KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Hak Cipta

Dilindungi Undang-undang

SOLUSI SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TAHUN 2016

ASTRONOMI

RONDE TEORI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Soal Esai

1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25Md. Jika periode orbit sistem adalah7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar65˝ _{terhadap bidang langit,}

berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)?

Jawab:

Gunakan hubungan Hukum III Kepler:

a3

dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (Vr):

Vr“

dengan massa totalM dan periode orbitP masing-masing

M _“ M1`M2 “2ˆ1,25Md“2,5Md“2,5ˆ1,989ˆ10 30

kg_“4,97_ˆ1030kg

P _“ 7,5jam_“7,5 jam_{ˆ p}3600 s_{jam_{q “}2,7_ˆ104 s

V _“V1`V2

Dari hubungan

V1M1 “V2M2

denganM1 “M2, maka

V1 “V2

M2

M1 “

V2

Dengan demikian,

V _“V1`V2“2V1 “2V2

atau

V1 “V2 “ 1

2 V “1,917ˆ10 5

m{s

2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut. LIGO menggunakan Laser 700nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awal-nya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat ge-lombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkan perubahan pola interferensi di titik temu.

(a) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendek sebesar ∆l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar ∆l, maka akan terjadi perubahan pola interferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai ∆l (dalam satuan m)?

Jawab:

Diketahui nilaiλ_“700nm danl_“4 km.

(a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah

2_pl_`∆l_q

dan

2_pl_´∆l_q

Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah

2_pl_`∆l_{q ´}2_pl_´∆l_q

Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinya kondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar

n λ

2

Misalkan digunakan orde n_“1.

2_pl_`∆l_{q ´}2_pl_´∆l_{q “} λ

2

4∆l _“ λ

2

∆l _“ 700ˆ10 ´9

4_ˆ2 “8,75ˆ10

´8

m

(b) Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain):

∆l

l “2,19ˆ10 ´11

(c) 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi.

3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September 2016. Andaikan titik pusat kedua piringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% pi-ringan Matahari, berapakah jarak Bumi–Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahui eksentrisitas orbit Bumie_“0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari 2016.

Jawab:

Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut:

Luas piringan Bulan _“ 0,98 Luas piringan Matahari

πR2_{$ “} 0,98πR2_d

Hubungan jejari dengan diameter sudut (α):

R _„ α

α$ “ a

0,98αd R$

d$ “ a

0,98 Rd

dd

d$ “

1

Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut:

• _{jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016:}

N_harip3 Jan s/d 1 Sep_{q “}242hari

• _{Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (}θ) tanggal 1 September 2016:

365,25 hari _“ 360˝

1 hari _“ 360

365,25 “0

˝_,9856262834

242hari _“ 238˝,5215605749

θ _“ 360_´238,5215605749_“121˝,4784394251

Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifat gerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudutθdiukur dari pusat lingkaran:

Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak d_{Matahari “} dd

dari Matahari dengan sudut 180˝ ´ν

dd_ăX

• _{Mencari jarak X dengan rumus cosinus:}

X2 _“ a2_{` p}ae_q2_´2a ae cosθ

a _“ 1,49597870_ˆ1011 m

e _“ 0,0167

θ _“ 121˝_,4784394251

• _{Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν:}

• _{Menentukan jarak Matahari (dd):}

dd“

a_p1_´e2

q

p1_`e cosν_q “150.902.282.980m

• _{Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut:}

d$ “

Sehingga, jarak Bumi–Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah 380.648 km

4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R1 dan temperatur efektif T1,

sedangkan bintang kedua dengan radiusR2 “0,75R1 dan temperatur efektifT2“2,5T1. Pada saat

bin-tang yang berukuran lebih besar menggerhanai binbin-tang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudo bolometrik sistem bintang ganda ini?

Jawab:

Luminositas total sistem bintang ganda:

L_“L1`L2 “4πR

Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), maka luminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1:

L_gerhana“4πR21σT 4 1

Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, ∆m:

∆m _{“ ´}2,5 log

Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dan dewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akan masuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saat hari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinat kuil tersebut adalah φ_“22˝₂₀1₁₃2 _{Lintang Utara,λ“31}˝₃₇1₃₂2 _{Bujur Timur, dan azimuth arah pintu}

masuk kuil adalah Az “100,˝55, tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun)

cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efek ketinggian.

Jawab:

Informasi yang diberikan adalah:

• _{koordinat kuil Abu Simbel:}

φ_“22˝ ₂₀1 ₁₃2

“22˝_{,33 Lintang Utara, dan} λ_“31˝ ₃₇1 ₃₂2 _“31˝_{,62 Bujur Timur}

• _{azimuth arah pintu masuk kuil adalah} Az “100˝,55

• _{tinggi Matahari dapat dianggap} h_“0˝ _{(karena diamati pada saat Matahari terbit).}

Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu meng-etahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas, maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus

cos_p90˝_´δ_{q “} cos_p90˝_´φ_qcos_p90˝_´h_{q `}sin_p90˝_´φ_qsin_p90˝_´h_qcos_p360˝_´A_q

sinδ _“ sinφsinh_`cosφcoshcos_p360˝_´A_q “ sin_p22˝_,33

qsin_p0_{q `}cos_p22˝_,33

qcos_p0_qcos_p360˝

´100˝_,55 q “ 0,9252_ˆ1_{ˆ p´}0,1831_{q “ ´}0,1694

δ _“ arcsin_p´0,1694_q

“ ´9˝,753

« ´10˝

Deklinasi Matahari_´10˝_{terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal20p˘5 hariqFebruari dan20p˘5hariq}

6. Perhatikan spektrum dan skema berikut:

Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik _pℓ, b_{q “ p}30˝_,0˝_{q memiliki}

puncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang.

(a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran dan jarak Matahari dari pusat Galaksi sebesarRo “8kpc serta kecepatan orbit MatahariVd “220km/s.

Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (Vr) yang teramati mengikuti persamaan

Vr“Ropω´ωdq sinℓ,

denganω danωd masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudut Matahari.

(b) Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Ga-laksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya?

(c) Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awan antarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan.

Jawab:

(a) Penurunan rumus kecepatan radial:

Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatan awan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar:

VR “ V cosα´Vdsinℓ

“ ωRcosα_´ωdR0sinℓ

“ ωRCT

R ´ωdR0sinℓ “ ωR0sinℓ´ω_dR0sinℓ

(b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimum

sinℓ_“R_{R0 dan cosα“1

R_“R0sinℓ“8 sin 30˝ “4kpc

V _“VR`Vdsinℓ“65`220 sin 30˝ “175km/s

(c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A.

7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0_ăr _ďR dari pusat bintang dapat didekati dengan hubungan

´_{a c T}κ ρr3Lr

r r

2

dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan

´G M_r2rρr

dengan ρr, Lr, Tr, dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan

(opasitas) pada jarak r, sedangkan Mr adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R.

Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaan bintang (r_“R) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan. Gunakanlah tetapan G,a, danc di dalam tabel. Jika κ_“1dan ρr selalu konstan tak nol, maka

(a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dariL,M, danR, (b) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalam

satuan N/m2).

(c) Anggap tekanan Pr di dalam bintang dapat didekati dengan

Pr “

R

µρrTr

dengan R _{konstanta gas dan} µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ_“

0,5, berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρc) dinyatakan dalam satuan kg/m

3

?

(d) Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas dengan massa memenuhi persamaan:

L_“Z _M3_,

dengan Z _{adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintang}

deret utama bermassa3Md?

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari?

Jawab:

(a) Misalkan M, R, L, dan Tc masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusat

0_´Tc

Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya:

0_´Pc

(d) Tinjau tekanan di pusat:

Tc «

Dengan Z _{sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan}

L_“Z _M3_,

Sehingga untuk bintang bermassa 3Md, maka luminositas bintang tersebut adalah

L_“

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari me-ngalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v0 “ 0. Gerak jatuh bebas akan

menempuh jarak jejari bintang,R, dalam waktu t_{ff detik.}

R_“ 1

2at 2

ff

Percepatan aadalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu

a_“ GM

8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatan rendah (n_“108

cm´3

) dan temperatur tinggi (2_ˆ106

K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogen yang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet.

(a) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yang dibutuhkan (dalam satuan m/s)?

(b) Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elek-tron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yang dibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas?

(c) Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiap tahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepas hanya elektron.

(d) Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Hal ini dikarenakan tekanan medan magnetik PB lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahui

tekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut:

PB “

B2

2µ0

denganµ0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaituB “10

(e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanan gas di korona.

Jawab:

(a) Laju untuk lepas:

V_{lepas “}

Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron:

v_{termal,e “}

Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatan atau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektron akan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton.

(c) Diketahuin_“108

cm´3

“1014

m´3

. Massa yang hilang adalah

n_ˆmeˆv_termal,eˆ4πR

2

dˆt

Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah

(e) Tekanan gas di korona

P_g“nkT _“1014_ˆ1,38_ˆ10´23_ˆ2_ˆ106 _“0,003N/m2

P_mag P_g “

0,4

0,003“133,33