Karakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran
Kompetensi, RP, Materi
Kompetensi yang diharapkan:
Mahasiswa mampu merumuskankan karakteristik dinamik elemen sistem pengukuran
Rancangan Pembelajaran:
Minggu ke
Kemampuan Akhir yang Diharapkan
Materi Pembelajaran
Bentuk Pembelajaran
Kriteria (indikator) Penilaian
Bobot (%) 7-8 Mahasiswa
mampu merumuskan karakteristik dinamik sistem pengukuran
Karakteristik dinamik sistem pengukuran:
•Instrumen Orde Nol
•Instrumen Orde Satu
•Instrumen Orde Dua
•Eror Dinamik Sistem Pengukuran
Latihan soal menghitung kesalahan dinamik dan praktikum
Ketepatan menghitung kesalahan dinamik
Prakti kum 5%
ETS 10%
Uraian materi adalah sebagai berikut:
KARAKTERISTIK DINAMIK ELEMEN SISTEM PENGUKURAN
Karakteristik dinamik dari elemen atau instrumen pengukuran menjelaskan perilaku antara waktu perubahan besaran yang diukur dengan waktu ketika output instrumen mencapai nilai mantap responnya. Seperti karakteristik statik, sembarang nilai untuk karakteristik dinamik yang dikutip pada data sheet instrumen hanya berlaku ketika instrumen digunakan pada kondisi lingkungan yang ditentukan. Di luar kondisi kalibrasi ini, beberapa perubahan parameter dinamik dapat terjadi.
Pada sistem pengukuran linier, tak berubah terhadap waktu, persamaan umum berikut dapat dituliskan untuk menghubungkan antara input dan output pada waktu t
> 0:
I dt b b dI dt
I b d
dt I b d
O dt a a dO dt
O a d
dt O a d
m m m m
m m
n n n n
n n
0 1 1
1 1
0 1 1
1 1
+ +
+ +
=
+ +
+ +
−
−
−
−
−
−
(2.20)
dengan I adalah besaran yang diukur, O adalah pembacaan output dan
m
n b b
a
a0,, , 0,, adalah konstanta.
Jika hanya ditinjau perubahan step (perubahan nilai konstan yang terjadi secara tiba- tiba ke nilai konstan baru) pada besaran yang diukur, maka persamaan (2.20) tereduksi menjadi:
I b O t a a O t
a O t
a O n
n n n
n
n 1 1 0 0
1
1 d
d d
d d
d + − −− ++ + = (2.21)
Sebagai catatan, persamaan diferensial yang ditunjukkan pada (2.21) dapat diperoleh melalui pemodelan elemen sistem pengukuran. Pemodelan dilakukan dengan cara analitis menggunakan hukum dan prinsip fisika, seperti prinsip kesetimbangan massa, energi, dan komposisi, serta teori penunjang lainnya. Bahasan mendalam tentang pemodelan tidak diberikan pada modul ajar ini karena bukan merupakan materi perkuliahan Sistem Pengukuran dan Kalibrasi.
3.1 Instrumen Orde Nol
Jika seluruh koefisien a1, ... , an selain a0 pada persamaan (2.21) diasumsikan nol, maka:
a0 O = b0 I atau:
a KI I O=b =
0
0 (2.22)
dengan K adalah konstanta yang diketahui sebagai sensitivitas instrumen seperti yang dijelaskan pada bagian karakteristik statik.
Sembarang instrumen yang memiliki perilaku berhubungan dengan persamaan (2.22) dikatakan instrumen jenis orde nol. Saat terdapat perubahan step pada besaran yang diukur pada waktu t, output instrumen bergerak secara tiba-tiba ke nilai baru pada waktu sesaat yang sama t, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12 Karakteristik instrumen orde nol
Pada kenyataanya, tidak ada instrumen atau elemen pengukuran yang memiliki sifat seperti instrumen jenis orde nol ini, karena perubahan nilai secara tiba-tiba tidak mungkin terjadi tanpa selang waktu. Namun secara pendekatan, dimana selang waktu perubahan yang terjadi sangat kecil dan diasumsikan mendekati nol, terdapat beberapa elemen pengukuran yang memiliki perilaku seperti instrumen orde nol.
Potensiometer, yang mengukur pergerakan, merupakan contoh dari instrumen jenis ini, dimana tegangan output berubah secara tiba-tiba ketika slider digeser sepanjang rel potensiometer.
3.2 Instrumen Orde Satu
Jika semua koefisien a2, ... , an selain a0 dan a1 pada persamaan (2.21) diasumsikan nol, maka:
I b O t a
a1 O 0 0
d
d + = (2.23)
Sembarang insrumen yang berperilaku berhubungan dengan persamaan (2.23) dikenal sebagai instrumen orde satu. Jika kita lakukan transformasi Laplace pada persamaan (2.23), maka diperoleh fungsi transfer yang menghubungkan dinamika output terhadap dinamika input sebagai berikut:
s K I s O
G = +τ
∆
= ∆ ) 1
( (2.24)
dengan K = b0/a0 adalah sensitivitas statik elemen pengukuran τ = a1/a0 adalah konstanta waktu elemen pengukuran
Jika persamaan (2.24) diselesaikan secara analitis, respon besaran output O terhadap perubahan step input pada waktu t berubah terhadap waktu dengan pola seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.13. Konstanta waktu τ dari respon step tersebut merupakan waktu yang diperlukan oleh instrumen agar besaran output mencapai 63% dari perubahan nilai kondisi mantapnya.
Gambar 2.13 Karakteristik respon instrumen orde satu
Termometer air raksa merupakan contoh dari instrumen orde satu. Saat termometer pada temperatur ruang dicelupkan ke air mendidih, nilai pembacaan tidak langsung naik secara tiba-tiba ke 100°C, melainkan mendekati nilai pembacaan 100°C dengan pola yang sama dengan Gambar 2.13.
Banyak instrumen lain yang merupakan instrumen orde satu: hal ini menjadi perhatian pada sistem kontrol dimana adanya keterlambatan waktu (time lag) antara perubahan nilai besaran yang diukur dengan indikasi alat ukur, perlu ditangani.
Untungnya, konstanta waktu dari banyak instrumen orde satu relatif kecil terhadap dinamika proses yang diukur, dan tidak ada masalah serius yang terjadi.
3.3 Instrumen Orde Dua
Jika semua koefisien a3, ... , an selain a0, a1 dan a2 pada persamaan (2.21) diasumsikan nol, maka:
I b O t a a O t
a O2 1 0 0
2
2 d
d d
d + + = (2.25)
Sembarang insrumen yang berperilaku berhubungan dengan persamaan (2.25) dikenal sebagai instrumen orde dua. Jika kita lakukan transformasi Laplace pada persamaan (2.25), maka diperoleh fungsi transfer yang menghubungkan dinamika output terhadap dinamika input sebagai berikut:
2 1 )
(
2
2 + +
∆ =
= ∆
ωξ ω
s s
K I
s O
G (2.26)
dengan K = b0/a0 adalah sensitivitas statik
ω = a0/a2 adalah frekuensi natural tak teredam ξ = a1/2a0 a2 adalah rasio redaman
Jika persamaan (2.26) diselesaikan secara analitis, bentuk respon step besaran output O yang diperoleh bergantung pada nilai parameter rasio redaman. Respon step output dari instrumen orde dua untuk nilai parameter rasio redaman yang berbeda ditunjukkan pada Gambar 2.14. Untuk kasus (A) dimana ξ = 0, tidak ada redaman dan output instrumen nampak berosilasi dengan amplitudo tetap.
Untuk redaman ringan ξ = 0,2, kasus (B), respon terhadap perubahan step input masih berosilasi namun secara perlahan osilasi tersebut menghilang. Penambahan nilai rasio redaman ξ dapat mengurangi osilasi namun overshoot masih tetap ada, seperti yang ditunjukkan pada kurva (C) dan (D). Respon menjadi overdamped (sangat teredam) seperti yang ditunjukkan pada kurva (E) dimana pembacaan output bergerak naik secara lambat ke pembacaan yang mantap. Jelas respon pada kasus (A) dan (E) tidak diinginkan. Jika sebuah instrumen hanya dipengaruhi input step, maka strategi desain akan bertujuan menghasilkan rasio redaman 0,707, yang memberikan respon teredam secara kritis (kasus C). Sayangnya, hampir seluruh besaran fisik yang diukur tidak berubah nilainya dalam bentuk step, namun dalam bentuk ramp dengan kemiringan yang bervariasi. Jika bentuk variabel input berubah, nilai terbaik untuk ξ juga berubah, dan pemilihan ξ menjadi satu kompromi diantara nilai-nilai yang terbaik untuk setiap perilaku variabel input. Instrumen orde dua secara komersial, seperti accelerometer, umumnya dirancang untuk memiliki rasio redaman pada range 0,6 - 0,8.
Gambar 2.14 Karakteristik respon instrumen orde dua
Selain ketiga parameter yang ditunjukkan pada fungsi transfer orde (persamaan (2.26)), terdapat beberapa parameter respon output yang dikenal, beberapa diantaranya adalah sebagai berikut:
− Frekuensi sudut teredam 1 ξ2
ω
ωd = n − (2.27)
− Waktu puncak, yaitu waktu yang menunjukkan puncak osilasi pertama terjadi
1 ξ2
ω π
= −
n
Tp (2.28)
− Settling time, adalah waktu yang menunjukkan respon menempati nilai kondisi mantap. Waktu respon mencapai nilai di rentang 1% kondisi mantap adalah:
n
Ts =5/ξω (2.29)
Dari gambar 3.3 terlihat bahwa Ts minimum saat ξ = 0,7.
− Overshoot maksimum, adalah perbedaan antara nilai maksimum dengan nilai kondisi mantap
−
= −
1 2
exp ξ
πξ
Mp (2.30)
Dengan mengetahui nilai overshoot maksimum dari respon instrumen, maka dengan menggunakan persamaan (2.30) dapat dicari nilai ξ. Selanjutnya, dengan mengetahui nilai ξ, ωn dapat dicari dari pengukuran Td, Tp dan/atau Ts menggunakan persamaan (2.27) - (2.29).
Salah satu contoh instrumen orde dua adalah sensor gaya. Dengan nilai kekakuan k = 103 N/m, massa m = 10-1 kg dan konstanta redaman λ = 10 Ns/m, diperoleh nilai sensitivitas kondisi mantap K = 1/k = 10-3 m/N, frekuensi natural ωn = k/m= 102 rad/s dan koefisien redaman ξ =λ/2 km = 0,5. Kedua parameter respon terakhir dapat juga dicari dari nilai overshoot maksimum Mp dan waktu puncak TP.
3.4 Eror Dinamik Sistem Pengukuran
Sebuah sistem pengukuran terdiri atas beberapa elemen pengukuran yang setiap elemen memiliki karakteristik dinamik sendiri. Dengan demikian, fungsi transfer untuk sistem pengukuran keseluruhan merupakan perkalian dari fungsi transfer tiap elemen, atau dituliskan:
) ( ) ( ) ( ) ) (
( ) (
2
1 s G s G s
G s s G I
s O
n
=
∆ =
∆ (2.31)
dengan n adalah jumlah elemen pada sistem pengukuran terkait.
Eror dinamik dari sistem pengukuran merupakan perbedaan antara sinyal terukur dengan sinyal benarnya, yaitu perbedaan antara ∆O(t) dengan ∆I(t):
E(t) = ∆O(t) - ∆I(t)
Dengan demikian, eror dinamik merupakan fungsi waktu yang berubah nilainya saat sistem pengukuran berada pada kondisi transien. Dari hasil respon step output sistem pengukuran (bukan elemen pengukuran), eror dinamik dapat ditentukan dari perbedaan nilai yang terukur dengan nilai kondisi mantapnya.
Contoh:
Sebuah sensor temperatur awalnya menunjukkan temperatur yang sama dengan temperatur fluida, yaitu T(0-) = TF(0-). Jika TF secara tiba-tiba naik menjadi 100°C, maka terjadi perubahan step ∆TF dengan ketinggian 75°C. Perubahan yang berkaitan pada temperatur sensor diberikan oleh: ∆T = 75(1 - e-t/τ ) dan temperatur aktual sensor diberikan oleh:
T(t) = 25 + 75(1 - e-t/τ )
Sehingga pada t = τ, T = 25 + (75 × 0,63) = 72,3 °C. Dengan melihat waktu yang diperlukan oleh sensor mencapai nilai 72,3 °C, maka kita dapat memperoleh konstanta waktu τ dari elemen sensor tersebut.
Eror dinamik sensor diberikan oleh:
E(t) = ∆T(t) - ∆I(t) = 75(1 - e-t/τ ) - 75 = 75e-t/τ
Sehingga pada t = τ, eror dinamik mencapai 27,75 atau 37% dari 75.
Modul Praktikum
PENENTUAN KARAKTERISTIK DINAMIK TERMOMETER
A. TUJUAN PRAKTIKUM
1. Memahami karakteristik dinamik dari suatu alat ukur.
2. Menentukan hubungan input dan output sebagai fungsi waktu.
B. DASAR TEORI
Karakteristik dinamik dari sebuah alat ukur menggambarkan perilakunya antara waktu yang terukur dengan perubahan nilai output untuk mencapai nilai stabil. Seperti dengan karakteristik statis, nilai-nilai untuk karakteristik dinamis dikutip dalam lembaran instrumen data hanya berlaku pada saat instrumen yang digunakan dalam kondisi lingkungan tertentu.
Model sebuah elemen sistem pengukuran dapat dinyatakan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
I b O t a a O t
a O t
a O n
n n n
n
n 1 1 0 0
1
1 d
d d
d d
d + − −− ++ + =
Penyederhanaan lebih lanjut dapat dilakukan dengan mengambil kasus-kasus khusus tertentu dari persamaan di atas, yang secara kolektif berlaku untuk hampir semua sistem pengukuran.
Instrument Orde Nol
Instrumen orde nol memiliki perilaku respon step output sesuai dengan input step yang diterapkan ke instrumen. Saat ada perubahan input pengukuran, output segera bergerak ke nilai baru secara sangat cepat sehingga mendekati respon step, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Sebagai contoh, sebuah potensiometer yang mengukur gerak, di mana perubahan tegangan output
bergantung pada slider tersebut dipindahkan sepanjang jalur potensiometer.
Gambar P2.1 Respon output orde nol Instrument Orde Satu
Instrumen orde satu memiliki perilaku respon step output seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Terlihat di sini, bahwa saat ada perubahan step input pengukuran, output instrumen fo(t) berubah secara gradual (tidak secara tiba-tiba seperti instrumen orde nol) dan membutuhkan waktu untuk mencapai kondisi mantapnya. Nilai kondisi mantap diharapkan adalah sama dengan nilai benar besaran yang diukur, oleh karena itu nilainya dipengaruhi oleh karakteristik statik instrumen.
Dalam lembar data (data sheet) instrumen, parameter dinamik instrumen orde satu yang sering dituliskan adalah konstanta waktu. Berdasarkan gambar 2, konstanta waktu τ adalah waktu yang dibutuhkan ketika respon dinamik ouput bernilai 63% dari perubahan output saat kondisi mantap ∆O. Dengan demikian, saat t = τ, eror dinamik yang terjadi adalah 37% dari ∆O.
Gambar P2.2 Respon output orde satu Instrument Orde Dua
Instrumen orde dua memiliki model matematis dalam bentuk persamaan diferensial sebagai berikut:
Terdapat tiga parameter dinamik untuk instrumen orde dua, yaitu: K (sensitivitas statis), ω (frekuensi natural tak teredam) dan ξ (rasio redaman), di mana:
K = b0/a0
ω = a0/a2
ξ = a1/2a0 a2
Jika persamaan differensial di atas diselesaikan secara analitis, bentuk dari respon yang diperoleh tergantung pada nilai rasio redaman. Respon step dari output instrumen orde dua ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar P2.3 Respon output orde dua C. PERALATAN DAN KOMPONEN PERCOBAAN
1. Termometer raksa 2. Termometer Digital 3. Heater/pemanas air 4. Air
5. Stop watch/Timer
D. LANGKAH PERCOBAAN
1. Ukurlah suhu ruang saat percobaan
2. Panaskan air dalam wadah dengan heater hingga mencapai suhu yang ditentukan yaitu T0C (sesuai ketentuan asisten).
3. Lakukan pembagian tugas pada setiap anggota kelompok praktikum sebagai berikut:
Pengamat temperatur
Pemegang stopwatch
Pencatat data
Pengendali temperatur dengan heater Lakukan simulasi dengan dibantu oleh asisten.
4. Gunakan termometer digital untuk menjaga temperatur air tetap pada T0C dengan menggunakan heater secara manual
5. Pada saat temperatur air telah mencapai T0C, celupkan segera termomoter raksa ke dalam wadah air dan catat penunjukan temperatur pada termometer raksa setiap 20 detik hingga penunjukan mantap di nilai T0C 6. Setelah kondisi mantap tercapai, cabut termomter raksa segera dan catat
penunjukan temperatur pada termometer raksa setiap 20 detik hingga penunjukan mantap di nilai suhu ruang
7. Isi tabel percobaan seperti yang tercantum pada tabel 1.
Perhitungan eror dinamik pada saat termometer raksa berada di air adalah :
eror = T – T terukur
Perhitungan eror dinamik pada saat termometer raksa berada di udara adalah :
eror = Truang – T terukur 8. Buat grafik berdasarkan data tersebut.
Tabel P2.1 Data Pengukuran Suhu
No Time (detik) Temperatur (0C) Eror dinamik
1 0 Suhu ruang 0
2 20
3 40
4 60
5 …….. (jika sudah steady, cabut thermometer dan ukur
suhunya di udara) 6
7 8
Dst. Sampai kembali pada suhu ruang
E. ANALISIS PERCOBAAN
1. Tentukan konstanta waktu dari sensor termometer raksa berdasarkan data yang anda peroleh saat di air panas
2. Tentukan konstanta waktu dari sensor termometer raksa berdasarkan data yang anda peroleh saat di udara
3. Buatlah analisis tentang karakteristik dinamis instrumen berdasarkan data dan hasil perhitungan yang anda peroleh.
4. Simpulkan percobaan ini.
5. Buat laporan resmi percobaan.
