KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

14 

Teks penuh

(1)

Hak Cipta

Dilindungi Undang-undang

SOLUSI SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TAHUN 2016

ASTRONOMI

RONDE TEORI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

(2)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Soal Esai

1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25Md. Jika periode orbit sistem adalah7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar65˝ terhadap bidang langit,

berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)?

Jawab:

Gunakan hubungan Hukum III Kepler:

a3

dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (Vr):

Vr“

dengan massa totalM dan periode orbitP masing-masing

M M1`M2 “2ˆ1,25Md“2,5Md“2,5ˆ1,989ˆ10 30

kg4,97ˆ1030kg

P 7,5jam7,5 jamˆ p3600 s{jamq “2,7ˆ104 s

(3)

V V1`V2

Dari hubungan

V1M1 “V2M2

denganM1 “M2, maka

V1 “V2

M2

M1 “

V2

Dengan demikian,

V V1`V2“2V1 “2V2

atau

V1 “V2 “ 1

2 V “1,917ˆ10 5

m{s

2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut. LIGO menggunakan Laser 700nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awal-nya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat ge-lombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkan perubahan pola interferensi di titik temu.

(a) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendek sebesar ∆l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar ∆l, maka akan terjadi perubahan pola interferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai ∆l (dalam satuan m)?

(4)

Jawab:

Diketahui nilaiλ700nm danl4 km.

(a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah

2pl`∆lq

dan

2pl´∆lq

Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah

2pl`∆lq ´2pl´∆lq

Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinya kondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar

n λ

2

Misalkan digunakan orde n1.

2pl`∆lq ´2pl´∆lq “ λ

2

4∆l λ

2

∆l 700ˆ10 ´9

4ˆ2 “8,75ˆ10

´8

m

(b) Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain):

∆l

l “2,19ˆ10 ´11

(c) 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi.

3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September 2016. Andaikan titik pusat kedua piringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% pi-ringan Matahari, berapakah jarak Bumi–Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahui eksentrisitas orbit Bumie0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari 2016.

Jawab:

Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut:

Luas piringan Bulan 0,98 Luas piringan Matahari

πR2$ 0,98πR2d

Hubungan jejari dengan diameter sudut (α):

R α

α$ “ a

0,98αd R$

d$ “ a

0,98 Rd

dd

d$ “

1

(5)

Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut:

jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016:

Nharip3 Jan s/d 1 Sepq “242hari

Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (θ) tanggal 1 September 2016:

365,25 hari 360˝

1 hari 360

365,25 “0

˝,9856262834

242hari 238˝,5215605749

θ 360´238,5215605749121˝,4784394251

Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifat gerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudutθdiukur dari pusat lingkaran:

Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak dMatahari dd

dari Matahari dengan sudut 180˝ ´ν

ddăX

Mencari jarak X dengan rumus cosinus:

X2 a2` paeq2´2a ae cosθ

a 1,49597870ˆ1011 m

e 0,0167

θ 121˝,4784394251

(6)

Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν:

Menentukan jarak Matahari (dd):

dd“

ap1´e2

q

p1`e cosνq “150.902.282.980m

Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut:

d$ “

Sehingga, jarak Bumi–Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah 380.648 km

4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R1 dan temperatur efektif T1,

sedangkan bintang kedua dengan radiusR2 “0,75R1 dan temperatur efektifT2“2,5T1. Pada saat

bin-tang yang berukuran lebih besar menggerhanai binbin-tang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudo bolometrik sistem bintang ganda ini?

Jawab:

Luminositas total sistem bintang ganda:

LL1`L2 “4πR

Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), maka luminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1:

Lgerhana4πR21σT 4 1

Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, ∆m:

∆m “ ´2,5 log

(7)

Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dan dewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akan masuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saat hari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinat kuil tersebut adalah φ22˝201132 Lintang Utara,λ31˝371322 Bujur Timur, dan azimuth arah pintu

masuk kuil adalah Az “100,˝55, tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun)

cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efek ketinggian.

Jawab:

Informasi yang diberikan adalah:

koordinat kuil Abu Simbel:

φ22˝ 201 132

“22˝,33 Lintang Utara, dan λ31˝ 371 322 31˝,62 Bujur Timur

azimuth arah pintu masuk kuil adalah Az “100˝,55

tinggi Matahari dapat dianggap h(karena diamati pada saat Matahari terbit).

Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu meng-etahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas, maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus

cosp90˝´δq “ cosp90˝´φqcosp90˝´hq `sinp90˝´φqsinp90˝´hqcosp360˝´Aq

sinδ sinφsinh`cosφcoshcosp360˝´Aq “ sinp22˝,33

qsinp0q `cosp22˝,33

qcosp0qcosp360˝

´100˝,55 q “ 0,9252ˆ1ˆ p´0,1831q “ ´0,1694

δ arcsin0,1694q

“ ´9˝,753

« ´10˝

Deklinasi Matahari´10˝terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal205 hariqFebruari dan205hariq

(8)

6. Perhatikan spektrum dan skema berikut:

Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik pℓ, bq “ p30˝,0˝q memiliki

puncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang.

(a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran dan jarak Matahari dari pusat Galaksi sebesarRo “8kpc serta kecepatan orbit MatahariVd “220km/s.

Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (Vr) yang teramati mengikuti persamaan

(9)

Vr“Ropω´ωdq sinℓ,

denganω danωd masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudut Matahari.

(b) Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Ga-laksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya?

(c) Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awan antarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan.

Jawab:

(a) Penurunan rumus kecepatan radial:

Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatan awan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar:

VR “ V cosα´Vdsinℓ

“ ωRcosα´ωdR0sinℓ

“ ωRCT

R ´ωdR0sinℓ “ ωR0sinℓ´ωdR0sinℓ

(10)

(b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimum

sinℓR{R0 dan cosα“1

RR0sinℓ“8 sin 30˝ “4kpc

V VR`Vdsinℓ“65`220 sin 30˝ “175km/s

(c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A.

7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0ăr ďR dari pusat bintang dapat didekati dengan hubungan

´a c Tκ ρr3Lr

r r

2

dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan

´G Mr2rρr

dengan ρr, Lr, Tr, dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan

(opasitas) pada jarak r, sedangkan Mr adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R.

Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaan bintang (rR) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan. Gunakanlah tetapan G,a, danc di dalam tabel. Jika κ1dan ρr selalu konstan tak nol, maka

(a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dariL,M, danR, (b) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalam

satuan N/m2).

(c) Anggap tekanan Pr di dalam bintang dapat didekati dengan

Pr “

R

µρrTr

dengan R konstanta gas dan µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ

0,5, berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρc) dinyatakan dalam satuan kg/m

3

?

(d) Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas dengan massa memenuhi persamaan:

LZ M3,

dengan Z adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintang

deret utama bermassa3Md?

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari?

Jawab:

(a) Misalkan M, R, L, dan Tc masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusat

(11)

0´Tc

Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya:

0´Pc

(d) Tinjau tekanan di pusat:

(12)

Tc «

Dengan Z sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan

LZ M3,

Sehingga untuk bintang bermassa 3Md, maka luminositas bintang tersebut adalah

L

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari me-ngalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v0 “ 0. Gerak jatuh bebas akan

menempuh jarak jejari bintang,R, dalam waktu tff detik.

R 1

2at 2

ff

Percepatan aadalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu

a GM

8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatan rendah (n108

cm´3

) dan temperatur tinggi (2ˆ106

K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogen yang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet.

(a) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yang dibutuhkan (dalam satuan m/s)?

(b) Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elek-tron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yang dibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas?

(c) Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiap tahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepas hanya elektron.

(d) Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Hal ini dikarenakan tekanan medan magnetik PB lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahui

tekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut:

PB “

B2

2µ0

denganµ0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaituB “10

(13)

(e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanan gas di korona.

Jawab:

(a) Laju untuk lepas:

Vlepas

Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron:

vtermal,e

Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatan atau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektron akan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton.

(c) Diketahuin108

cm´3

“1014

m´3

. Massa yang hilang adalah

nˆmeˆvtermal,eˆ4πR

2

dˆt

Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah

(14)

(e) Tekanan gas di korona

PgnkT 1014ˆ1,38ˆ10´23ˆ2ˆ106 0,003N/m2

Pmag Pg

0,4

0,003“133,33

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...