BAB II TEORI DASAR. Gambar 2.1 Tipikal struktur mekanika (a) struktur batang (b) struktur bertingkat [2]

BAB II

TEORI DASAR

2.1. Metode Elemen Hingga

Analisa kekuatan sebuah struktur telah menjadi bagian penting dalam alur kerja pengembangan desain dan produk. Pada awalnya analisa kekuatan dilakukan dengan menggunakan rumusan-rumusan teoritis yang telah banyak tercantum pada buku-buku panduan mekanika struktur dan teknik. Tetapi hal tersebut memiliki banyak kekurangan, salah satunya adalah harusnya dilakukan penyederhanaan-penyederhanaan serta pengidealisasian kondisi-kondisi yang akan dianalisa agar dapat dimasukkan ke dalam rumusan teoritis tersebut. Hal ini dapat menyebabkan berkurangnya akurasi dan ketepatan hasil analisa yang dihasilkan serta akan sangat sulit diaplikasikan pada bentuk struktur yang kompleks.

Untuk mengatasi hal tersebut dikembangkanlah berbagai macam metode analisa yang dapat mengatasi hal tersebut. Salah satu metode tersebut adalah metode elemen hingga. Metode elemen hingga adalah sebuah metode yang menggunakan pendekatan numerik untuk menganalisa sebuah struktur untuk mendapatkan solusi pendekatan dari suatu permasalahan.

2.1.1. Konsep Dasar

Untuk dapat memahami dengan mudah konsep dasar dari metode elemen hingga dapat diambil contoh sederhana dari salah satu bentuk struktur mekanika sebagaimana terlihat pada Gambar 2.1. Seperti yang sudah diketahui, banyak struktur mekanika terbuat dari beberapa batang yang terhubung dengan menggunakan sambungan-sambungan sehingga membentuk sebuah struktur. Setiap titik penghubung batang-batang tersebut adalah yang disebut sebagai titik nodal.

Gambar 2.1 Tipikal struktur mekanika (a) struktur batang (b) struktur bertingkat [2]

Metode elemen hingga menggunakan prinsip yang sama dengan struktur sederhana tersebut dimana setiap struktur yang akan dianalisa dibagi terlebih dahulu menjadi elemen-elemen kecil seperti

layaknya struktur yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Analisa untuk struktur tersebut dapat dilakukan dengan mengetahui terlebih dahulu bagaimana perilaku setiap elemen individual tersebut, kemudian elemen-elemen tersebut dihubungkan sedemikian rupa sehingga gaya-gaya kesetimbangannya dan kompabilitas dari perubahan posisi-posisi struktur tersebut sesuai pada setiap nodalnya.

Setelah kedua hal tersebut dipenuhi, baru analisa dapat dilakukan dengan menerapkan perhitungan-perhitungan numerik yang berdasarkan analisa struktur sederhana pada setiap elemen-elemen struktur tersebut. Perhitungan-perhitungan numerik tersebut di representasikan dengan menggunakan metode matriks untuk menganalisis struktur secara kesinambungan. Karena analisis dilakukan pada setiap elemen maka kedekatan hasil analisis terhadap kondisi sebenarnya sangat bergantung pada jumlah elemen yang dibagi pada struktur yang dianalisa tersebut. Gambar 2.2 menunjukkan contoh model elemen hingga yang diterapkan pada sebuah struktur konstruksi sederhana.

Gambar 2.2 Contoh idealisasi metode elemen hingga pada stuktur (a) Tembok Dam (b) Plat terlipat [2]

2.1.2. Pemodelan Elemen Hingga

Setelah mengetahui kondisi-kondisi dasar yang perlu diketahui dalam melakukan analisa struktur, hal lain yang perlu dilakukan kemudian adalah pembuatan model itu sendiri. Pada saat ini pemodelan elemen hingga telah dilakukan dengan bantuan perangkat lunak dan komputer. Walaupun telah dimudahkan dengan piranti lunak tersebut tetapi tetap ada beberapa langkah yang harus dilakukan dalam melakukan pembuatan model untuk dianalisa dengan menggunakan elemen hingga.

Tahapan langkah tersebut dapat dijabarkan secara garis besar menjadi sebagai berikut : 1. Pembuatan geometri awal struktur yang akan dianalisis

3. Pembuatan elemen dari hasil pemodelan geometri struktur yang akan dianalisa (mesh generation )

4. Pemberian kondisi batas ( constraint/boundary condition )

Kondisi batas diperlukan untuk menentukan bagaimana model tersebut tertumpu pada dudukannya dalam kondisi nyata. Hal ini sangat menentukan bagaimana hasil dari analisa model geometri tersebut. Berbagai macam kondisi batas yang biasa digunakan antara lain fixed-fixed, fixed-free, free, dsb.

5. Penentuan jenis material dan properti dari material yang digunakan, hal ini berkenaan dengan massa jenis dari material tersebut, modulus elastisitas (young modulus, E ), poisson’s ratio, dll.

6. Pemberian kondisi pembebanan ( loading condition ). Kondisi pembebanan yang diberikan pada model struktur bergantung dengan kondisi nyatanya. Hal ini dilakukan untuk mendapatkan hasil yang sedekat mungkin dengan kondisi kenyataanya. Beban yang biasa digunakan antara lain beban gaya, momen, atau tekanan baik statik maupun dinamik.

7. Analisa

Langkah ini merupakan langkah terakhir dalam tahapan analisa metode elemen hingga. Analisa dilakukan dengan bantuan perangkat lunak FEM ( Finite Element Method ). Jenis analisa yang dapat dilakukan juga bervariasi dari jenis analisa statik, dinamik, buckling, maupun analisa perpindahan panas.

2.2. Analisa Struktur Statis

Analisa statis digunakan untuk mengetahui kekuatan serta kondisi kritis yang dimiliki oleh struktur yang dianalisa tersebut. Kondisi kritis merupakan kondisi dimana kegagalan dari struktur paling mungkin terjadi dan dapat tercapai karena pada kondisi tersebut terdapat tegangan maksimum yang dialami oleh struktur tersebut.

Tegangan maksimum dapat dijelaskan dengan lebih mudah melalui Gambar B.3 dibawah. Pada gambar tersebut digambarkan sebuah batang yang tidak bermassa yang memiliki dua gaya P yang sama besar dan berlawanan arah yang terletak di setiap ujung batang tersebut. Pada batang tersebut diberikan potongan imajiner pada bidang x-x. Dalam analisa struktur diutamakan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja sesuai dengan metode irisan yang menyebutkan hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda mengimbangi gaya-gaya luar terpakai. Sehingga pada potongan imajiner tersebut perlu gaya yang setara seperti yang terlihat pada Gambar 2.3 (b) dan (c).

Gambar 2.3 Urutan langkah analisis tegangan sebuah batang tak bermassa [6]

Kemudian berdasarkan definisi tegangan normal, maka tegangan yang berlaku tegak lurus pada potongan tersebut dapat diterjemahkan menjadi persamaan b-1 sebagai berikut,

(2-1) Pada umumnya gaya P adalah gaya resultan sejumlah gaya pada suatu sisi atau sisi yang satunya lagi dari potongan tersebut. Aplikasi analisa pada batang ini kemudian diaplikasikan pada analisa struktur secara keseluruhan terutama pada struktur yang terdiri dari banyak batang yang membentuk kerangka seperti terlihat pada contoh Gambar 2.4. Agar semua bagian dari kerangka tersebut dapat dianalisis, maka gaya-gaya yang bekerja di setiap batang pada kerangka tersebut haruslah dihitung dan dianalisa. Dengan dianalisanya semua bagian maka dapat diambil gambaran secara menyeluruh kondisi yang terjadi pada saat kerangka struktur tersebut mengalami pembebanan.

Untuk dapat dianalisa di setiap bagian kerangka struktur tersebut maka perlu dilakukan pemotongan imajiner pada struktur kerangka batang tersebut seperti yang dilakukan pada batang individu. Hal ini dimaksudkan agar di setiap batang dapat di analisis gaya-gaya yang bekerja dan bagaimana dampaknya pada keseluruhan kerangka batang seperti terlihat pada Gambar 2.5 sebagai berikut,

Gambar 2.4. Contoh kerangka struktur yang mengalami pembebanan [6] \

Gambar 2.5. Contoh kerangka struktur yang mengalami pembebanan dan telah dipotong secara imajiner [6]

Pada Gambar 2.5 (c) digambarkan diagram benda bebas kerangka batang dan bagaimana gaya yang bekerja pada batang FC dan AB, sedangkan gaya-gaya yang bekerja pada batang CG dan AB digambarkan pada diagram benda bebas pada Gambar 2.5 (d).

Untuk kerangka struktur yang sederhana analisa dengan cara seperti ini masih dapat dilakukan secara manual. Tetapi pada kerangka struktur yang kompleks hal ini dapat sangat sulit untuk dilakukan. Oleh karena itu pada kerangka struktur yang kompleks digunakan bantuan perangkat lunak komputer

untuk dilakukan analisa. Cara analisa dengan menggunakan metode elemen hingga didasari oleh cara analisa kerangka struktur seperti ini.

2.3. Hukum Hooke

Hukum Hooke merupakan hubungan antara tegangan dan regangan yang dapat dikatakan berbentuk linier untuk semua bahan, yang menuju kepada idealisasi dan generalisasi yang berlaku pada semua bahan atau material berdasarkan pustaka [1]. Dalam bentuk lambang hukum Hooke dapat diterjemahkan menjadi persamaan dimana tegangan berbanding lurus dengan regangan seperti berikut,

(2-2) Tetapan E merupakan tetapan pembanding tegangan dan regangan yang disebut sebagai modulus elastisitas atau disebut juga sebagai modulus Young. Sedangkan σ pada persamaan (b-2) merupakan tegangan dan ε adalah regangan. Secara grafis tetapan E adalah kemiringan dari garis lurus yang ditarik dari titik asal ke titik A pada diagram regangan dan tegangan seperti yang terlihat pada Gambar 2.6 sebagai berikut,

(a) (b)

Gambar 2.6 Diagram tegangan dan regangan untuk baja lunak (a) dan bahan rapuh (b) [6]

Penjelasan tersebut menekankan bahwa hukum Hooke hanya berlaku pada batas proporsional dari bahan yang ditunjukkan pada titik A pada diagram regangan dan tegangan tersebut. Oleh karena itu secara fisis nilai modulus Young menunjukkan nilai kekakuan bahan terhadap beban yang diberikan, dan merupakan suatu sifat yang pasti dari bahan. Pada baja nilai E berharga antara 200 sampai 210 x 109 N/m2.

2.4. Perbandingan Poisson (Poisson’s Ratio)

Salah satu karakteristik penting yang perlu diperhatikan dalam melakukan analisa menggunakan metode elemen hingga adalah diketahuinya perbandingan Poisson dari material tersebut. Perbandingan Poisson menunjukkan perbandingan antara regangan lateral dan aksial dari suatu bahan material. Dari hal

tersebut dapat diperlihatkan bahwa pada suatu benda padat jika dihadapkan pada suatu gaya tarik aksial maka benda tersebut akan menyusut secara lateral dan sebaliknya saat ditekan benda padat tersebut akan menuai ke samping seperti yang terlihat pada Gambar 2.7 berikut ini,

Gambar 2.7 Penyusutan dan pemuaian lateral dari benda-benda yang mengalami efek dari Poisson [6]

Seperti layaknya modulus Young, perbandingan Poisson juga termasuk sebagai konstanta yang menjadi sifat tertentu dari suatu bahan. Perbandingan Poisson ditunjukkan sebagai ν (nu) dan didefinisikan dalam persamaan menjadi sebagai berikut,

(2-3) Harga dari ν tersebut berubah-berubah untuk bahan yang berbeda tetapi masih dalam ruang yang cukup sempit. Pada umumnya harga ν berkisar dari 0,25 sampai 0,35 dengan harga ekstrim mencapai 0,1 pada material getas seperti beton dan maksimum 0,5 untuk material ulet seperti karet. Selain itu efek Poisson tidak akan menambahkan tegangan apapun kepada benda tersebut kecuali bila deformasi melintang dihalangi atau dicegah.

2.5 Buckling

Buckling atau penekukan dapat didefinisikan sebagai sebuah fenomena kegagalan yang terjadi akibat tekanan kompresif yang terjadi pada sebuah struktur sehingga menyebabkan terjadinya perubahan bentuk struktur tersebut berupa defleksi lateral ke bentuk kesetimbangannya yang lain berdasarkan pustaka [3].

2.5.1 Beban Kritis

Beban aksial maksimum yang dapat diterima sebuah kolom atau struktur sebelum mencapai buckling disebut sebagai beban kritis (Pcr ). Penambahan beban yang melebihi beban kritis tersebut akan

Gambar 2.8 Ilustrasi Pembebanan pada Batang Kolom [10]

Terlihat pada Gambar 2.8 Saat P < Pcr maka batang kolom masih akan tetap berada dalam

keadaan lurus tanpa terjadi defleksi. Tetapi saat P > Pcr maka batang kolom akan mengalami defleksi.

Fenomena ini akan dapat diperjelas dengan mengasumsikan terdapat sebuah mekanisme dua batang yang memiliki massa yang dapat diabaikan dan dihubungkan dengan pin di tiap ujungnya. Seperti terlihat pada Gambar 2.9

(a) (b)

Gambar 2.9 Ilustrasi Mekanisme 2 Batang dengan Menggunakan Pegas [10]

Pada Gambar 2.9 (a) terlihat batang berada pada posisi vertikal dengan diberi tahanan pegas pada titik B. Diasumsikan pegas tersebut memiliki tahanan k tanpa regangan dan pada mekanisme tersebut diberi beban vertikal P. Dengan memberikan sedikit defleksi Δ pada mekanisme tersebut, maka posisi

mekanisme tersebut akan berubah dari posisi kesetimbangannya menjadi posisi seperti pada Gambar 2.9 (b). Pada posisi ini pegas akan memberikan gaya yang berlawanan sebesar F = k Δ. Dan gaya P akan memberikan gaya horizontal sebesar Px = P tan θ yang memiliki kecenderungan untuk semakin

mendorong batang menjauh dari titik kesetimbangannya melawan gaya pulih pegas.

Karena θ diasumsikan sangat kecil maka dapat diperoleh tan θ ≈ θ dan Δ = θ(L/2). Sehingga gaya pulih pegas dapat menjadi F = k θ(L/2), dan gaya pendorong menjadi 2 Px=2 P θ.

Dari persamaan-persamaan tersebut dapat terlihat jika gaya pulih pegas lebih besar daripada gaya pendorong yaitu saat k θ(L/2) > 2 P θ, maka akan diperoleh

(2-4) dimana mekanisme berada dalam keadaan stabil setimbang dalam arti gaya pulih pegas dapat mengembalikan mekanisme tersebut dalam kondisi vertikal semula.

Sebaliknya jika gaya pulih pegas lebih kecil daripada gaya pendorong pada mekanisme tersebut dimana k θ(L/2) < 2 P θ, maka akan diperoleh

(2-5)

Dimana mekanisme tersebut tidak berada dalam keadaan stabil setimbang, sehingga mekanisme tersebut akan mengalami defleksi dan tidak dapat dikembalikan ke posisi semula.

Nilai P yang diperoleh dengan memenuhi persamaan k θ(L/2) = 2 P θ adalah yang disebut sebagai beban kritis, dimana

(2-6)

Pembebanan ini menunjukkan sistem berada dalam kondisi kesetimbangan netral. Pada kondisi ini gangguan yang terjadi tidak akan membuat mekanisme tersebut semakin menjauh dari titik kesetimbangan tetapi juga tidak akan mengembalikan ke posisi semula pada posisi stabil setimbang. Mekanisme akan tetap berada dalam posisi terdefleksi.

Titik transisi atas ketiga kondisi kesetimbangan tersebut disebut sebagai titik percabangan dua (bifurcation point) dimana beban .

2.5.2 Rumus Euler pada Kolom Ideal

Untuk menyederhanakan perhitungan dan analisis pada fenomena buckling maka kolom dan batang di asumsikan sebagai kolom ideal. Yang disebut sebagai kolom ideal pada hal ini adalah yang memenuhi syarat berikut antara lain, kolom yang memiliki profil lurus sempurna sebelum pembebanan, terdiri atas material yang homogen serta bersifat elastis linier, dan beban yang diaplikasikan pada kolom melalui centroid penampang dari batang tersebut.

Untuk menentukan beban kritikal dan bentuk penekukan pada kolom ideal, dapat didekati melalui persamaan momen internal pada kolom yakni,

(2-7)

Untuk menggunakan persamaan ini perubahan defleksi pada batang haruslah diasumsikan sangat kecil.

(a) (b)

Gambar 2.10 Diagram Benda Bebas pada Batang Kolom [10]

Dari Gambar 2.10 dapat terlihat Diagram Benda Bebas dari perubahan defleksi yang terjadi pada kolom. Dari DBB tersebut dapat terlihat perubahan defleksi dan momen internal M menunjukkan arah positif. Sehingga dapat diperoleh besar momen internal dari batang tersebut adalah .

Sehingga persamaan 2-7 dapat menjadi,

(2-8) Dengan menggunakan metode persamaan diferensial, solusi umum dari persamaan tersebut adalah,

(2-9) Dua konstanta tersebut ditentukan dari kondisi batas pada ujung-ujung batang, karena pada sehingga . Dan karena saat , maka

Persamaan ini dapat diselesaikan jika tetapi solusi tersebut hanyalah akan menjadi solusi yang tidak berarti karena . Solusi lain adalah,

Yang dipenuhi jika,

(2-10) dimana

Untuk mendapatkan nilai P terkecil maka , sehingga diperoleh rumus untuk mencari beban kritis dari sebuah kolom,

(2-11) Yang biasa disebut sebagai rumus Euler.

2.5.3 Rumus Euler pada Kolom Ideal dengan Berbagai Macam Tumpuan

Rumus Euler yang telah diperoleh pada persamaan 2-11 hanya berlaku pada batang atau kolom yang memiliki tumpuan pin pada ujungnya atau dapat disebut juga dapat berotasi pada ujung-ujungnya. Tetapi pada prakteknya sebuah batang dapat ditumpu dengan berbagai macam tumpuan lain seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.11

K=1 K=0,7 K=0.5 K=2 Gambar 2.11 Ilustrasi Berbagai Macam Tumpuan pada Batang Kolom [10]

Dalam hal ini panjang L dalam persamaan menggambarkan jarak tumpuan antara titik dimana terdapat momen nol. Jarak ini disebut sebagai Panjang Efektif, Dan menurut ketentuan dalam desain panjang efektif telah memiliki formula,

Dimana K merupakan konstanta yang disebut koefisien panjang efektif. Nilai spesifik K telah tercantum pada Gambar 2.11. Sehingga persamaan Euler untuk kolom dengan berbagai tumpuan menjadi, (2-12)

2.5.4 Analisa Buckling pada Perangkat Lunak MSC Nastran 4.5

Pada perangkat lunak MSC Nastran 4.5, analisa buckling dibuat berdasarkan teori-teori yang telah disebutkan di atas. Tetapi pada perangkat lunak MSC Nastran 4.5 hasil dari proses akhir tidaklah langsung berupa nilai beban kritis dari struktur yang dianalisa melainkan berupa nilai eigen. Sehingga untuk mendapatkan nilai beban kritis nilai eigen tersebut harus dimasukkan ke dalam persamaan sederhana yakni,

(2-13)

Oleh karena itu pada analisa dengan menggunakan perangkat lunak MSC Nastran 4.5 nilai eigen yang dihasilkan dapat juga diartikan sebagai besarnya faktor keamanan yang dimiliki oleh struktur tersebut. Semakin kecil nilai eigen yang dihasilkan semakin besar kemungkinan terjadinya kegagalan akibat terjadinya buckling. Oleh karena itu nilai eigen yang besar cukup diharapkan pada analisa sebuah struktur untuk menunjukkan tingkat keamanan yang besar dari struktur tersebut dari kemungkinan terjadinya gagal akibat buckling.

2.6 Gaya Impuls

Gaya Impuls merupakan gaya yang bekerja pada selang waktu yang pendek seperti yang biasa terjadi pada peristiwa tumbukan berdasarkan pustaka [7]. Sebagai contoh gaya yang bekerja pada tumbukan sebuah bola dengan tembok, serta tendangan pada bola. Pada peristiwa tersebut gaya yang bekerja merupakan gaya impuls. Agar dapat dapat dipandang dengan lebih jelas bagaimana gaya impuls bekerja, diumpamakan bola tersebut sebagai suatu partikel atau benda titik yang dipukul hingga terpental. Kemudian supaya gaya pukulan yang bekerja dapat dihubungkan dengan gerak partikel, dapat digunakan hukum II Newton, sebagai berikut,

(2-14) Dari persamaan (2-14) diintegralkan hingga diperoleh,

 

Dengan memisalkan massa partikel tidak berubah terhadap kecepatan atau waktu maka dapat diperoleh,

(2-15) Untuk gerak satu dimensi persamaan (2-15) dapat ditulis menjadi,

(2-16)

Hal ini menunjukkan jika fungsi F(t) diketahui maka perubahan mv dapat diketahui dengan menghitung integral . Integral ini disebut sebagai impuls dan dinyatakan dalam I.