Statistika 2. Pendugaan Parameter. 1. Ilustrasi. Topik Bahasan: Oleh : Edi M. Pribadi, SP., MSc.

Statistika 2

Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter

Oleh : Edi M. Pribadi, SP., MSc.

Topik Bahasan:

E-mail: edi_mp@staff.gunadarma.ac.id edi_mp@ymail.com

1. Ilustrasi

1. Ilustrasi

• StatistikaStatistikaStatistika InferensiaStatistikaInferensiaInferensiaInferensia:

Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan

kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan pengambilan sampel (sampling) dan pengolahan datanya.

• EstimasiEstimasiEstimasi /Estimasi///pendugaanpendugaanpendugaanpendugaan parameterparameterparameterparameter

– yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan nilai dari statistik sampel.

– Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai

suatu parameter populasi disebut ‘estimator’

• ProsedurProsedurProsedur PendugaanProsedurPendugaanPendugaan Parameter:PendugaanParameter:Parameter:Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel

2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel 3. Menghitung nilai statistik sampel

4. Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter populasi

• Suatu nilaix, hasil hitung dari contoh yang berukuran n,

3 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

s Simpangan baku, σ

x1 - x2

Beda Rata-rata 2 populasi, µ1- µ2

x Rata-rata, µ

Estimator Parameter Populasi

• Penduga Tak Berbias : bila statistikx memiliki nilai yang sama

dengan nilai parameter populasi, µ

µ = E(x)

• Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku terkecil

σx1 < σx2 → x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibandingx2

untuk nilai µ • Margin Kesalahan :

Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu

dihitung ‘Margin of Error’

Margin of Error = ± 1.96 .

σ

_x atau ± 1.96 . s_x

dimana, s_x= nilai penduga bagi

σ

x → sx= s/√n dan

σ

x=

σ

/√n

2. Selang Pendugaan

2. Selang Pendugaan

• Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x

x1 < x < x2 → x1 danx2 tergantung nilai statistiknya dan juga

pada sebaran penarikan sampel

Jika simpangan bakuσ_x besar, maka selang pendugaan juga harus

besar

• Selang pendugaan parameter populasi yang didasarkan pada

tingkat kepercayaan disebut‘selang kepercayaan’

p (x₁ < x < x₂ ) = (1 - !) . 100% → untuk 0 < ! < 1 dimana, (1 - !) = koefesien/derajat kepercayaan

! = significance level

• Makin besar selang kepercayaan (%) → makin yakin bahwa selang

5 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

3. Selang Pendugaan Rata-Rata Populasi:

Sampel Besar

3. Selang Pendugaan Rata-Rata Populasi:

Sampel Besar

• Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30, digunakan

distribusi normalbaku z untuk menghitung selang kepercayaan µ→ Teori Batas Pusat

σx = atau sx =

Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ

n σ µ -x n σ n σ n s

p(

-z!/2< z < z!/2)= 1 - ! dimana

p(

-z_!/2< < z_!/2)= 1 - !

p(

x-z_!/2 . < µ< x +z_!/2 . )= 1 - ! n σ µ -x = z n σ

Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :

– x ±z!/2 . → Jikaσ diketahui

– x ±z_!/2. _{→ Jika}σ _{tidak diketahui}

µ 0 z x -z _σ/2 σ/2 σ/2 z _σ/2 n σ n s • Contoh:

Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku ‘Pengantar Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran. Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50.

a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang

beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga tersebut?

b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang

kepercayaan 90%. Penyelesaian: n= 36, x= $48.40, dan

σ

= $4.50 Maka, σx = = = $ 0.75 a. µ = x = $48.40

Margin of error titik µ = ± 1.96 . σ_x= ± 1.96 * 0.75

= ± $ 1.47 n σ 36 4.50 b. p( x-z_!/2 . _{< µ < x+ z} !/2. ) = 1 -! = 0.9 n σ n σ

7 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

n σ

1 -! = 0.9

! = 1 - 0.9 = 0.1 → !/2 = 0.05

Nilai Z!/2dimana luas daerah di bawah kurva

sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z) Maka, harga buku rata-rata dengan selang

kepercayaan 90%, adalah: µ = x ± z!/2 . = 48.40 ± (1.65 * 0.75) = 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64 Atau $ 47.16 < µ < $ 49.64

Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64 µ 0 z x σ/2 = 0.05 0.05 0.95

4. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan

µ

4. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan

µ

• Bilax digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat

kepercayaan (1- !)._{100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:}

e = z!/2. atau e = z!/2.

n s

n σ

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e.

Dalam hal ini jumlah sampeln, adalah:

z!/2. =

E

2

n =

= adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai estimatornya.

9 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

5. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan

Rata-Rata Populasi Pada Sampel kecil

5. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan

Rata-Rata Populasi Pada Sampel kecil

• Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30;

simpangan baku

σ

tidak diketahui; dandistribusi mendekati

normaluntuk menghitung selang kepercayaan µ→digunakan

ditribusi sampel t n s µ -x n s n s µ -x = T µ 0 T x -T_σ/2 σ/2 σ/2 Tσ/2 n s

• Selang kepercayaan (1 -  )100% bagi µ diperoleh sebagai berikut:

p(

-T_!/2< T < T_!/2)= 1 - ! P

(

-T_!/2< < T_!/2)= 1 - !

p(

x-T!/2. < µ< x +T!/2 . )= 1 - !

T!/2adalah nilai T dengan derajat bebas

df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas !/2

• Contoh:

Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk

rata-rata populasi

µ

.

Penyelesaian:

n= 25, x = 186, dan s = 12 df = n -1 = 25 -1= 24

→

Tabel distribusi T df = 24; !/2 = 0.025

→

T = 2.064

Selang kepercayaan bagi µ adalah: =

p(

x-T!/2. < µ< x +T!/2 . )

= 186 – 2.064. _{< µ < 186 + 2.064}. _{= 181.05 < µ < 190.95}

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95

µ 0 T x -2.064 0.025 0.025 2.064 0.4750 0.4750 25 12 n s n s 25 12

11 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Rata-Rata 2 Populasi

6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Rata-Rata 2 Populasi

A. Bila 2 buah sampel berukurann₁dann₂diambil dari 2 populasi yang

besar, denganµ1danµ2, maka beda kedua nilai rata-rata sampel akan

mendekatisebaran normal.

µ_{x1 – x2=} µ_{1 -}µ₂ dan =_{x1 – x2=} Sehingga:

)

n

/

(

σ

+

)

n

/

(

σ

)

µ

-(

µ

-)

x

-(x

=

z

2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1

n

σ

+

n

σ

• ContohContohContoh soalContohsoalsoal:soal

Televisi merek A dengan umur rata-rata 6.5 tahun dan simpangan baku 0.9 tahun. Sedangkan merek B, dengan µ = 6 tahun dan = = 0.8 tahun. Berapa peluang bahwa sebuah sampel acak yg terdiri 36 TV merek A memiliki umur 1 tahun lebih lama daripada rata-rata sampel dengan 49 TV merek B?

µ1= 6.5

=₁= 0.9 n1= 36

Populasi A • PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian:Penyelesaian

Distribusi sampling x

_A

-x

_B

:

µ_{xA – xB}= 6.5 – 6.0 = 0.5

=xA – xB= (0.9/√36) + (0.64/√49) = 0.189

Yang ditanyakan adalah P(

x

_A

-x

_B

≥ 1.0)……?

P(xA-xB≥ 1.0) = P(Z ≥ 2.65) = 1 – P(Z < 2.65) →Lihat Tabel Z = 1 – 0.9960 = 0.004 µ1= 6.0 =₁= 0.8 n1= 49 Populasi B

)

n

/

(

σ

+

)

n

/

(

σ

)

µ

-(

µ

-)

x

-(x

=

z

2 2 1 1 2 1 2 1

2.65

=

0.189

0.5

-1.0

=

z

µ = 0.5 0 Z xA-xB 0.0040 2.65 0.9960

13 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

• Selang kepercayaan (1 - ) 100% bagiµ_{1 -}µ₂ adalah :

)

n

σ

+

n

σ

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1

• LatihanLatihanLatihan soalLatihansoalsoalsoal:

Berdasarkan laporan Biro Statistik USA, pada tahun 1993 pekerja bagian konstruksi gaji rata-rata mingguan $551, sedangkan pekerja bagian manufaktur sebesar $487. Rata-rata gaji mingguan tersebut dihitung dari sampel acak yang masing-masing terdiri dari 500 dan 700 pekerja. Jika diasumsikan simpangan baku populasi masing-masing adalah $66 dan $60, maka:

a. Hitunglah nilai penduga bagi (µ_{1 -}µ₂)

b. Dengan selang kepercayaan 95%, tentukan beda nilai rata-rata gaji mingguan untuk dua populasi di atas !

Z_/2adalah variabel normal baku yang luas daerah disebelah kanan

sebesar /2

)

n

s

+

n

s

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1 atau

• PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian:Penyelesaian

Diasumsikan: → populasi 1 = bagian konstruksi; populasi 2 = bagian manufaktur

– n₁= 500, x₁= $551, =₁= $66

– n₂= 700, x₂= $487, =₂= $60

a. Nilai penduga bagi (µ_{1 -}µ₂) = x₁ – x₂

= $551 – $487 = $64 b. Tingkat kepercayaan (1-!) = 0.95 →! = 0.05 →!/2 = 0.025 Z _!/2= 1.96 maka,

)

700

60

+

500

66

(

1.96

±

487)

-(551

)

n

σ

+

n

σ

(

z

±

)

x

-(x

2 2 1 1 2 α 2 1

=

$71.30 sampai $56.70 = 7.30 ± 64 =

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa beda rata-rata gaji mingguan untuk semua pekerja bagian konstruksi dan manufaktur adalah antara $56.70 dan $71.30

15 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

B. Bila ukuran sampel kecil (n₁dann₂ < 30),diambil dari 2 populasi

yang terdistribusi (mendekati) normal, dan=1= =2 tidak diketahui,

maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagiµ_{1 -}µ₂ adalah :

dimana,

)

2 1 p 2 α 2 1

n

1

+

n

1

(

.

s

T

±

)

x

-(x

2

-n

+

n

1)s

-(n

+

1)s

-(n

=

s

2 1 2 2 2 2 1 1 p

S_p= nilai dugaan gabungan simpangan baku dua populasi s₁dan s₂adalah ragam dari dua sampel

T_!/2= nilai T dengan df = n₁+ n₂ – 2, yang luas daerah di sebelah kanan sebesar !/2

)

n

1

+

n

1

(

S

)

µ

-(

µ

-)

x

-(x

=

T

2 1 p 2 1 2 1

)

n

1

+

n

1

(

s

=

s

2 1 p x2 -x1

→

• ContohContohContoh:Contoh

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n₁= 15, x₁= 80 miligram, s₁= 5 miligram

– n₂= 12, x₂= 77 miligram, s₂= 6 miligram

Jika kedua populasi menyebar normal, dengan simpangan baku populasi

adalah sama, t

entukan selisih rata-rata antara dua populasi dengan tingkat kepercayaan 95%!

Pertama, hitung simpangan baku

x

1

- x

2

:

Penyelesaian PenyelesaianPenyelesaian Penyelesaian:

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n₁= 15, x₁= 80 miligram, s₁= 5 miligram – n₂= 12, x₂= 77 miligram, s₂= 6 miligram

2

-n

+

n

1)s

-(n

+

1)s

-(n

=

s

2 1 2 2 2 2 1 1 p

=

5.4626

2

-12

+

15

1)6

-(12

+

1)5

-(15

=

2 2

2.1157

=

)

12

1

+

15

1

(

5.4626

=

s

_x1-x2

17 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

Kedua, tentukan nilai T!/2dari tabel distribusi T :

1- ! = 0.95 → ! = 0.05 → !/2 = 0.025 df = n₁+ n₂– 1 = 15 + 12 – 2 = 25

Nilai T dengan df = 25 dan 0.025 luas daerah kanan dibawah kurva distribusi T = 2.060.

Sehingga: x2 -x1 2 α 2 1

-

x

)

±

T

s

(x

=(80-77)± 2.060(2.1157) 7.36 sampai 1.36 -= 4.36 ± 3 =

C. Bila ukuran sampel kecil (n₁dann₂ < 30),diambil dari 2 populasi

yang terdistribusi (mendekati) normal, dan=1≠=2 tidak diketahui,

maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagiµ_{1 -}µ₂ adalah :

)

2 2 1 1 2 α 2 1

n

s

+

n

s

(

T

±

)

x

-(x

dimana T_!/2= nilai T yang luas daerah di sebelah kanan sebesar !/2 dan derajat bebas (df): x2 -x1 2 1 2 1

S

)

µ

-(

µ

-)

x

-(x

=

T

)

n

s

+

n

s

(

=

s

2 2 1 1 x2 -x1

→

2 2 2 1 2 1

n

s

+

n

s

2 1 2 1

n

s

2

1

-n

₁ 2 2 2

n

s

2

1

-n

₂ + df = dan

19 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Proporsi

7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Proporsi

• Proporsipopulasi, dinotasikan sebagai p →menunjukkan rasio

jumlah elemen suatu populasi yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen populasi tersebut

N

x

=

p

x = jumlah elemen populasi dengan karakteristik

tertentu

N = jumlah total elemen populasi

• Proporsisampel, dinotasikan sebagai p →menunjukkan ratio

jumlah elemen suatu sampel yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen sampel tersebut

n

x

=

p

x = jumlah elemen sampel dengan karakteristik

tertentu

n = jumlah total elemen sampel

• ContohContohContoh :Contoh

Misal terdapat 789654 keluarga di kota Depok, dan 563282 dari keluarga

tersebut sudah memiliki rumah sendiri ………

• Seperti rata-rata x, proporsi sampel p juga merupakan variabel acak

yang memiliki distribusi peluang yang disebutdistribusi sampling

0.71

=

789654

563282

=

N

x

=

p

N = ukuran populasi = 789654

x = keluarga yg sudah memiliki rumah sendiri = 563282

Sehingga

:

Proporsi semua keluarga di Depok yang sudah memiliki rumah sendiri :

Kemudian, jika diambil sampel acak sebanyak 240 keluarga, dan ternyata ada

158 keluarga yang sudah memiliki rumah. maka :

n = ukuran sampel = 240

x = keluarga dari sampel yg sudah memiliki rumah = 158

0.66

=

240

158

=

n

x

=

p

Contoh ContohContoh Contoh :

Sebuah konsultan memiliki 5 staf. Tabel berikut adalah daftar 5 staf dan pengetahuannya ttg Statistika.

21 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

Tidak Susan Ya Tom Ya Lee Tidak John Ya Ali Mengerti Statistika

Nama Dari populasi ini, proporsi staff yang

mengerti statistika :

p = 3/5 = 0.60

Jika diambil sampel berukuran 3 dari populasi tersebut, maka akan

dihasilkan 10 kemungkinan kombinasi sampel. ∑ Sampel =

( )

5 3 3! (5-3)! 10 ! 5 ₌ = 1/3 = 0.33 John, Susan, Tom

2/3 = 0.67

Ali, John, Tom

2/3 = 0.67

Ali, John, Lee

2/3 = 0.67

Ali, Susan, Tom

2/3 = 0.67

Ali, Susan, Lee

2/3 = 0.67 2/3 = 0.67 1/3 = 0.33 3/3 = 1.00 1/3 = 0.33

Proporsi yang Mengerti Statistika ( p )

Susan, Lee, Tom

John, Lee, Tom

John, Susan, Lee Ali, Lee, Tom

Ali, John, Susan

Sampel 1 1.00 ∑f = 10 6 0.67 3 0.33 f p 1/10 = 0.10 1.00 ∑P( p ) = 10 6/10 = 0.60 0.67 3/10 = 0.30 0.33 P( p) p

• Untuk n yang besar (n ≥ 30) sebaran bagip terdistribusi mendekati

normal dengan rata-rata dan simpangan baku :

P (p1 < p < p2 ) = P (z!/2< z < z!/2) = (1 - !)

n

p.q

=

σ

dan

p

=

µ

p p p σ p p = Z → q = 1 – p ; dimana

Selang kepercayaan bagip :

σ

.

z

p

p

σ

.

z

-

p

p 2 p 2 α α

<

<

+

• ContohContohContoh :Contoh

Berdasarkan laporan Biro Sensus USA, 86% dari seluruh keluarga di New York, memiliki kendaraan roda 4. Jika p adalah proporsi suatu sampel acak berukuran 120 keluarga yang memiliki kendaraan roda 4, tentukan peluang bahwa nilai p adalah antara 0.88 dan 0.92.

n

p.q

=

s

dengan

diduga

bisa

σ

p



¨

p

23 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

µp= 0.86

• PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian :Penyelesaian

Diketahui : p = 0.86 dan q = 1 – 0.86 = 0.14

→ p adalah proporsi seluruh keluarga yang memiliki kendaraan roda 4 Ditanyakan : P(0.88 < p < 0.92)…? 0.0317 = 120 4) (0.86)(0.1 = n p.q = σ dan 0.86 p = µ_p = _p 0 z p =_p= 0.0317 1.89 0.2349 0.92 0.88 0.63 0.63 = 0.0317 0.86 0.88 = σ p p = z 0.88 = p Untuk p ¨ 1.89 = 0.0317 0.86 0.92 = σ p p = z 0.92 = p Untuk p _¨

Sehingga, peluang bahwa p antara 0.88 dan 0.92 ditunjukkan dengan luas daerah dibawah kurva normal baku antara z = 0.63 dan z = 1.89 P(0.88 < p < 0.92) = P(0.63 < z < 1.89)

= P(0 < z < 1.89) - P(0 < z < 0.63) = 0.4706 – 0.2357

= 0.2349

• ContohContohContoh :Contoh

Berdasarkan hasil pooling terhadap 500 wanita, diperoleh informasi bahwa sebanyak 79% dari mereka dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan. Buatlah selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% !

Penyelesaian PenyelesaianPenyelesaian Penyelesaian :

Diketahui : n = 500, p = 0.79 maka q = 1 – 0.79 = 0.21

→ p adalah proporsi sampel wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka

Ditanyakan : Maka:

σ

.

z

p

p

σ

.

z

-

p

p 2 p 2 α α

<

<

+

0.0182 500 1) (0.79)(0.2 n p.q = s dengan diduga bisa σp ¨ p = =

Untuk tingkat kepercayaan 98% → 1 - ! = 0.98 →! = 0.02 →!/2 = 0.01 Nilai Z dengan !/2 = 0.01 adalah 2.33

Sehingga, selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% :

0.832

s/d

0.748

(0.0182)

2.33

0.79

s

.

z

p

p

s

.

z

-

p

p 2 p 2

<

<

+

α

=

±

=

α

25 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan

p

8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan

p

• Bilap digunakan untuk menduga p, maka dengan tingkat

kepercayaan (1- !)._{100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:}

e = z!/2.

n p.q

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan p tidak melebihi suatu nilai e.

Dalam hal ini jumlah sampeln, adalah:

• ContohContohContoh :Contoh

Dari 500 orang sampel acak, sebanyak 160 orang menyukai makanan sea food. Jika kita ingin percaya 95%, bahwa nilai dugaan proporsi orang yg menyukai sea food yang dihasilkan berada dalam 0.02 dari nilai proporsi yg sebenarnya, tentukan jumlah ukuran sampel yg diperlukan !

2 2

E

q

.

p

z

=

n

α2 Penyelesaian PenyelesaianPenyelesaian Penyelesaian : 2 2

E

q

.

p

z

=

n

α2 →diketahui n = 500, =0.32 500 160 = n x = p →q = 1 – 0.32 = 0.68 Untuk tingkat kepercayaan 95% → 1 - ! = 0.95 →! = 0.05 →!/2 = 0.025

Nilai Z dengan !/2 = 0.025 adalah 1.96 Maka:

2090

=

(0.02)

(0.68)

(0.32)

(1.96)

E

q

.

p

z

=

n

2 2 2 2 2 α

=

27 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Selisih 2 Proporsi

9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan

Selisih 2 Proporsi

• Bilap1danp2masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam

sampel acak yang berukurann1dann2sertaq1= 1 - p1 dan q2= 1 – p2,

maka selang kepercayaan (1- ! ).100% bagi selisih antara p1 - p2:

2 1-p p 2 1 2 1

σ

)

p

-(p

)

p

-(p

=

z

• ContohContohContoh soalContohsoalsoal:soal

Suatu polling dilakukan terhadap penduduk kota A dan penduduk di sekitar kota tersebut, untuk mengetahui kemungkinan diajukannya suatu rencana pembangunan TPA sampah. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk sekitar setuju dengan rencana tsb, tentukan selisih proporsi sebenarnya yang setuju dengan tingkat kepercayaan 90% ! 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 nq p nq p p p p p nq p nq p p p . . 2 2 1 2 1 . . 2 2 1

-

)

-

z

.

-

(

-

)

z

.

(

α

+

<

<

+

α

+

Penyelesaian PenyelesaianPenyelesaian Penyelesaian : p₁ - p₂= selisih proporsi 0.60 = 2000 1200 = n x = p ; 0.48 = 5000 2400 = n x = p 2 2 2 1 1 1

Untuk tingkat kepercayaan 90% → 1 - ! = 0.90 →! = 0.10 →!/2 = 0.05 Nilai Z dengan !/2 = 0.05 adalah 1.65 Maka selisih p1 - p2dengan tingkat kepercayaan 90% :

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 nq p nq p p p p p nq p nq p p p . . 2 2 1 2 1 . . 2 2 1

-

)

-

z

.

-

(

-

)

z

.

(

α

+

<

<

+

α

+

2000 (0.40) (0.60) 5000 (0.52) (0.48)

1.65

0.60)

(0.48

±

+

0.0986 -0.1414 -

<

p

₁

-

p

₂

<