 Tindakan Grup 𝐺 b pada 𝑋 yaitu: ( )𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … ,9

 _{(1,2)𝑥1 = 𝑥1, (1,2)𝑥2 = 𝑥2, (1,2)𝑥3 = 𝑥3, (1,2)𝑥4 = 𝑥5, (1,2)𝑥5 = 𝑥4, (1,2)𝑥6 =} 𝑥7, (1,2)𝑥7 = 𝑥6, (1,2)𝑥8 = 𝑥9, (1,2)𝑥9 = 𝑥8

Maka 𝐼(𝑔) = |{𝑥 ∈ 𝑋|𝑔𝑥 = 𝑥}| atau 𝐼(𝑔_𝑖) = |{𝑥 ∈ 𝑋|𝑔_𝑖𝑥 = 𝑥}| Untuk: ( )𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … ,9

Untuk: (1,2)𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑖 = 1,2,3. Didapat 𝑁 = 1

|𝐺|∑2𝑖=1𝐼(𝑔𝑖) = 1

2(9 + 3) = 6.

III. Ring

3.1 Definisi Ring

Suatu ring (𝑅, +, . ) adalah suatu himpunan tak kosong 𝑅 dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Pada 𝑅, setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, memenuhi sifat-sifat berikut:

1. (𝑅, +) adalah suatu grup komutatif (Abelian).

2. Tertutup terhadap operasi perkalian dan (𝑎 . 𝑏) . 𝑐 = 𝑎 . (𝑏 . 𝑐) assosiatif terhadap perkalian.

3. Ada 1 ∈ 𝑅 sedemikian hingga 1. 𝑎 = 𝑎. 1 = 𝑎. 4. Berlaku hukum distributif perkalian:

𝑎 . (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 dan (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = 𝑏. 𝑎 + 𝑐. 𝑎

5. Jika 𝑅 memenuhi: 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, maka ring 𝑅 dikatakan ring yang komutatif.

Contoh:

Himpunan bilangan bulat modul 𝑛, 𝑍_𝑛 dengan dua operasi biner

[𝑎] + [𝑏] ≝ [𝑎 + 𝑏]

d

an

[𝑎]. [𝑏] ≝ [𝑎. 𝑏]

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍_𝑛 adalah suatu ring komutatif. Penyelesaian:

1. (ℤ_𝑛, +) a). Tertutup

∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka [𝑎]_𝑛+ [𝑏]_𝑛 = [𝑎 + 𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛 b). Assosiatif

c). Elemen Satuan

∃[0]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, ∀[𝑎]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, sedemikian sehingga:

[0]_𝑛+ [𝑎]_𝑛 = [0 + 𝑎]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 = [𝑎 + 0]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 + [0]_𝑛 d). Invers

∀[𝑎]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, ∃(−[𝑎]) ∈ ℤ_𝑛, sedemikian sehingg:

[𝑎]_𝑛+ (−[𝑎]_𝑛) = ([𝑎]_𝑛+ (−[𝑎]_𝑛)) = [0]_𝑛 = (−[𝑎]_𝑛+ [𝑎]_𝑛) = −[𝑎]_𝑛+ [𝑎]_𝑛 e). Komutatif

∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛 maka [𝑎]_𝑛+ [𝑏]_𝑛 = [𝑎 + 𝑏]_𝑛 = [𝑏 + 𝑎]_𝑛 = [𝑏]_𝑛+ [𝑎]_𝑛 2). (ℤ_𝑛,∘)

a). Tertutup

∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka [𝑎]_𝑛[𝑏]_𝑛 = [𝑎𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛 b). Assosiatif

∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛, [𝑐]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka ([𝑎]_𝑛. [𝑏]_𝑛). [𝑐]_𝑛 = ([𝑎 . 𝑏]_𝑛). [𝑐]_𝑛 = [𝑎 . 𝑏 . 𝑐]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 . ([𝑏. 𝑐]_𝑛)

= [𝑎]_𝑛. ([𝑏]_𝑛. [𝑐]_𝑛) 3). Elemen Satuan

∃[1]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, ∀[𝑎]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛 sedemikian sehingga: [1]_𝑛. [𝑎]_𝑛 = [1 . 𝑎]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 = [𝑎 .1]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 . [1]_𝑛 4). Hukum Distributif

∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛, [𝑐]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka:

[𝑎]_𝑛. ([𝑏]_𝑛 + [𝑐]_𝑛) = [𝑎]_𝑛. ([𝑏 + 𝑐]_𝑛) = [𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐]_𝑛 = [𝑎 . 𝑏]_𝑛+ [𝑎 . 𝑐]_𝑛 ∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛, [𝑐]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka:

([𝑏]_𝑛+ [𝑐]_𝑛) . [𝑎]_𝑛 = ([𝑏 + 𝑐]_𝑛) . [𝑎]_𝑛 = [𝑏 . 𝑎 + 𝑐 . 𝑎]_𝑛 = [𝑏 . 𝑎]_𝑛+ [𝑐 . 𝑎]_𝑛 5) ∀[𝑎]_𝑛, [𝑏]_𝑛 ∈ ℤ_𝑛, maka [𝑎]_𝑛 . [𝑏]_𝑛 = [𝑎 . 𝑏]_𝑛 = [𝑏 . 𝑎]_𝑛 = [𝑏]_𝑛 . [𝑎]_𝑛

3.2 Sifat Ring

Bila 𝑅 suatu ring, maka untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku: (1) 𝑎. 0 = 0. 𝑎 = 0

Bukti:

Berdasarkan sifat distributif, maka: 𝑎. 0 = 𝑎. (0 + 0) = 𝑎. 0 + 𝑎. 0 Tambahkan dengan – (𝑎 . 0) kedua ruas, didapat:

𝑎. 0 + (– (𝑎 . 0)) = (𝑎. 0 + 𝑎. 0) + (– (𝑎 . 0)) 0 = 𝑎 .0 + 0

𝑎 . 0 = 0

Dengan cara serupa didapat 0 . 𝑎 = 0 (2) 𝑎 . (−𝑏) = (−𝑎) . 𝑏 = −(𝑎 . 𝑏)

Bukti:

−(𝑎. 𝑏) adalah invers dari (𝑎. 𝑏).

Akan ditunjukkan bawa 𝑎 . (−𝑏) adalah balikan dari (𝑎 . 𝑏).

(𝑎 . 𝑏) + (𝑎 . (−𝑏)) = 𝑎 . (𝑏 + (−𝑏)) = 𝑎 . 0 = 0 Sehingga diperoleh 𝑎 . (−𝑏) = −(𝑎 . 𝑏).

(3) (−1). 𝑎 = −𝑎 Bukti:

Dari (2), maka (−1) . 𝑎 = −(1 . 𝑎) = −𝑎 (4) (– 𝑎). (−𝑏) = 𝑎 . 𝑏

Bukti:

Dari (3), maka – 𝑎 = (−1) . 𝑎 dan – 𝑏 = (−1) . 𝑏, didapat:

(−𝑎). (−𝑏) = ((−1) . 𝑎) . ((−1) . 𝑏) = (−1) . (−1) . (𝑎 . 𝑏) = 1 . (𝑎 . 𝑏) = 𝑎 . 𝑏 (5) (−1) . (−1) = 1

Bukti:

3.3 Daerah Integral

i. Definisi Pembagi Nol

Misalkan 𝑅 suatu ring komutatif, suatu elemen 𝑎 ∈ 𝑅 dikatakan suatu pembagi nol bila ada suatu elemen tak nol 𝑏 ∈ 𝑅 yang memenuhi 𝑎 . 𝑏 = 0.

Contoh:

ℤ4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4}

Misal 𝑎 = [2]₄ ∈ ℤ₄, dan 𝑏 = [2]₄ ≠ [0]₄ ∈ ℤ₄, maka [2]₄ . [2]₄ = [4]₄ = [0]₄ Jadi, ℤ₄ memuat pembagi nol.

ii. Definisi Daerah Integral

Jika 𝑅 adalah suatu ring komutatif yang tidak memuat pembagi nol, maka disebut daerah integral. Dengan kata lain, jika 𝑎 . 𝑏 = 0, maka 𝑎 = 0 atau 𝑏 = 0.

Contoh:

ℤ5 = {[0]5, [1]5, [2]5, [3]5, [4]5} adalah Daerah Integral.

Karena untuk sebarang 𝑎 ≠ [0]₅ ∈ ℤ₅ dan 𝑏 ≠ [0]₅ ∈ ℤ₅, tidak ada yang mengakibatkan 𝑎 . 𝑏 = [0]5. Kecuali 𝑎 = [0]5 atau 𝑏 = [0]5 atau 𝑎 = 𝑏 = [0]5.

3.4 Sifat Daerah integral

Bila 𝑎 suatu elemen taknol dari suatu daerah integral 𝑅 dan 𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑐, maka 𝑏 = 𝑐. Bukti:

𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑐, (tambahkan kedua ruas dengan – (𝑎 . 𝑐) sehingga: 𝑎 . 𝑏 + (−(𝑎 . 𝑐) = 𝑎 . 𝑐 + (−(𝑎 . 𝑐))

𝑎 . 𝑏 − 𝑎 . 𝑐 = 𝑎 . 𝑐 − 𝑎 . 𝑐

𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐 = 0. Karena 𝑅 adalah suatu daerah integral. Maka 𝑅 tak memuat pembagi nol (𝑎 ≠ 0), maka haruslah (𝑏 − 𝑐) = 0 atau 𝑏 = 𝑐.

3.5 Definisi Lapangan (Field)

Suatu lapangan (field) adalah suatu ring komutatif 𝑅 dan juga memenuhi sifat: Untuk setiap elemen taknol 𝑎 ∈ 𝑅 ada 𝑎−1 ∈ 𝑅sehingga 𝑎. 𝑎−1= 𝑎−1. 𝑎 = 1.

Contoh:

ℤ5 = {[0]5, [1]5, [2]5, [3]5, [4]5} adalah Field (Lapangan)

. [1]5 [2]5 [3]5 [4]5

[1]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5

[2]5 [2]5 [4]5 [1]5 [3]5

[3]5 [3]5 [1]5 [4]5 [2]5

[4]5 [4]5 [3]5 [2]5 [1]5

Dari tabel di atas,tampak bahwa,selain elemen [0]₅ di ℤ₅, semua elemen yang lainnya mempunyai invers yang secara umum: untuk elemen tak nol 𝑎 ∈ ℤ₅ ada 𝑎−1∈ ℤ₅ sehingga 𝑎. 𝑎−1_{= 𝑎}−1_{. 𝑎 = [1]}

5.

3.6 Sifat Lapangan (field)

Setiap lapangan adalah suatu daerah integral. Bukti:

Jika 𝑎 . 𝑏 = 0 belaku dalam suatu lapangan 𝐹, maka untuk 𝑎 ≠ 0 ∈ 𝐹 pastilah 𝑎 ∈ 𝐹 mempunyai invers 𝑎−1∈ 𝐹. Sehingga 𝑏 = 1 . 𝑏 = (𝑎−1. 𝑎). 𝑏 = 𝑎−1. (𝑎 . 𝑏) = 𝑎−1. 0 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa, bila 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎. 𝑏 = 0 berakibat 𝑏 = 0. Jadi 𝑎 bukan elemen pembagi nol. Oleh karena itu 𝐹 adalah suatu daerah integral.

3.7 Sifat Lapangan (field)

Setiap daerah integral dengan elemen berhingga adalah suatu lapangan. Bukti:

Misalkan daerah integral 𝐷 = {𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛} dengan 𝑥₀ = 𝑒 dan 𝑥₁ = 𝑖. Untuk sebarang 𝑥𝑖 ≠ 𝑒, himpunan 𝑥𝑖 . 𝐷 = {(𝑥𝑖 . 𝑥0), (𝑥𝑖 . 𝑥1), (𝑥𝑖 . 𝑥2), … , (𝑥𝑖 . 𝑥𝑛)} adalah sama dengan

𝐷 sendiri. Sebab jika 𝑥_𝑖 . 𝑥_𝑗 = 𝑥_𝑖 . 𝑥_𝑘 maka 𝑥_𝑗 = 𝑥_𝑘. Jadi semua elemen 𝑥_𝑖 . 𝐷 adalah berbeda. Tetapi 𝑥_𝑖 . 𝐷 ⊂ 𝐷, jadi haruslah 𝑥_𝑖 . 𝐷 = 𝐷. Oleh karena itu ada elemen 𝑥_𝑗 yang memenuhi 𝑥_𝑖 . 𝑥_𝑗 = 𝑥₁ = 𝑖 sehingga diperoleh 𝑥_𝑖−1= 𝑥_𝑗. Sehingga D adalah field.

3.8 Subring dan Homomorpisma Ring

(1)𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑆 (2)𝑎 . 𝑏 ∈ 𝑆 (3)1 ∈ 𝑆 Contoh:

ℚ(√2) = {𝑎 + 𝑏√2|𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} adalah subring dari ℝ. Bukti:

Misal 𝑚 = 𝑎₁+ 𝑏₁√2 ∈ ℚ(√2) dan 𝑛 = 𝑎₂+ 𝑏₂√2 ∈ ℚ(√2), maka akan ditunjukkan memenuhi ketiga sifat subring.

1). 𝑚 − 𝑛 = (𝑎₁+ 𝑏₁√2) − (𝑎₂+ 𝑏₂√2) = (𝑎₁− 𝑎₂) + (𝑏₁− 𝑏₂)√2 = 𝑎₃+ 𝑏₃√2 ∈ ℚ(√2)

2). 𝑚 . 𝑛 = (𝑎₁ + 𝑏₁√2) . (𝑎₂+ 𝑏₂√2) = 𝑎₁ . 𝑎₂+ 𝑎₁ . 𝑏₂√2 + 𝑏₁√2 . 𝑎₂+ 2𝑏₁ . 𝑏₂ = (𝑎₁ . 𝑎₂+ 2𝑏₁ . 𝑏₂) + (𝑎₁ . 𝑏₂+ 𝑎₂ . 𝑏₁)√2 ∈ ℚ(√2)

3). 1 = 1 + 0√2 ∈ ℚ(√2)

Jadi, ℚ(√2) = {𝑎 + 𝑏√2|𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} adalah subring dari ℝ.

3.9 Homomorpisma Ring

Misalkan (𝑅, +, . ) dan (𝑆,⊕,∘) masing-masing adalah ring, maka fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑆 dikatakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅:

(1) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) ⊕ 𝑓(𝑏). (2) 𝑓(𝑎 . 𝑏) = 𝑓(𝑎) . 𝑓(𝑏). (3) 𝑓(1_𝑅) = 1_𝑠.

Jika homomorpisma ring 𝑓 adalah satu-satu pada, maka 𝑓 disebut Isomorpisma Ring. Dalam hal ini ring 𝑅 dan 𝑆 dikatakan saling isomorpik dan ditulis 𝑅 ≅ 𝑆.

Contoh:

Fungsi 𝑓: ℤ ⟶ ℤ_𝑛 yang didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = [𝑥]_𝑛, ∀𝑥 ∈ ℤ adalah suatu homomorpisma ring dari ℤ ke ℤ_𝑛.

Bukti:

Misal 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ

(1) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = [𝑎 + 𝑏]_𝑛 = [𝑎]_𝑛+ [𝑏]_𝑛 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) (2) 𝑓(𝑎 . 𝑏) = [𝑎 . 𝑏]_𝑛 = [𝑎]_𝑛 . [𝑏]_𝑛 = 𝑓(𝑎) . 𝑓(𝑏) (3) 𝑓(1) = [1]_𝑛

3.10 Karakteristik Daerah Integral

Misalkan 𝐷 adalah daerah Integral, 𝐷 dikatakan berkarakteristik berhingga jika ada

beberapa bilangan bulat positip 𝑚 > 0 dan beberapa 𝑎 ≠ 0 ∈𝐷 yang memenuhi 𝑚𝑎 = 0. Elemen terkecil yang memenuhi 𝑝𝑎 = 0 untuk beberapa 𝑎 ∈ 𝐷 dinamakan karakteristik dari 𝐷. Jila tidak ada 𝑚 yang memenuhi 𝑚𝑎 = 0, maka 𝐷 dikatakan berkarakteristik nol . Diberikan: 𝑝𝑎 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎⏟

𝑝

= 0, maka untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷 berlaku:

0 = (𝑝𝑎)𝑥 = (𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎)⏟

𝑝

𝑥

= (𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 + ⋯ + 𝑎_⏟

𝑝

𝑥

= 𝑎(𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ +_⏟

𝑝

𝑥 = 𝑎(𝑝𝑥)

Karena 𝑎 ≠ 0 dan 𝐷 tidak memuat pembagi nol, maka haruslah 𝑝𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷.

Contoh:

1). ℤ₃ = {[0]₃, [1]₃, [2]₃} adalah Daerah Integral. Untuk 𝑎_𝑖 ≠ 0 ∈ 𝐷, maka 𝑎₁ = [1]₃, 𝑎₂ = [2]₃

𝑝 = 3 adalah elemen terkecil yang memenuhi 𝑝𝑎_𝑖 = 0, ∀𝑎_𝑖 ∈ 𝐷. Jadi ℤ₃ berkarakteristik 3.

2). ℤ₄ = {[0]₄, [1]₄, [2]₄, [3]₄} bukan Daerah Integral. Untuk 𝑎_𝑖 ≠ 0 ∈ 𝐷, maka 𝑎₁ = [1]₄, 𝑎₂ = [2]₄, 𝑎₃ = [3]₄ 𝑝. 𝑎1 = 4. [1]4 = 0

𝑝. 𝑎2 = 2. [2]4 = 0

𝑝. 𝑎3 = 4. [3]4 = 0

3.11 IDEAL

Diketahui 𝑅 adalah suatu ring dan 𝐼 ⊂ 𝑅 dengan (𝐼, +) adalah subgroup dari 𝑅, maka 𝐼 dikatakan ideal dari 𝑅 bila 𝑎𝑟, 𝑟𝑎 ∈ 𝐼 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐼 dan 𝑟 ∈ 𝑅.

i. Ideal Utama

Jika 𝑅 suatu ring komutatif dan sebarang 𝑎 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 tetap yang didefinisikan (𝑎) = {𝑟𝑎|𝑟 ∈ 𝑅}, maka ini disebut ideal utama yang dibangun oleh 𝑎.

ii. Ideal Terkecil

Jika 𝑅 suatu ring komutatif. Ideal (𝑎)merupakan Ideal Terkecil di 𝑅 yang memuat 𝑎 dan 𝑎generator dari ideal tersebut.

iii.Ideal Maksimal

Jika 𝑅 suatu ring. 𝑀 disebut ideal sebagai ideal maksimal jika tidak ada ideal selain nol yang memuat 𝑀 kecuali 𝑅 sendiri yaitu bila ada ideal lain 𝐼 di 𝑅 dengan 𝑀 ⊂ 𝐼, maka 𝐼 = 𝑅.

iv.Ideal Prima

Suatu ideal disebut ideal prima jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑏𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 maka 𝑎 ∈ 𝑏𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 atau 𝑏 ∈ 𝑏𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎.

3.12 Pemetaan Proyeksi Natural dan Ring Faktor

Misal 𝑅 adalah suatu ring dan 𝐼 adalah suatu ideal dari ring 𝑅 maka 𝑅/𝐼 disebut sebagai ring faktor jika memenuhi dua sifat berikut.

i. (𝑟 + 𝐼) + (𝑠 + 𝐼) = (𝑟 + 𝑠) + 𝐼 ii. (𝑟 + 𝐼) . (𝑠 + 𝐼) = 𝑟𝑠 + 𝐼

3.13 Teorema Isomorpisma Pertama

Misalkan f : R → S suatu homomorpisma ring, maka R/f ≅ Im (f). Bukti:

Miasalkan K = Ker (f). difinisikan 𝑓̅ : R/K→ Im oleh 𝑓̅ ( a + K) = f(a). Dapat diselidiki bahwa definisi ini well defined isomorpisma grup. Tinggal menyelidiki operasi perkalian koset 𝑓 ̅ ((a + K)(b + K)) = 𝑓̅ (ab+ K)=f(a)f(b)=𝑓̅(a+K)𝑓̅̅(b+K).

3.14 Teorema Isomorpisma Kedua

Misalkan R adalah ring. I ⊆ R adalah suatu ideal dan S ⊆ R subring. Maka S+ I adalah suatu subring dari R I adalah suatu ideal dari S + i, S ∩ I adalah suatu ideal dari S. Ada suatu isomorpik ring (S + I)/ I ≅ S/(S ∩ I).

Bukti:

Misalkan 𝑠, 𝑠′∈ 𝑆 dan 𝑎, 𝑎1 ∈ 𝐼, maka

(𝑠 + 𝑎)(𝑠′+ 𝑎′) = 𝑠𝑠′+ (𝑎𝑠′+ 𝑠𝑎′+ 𝑎𝑎′) ∈ 𝑆 + 𝐼.

Jadi 𝑆 + 𝐼 tertutup terhadap perkalian. Dari pembahasan grup jelas bahwa 𝑆 + 𝐼 adalah grup komutatif terhadap operasi tambah . dengan demikian 𝑆 + 𝐼 adalah subring dari 𝑅 . fakta dari 𝐼 suatu ideal dari 𝑆 + 𝐼 dan 𝑆 ∩ 𝐼 suatu ideal dari 𝑆 adalah jelas. Misalkan 𝜋: 𝑅 → 𝑅/𝐼 suatu homomorpisma natural dan 𝜋₀ adalah pembatasan dari 𝜋 pada . maka 𝜋0 adalah suatu homomorpisma ring dengan ker (𝜋0) = 𝑆 ∩ 𝐼 dengan menggunakan

teorema isomorpisma pertama didapat 𝑆/(𝑆 ∩ 𝐼) = 𝑆/Ker (𝜋₀) ≅ Im (𝜋₀) .

Tetapi im (𝜋₀) adalah himpunan dari semua koset dari 𝐼 dengan representasi di 𝑆. Jadi im (𝜋₀) = (𝑆 + 𝐼)/𝐼. Dengan demikian (𝑆 + 𝐼)/𝐼 ≅ 𝑆/(𝑆 ∩ 𝐼).

3.15 Teorema Isomorpisma Ketiga

Misalkan 𝑅 adalah suatu ring. 𝐼 dan 𝐽 adalah ideal dari 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐽. maka 𝐽/𝐼 adalah ideal dari 𝑅/𝐼 dan 𝑅/𝐽≅ (𝑅/𝐼)(𝐽/𝐼) .

Bukti:

Didefinisikan suatu fungsi 𝑓: 𝑅/𝐼 → 𝑅/𝐽 Oleh 𝑓(𝑎 + 𝐼) = 𝑎 + 𝐽. ∀𝑎 + 𝐼 ∈ 𝑅/𝐼. Mudah dicek bahwa 𝑓 well-defining homomorpisma ring,

maka ker(𝑓) = {𝑎 + 𝐼|𝑎 + 𝐽 = 𝐽} = {𝑎 + 𝐼|𝑎 ∈ 𝐽} = 𝐽/𝐼.

IV.

Ring Polinomial

4.1 Ring Produk

Misalkan ada dua buah ring (𝑅, +, . ) dan (𝑆, +, . ),maka produk ringnya adalah (𝑅 x 𝑆, +, . ) adalah suatu himpunan pasangan terurut dua elemen yang dinotasikan dengan 𝑅 x 𝑆 = {(𝑟, 𝑠)| 𝑟 𝜖 𝑅, 𝑠 𝜖 𝑆} dan operasi biner didifinisikan oleh:

i. (𝑟₁, 𝑠₁) + (𝑟₂, 𝑠₂) = (𝑟₁ + 𝑟₂) + (𝑠₁ + 𝑠₂) ii. (𝑟₁, 𝑠₁) . (𝑟₂, 𝑠₂) = (𝑟₁ . 𝑟₂, 𝑠₁ . 𝑠₂)

Contoh:

misal ℤ₂ = {[0]₂, [1]₂} dan ℤ₃ = {[0]₃, [1]₃, [2]₃} maka: ℤ₂ x ℤ₃ =

{([0]2, [0]3), ([0]2, [1]3), ([0]2, [2]3), ([1]2, [0]3), ([1]2, [1]3), ([1]2, [2]3)}

ℤ2 dan ℤ3 adalah suatu ring dari himpunan bilangan bulat modulo 2 dan 3.

4.2 Sifat Ring Produk

Ring ℤ_𝑚x ℤ_𝑛 isomorpik dengan ring ℤ_𝑚𝑛 bila dan hanya bila gcd(𝑚, 𝑛) = 1. Bukti:

Jika gcd(𝑚, 𝑛) = 1, maka 𝑓: ℤ_𝑚𝑛 → ℤ_𝑚 x ℤ_𝑛 yang di definisikan oleh 𝑓([𝑥]_𝑚𝑛 = ([𝑥]𝑚, [𝑥]𝑛) adalah suatu isomorpisma grup.

Funsi 𝑓 juga mempertahankan perkalian, yaitu: 𝑓([𝑥]𝑚𝑛 . [𝑦]𝑚𝑛) = 𝑓[𝑥𝑦]𝑚𝑛

= ([𝑥𝑦]_𝑚, [𝑥𝑦]_𝑛)

= ([𝑥]_𝑚, [𝑥]_𝑛). ([𝑦]_𝑚, [𝑦]_𝑛) = 𝑓([𝑥]_𝑚𝑛) . 𝑓([𝑦]_𝑚𝑛) Contoh:

ℤ6 isomorpik dengan ℤ2 x ℤ3 (perhatikan ring produk ℤ2 x ℤ3 di contoh sebelumnya). funsi

𝑓([𝑥]6) = ([𝑥]2, [𝑥]3), ∀𝑥 ∈ ℤ berikut ini adalah bentuk pemetaanya:

[0]6 → ([0]2, [0]3)

[1]6 → ([1]2, [1]3)

[2]6 → ([0]2, [2]3)

[3]6 → ([1]2, [0]3)

[4]6 → ([0]2, [1]3)

[5]6 → ([1]2, [2]3)

Dari hasil pemetaan diatas, maka ℤ₆ isomorpik dengan ℤ₂ x ℤ₃ .

4.3 Ring polinomial

Misalkan 𝑅 adalah ring komutatif. Polinom 𝑃(𝑥) atas ring 𝑅 dinyatakan sebagai: 𝑃(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛, dengan 𝑎𝑖 adalah koefisien dari 𝑥𝑖 dan 𝑖 𝜖 𝑁. Selanjutnya

polinomial nol yaitu suatu polinomial yang semua 𝑎_𝑖 = 0. Jika untuk 𝑖 > 0, 𝑎_𝑖 ≠ 0, maka nilai terbesar dari 𝑖 yang demikian disebut derajat dari 𝑃(𝑥) yang dinotasikan oleh

𝑑𝑒𝑔(𝑃(𝑥)) = 𝑖. Contoh:

1) 𝑃(𝑥) = 𝑎 (𝑎 𝜖 ℤ) atas ℤ berderajat 0. 2) 𝑃(𝑥) = √𝑥 + 23 + 𝑥2 atas ℝ berderajat 2. 3) 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + (7 + 2𝑖)𝑥2 – 𝑖 atas ℂ berderajat 2.

4.4 Penjumlahan dan Perkalian Polinomial

Himpunan semua polinomial dalam 𝑥 dinyatakan sebagai:

𝑅[𝑥] = {𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 | 𝑎𝑖 𝜖 𝑅, 𝑛 𝜖 𝑁}

Misalkan 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) 𝜖 𝑅[𝑥], dengan 𝑝(𝑥 ) = ∑ 𝑎𝑚_{0 𝑖}𝑥𝑖 dan 𝑞(𝑥 ) = ∑ 𝑏𝑛_{0 𝑖}𝑥𝑖 Maka:

i. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = ∑max (𝑚,𝑛)₀ (𝑎_𝑖+ 𝑏_𝑖)𝑥𝑖

Contoh:

Diberikan polinomial 𝑝(𝑥) = 3𝑥3+ 𝑥 + 2 dan 𝑞(𝑥) = 2𝑥2+ 4𝑥 + 1, dalam ℤ5, maka:

i. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (3𝑥3+ 𝑥 + 2) + (2𝑥2+ 4𝑥 + 1) = 3𝑥3+ 3

ii. 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = (3𝑥3+ 𝑥 + 2). (2𝑥2 + 4𝑥 + 1) = 𝑥5+ 2𝑥4 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 2

4.5 Teorema Ring

(1) Jika ring 𝑅 komutatif maka 𝑅[𝑥] komutatif.

(2) Jika 𝑅 mempunyai anggota satuan maka 𝑅[𝑥] mempunyai anggota satuan. (3) Jika 𝑅 daerah integral maka 𝑅[𝑥] daerah integral.

Bukti:

(1) Jika f(x) dan g(x) dalam R[x] maka f(x) dan g(x) dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥𝑛− 1 + … … . + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝑏𝑚 𝑥𝑚 + 𝑏𝑚 − 1 𝑥𝑚− 1 + …..+ 𝑏1 𝑥1 + 𝑏0 𝑥0 sehingga koefisien 𝑥𝑘dari:

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = ( 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥𝑛− 1 + … … . + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 𝑥0) (𝑏𝑛 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 − 1 𝑥𝑛− 1 + … . . + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏0 𝑥0) adalah 𝑎0 𝑏𝑘 + 𝑎1 𝑏𝑘 − 1 + … … . + 𝑎𝑘 𝑏0 . Pada sisi lain koefisien dari 𝑥𝑘dalam 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) sama dengan 𝑎0 𝑏𝑘 + 𝑎` 𝑏𝑘 − 1 + … … . + 𝑎𝑘 𝑏0 dan hal ini sama dengan 𝑏0 𝑎𝑘 + 𝑏1 𝑎𝑘 − 1 + … … . + 𝑏𝑘 𝑎0 karena 𝑅 ring komutatif. Berarti 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) dalam 𝑅[𝑥].

(2)Misalkan 𝑝(𝑥) = ∑𝑚_𝑘=0𝑏_𝑘𝑥𝑘 dalam 𝑅[𝑥].

Sifat ini berlaku 1𝑥0 . ∑𝑚_𝑘=0𝑏_𝑘𝑥𝑘 = ∑𝑚_𝑘=0((1𝑥0)(𝑏_𝑘𝑥𝑘)) = ∑𝑚_𝑘=0(1𝑏_𝑘)𝑥0+𝑘 = ∑𝑚_𝑘=0𝑏_𝑘𝑥𝑘 = 𝑝(𝑥) Diperoleh juga bahwa 𝑝(𝑥) . 1𝑥0 = 𝑝(𝑥)

pembagi nol dalalm 𝑅[𝑥]. Misalkan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) polinomial tidak nol dalam 𝑅[𝑥] dan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) dinyatakan sebagai:

𝑓(𝑥) = 𝑎_𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎_{𝑛 − 1} 𝑥𝑛−1 + … … . + 𝑎₁ 𝑥1 + 𝑎₀ 𝑥0 𝑔(𝑥) = 𝑏_𝑚 𝑥𝑚 _{+ 𝑏}

𝑚 − 1 𝑥𝑚 −

1 _{+ … . . + 𝑏}

1 𝑥1 + 𝑏0 𝑥

Karena 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) polinomial tidak nol maka koefisien pemimpin polinomial 𝑓(𝑥) yaitu an tidak nol dan bm juga tidak nol. Karena 𝑅 daerah integral maka 𝑎_𝑛 𝑏_𝑚 tidak nol sehingga koefisien pemimpin dari 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) juga tidak nol. Berarti 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) tidak nol atau 𝑅[𝑥] tidak mempunyai pembagi nol.

4.6 Pembagian Bilangan Bulat

Dalam sistem pembagian bilangan bulat dikenal dengan adanya bilangan yang dibagi (𝑎), pembagi (𝑏), hasil bagi (𝑞), dan sisi dari pembagian (𝑟).

i. Untuk 𝑎 dan 𝑏 > 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka ada tunggal bilangan bulat 𝑞 dan 𝑟. Sehingga dapat diformulasikan dalam bentuk matematika sebagai berikut: 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 dan 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.

Contoh:

Misal 𝑎 = 7, 𝑏 = 2, maka 7 = (3) .2 + 1.

Tampak bahwa 𝑞 = 3(𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙), 𝑟 = 1(𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙), dengan 0 ≤ 1 < 2.

ii. Untuk 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0, maka ada tunggal bilangan bulat 𝑞 dan 𝑟. Sehingga 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 dan 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|.

Contoh:

Misal 𝑎 = 7, 𝑏 = −2, maka 7 = (−4) . −2 + (−1).

Tampak bahwa 𝑞 = −4(𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙), 𝑟 = −1(𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙), dengan 0 ≤ −1 < |−2|.

4.7 Ring Euclidean

Suatu daerah integral 𝑅 dinamakan suatu RING EUCLIDE bila untuk setiap elemen tak nol 𝑎 𝜖 𝑅 ada bilangan bulat tak negatif 𝛿 (𝑎) sedemikian hingga:

ii. Untuk setiap pasangan elemen 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 dengan 𝑏 ≠ 0, ada elemen 𝑞, 𝑟 𝜖 𝑅 sehingga 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 dimana 𝑟 ≠ 0 atau 𝛿 (𝑟) < 𝛿 (𝑏) .

4.8 Algoritma Pembagian untuk Polinomial

Misal 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐹(𝑥) dengan 𝐹(𝑥) suatu lapangan. Jika 𝑔(𝑥) tak nol, maka secara tunggal terdapat 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐹(𝑥) sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥), dengan 𝑟(𝑥) = 0 atau deg (𝑟(𝑥)) < deg (𝑔(𝑥)).

Contoh:

𝑓(𝑥) = (𝑥3_{+ 2𝑥}2_{+ 𝑥 + 2) dibagi oleh 𝑔(𝑥) = 𝑥}2_{+ 2 di ℤ}

3[𝑥]. Berdasarkan algoritma

untuk pembagian, maka:

𝑥3_{+ 2𝑥}2_{+ 𝑥 + 2 = [(𝑥 + 2)( 𝑥}2_{+ 2)] + (2𝑥 + 1)}

Tampak bahwa 𝑞(𝑥) = 𝑥 + 2 (tunggal), 𝑟(𝑥) = 2𝑥 + 1 (tunggal) dan juga deg(𝑟(𝑥)) = 1 dan deg(𝑔(𝑥)) = 2, sehingga deg (𝑟(𝑥)) < deg (𝑔(𝑥)).

4.9 Teorema Sisa

Polinomial 𝑓(𝑥) bila dibagi oleh (𝑥 – 𝑎) di 𝐹(𝑥) sisanya adalah 𝑓(𝑎). Bukti:

Dengan menggunakan algoritma pembagian didapat: ada hasil bagi yaitu 𝑞(𝑥) dalam 𝐹(𝑥) dan sisa pembagian 𝑟(𝑥) dalam 𝐹(𝑥).

Dapat ditulis bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥) . (𝑥 – 𝑎) + 𝑟(𝑥)

Berdasarka algoritma pembagian bahwa 0 ≤ 𝑟(𝑥) < (𝑥 – 𝑎), hal ini menunjukka bahwa (𝑥 – 𝑎) berderajad satu dan karena 𝑟(𝑥) kurang dari (𝑥 – 𝑎) maka haruslah 𝑟(𝑥) berderajad 0. 𝑟(𝑥) berderajad nol artinya 𝑟(𝑥) adalah suatu konstanta (r0) dalam 𝐹(𝑥).

Sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥) . (𝑥 – 𝑎) + 𝑟₀. Dengan mensubstitusikan 𝑎 kedalam 𝑥, maka: f(a) = q(a) . (a – a) + 𝑟₀

= 𝑞(𝑎) . 0 + 𝑟₀ = 0 + 𝑟₀

Sisa pembagian (𝑟₀) = 𝑓(𝑎).

Contoh:

Dalam ℤ₇[𝑥] berlaku bahwa jika 𝑝(𝑥) = 2𝑥3+ 3𝑥2+ 20 , 𝑏(𝑥) = 𝑥 + 3 dalam ℤ₇[𝑥] maka terdapatlah 𝑞(𝑥) = 2𝑥2+ 4𝑥 + 2 dan 𝑟(𝑥) = 3 dalam ℤ₇[𝑥] sehingga 2𝑥3+ 3𝑥2+ 20 = [(2𝑥2_{+ 4𝑥 + 2)(𝑥 + 3)] + 3.}

4.10 Teorema Faktor

Polonomial (𝑥 – 𝑎) adalah faktor 𝑓(𝑥) di 𝐹(𝑥) bila dan hanya bila 𝑓(𝑎) = 0 Bukti:

Berdasarkan hasil sebelumnya,diperoleh 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑎) untuk beberapa 𝑞(𝑥) ∈ 𝐹(𝑥) jika dan hanya jika 𝑓(𝑥) mempunyai sisa 0 bila dibagi oleh (𝑥 − 𝑎). Hal ini menunjukkan bahwa jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) = 0.

Contoh:

Polinomial (𝑥3+ 𝑥2+ 2𝑥 + 2) dibagi oleh (𝑥 − 2) dalam ℤ₃[𝑥]. Berdasarkan algoritma pembagian untuk polinomial diperoleh bahwa:

(𝑥3_{+ 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 2) = (𝑥}2_{+ 2). (𝑥 − 2) + 0, sehingga di peroleh hasil baginya (𝑞(𝑥)) =}

(𝑥2_{+ 2) dan sisa pembagiannya (𝑟(𝑥)) = 0.}

4.11 Teorema Polinomial

Jika 𝑝(𝑥) polinomial berderajat 𝑛 ≥ 0 dengan koefisien dalam suatu daerah integral 𝐷 maka 𝑝(𝑥) paling banyak mempunyai 𝑛 akar dalam 𝐷.

Bukti :

Dalam pembuktian ini digunakan prinsip induksi pada derajat dari p(x).

Polinomial derajat 0 merupakan konstan tidak nol 𝑎𝑥0 = 𝑎 dan jelas bahwa mempunyai 0 akar.

Misalkan 𝑝(𝑥) mempunyai derajat 𝑛 > 0.

Anggapan induksinya adalah bahwa 𝑞(𝑠) dan sebarang polinomial derajat 𝑛 − 1 yang lain mempunyai paling banyak 𝑛 − 1 akar.

Misalkan 𝑡₂ , 𝑡₃, …… , 𝑡_𝑘 dengan k ≤ n (𝑡₁ mungkin termasuk dalam akar yang sama). Berarti faktorisasi 𝑞(𝑥): 𝑞(𝑥) = (𝑥 – 𝑡₂ ) (𝑥 – 𝑡₃ ) … … ( 𝑥 – 𝑡_𝑘 ) 𝑔(𝑥).

Dalam hal ini 𝑔(𝑥) mempunyai derajat 𝑛 – 𝑘 yang tidak mempunyai akar dalam 𝐷. Akibatnya: 𝑝(𝑥) = (𝑥 – 𝑡₁) 𝑞(𝑥) = (𝑥 – 𝑡₁) (𝑥 – 𝑡₂) (𝑥 – 𝑡₃) … … . (𝑥 – 𝑡_𝑘 ) 𝑔(𝑥) Misalkan s sebarang anggota dalam 𝐷 yang berbeda dari 𝑡₁ , 𝑡₂, …… , 𝑡_𝑘 . Dengan mengingat bahwa: Jika 𝑅 ring komutatif dan 𝑝(𝑥) dalam 𝑅[𝑥] mempunyai faktorisasi 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) maka untuk sebarang 𝑠dalam 𝑅 berlaku

𝑝(𝑠) = 𝑓(𝑠) 𝑔(𝑠), Diperoleh:

𝑝(𝑠) = (𝑠 – 𝑡1) (𝑠 – 𝑡2 ) (𝑠 – 𝑡3 ) … … (𝑠 – 𝑡𝑘 ) 𝑔(𝑠).

Terlihat bahwa 𝑝(𝑠) merupakan pergandaan dari 𝑘 + 1 angota tidak nol dalam suatu daerah integral sehingga 𝑝(𝑠) tidak nol. Hal itu berarti 𝑝(𝑥) paling banyak mempunyai 𝑘 akar 𝑡₁ , 𝑡2 , …… , 𝑡𝑘 dengan 𝑘 ≤ 𝑛.

4.12 i. Pembagian Persekutuan Terbesar

Misal 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, dengan 𝑅 adalah suatu daerah integral,maka elemen 𝑔 ∈ 𝑅 dikatakan pembagi persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏 yang ditulis dalam bentuk 𝑔 = gcd (𝑎, 𝑏) yang memenuhi:

1. Jika 𝑔| 𝑎 dan 𝑔| 𝑏.

2. Jika 𝑐 | 𝑎 dan 𝑐 | 𝑏, maka 𝑐 | 𝑔. Contoh:

gcd(12,20) = 4 .

ii. Kelipatan Persekutuan Terkecil

Elemen 𝑙 ∈ 𝑅 dikatakan persekutuan terkecil dari 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ditulis 𝑙 = 𝑙𝑐𝑚(𝑎, 𝑏) jika memenuhi:

1. Jika 𝑎 | 𝑙 dan 𝑏| 𝑙.

𝑙𝑐𝑚(12,20) = 60

4.13 Teorema Faktor Persekutuan Terrbesar

Jika diketahui 𝑎(𝑥) dan 𝑏(𝑥) dalam 𝐹[𝑥] maka 𝑎(𝑥) dan 𝑏(𝑥) mempunyai FPB (𝑑(𝑥)) dalam 𝐹[𝑥] dan terdapatlah polinomial 𝑠(𝑥) dan 𝑡(𝑥) dalam 𝐹[𝑥] sehingga 𝑠(𝑥) 𝑎(𝑥) + 𝑡(𝑥) 𝑏(𝑥) = 𝑑(𝑥).

Bukti:

Untuk mempermudah penulisan, dimisalkan 𝑎 = 𝑎(𝑥) dan 𝑏(𝑥). Dibentuk himpunan 𝐽 = { 𝑢 𝑎 + 𝑣 𝑏 | 𝑢, 𝑣 dalam [𝑥] }.

Mudah ditunjukkan bahwa 𝐽 ideal dalam F[x].

Tetapi karena setiap ideal dalam berbentuk 𝐽 = ( 𝑑(𝑥) ) untuk suatu 𝑑(𝑥) dalam 𝐹[𝑥] maka 𝑑 = 𝑠𝑎 + 𝑏𝑡 untuk suatu 𝑠 dan 𝑡 dalam 𝐹[𝑥].

Akan dirunjukkan bahwa d sebenarnya merupakan FPB dari a dan b. Karena a = 1 . a + 0. b dan b = 0 . a + 1 . b maka a dan b dalam J.

Karena 𝑑 membangun 𝐽 maka d merupakan faktor dari s dan juga faktor dari b. Misalkan 𝑔 sebarang faktor persekutuan dari a dan b.

Karena 𝑑 = 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 dan 𝑔 membagi kedua suku pada ruas kanan maka 𝑔 membagi 𝑑. Berarti 𝑑 memenuhi syarat sebagai FPB dari 𝑎 dan 𝑏.

4.14 Algoritma Pembagian Persekutuan Terbesar

Misalkan a,b ϵ R dengan R merupakan ring euclid dan b ≠ 0 maka berdasarkan algoritma pembagian diperoleh:

𝑎 = 𝑞1 𝑏 + 𝑟1 dengan 𝛿(𝑟1) < 𝛿(𝑏)

𝑏 = 𝑟1𝑞2 + 𝑟2 dengan 𝛿(𝑟2) < 𝛿(𝑟1)

𝑟1 = 𝑟2𝑞3 + 𝑟3 dengan 𝛿(𝑟3) < 𝛿(𝑟2)

. . .

𝑟𝑘−2 = 𝑟𝑘−1𝑞𝑘 + 𝑟𝑘 dengan 𝛿(𝑟𝑘) < 𝛿(𝑟𝑘−1)

𝑟𝑘−1 = 𝑟𝑘𝑞𝑘+1 + 0

Selanjutnya, elemen 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅 sedemikian hingga gcd(𝑎, 𝑏) = 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 diperoleh dengan memulai persamaan 𝑟_𝑘 = 𝑟_𝑘−2− 𝑟_𝑘−1𝑞_𝑘 secara berurutan.

Contoh:

1. Tentukan 𝑔𝑐𝑑(713,253) dalam ℤ dan juga dua bilangan 𝑠 dan 𝑡 yang memenuhi 𝑠713 + 𝑡253 = gcd (713,253)!

2. Tentukan 𝑔𝑐𝑑 𝑔(𝑥) dari 𝑎(𝑥) = 2𝑥4 + 2 dan 𝑏(𝑥) = 𝑥5+ 2 di ℤ₃[𝑥] kemudian dapatkan 𝑠(𝑥), 𝑡(𝑥)𝜖 ℤ₃[𝑥] sehingga memenuhi

gcd(𝑥) = 𝑠(𝑥). (2𝑥4+ 2) + 𝑡(𝑥) . (𝑥5+ 2)! Penyelesaian:

1. Berdasarkan algoritma pembagian, diperoleh: i. 713 = 2 . 253 + 207, (r1 = 207)

ii. 253 = 1 . 207 + 46, (r2 = 46) iii. 207 = 4 . 46 + 23, (r3 = 23) iv. 46 = 2 . 23 + 0, (r4 = 0) Diperoleh gcd(713,256) = 23.

Selanjutnya akan dicari 𝑠 dan 𝑡 dengan menggunakan persamaan i – iii, yaitu: 23 = 207 - 4 . 46 (dari iii)

= 207 - 4 . (253 -207) (dari ii) = 207 + 4 . 207 + (-4) . 253 = (1 + 4) . 207 – 4 . 253 = 5 . 207 – 4 . 253

= 5 . (713 – 2 . 253) – 4 . 253 (dari i) = 5 . 713 + (-10) . 253 – 4 .253 = (5) . 713 + (-10 + (-4)) . 253 = (5) . 713 + (-14) . 253 Didapat 𝑠 = 5 dan 𝑡 = -14

2. Berdasarkan algoritma pembagian, diperoleh: i. 𝑥5 + 2 = (2𝑥) . (2𝑥4+ 2) + (2𝑥 + 2)

ii. 2𝑥4 + 2 = (𝑥3+ 2𝑥2+ 𝑥 + 2) . (2𝑥 + 2) + 1 iii. (2𝑥 + 2) = (2𝑥 + 2) . 1 + 0

Selanjutnya akan dicari 𝑠(𝑥) dan 𝑡(𝑥)dengan menggunakan persamaan i dan ii, yaitu:

1= 2𝑥4+ 2 − (𝑥3+ 2𝑥2+ 𝑥 + 2) . (2𝑥 + 2) (dari ii)

= 2𝑥4+ 2 − (𝑥3+ 2𝑥2+ 𝑥 + 2) . [(𝑥5+ 2) − (2𝑥) . (2𝑥4 + 2)] = (2𝑥4+ 𝑥3+ 2𝑥2 + 1) . 2𝑥4+ 2 + (2𝑥3 + 𝑥2+ 2𝑥 + 1) . 𝑥5 + 2 Didapat 𝑠(𝑥) = 2𝑥4+ 𝑥3 + 2𝑥2 + 1, 𝑡(𝑥) = 2𝑥3+ 𝑥2 + 2𝑥 + 1.