ANALISIS PENGUKURAN
Ralat (
Uncer tainties
), Per ambatan r alat (
Pr opagation of
Er r or
), Pencocokan Kuadr at tekecil (
Least Squar e Fitting
),
dan Analisis Gr afik
1. Pengukur an
1.1
Ralat dalam Pengukur an
Dalam dunia ideal pengukur an selalu sempur na. Papan kayu dapat dipotong ber ukur an 2 x 3 meter per segi tepat. Balok aluminium ber massa 4 kilogr am. Semua pengukur an ber nilai eksak, per hitungan hasil ukur menjadi sangat seder hana. Namun sayangnya eksper imen dilakukan dalam dunia r eal, bukan dunia ideal. Dalam dunia r eal pengukur an tidak per nah sempur na. Alat ukur memiliki keter bat asan, tidak pr ecisi dan tidak akur at.
Ketidaksempur naan yang inher en di dalam pengukur an eksper imental disebut r alat (uncer t aint y/ ketidakpastian). Ralat har us diser takan setiap pengukur an dilakukan. Notasi untuk menyatakan hasil ukur beser ta r alatnya adalah:
(estimasi terbaik
r alat) satuanGambar 1 Pengukur an dan r alat: g = (9.801 ± 0.002) m/ s2
Misal pengukur an menghasilkan g = (9.801 ± 0.002) m/ s2 seper ti ditunjukkan anak panah. Pengukur an ini dapat diinter pr etasikan ber ada diant ar a (9.801 + 0.002) m/ s2 and (9.801 - 0.002) m/ s2, atau pada inter val 9.799 m/ s2 < g < 9.803 m/ s2 . Maka t ampak bahw a pengukur an eksper imental bukan mer upakan nilai eksak namun jangkau / inter val dar i nilai kemungkinan. Jangkau ini ditentukan oleh r alat.
Di baw ah ini diber ikan dua contoh pengukur an:
Ketentuan yang dipakai untuk menyatakan pengukur an adalah:
“Taksir an ter baik dan r alat har us memiliki jumlah digit setelah titik desimal yang sama”.
Jika ditulis dalam notasi aljabar menjadi:
( X ±
δX
)Notasi delta sesuai per janji an menyatakan r alat .
Bagaimana kita menentukan r alat di labor ator ium?
1.2 Ralat dalam Pengukur an Eksper imental
Kar ena pengukur an eksper imental dituliskan dalam bentuk pasangan bilangan maka pengukur an yang lengkap bai k taksir an maupun r alatnya har us diper oleh. Taksir an ter baik dapat ditentukan secar a seder hana dengan membaca skala atau tampilan digital, namun penentuan r alat menjadi lebih r umit. Per janjian yang digunakan bahw a r alat di dalam pengukur an mer upakan ukur an skala t er kecil
pada alat ukur yang digunakan. Misal, jika skal a digital menampilkan 1.35 g, maka pengukur an dinyatakan dengan (1.35 ± 0.01) g kar ena alat ukur yang digunakan mampu mengukur incr ement 0,01 g. Untuk alat ukur analog seper ti meter an maka skala ter kecil mer upakan tanda pembagian ter kecil pada alat. Oleh kar ena itu pengukur an ter kecil yang mampu dilakukan oleh meter an hanya dalam 1 milimeter , sehingga r alat untuk meter an adalah 1 mm, seper ti (0.353 ± 0.001) m.
1.3 Per sentase Ralat Pengukur an
Penting dan dianjur kan menentukan kualitas hasil ukur . Untuk menentukan bagaimana hasil ukur an dibadingkan dengan hasil ukur yang diper oleh dengan alat ukur lain digunakan konsep per sentase r alat. Per sent ase menjadikan kita bi as membandingkan antar a apel dan jer uk. Contohnya, manakah dar i pengukur an panjang at au massa yang menyebabkan per cepatan gr avitasi memiliki r alat besar . Per sent ase r alat dar i hasil pengukur an didefinisikan sebagai r asio antar a r alat pengukur an dengan taksir an ter baiknya kemudian dikalikan dengan 100%. Sebagai contoh pengukur an menghasilkan M
M. Per sentase r alat adalah:Per sent ase r alat: 100%
M M
1.4 Ralat tak langsung (I mplied Uncer tainties)
eksak, namun semata-mata hanya untuk alasan pr aktis. Ralat disini mer upakan r alat tidak langsung, atau implisit (implied). Untuk pengukur an yang mengadung r alat tak langsung, maka r alat sesungguhnya didefinisikan dengan tempat desimal signifikan ter kecilnya. Contoh, jika suatu buku menyatakan bahw a per cepatan gr avitasi bumi g
= 9.80146 m/ s2, maka r alat t ak langsungnya adalah 0.00001 m/ s2 sehingga kita dapat menuliskan:
g
g = (9.80146 ± 0.00001) m/ s2.2.
Kesesuaian
dan
ketidaksesuaian
(
Agr eements and Discr epancies
)
Salah satu hal yang penting untuk dilakukan jika telah memper oleh hasil pengukur an adalah membandingkan dengan hasil ukur yang lain. Ada dua tipe pembandingan hasil ukur yaitu: (1) membandingkan dengan hasil yang telah standar ; dan (2) melakukan beber apa pengukur an kemudian membandingkan antar hasil pengukur an ter sebut. Untuk kedua kasus ini dibutuhkan per janji an apakah dibandingkan dengan hasil standar ataukah dibandingkan dengan hasil ukur yang lain. Secar a numer ik juga dibutuhkan seber apa dekat satu hasil ukur ter hadap hasil ukur yang lain.
Dua pengukur an dikat akan sesuai jika keduanya memiliki nilai ber sama; yait u jangkau r alat yang over laping.
Over laping dar i jangkau r alat bisa total sehingga dalam hal ini hasil pengukur an memiliki nilai taksir an dan r alat ter baik, at au secar a par sial, dalam hal ini hanya beber apa nilai yang sama antar a kedua hasil ukur .
sesuai
sesuai
tak sesuai
Gambar 2. Sesuai dan tidak sesuai
%
100
Y
Y
X
Z
Catatan: ji ka kita akan menentukan ketaksesuaian maka yang dipakai hanya nilai estimasi ter baiknya dan bukan r alatnya.
Jika anda akan membandingkan dua hasil eksper imental yang anda lakukan, maka gunakanlah data yang per tama sebagai st andar dan kemudian hitunglah ketaksesuaian data kedua ter hadap data per tama.
Contoh:
Dengan penimbangan, pemanasan untuk mengeluar kan air , dan kemudian menimbang lagi, seor ang mur id menentukan per sentase air di dalam hidr at dar i Sr Cl2 sebanyak 40.8%. Ber apa per sen r alatnya jika r umus ikatan kimia sesungguhnya adalah Sr Cl2 .6H2O?
Per sent ase r iil air dalam hidr at:
100
%
O
.6H
SrCl
O
6H
2 22
x 100% 40.3%. 268108
Per sent ase kesalahan = x 100% 1% 40.3
40.8 -40.3
Hitung per sen kesalahan dar i setiap penentuan kandungan ber ikut yang diker jakan di labor ator ium:
1. Massa molar CO2 is 43.79 g/ mol.
2. Kapasitas panas Cd i s 0.197 J/ g.C. (Nilai teor itis 0.231 J/ g.C)
3. Konstanta ionisasi CH3COOH adalah 1.85 x 10-5. (Nilai teor itis 1.75 x 10-5) 4. Titik lebur timah 244
C. (Nilai teor itis 232
C).2.1 Pr ecisi ( cer mat) dan Akurasi ( tepat)
Gambar 3. Penggambar an per bedaan pr ecisi dan akur asi. (a) Pr ecisi t etapi tidak akur at, (b) Akur at tet api tidak pr ecisi.
Pr ecisi ada dua macam: 1. pr ecisi mutlak 2. pr ecisi r elatif
Pada pr ecisi mutlak, besar nya r alat dinyatakan dengan satuan yang sama dengan hasil ukur nya, sedangkan pr ecisi r elatif besar nya r alat har us dibagi dengan hasil ukur .
Contoh:
Nilai benar = 30 _
Jika suatu pengukur an menghasilkan:
x = 23
2 maka dikat akan pr eci si tet api ti dak akur at kar ena kesalahan sistematisnya ter lalu besar .
x = 28
7 maka akur at tetapi tidak pr ecisi kar ena hasil pengukur an di sekitar 30 namun kesalahan acaknya ter lalu besar .Jadi pengukur an har us akur at dan pr ecisi
3. Per ambatan r alat
nilai ter jelek dar i per ambat an r alat. Sebenar nya hal ini tidak selalu tepat kar ena tidak pasti masing-masing hasil ukur menghasilkan r alat. Car a yang benar adalah dengan mengambil akar -jumlah kuadr at dar i r alat. Namun car a ini sangat komplek. Oleh kar ena itu di baw ah ini diber ikan atur an aljabar yang diser tai dengan r alat.
Penjumlahan: Ralat pengukur an akhir mer upakan jumlah dar i r alat pengukur an aw alnya.
Pengur angan: Ralat pengukur an akhir mer upakan jumlah dar i r alat pengukur an aw alnya.
Per kalian: Ralat pengukur an akhir diper oleh dengan menjumlahkan per sentase r alat pengukur an aw alnya dan kemudian mengalikannya dengan hasil kali nilai estimasi masing-masing .
Hal ini dapat ditur unkan dengan mudah dengan asumsi bahw a r alat sangat lebih kecil dar ipada nilai estimasi ter baiknya. Dengan demikian jika kedua suku r uas kir i dikalikan maka suku
A
B dapat diabaikan. Dengan menyusun kembali akan member ikan hasil pada r uas kanan. Jika kita kana mengalikan tiga pengukur an sekaligus maka hasilnya menjadi:dan seter usnya. Catat an: per samaan di atas secar a matematis jika salah satu A atau B nol maka hasilnya tak t er definisikan. Dalam keadaan demikian asumsi bahw a r alat lebih kecil dar i nilai estimasi ter baiknya tidak benar sehingga har us dipastikan benar bahw a suku-sukunya tidak demikian bar u menghitungnya.
Rumus ter sebut dapat ditur unkan dengan menggunakan ekspansi binomial bagian penyebut dengan asumsi bahw a r alat-r alatnya sangat kecil dibandingkan nilai estimasi ter baiknya.
Contoh: menghitung kecepat an r ata-r ata pelar i yang menempuh jar ak D
D = (100.0
0.2)m dalam t
t= (9.85
0.12) s.Dalam contoh ini r alat akhir umumnya disumbang oleh r alat pengukur an t yang tampak dar i per sentase r alatnya yaitu
t/t~ 1.22% sedangkan untuk D,
D/ D~ 0.20%. Maka jika kita ingin memper baiki r alat dar i kecepat an r ata-r ata maka per tama-tama yang kita per baiki adalah car a mengukur w aktu, misalnya dengan mengukur membeli stop w atch yang lebih baik sebelum membeli meter an yang baik.Catatan: selama pr oses per hitungan maka tempat desimal diper tahankan, bar u setelah sampai pada hasil akhir maka dibulatkan.
Oper asi aljabar yang lain adalah:
Inver si:
Per kalian dengan suatu konstanta:
Akar :
Bandingkan dengan car a lebih teliti 1. Penjumlahan dan pengur angan:
Jika C = A + B atau C = A - B, maka
σ
C= (
σ
A2+
σ
B2)
1/ 2σ
C= [(r
σ
A)
2+ (s
σ
B)
2]
1/ 2Jika C = f(ABC), dimana f(ABC) ber ar ti “suatu fingsi dalam var iabel A, B, and C,” maka 2 2 2 2 2 2 C B A C C C B C A C
2. Per kalian atau pembagian:
Jika C = ABn, maka
σ
C/ C = [ (
σ
A/ A)
2+ (n
σ
B/ B)
2]
1/ 2dan
σ
C= C[(
σ
A/ A)
2+ (n
σ
B/ B)
2]
1/ 24. Pembulatan pengukur an
Semua yang dijelaskan di atas mer upakan car a memper oleh dan menganalisis hasil ukur di labor ator ium. Bagian ini akan membahas bagaimana menyajikan hasil akhir secar a benar . Ada dua konsep mayor .
Angka signifikan– adalah jumlah angka pengukur an yang memiliki ar tiKar ena kita tahu bahw a semua pengukur an memiliki keter batasan, maka ada satu tempat desimal pada setiap pengukur an yang memiliki tingkat akur asi ter tinggi. Sebagi contoh, jika kemampuan baca anda hanya 0.1 g maka tak ada faedahnya membuat estimasi hingga 433.33333g. Kita hanya akan melapor kan yang kit a tahu sehingga car a yang benar untuk menuliskan est imasi ter baik adlah 433.3g. Estimasi ter baik ini memiliki 4 angka signifikan.
Pembulatan dapat diselesaikan sehingga estimasi ter baik dan r alatnyasesuai pada bagian tempat desimalnya.
Tidak ada gunanya menulis keduanya dalam tempat desimal yang ber beda. Contoh, hasil pengukur an dapat dituliskan (433.3333±0.1)g atau (433±0.1)g keduanya mengandung pesan mengenai akur asi pengukur an anda.
Angka signifikan mer upakan semua digit dalam besar an Fisika yang memiliki ar ti atau sesuai dengan akur asi pengukur an besar an Fisika ter sebut. Angka nol yang ber ada pada titik desimal tidak memiliki signifikansi. Setiap pengukur an memiliki
sejumlah angka signifikan
.
Ketentuan angka penting
1. Semua angka bukan nol adalah angka penting
2. Angka nol yang ter letak diantar a dua angka bukan nol t er masuk angka penting
3. Semua angka nol yang ter letak pada der etan akhir dar i angka-angka yang ditulis di belakang koma desimal ter masuk angka penting
4. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal bukan angka penting
5. Bilangan-bilangan puluhan, r atusan, r ibuan dan set er usnya yang memiliki angka-angka nol pada der etan akhir har us dituliskan dalam notasi ilmiah agar jelas apakah angka nol ter sebut anagka penting atau bukan.
836,5: 4 angka penting 75,006: 5 angka penting 0,006: 1 angka penting 0,0060: 2 angka penting 8900 jika ditulis menjadi:
8,9 x 103: 2 angka penting 8,90 x 103: 3 angka penting 8,900 x 103: 4 angka penting
Ada dua car a utama untuk menangani angka penting dalam per hitungan. Yang per tama untuk penjumlahan dan pengur angan dan yang kedua untuk per kalian dan pembagian.
1) jika MENJUMLAHKAN atau MENGURANGI besar an, maka jumlah tempat desimal pada hasil har us sama dengan tempat desimal bilangan ter kecil. Sebagai contoh:
2) Jika MENGALIKAN atau MEMBAGI besar an, maka jumlah angka signifikan pada hasil akhir sama seper ti jumlah angka penting dar i besar an yang paling tidak pr ecisi yang dikalikan atau dibagi. Contoh:
2.6 x 31.7 = 82 bukan82.42; 5.3/ 748 = 0.0071 bukan0.007085561 angka yang paling tidak signifikan pada bilangan pembilang atau penyebut adalah 2 angka signifikan sehingga hasil baginya juga har us 2 angka signifikan bukan 7 angka signifikan)
Jika menambahkan atau mengur angkan dua bilangan maka jumlah tempat desimal har us diper timbangkan. Demikian pula jika mengalikan atau membagi dua bilangan maka jumlah angka penting har us diper timbangkan.
4.2 Pembulatan
Misalkan dicar i luas ar ea A ±
A dar i bujur sangkar panjang l±
l = (2.708 ±0.005) m dan lebar w ±
w = (1.05 ± 0.01) m. Per tama kita lihat ber apa angka penting untuk estimasi ter baik bagi A. Dalam hal ini A = lw, dan kar ena l memiliki 4 angka penting dan w memiliki 3 angka penting. Maka A hanya dibatasi 3 angka penting.Lihat bahw a pada saat pr oses per hitungan boleh saja menulis ber paun akngka penting, namun pada akhir nya kita hanya akan menulis 3 angka penting. Kar ena dengan menyer takan angka penting lain dalam per hitungan ter sebut menjadikan pembulatkan tidak salah. Per tama kita membulatkan estimasi ter baik yaitu 2.843 m2 menjadi 2.84 m2 dan kemudian kita membulatkan r alat sesuai dengan tempat desimal dar i nilai ter ukur . Dalam hal ini kita membulatkan 0.03233 m2 menjadi 0.03 m2. Akhir nya kita tulis:
