Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:JTNB:

❏♦✉r♥❛❧ ❞❡ ❚❤é♦r✐❡ ❞❡s ◆♦♠❜r❡s ❞❡ ❇♦r❞❡❛✉① ✶✼ ✭✷✵✵✺✮✱ ✺✷✼✕✺✺✸

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

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❆ ●❡♦r❣❡s ●r❛s✱ à ❧✬♦❝❝❛s✐♦♥ ❞❡ s♦♥ s♦✐①❛♥t✐è♠❡ ❛♥♥✐✈❡rs❛✐r❡

❘és✉♠é✳ ◆♦✉s ❣é♥ér❛❧✐s♦♥s à ❝❡rt❛✐♥s q✉♦t✐❡♥ts ✜♥✐s ❞✬✉♥ Λ✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ♥♦♥ ♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t ❞❡ t♦rs✐♦♥ ❧❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ s✉r ❧✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡ ❞✉ ℓ✲♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❝❧❛ss❡s ❞❛♥s ❧❡s Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥s✳ P✉✐s ♥♦✉s ✐❧❧✉str♦♥s ❧❡s rés✉❧✲

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❝♦♥t❡①t✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ t❤r❡❡ ❝❤❛r❛❝t❡rs ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❜② t❤✐s ✇❛② t♦ t❤❡ℓ✲❣r♦✉♣s ♦❢T✲✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧S✲❝❧❛ss❡s ✐♥ t❤❡ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ t♦✇❡r ❛♥❞ r❡❧❛t❡ t❤❡♠ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❛♥❞ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝❤❛r❛❝t❡rs ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ ♣❧❛❝❡sS ❛♥❞T✳ ❆ ♠❛✐♥ t♦♦❧ ✐♥ t❤✐s st✉❞② ✐s t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ❙♣✐❡❣❡❧✉♥❣ss❛t③ ♦❢ ●❡♦r❣❡s ●r❛s✱ ✇❤✐❝❤ ❡①❝❤❛♥❣❡s ✭✇✐❧❞ ♦r t❛♠❡✮ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❛r✐t❤♠❡t✐❝❛❧ ♣❛rt ❡①t❡♥❞ t❤♦s❡ ✇❡ ♦❜✲ t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ ❈❤r✐st✐❛♥ ▼❛✐r❡ ✐♥ ❛ ♣r❡✈✐♦✉s ❛rt✐❝❧❡ ✭❝❢✳ ❬✶✷❪✮✳ ❚❤❡ ♠♦st ✐♥tr✐❝❛t❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ✇✐❧❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡tsS ❛♥❞ T ✐♥✈♦❧✈❡s ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡s✉❧t ♦❢ ❘✳ ●r❡❡♥❜❡r❣ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥✉s t❤❡♦r② ♦❢ ❝②❝❧♦t♦♠✐❝ t♦✇❡rs ✭❝❢✳ ❬✸❪✮✳

✺✷✽ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡ rés✉❧t❛t ❡♠❜❧é♠❛t✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✭❝❢✳ ❬✹❪ ❡t ❬✺❪✮ ❛✣r♠❡ q✉❡ ❧❡s ♦r❞r❡s r❡s♣❡❝t✐❢s ℓx(n) ❞❡sℓ✲❣r♦✉♣❡s ❞❡ ❝❧❛ss❡s ❞✬✐❞é❛✉① CℓKn ❛tt❛✲

❝❤és ❛✉① ❞✐✈❡rs ét❛❣❡sKn ❞❡ ❧❛ Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡K∞=∪n∈NKn

❞✬✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ ♥♦♠❜r❡sK s♦♥t ❞♦♥♥és ♣♦✉rn ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ♣❛r ✉♥❡ ❢♦r♠✉❧❡

❡①♣❧✐❝✐t❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿

x(n) = µℓn + λn + ν,

♦ù ν ❡st ✉♥ ❡♥t✐❡r r❡❧❛t✐❢ ✭é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t ♥é❣❛t✐❢✮ ♠❛✐s ♦ù λ ❡t µ s♦♥t

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♠♦❞✉❧❡ ❞❡ t♦rs✐♦♥ s✉r ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ[[γ −1]] ❝♦♥str✉✐t❡ s✉r

✉♥ ❣é♥ér❛t❡✉r t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ γ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ♣r♦❝②❝❧✐q✉❡ Γ = Gal(K∞/K) ✭❝❢✳ ❬✶✹❪✮✳ ■❧ ❡st ❛❧♦rs ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡ r❡é❝r✐r❡ ❧✬é❣❛❧✐té ♣ré❝é❞❡♥t❡ s♦✉s ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ♥❡ ❢❛✐s❛♥t ✐♥t❡r✈❡♥✐r q✉❡ ❝❡s ❞❡✉① ❞❡r♥✐❡rs ♣❛r❛♠ètr❡s ✿

x(n) ≈ µℓn + λn,

❡♥ ❝♦♥✈❡♥❛♥t ❞❡ t❡♥✐r ♣♦✉r éq✉✐✈❛❧❡♥t❡s ❞❡✉① s✉✐t❡s ❞✬❡♥t✐❡rs ❞♦♥t ❧❛ ❞✐✛é✲ r❡♥❝❡ ❡st ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥st❛♥t❡✳ ▲✬✐❞❡♥t✐té ♦❜t❡♥✉❡ ✈❛✉t ❛❧♦rs ✐❞❡♥t✐q✉❡♠❡♥t s✐ ❧✬♦♥ r❡♠♣❧❛❝❡ ❧❡sℓ✲❣r♦✉♣❡s CℓKn♣❛r ❧❡✉rs q✉♦t✐❡♥ts r❡s♣❡❝t✐❢s ❞✬❡①♣♦s❛♥t ℓn+1✱ ❝♦♠♠❡ ❡①♣❧✐q✉é ❞❛♥s ❬✾❪✳

▲✬♦❜❥❡t ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧ ❡st ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❞✬ét❡♥❞r❡ ❝❡s rés✉❧t❛ts à ❞❡s ❣r♦✉♣❡s ❞❡ ❝❧❛ss❡s é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t ✐♥✜♥✐s ❡t ❞♦♥t ❧❛ ❧✐♠✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ✭♣♦✉r ❧❛ ♥♦r♠❡ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡✮ ♥✬❡st ❞♦♥❝ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ✉♥Λ✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ t♦rs✐♦♥✳

❉♦♥♥♦♥s ♥♦✉s ♣♦✉r ❝❡❧❛ ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞✐s❥♦✐♥tsS ❡t T ❞❡ ♣❧❛❝❡s

✜♥✐❡s ❞❡ K❀ ♥♦t♦♥s Sn ❡t Tn r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡ ♣❧❛❝❡s ❞❡

Kn ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ S ❡t ❞❡ T❀ ❡t ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ℓ✲❣r♦✉♣❡ CℓTSnn ❞❡sS✲❝❧❛ss❡s T✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s ❞✉ ❝♦r♣sKn✱ q✉❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❝♦r♣s ❞❡ ❝❧❛ss❡s

✐❞❡♥t✐✜❡ ❛✉ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s ❞❡ ❧❛ ♣r♦✲ℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ♠❛①✐♠❛❧❡HTn Sn

❞❡ Kn q✉✐ ❡st S✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ ❡t T✲r❛♠✐✜é❡ ✭✐✳❡✳ ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ❞é❝♦♠♣♦sé❡

❛✉① ♣❧❛❝❡s ❞❡Sn❡t ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡ ❡♥ ❞❡❤♦rs ❞❡Tn✮✳ ▲❡s ❣r♦✉♣❡sCℓT_Sn_n ♥❡ s♦♥t

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t✉r❡❧ ρT_S✱ µT_S✱ λ_ST t❡❧s q✉❡ ❧❡s ♦r❞r❡s r❡s♣❡❝t✐❢s ℓxTS(n) ❞❡s ℓn

+1

CℓTn

Sn ✈ér✐✜❡♥t

❧✬❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡ ✿

xT_S(n) ≈ ρT_S(n+ 1)ℓn + µT_Sℓn + λT_Sn.

■❝✐ ❡♥❝♦r❡ ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡sρT_S✱µT_S ❡tλT_S s♦♥t ❞♦♥♥és ♣❛r ❧❛ ♣s❡✉❞♦✲❞é❝♦♠♣♦s✐✲

t✐♦♥ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ❧✐♠✐t❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ CS∞

T∞ = lim←− Cℓ

Tn

Sn r❡❣❛r❞é❡ ❝♦♠♠❡

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✷✾

λT

S ❞✐✛èr❡ ❞✬✉♥❡ ✉♥✐té ❞❡ ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥t ❧❛♠❜❞❛ ❞✉Λ✲♠♦❞✉❧❡CT

∞

S∞ ❧♦rsq✉❡ ❧✬❡①✲ t❡♥s✐♦♥K∞/K ❡st ❡❧❧❡✲♠ê♠❡S✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ ❡tT✲r❛♠✐✜é❡✱ ✐✳❡✳ ❧♦rsq✉❡ ❧✬❡♥✲ s❡♠❜❧❡S ❡st ✈✐❞❡ ❡t q✉❡ T ❝♦♥t✐❡♥t ❧❛ t♦t❛❧✐té ❞❡s ♣❧❛❝❡s ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ ℓ✳

❉❡ ❢❛✐t✱ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ♣ré❝é❞❡♥t❡ r❡♣♦s❡ ✐♥té❣r❛❧❡♠❡♥t s✉r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❬✾❪ ✭❡ss❡♥t✐❡❧❧❡♠❡♥t ❝❡✉① ❞✉ ❝❤❛♣✐tr❡ ■❱✮ q✉✐ ♥✬❛✈❛✐❡♥t ❥❛♠❛✐s ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❥✉sq✉✬✐❝✐ ❞✬✉♥❡ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ s♣é❝✐✜q✉❡✱ ❡t ♠ê♠❡ ❡♥ t♦✉t❡ r✐❣✉❡✉r s✉r ✉♥❡ ✈❡rs✐♦♥ ♣❧✉s ❢♦rt❡ ♥♦♥ ♣✉❜❧✐é❡ ❞❡ ❝❡s rés✉❧t❛ts ♣r❡♥❛♥t ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❡sΛ✲♠♦❞✉❧❡s ♥♦❡t❤ér✐❡♥s q✉✐ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t ❞❡ t♦rs✐♦♥✳

■❧ ♥♦✉s ❛ ❞♦♥❝ ♣❛r✉ ✉t✐❧❡ ❞✬❡♥ r❛ss❡♠❜❧❡r ✐❝✐ ✉♥❡ ♣r❡✉✈❡ ❝♦♠♣❧èt❡✳ ❊t ❝✬❡st ❧✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ♣❛rt✐❡✱ ♣✉r❡♠❡♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡✱ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳

❉❡ ♣❧✉s✱ ✉♥❡ ❢♦✐s ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ét❛❜❧✐❡✱ s❡ ♣♦s❡ é✈✐❞❡♠♠❡♥t✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ é✈♦q✉é ♣❧✉s ❤❛✉t✱ ❧❛ q✉❡st✐♦♥ ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡s ❞✐✈❡rs ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡sℓ✲❣r♦✉♣❡s ❞❡ S✲❝❧❛ss❡s T✲✐♥✜♥✐tés✐♠❛❧❡s✱ ♦✉ ❞✉ ♠♦✐♥s ❞❡ ❧❡✉r ❞ét❡r♠✐✲

♥❛t✐♦♥ à ♣❛rt✐r ❞❡ q✉❡❧q✉❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ré❢ér❡♥ts ♥❡ ❢❛✐s❛♥t ♣❛s ✐♥t❡r✈❡♥✐r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡ ♣❧❛❝❡s S ❡tT ❡t ❞✬✐♥✈❛r✐❛♥ts ❣❛❧♦✐s✐❡♥s s✐♠♣❧❡s q✉✐ ❧❡✉r s♦♥t

❛tt❛❝❤és✳ ❊t ❝✬❡st ❧✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ s❡❝♦♥❞❡ ♣❛rt✐❡✱ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡✱ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❖r ❞❛♥s ❝❡tt❡ ❞❡r♥✐èr❡ ét✉❞❡✱ ❧❡s ✐❞❡♥t✐tés ❞✉ ♠✐r♦✐r ♦❜t❡♥✉❡s ♣❛r ●❡♦r❣❡s ●r❛s ✭❝❢✳ ❬✶❪✮ s❡ ré✈è❧❡♥t ✉♥ ♦✉t✐❧ ❡ss❡♥t✐❡❧✳ ❊t ❝♦♠♠❡ ❝❡❧❧❡s✲❝✐ s✬❡①♣r✐♠❡♥t ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❡♥ t❡r♠❡s ❞❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s✱ ✐❧ ❡st ♣ré❢ér❛❜❧❡✱ ♣♦✉r ❧❡s ✉t✐✲ ❧✐s❡r ♣❧❡✐♥❡♠❡♥t✱ ❞❡ r❡♠♣❧❛❝❡r ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧s ❞✬■✇❛s❛✇❛✱ q✉✐ s✬✐♥t❡r♣rèt❡♥t ❝♦♠♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s ❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s✱ ♣❛r ❞❡s ❝❛✲ r❛❝tèr❡s ♣r❡♥❛♥t ❡①♣❧✐❝✐t❡♠❡♥t ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧✬❛❝t✐♦♥ ❣❛❧♦✐s✐❡♥♥❡ ❡t ❞♦♥t ❧❡s ❞❡❣rés r❡s♣❡❝t✐❢s ♥❡ s♦♥t ❛✉tr❡s q✉❡ ❧❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞❡ ❞é♣❛rt✳ ❊t ❝✬❡st ❞♦♥❝ ❡♥ t❡r♠❡s ❞❡ ❝❛r❛❝tèr❡s q✉❡ ♥♦✉s é♥♦♥ç♦♥s ❧❡s t❤é♦rè♠❡s ❞❡ ♣❛r❛♠étr❛❣❡✳

❯♥❡ ❝♦♥séq✉❡♥❝❡ ✐♠♠é❞✐❛t❡ ❞❡s ✐❞❡♥t✐tés ❞❡ ❞✉❛❧✐té ❡st ❧❡ ❞é♣❧♦✐❡♠❡♥t ✭❞é❥à r❡♠❛rq✉é ❞❛♥s ❬✶✷❪✮ ❞❡ ❧❛ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ♠♦❞éré❡ ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ ❧❛ t♦✉r ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡✳ ❊♥ r❡✈❛♥❝❤❡✱ ❧✬ét✉❞❡ ✜♥❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❞❡s ♣❧❛❝❡s s❛✉✲ ✈❛❣❡s s♦✉❧è✈❡ r❛♣✐❞❡♠❡♥t ❞❡ ❞é❧✐❝❛ts ♣r♦❜❧è♠❡s ❞✬✐♥❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ℓ✲❛❞✐q✉❡✳ ▲❛

❢♦r♠✉❧❡ ✜♥❛❧❡ q✉❡ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✈❛✉t ❛✐♥s✐ s♦✉s ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞❡ ▲❡♦♣♦❧❞t✳ ❊❧❧❡ r❡♣♦s❡ s✉r ✉♥❡ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛❞r❡ ℓ✲r❛♠✐✜é ❞✬✉♥ rés✉❧t❛t ❞❡

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❊♥ ✜♥ ❞❡ ❝♦♠♣t❡✱ ✐❧ rés✉❧t❡ ❞❡ ❝❡tt❡ ét✉❞❡ q✉❡ ❧❡s ❞✐✈❡rs ♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬■✇❛s❛✇❛ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐és ❛✉① ❣r♦✉♣❡s ❞❡ ●❛❧♦✐sCT∞

S∞ ❛tt❛❝❤és ❛✉① ♣r♦✲ℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥s ❛❜é❧✐❡♥♥❡s T✲r❛♠✐✜é❡s S✲❞é❝♦♠♣♦sé❡s ♠❛①✐♠❛❧❡s s✉r ✉♥❡

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∞ =CTℓ ∅ ✱ ♦ù

Tℓ ❞é❝r✐t ❧❡s s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ L ❞❡s ♣❧❛❝❡sℓ✲❛❞✐q✉❡s ❞✉ ❝♦r♣s

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◆♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❞❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❡t ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿ ◆♦t❛t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛

✕ ℓ ❡st ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ♣r❡♠✐❡r ❛r❜✐tr❛✐r❡ ✭♣r✐s ✐♠♣❛✐r ❞❛♥s ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ s❡❝✲

t✐♦♥✮ ❀

✕ µℓ∞ =∪_n∈Nµ_ℓn ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s r❛❝✐♥❡s ❞✬♦r❞r❡ℓ✲♣r✐♠❛✐r❡ ❞❡ ❧✬✉♥✐té ❀

✕ ∆❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡ détr❛♥❣❡r ❛✈❡❝ ℓ❀

✕ Zℓ[∆] = ⊕ϕ Zℓ[∆]eϕ = ⊕ϕ Zϕ ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆❀

✕ Γ =γZℓ ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ♣r♦❝②❝❧✐q✉❡ ✐s♦♠♦r♣❤❡ à_Zℓ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r_γ❀

✕ Λ =Zℓ[[γ−1]]❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❛ss♦❝✐é❡ ❛✉ ❣r♦✉♣❡Γ❀

✕ ωn ❡st ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ γℓ n

−1 ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉Zℓ[γ−1] =Zℓ[γ]❀

✕ ∇n ❡st ❧✬✐❞é❛❧ ❞❡Λ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ωn ❡t ❧✬é❧é♠❡♥tℓn+1❀

✕ Λ[∆] =⊕ϕΛ[∆]eϕ =⊕ϕΛϕ ❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆s✉r ❧✬❛♥♥❡❛✉Λ✳

◆♦t❛t✐♦♥s ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✕ F ❡st ✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ ♥♦♠❜r❡s t♦t❛❧❡♠❡♥t ré❡❧ ❀

✕ F∞=∪n∈NFn ❡st ❧❛Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ❞❡ F❀

✕ K ❡st ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ❞❡F ❞❡ ❣r♦✉♣❡∆❡t ❝♦♥t❡♥❛♥tµℓ❀

✕ ∆ = Gal(K/F) ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡détr❛♥❣❡r ❛✈❡❝ ℓ❀

✕ K∞ = ∪_n∈NKn ❡st ❧❛ Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ❞❡ K ✭❡t ❝♦♥t✐❡♥t

µℓ∞✮ ❀

✕ Kn ❡st ❧✬✉♥✐q✉❡ s♦✉s✲❝♦r♣s ❞❡ K∞ ❞❡ ❞❡❣ré ℓn s✉rK ✭♦♥ ❛ ❛✐♥s✐K =

K0✮ ❀

✕ Γ =γZℓ ❡st ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s_Gal(F∞/F)≃_Gal(K∞/K)❀

✕ Γn=γℓ n_Z

ℓ ❡st ❧❡ s♦✉s✲❣r♦✉♣❡Gal(F_∞/F

n)≃Gal(K∞/Kn)❀

✕ Λ =Zℓ[[γ−1]]❡st ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❛ss♦❝✐é❡ à Γ❀

✕ S ❡tT s♦♥t ❞❡✉①∆✲❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞✐s❥♦✐♥ts ❞❡ ♣❧❛❝❡s ✜♥✐❡s ❞❡K❀

✕ L ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❧❛❝❡sℓ✲❛❞✐q✉❡s ✭✐✳❡✳ ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ℓ✮ ❞✉ ❝♦r♣sK❀

✕ Sℓ =S∩L❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ s❛✉✈❛❣❡ ❞❡S ❡tS0=S\Sℓs❛ ♣❛rt✐❡ ♠♦❞éré❡ ❀

✕ Tℓ _{=T∩L❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ s❛✉✈❛❣❡ ❞❡T ❡tT}0 _=S\T

ℓ s❛ ♣❛rt✐❡ ♠♦❞éré❡ ❀

✕ Sn ❡tTn s♦♥t ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞❡ ♣❧❛❝❡s ❞❡Kn ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡S ❡t ❞❡

T❀

✕ S∞ ❡tT∞ s♦♥t ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞❡ ♣❧❛❝❡s ❞❡K∞ ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ S ❡t

T❀

✕ deg_ℓS=P_p∈_Sℓ[Fp:Qℓ]❡st ❧❡ ❞❡❣ré s❛✉✈❛❣❡ ❡♥S❀ ❞❡ ♠ê♠❡degℓT ❡♥

T✳

◆♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❈♦r♣s ❞❡ ❈❧❛ss❡s

✕ p❡st ✉♥❡ ♣❧❛❝❡ ✜♥✐❡ ❞✉ ❝♦r♣s K ❡tpn ✉♥❡ ♣❧❛❝❡ ❞❡Kn ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡p❀

✕ Kpn ✿ ❧❡ ❝♦♠♣❧été ❞❡ Kn ❡♥ ❧❛ ♣❧❛❝❡pn❀

✕ Rpn = lim_←−K

×

pn/K

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pn ✿ ❧❡ ❝♦♠♣❛❝t✐✜éℓ✲❛❞✐q✉❡ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ K

×

✺✸✷ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

✕ Cℓmn

Sn =JKn/J mn

Sn RKn ❧❡ℓ✲❣r♦✉♣❡ ❞❡s S✲❝❧❛ss❡s ❞❡ r❛②♦♥mn ❞❛♥sKn✳

✕ HTn

Sn ✿ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡S✲❞é❝♦♠♣♦sé❡ T✲r❛♠✐✜é❡ ❞✬❡①♣♦s❛♥tℓ n+1 ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞✉ ❝♦r♣s Kn❀

✕ RadTn

Sn ✿ ❧❡ r❛❞✐❝❛❧ ❦✉♠♠ér✐❡♥ ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ H Tn Sn/Kn❀

✕ GalTn

Sn ✿ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ H Tn Sn/Kn✳

✶✳ ▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞✉ ♣❛r❛♠étr❛❣❡ ♣♦✉r ❧❡s Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s

✶✳✶✳ ❘❛♣♣❡❧ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛✳ ❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ♣✉r❡♠❡♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡✱ ℓ ❡st ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ♣r❡♠✐❡r ❛r❜✐✲

tr❛✐r❡✱Zℓ ❞és✐❣♥❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ❞❡s ❡♥t✐❡rsℓ✲❛❞✐q✉❡s✱Fℓ ≃Z/ℓZs♦♥ ❝♦r♣s

rés✐❞✉❡❧ ❡t∆ ❡st ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ✜♥✐ ❞✬♦r❞r❡détr❛♥❣❡r à ℓ✳

❙♦✉s ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ ℓ ∤ d✱ ❧✬❛❧❣è❜r❡ rés✐❞✉❡❧❧❡ Fℓ[∆] ❡st ❛✐♥s✐ ✉♥❡ ❛❧❣è❜r❡

s❡♠✐✲s✐♠♣❧❡✱ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞✬❡①t❡♥s✐♦♥sFϕ ❞❡Fℓ❀ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ Zℓ[∆]

❡st ✉♥❡ ❛❧❣è❜r❡ s❡♠✐✲❧♦❝❛❧❡✱ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞✬❡①t❡♥s✐♦♥s ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡s Zϕ

❞❡Zℓ❀ ❡t ❧❡s ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ♣r✐♠✐t✐❢se¯ϕ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥teϕ✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à

❧❡✉rs ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s r❡s♣❡❝t✐✈❡s ✿

Fℓ[∆] = ⊕ϕ Fℓ[∆]¯eϕ = ⊕ϕ Fϕ & Zℓ[∆] = ⊕ϕ Zℓ[∆]eϕ = ⊕ϕ Zϕ

s♦♥t ❞♦♥♥és à ♣❛rt✐r ❞❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s ϕ ❞❡ ∆ ♣❛r ❧❡s

❢♦r♠✉❧❡s ❝❧❛ss✐q✉❡s ✿

eϕ = 1_dPτ∈∆ϕ(τ −1_)τ✱

❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡✉rs ré❞✉❝t✐♦♥s r❡s♣❡❝t✐✈❡s ♠♦❞✉❧♦ℓ✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

[Zϕ : Zℓ] ❞✉ Zℓ✲♠♦❞✉❧❡ Zϕ ✭❝✬❡st à ❞✐r❡ ❧❡ ❞❡❣ré ❞❡ ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡ Qϕ/Qℓ ❞❡s ❝♦r♣s ❞❡ ❢r❛❝t✐♦♥s✮ ❡st ❧❡ ❞❡❣rédegϕ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ϕ✳

❉❡ ❢❛ç♦♥ t♦✉t❡ s❡♠❜❧❛❜❧❡✱ s✐Γ =γZℓ ❞és✐❣♥❡ ✉♥ ❣r♦✉♣❡ ♣r♦❝②❝❧✐q✉❡ ✐s♦✲

♠♦r♣❤❡ àZℓ❡tΛ =Zℓ[[γ−1]]❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡s sér✐❡s ❢♦r♠❡❧❧❡s ❡♥ ❧✬✐♥❞ét❡r♠✐♥é❡

γ−1à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s ❧✬❛♥♥❡❛✉Zℓ❞❡s ❡♥t✐❡rsℓ✲❛❞✐q✉❡s✱ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡ ❣r♦✉♣❡

Λ[∆]s✬é❝r✐t ❝❛♥♦♥✐q✉❡♠❡♥t ❝♦♠♠❡ ♣r♦❞✉✐t ❞✐r❡❝t ❞❡ s❡s ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ✿

Λ[∆] =⊕ϕΛ[∆]eϕ=⊕ϕΛϕ .

❊t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆✱ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡

Λϕ = Λ[∆]eϕ ❛ss♦❝✐é❡ à ❧✬✐❞❡♠♣♦t❡♥t eϕ s✬✐❞❡♥t✐✜❡ à ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞❡s sér✐❡s

❢♦r♠❡❧❧❡sZϕ[[γ−1]] ❡♥ ❧✬✐♥❞ét❡r♠✐♥é❡ γ−1 à ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❛♥s ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥

♥♦♥ r❛♠✐✜é❡Zϕ=Zℓ[∆]eϕ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ✳

P❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t✱ ♣❛r ❛❝t✐♦♥ ❞❡s ✐❞❡♠♣♦t❡♥ts ♣r✐♠✐t✐❢seϕ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡

Λ[∆]t♦✉tΛ✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥Xs❡ ❞é❝♦♠♣♦s❡ ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❝♦♠♠❡ s♦♠✲

♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ❞❡ s❡s ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡s Xϕ = Xeϕ✱ ❝✬❡st à ❞✐r❡ ❝♦♠♠❡ s♦♠♠❡

❞✐r❡❝t❡ ❞❡Λϕ✲♠♦❞✉❧❡s ♥♦❡t❤ér✐❡♥s✳ ▲❡s t❤é♦rè♠❡s ❞❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✸✸

♠✉t❛♥❞✐s ❞❡ ❞é❝r✐r❡ ✉♥ t❡❧ ♠♦❞✉❧❡ à ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣rès à ♣❛rt✐r ❞✬✉♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♠♦❞✉❧❡s ré❢ér❡♥ts ❞✐ts é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳ ■❧ ✈✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✳ ❚♦✉t Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ X ❡st ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤❡ à

✉♥❡ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ✜♥✐❡ ❞❡ ♠♦❞✉❧❡s ✐s♦t②♣✐q✉❡s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳

P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ϕ❞✉ ❣r♦✉♣❡

∆✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ tr✐♣❧❡t(ρϕ, sϕ, tϕ)❞✬❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s✱ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s✉✐t❡

❞é❝r♦✐ss❛♥t❡ (fϕ,i)i=0,✳✳✳,sϕ ❞❡ ♣♦❧②♥ô♠❡s ❞✐st✐♥❣✉és ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zϕ[γ −1]

❡t ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s✉✐t❡ ❞é❝r♦✐ss❛♥t❡ (mϕ,i)i=0,✳✳✳,tϕ❞✬❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s

t❡❧s q✉❡ ❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ Xϕ = eϕX ❞✉ ♠♦❞✉❧❡ X s✬❡♥✈♦✐❡ ♣❛r ✉♥ Λ[∆]✲

♠♦r♣❤✐s♠❡ à ♥♦②❛✉ ❡t ❝♦♥♦②❛✉ ✜♥✐ ❞❛♥s ❧❛ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ✿

Xϕ∼Λρϕϕ ⊕ ⊕s_i=0ϕ Λϕ/fϕ,iΛϕ⊕ ⊕t_jϕ₌₀Λϕ/ℓmϕ,iΛϕ.

❖♥ ❞✐t q✉❡ ❧✬❡♥t✐❡r ρϕ = dimΛϕXϕ ❡st ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞✉ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ Xϕ

❡t q✉❡ ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ Pϕ =Qtjϕ=0ℓmϕ,j Qsϕ

i=0fϕ,i ∈Zϕ[γ−1]❡st ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡

❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λϕ✲t♦rs✐♦♥✳

■❧ ❡st ❛❧♦rs ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡ ❝♦❞❡r ❣❧♦❜❛❧❡♠❡♥t ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧✬❡♥✲ s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❡♥ ✐♥tr♦❞✉✐s❛♥t ❝♦♠♠❡ s✉✐t ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣❛r❛✲ ♠ètr❡s ✿

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ♣ré❝é❞❡♥t✱ ♥♦✉s ❛♣♣❡❧♦♥s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬✉♥

Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ X ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡sℓ✲❛❞✐q✉❡s ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥∆ ❞é✲

✜♥✐s à ♣❛rt✐r ❞❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❞❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ✐s♦t②♣✐q✉❡s ❞❡ X

♣❛r ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s ✿

ρ=P_ϕρϕ ϕ , µ=Pϕµϕ ϕ , λ=Pϕλϕ ϕ✱

♦ù✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ✱ ❧❡s ❡♥t✐❡rs ρϕ✱ µϕ ❡t λϕ

♠❡s✉r❡♥t r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ dimΛϕXϕ ❞❡ ❧❛ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞❡X✱

❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❛ ℓ✲✈❛❧✉❛t✐♦♥ Ptϕ

j=0mϕ,j ❡t ❧❡ ❞❡❣ré Psi=0ϕ degfϕ,i ❞✉ ♣♦❧②♥ô♠❡

❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λϕ✲t♦rs✐♦♥✳

■♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❛ ✜❧tr❛t✐♦♥ (∇n)n∈N✱ q✉✐ ❥♦✉❡ ✉♥ rô❧❡ ❡ss❡♥t✐❡❧

❞❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t ✿

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✸✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ n✱ ❞és✐❣♥♦♥s ♣❛r ∇n=ℓn+1Λ +ωnΛ

❧✬✐❞é❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛Λ =Zℓ[[γ−1]]❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+1 ❡t

❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ωn=γℓ n

−1 ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zℓ[γ−1] =Zℓ[γ]✳ ❈❡❧❛ ét❛♥t ✿

✭✐✮ ▲✬✐❞é❛❧ ∇ = ∇0 ❡st ❧✬✉♥✐q✉❡ ✐❞é❛❧ ♠❛①✐♠❛❧ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ré❣✉❧✐❡r

Λ✳

✭✐✐✮ ▲❡s ✐❞é❛✉① (∇n)n∈N❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ s✉✐t❡ ❡①❤❛✉st✐✈❡ str✐❝t❡♠❡♥t ❞é❝r♦✐s✲

✺✸✹ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

✭✐✐✐✮ ❯♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ❝♦♠♣❛❝t X ❡st ♥♦❡t❤ér✐❡♥ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✬✐❧ ❡①✐st❡

✉♥ ❡♥t✐❡r n ♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ q✉♦t✐❡♥t X/∇nX ❡st ✜♥✐ ❀ ❛✉q✉❡❧ ❝❛s✱ ❧❡s

q✉♦t✐❡♥tsX/∇nX s♦♥t t♦✉s ❞❡sΛ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s ✜♥✐s✳

✭✐✈✮ ❯♥Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ❝♦♠♣❛❝tX❡st ✜♥✐ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❡♥t✐❡r n♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ X/∇nX ❡st tr✐✈✐❛❧ ❀ ❛✉q✉❡❧ ❝❛s✱ ❧❡s s♦✉s✲

♠♦❞✉❧❡s X/∇nX s♦♥t ✉❧t✐♠❡♠❡♥t tr✐✈✐❛✉①✳

Pr❡✉✈❡✳ ▲❡s ❞❡✉① ♣r❡♠✐èr❡s ❛ss❡rt✐♦♥s s✬♦❜t✐❡♥♥❡♥t ❝♦♠♠❡ s✉✐t ✿ ❞✬✉♥ ❝ôté✱ ❝♦♠♠❡ω0 ❡st é❣❛❧ àγ−1✱ ❧✬✐❞é❛❧ ∇0 ❡st ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧✬✐❞é❛❧ ♠❛①✐♠❛❧∇❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡Λ❀ ❡t ❧✬✐❞❡♥t✐té

(γℓn

−1)ℓ_{= (γ}ℓn+1

−1) +ℓ(γℓn

−1)P(γℓn

)✱

♣♦✉r ✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡P ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉Zℓ[γ−1] =Zℓ[γ]✱ ♠♦♥tr❡ ♣❛r

✉♥❡ ré❝✉rr❡♥❝❡ é✈✐❞❡♥t❡ q✉❡∇n ❡st ❝♦♥t❡♥✉ ❞❛♥s ❧❛ ♣✉✐ss❛♥❝❡(n+ 1)✲✐è♠❡

❞❡ ❧✬✐❞é❛❧∇✳ ❉✬✉♥ ❛✉tr❡ ❝ôté✱ ✉♥ ❝❛❧❝✉❧ ✐♠♠é❞✐❛t ❞♦♥♥❡ ✿

(Λ :∇n) =|(Z/ℓn+1Z)[Γn]|=ℓ(n+1)ℓ n

✱ ❛✈❡❝Γn= Γ/Γℓ

n

❀ ❝❡ q✉✐ ét❛❜❧✐t ❧❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ♣♦✐♥t✳

▲❡s ❛ss❡rt✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s rés✉❧t❡♥t ❛❧♦rs ❞✉ ❢❛✐t q✉❡ ❧❡s ✐❞é❛✉① (∇n)n∈N

❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ✈♦✐s✐♥❛❣❡s ❞❡ ✵ ❞❛♥s ❧✬❛❧❣è❜r❡ t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡ ❝♦♠♣❛❝t❡

Λ =Zℓ[[γ−1]]✳

▲✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ s❡❝t✐♦♥ q✉✐ s✉✐t ❡st ❞❡ r❡❧✐❡r ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬ ✉♥

Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❛✉① ♦r❞r❡s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s ❞❡ s❡s q✉♦t✐❡♥ts ✜♥✐s✳

✶✳✷✳ ❊♥♦♥❝é ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✉r ❧❡ ♣❛r❛♠étr❛❣❡✳

▲❡ rés✉❧t❛t ❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ r❡❧✐❡ ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬✉♥ Λ[∆]✲

♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞♦♥♥éX ❛✈❡❝ ❧❡s ♦r❞r❡s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s s♦✉s✲q✉♦t✐❡♥ts ✜♥✐s

❞❡X ✿

❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✹✳ ✭❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s✳✮ ❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡

♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ ❡t λ✳ ❙✐ ∇n = ℓn+1Λ +ωnΛ ❞és✐❣♥❡ ❧✬✐❞é❛❧

❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ[[γ −1]] ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥t ℓn+1 ❡t ❧❡

♣♦❧②♥ô♠❡ωn= (γℓ n

−1)✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ ν ❞✉

❣r♦✉♣❡ ∆ t❡❧ q✉❡ ❧✬♦r❞r❡ ℓxϕn ❞❡ ❧❛ _ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞✉ q✉♦t✐❡♥t _X/∇

nX s♦✐t

❞♦♥♥é✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ϕ ❡t t♦✉t ❡♥t✐❡r n ❛ss❡③

❣r❛♥❞✱ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿

xϕn = < ρ, ϕ >(n+ 1)ℓn + < µ, ϕ > ℓn + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳

❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ ❧✬✐♥❞✐❝❡ℓxϕn _{= X}

ϕ :∇nXϕ ❡st ❞♦♥♥é ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡✲

♠❡♥t ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿

xϕn ≈ < ρ, ϕ >(n+ 1)ℓn + < µ, ϕ > ℓn + < λ, ϕ > n ✱

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✸✺

❈❡ rés✉❧t❛t ❛♠è♥❡ ❛✐♥s✐ à ♣♦s❡r ✿

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✺✳ ◆♦✉s ❞✐s♦♥s q✉✬✉♥❡ s✉✐t❡(Xn)n∈N ❞❡Zℓ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s ✜♥✐s

❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡sℓ✲❛❞✐q✉❡s ✈✐rt✉❡❧s ✿

ρ=P_ϕρϕ ϕ , µ=Pϕµϕ ϕ , λ=Pϕλϕ ϕ ν=Pϕνϕ ϕ✱

❧♦rsq✉❡ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ ❧✬♦r❞r❡

ℓxϕn ❞❡ ❧❛ _ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ _e

ϕXn ❞❡ Xn ❡st ❞♦♥♥é ❛s②♠♣t♦t✐q✉❡♠❡♥t ♣❛r ❧❛

❢♦r♠✉❧❡ ✿

xϕn = < ρ, ϕ >(n+ 1)ℓn + < µ, ϕ > ℓn + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳

▲♦rsq✉❡ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ν ♥✬❡st ♣❛s ❡①♣❧✐❝✐té✱ ♥♦✉s é❝r✐✈♦♥s s✐♠♣❧❡♠❡♥t ✿ xϕn ≈ < ρ, ϕ >(n+ 1)ℓn + < µ, ϕ > ℓn + < λ, ϕ > n✱

♣♦✉r s✐❣♥✐✜❡r q✉❡ ❧❛ ❞✐✛ér❡♥❝❡ ❡♥tr❡ ❧❡s ❞❡✉① ♠❡♠❜r❡s ❡st ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥s✲ t❛♥t❡✳

❘❡♠❛rq✉❡✳ ▲✬❡♥t✐❡r xϕn ét❛♥t t♦✉❥♦✉rs ♣♦s✐t✐❢✱ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ρ q✉✐ ❛♣♣❛r❛✐t

❞❛♥s ❧❛ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✺ ❡st ❞❡ ❝❡ ❢❛✐t ♣♦s✐t✐❢ ✭❡♥ ❝❡ s❡♥s q✉❡ ❧✬♦♥ ❛ ρϕ ≥ 0

♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ✐rré❞✉t✐❜❧❡ ϕ✮ ❀ ✐❧ ❡♥ ❡st ❞❡ ♠ê♠❡ ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ µ s✐ ρ ❡st ♥✉❧ ❀ ❡t ❞✉ ❝❛r❛❝tèr❡ λ s✐ ρ ❡t µ s♦♥t t♦✉s ❞❡✉① ♥✉❧s✳ ■❧ ♣❡✉t ❛rr✐✈❡r

❡♥ r❡✈❛♥❝❤❡ q✉❡ ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s λ ♦✉ µ ♥❡ s♦✐❡♥t ♣❛s ❞❛♥s R+_Z

ℓ(∆) ❞ès ❧♦rs

q✉❡ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❞♦♠✐♥❛♥t ② ❡st ✿ ❞❡s ❡①❡♠♣❧❡s s♦♥t ❞♦♥♥és ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✷ ♣❧✉s ❧♦✐♥✳

Pr❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡✳ ❉✐st✐♥❣✉♦♥s ❧❡s tr♦✐s ❝❛s ✿ ✭✐✮ P♦✉rX= Λϕ✱ ✐❧ ✈✐❡♥t t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t ✿

X/∇nX≃(Zϕ/ℓn+1Zϕ)[Γn]✱ ❛✈❡❝ Γn= Γ/Γℓ n

≃Z/ℓnZ❀

❞✬♦ù ❧✬✐❞❡♥t✐té ❛tt❡♥❞✉❡ ✿

(X :∇nX) = (Zϕ:ℓn+1Zϕ)ℓ n

=ℓ(n+1)ℓndegϕ✳

✭✐✐✮ P♦✉rX = Λϕ/ℓmϕΛϕ ❡tn≥mϕ✱ ❧❡ ♠ê♠❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞♦♥♥❡ ✿

(X:∇nX) = (Zϕ :ℓmϕZϕ)ℓ n

=ℓmϕℓndegϕ✳

✭✐✐✐✮ ♣♦✉rX = Λϕ/fϕΛϕ ❡♥✜♥✱ ♥♦✉s ❛✉r♦♥s ❜❡s♦✐♥ ❞✬✉♥ ❧❡♠♠❡ ❝❧❛ss✐q✉❡

q✉✐ ♣❡✉t êtr❡ r❡❣❛r❞é ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❛✉① ❛♥♥❡❛✉① ❞❡ ♣♦❧②✲ ♥ô♠❡s s✉rZϕ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ✽ ✭✐✐✐✮ ❞❡ ❬✶✹❪ ✿

▲❡♠♠❡ ✶✳✻✳ ❙♦✐tZϕ ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✜♥✐❡ ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡ ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉Zℓ ❡tfϕ

✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❞✐st✐♥❣✉é ❞❡ ❧✬❛♥♥❡❛✉ Zϕ[γ −1]✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧

n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ❛❧♦rs ❞❡✉① ♣♦❧②♥ô♠❡s an ❡t bn ❞❛♥s Zϕ[γ−1] t❡❧s

q✉✬♦♥ ❛✐t ✿

Pℓ−1

k=0γkℓ

n

= ωn+1

ωn = ℓ(1 +ℓan) +bnfϕ ✳

✺✸✻ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

Pr❡✉✈❡✳ ❘❛✐s♦♥♥♦♥s ❞❛♥s ❧✬❛♥♥❡❛✉ q✉♦t✐❡♥tZϕ[γ−1]/fϕZϕ[γ−1]✳ ❙✐dϕ❡st

❧❡ ❞❡❣ré ❞✉ ♣♦❧②♥ô♠❡fϕ✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣❛r ❤②♣♦t❤ès❡ ✿

(γ−1)dϕ ≡0 mod ℓ, donc γℓn−1 −1≡(γ−1)ℓ

n−1

≡1 mod ℓ✱

❞ès q✉❡n❡st ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✳ ❈❡❧❛ ét❛♥t✱ ✐❧ s✉✐t ✿ γℓn−1

≡1 mod ℓ, puis γℓn

≡1 mod ℓ2 ; et enfin Pℓ_k−₌₀1 γkℓn

≡ℓ mod ℓ2,

❝❡ q✉✐ ❡st ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧❡ rés✉❧t❛t ❛♥♥♦♥❝é✳

❙✉✐t❡ ❞❡ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡✳ ❆♣♣❧✐q✉é ❛✉ ♠♦❞✉❧❡ ✐s♦t②♣✐q✉❡ X = Λϕ/fϕΛϕ✱ ❧❡ ▲❡♠♠❡ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ♣♦✉r n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ❧✬é❣❛❧✐té ∇n+1X =

ℓ∇nX✱ ❞♦♥❝ ✿

(X:∇nX) = (X:∇n0X)(∇n0X :∇nX) = (X:∇n0X)(∇n0X :ℓ

n−n0∇

n0X) ♣♦✉rn≫n0❀ ♣✉✐s✱ ❝♦♠♠❡ ❛tt❡♥❞✉ ✿

(X :∇nX)≈(∇n0X :ℓ

n−n0∇

nX) =ℓ(n−n0)dϕdegϕ ≈ℓndϕdegϕ❀

❝❡ q✉✐ ❛❝❤è✈❡ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞✉ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡✳

❉❛♥s ❧❛ ♣r❛t✐q✉❡✱ ✐✳❡✳ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛✱ ✐❧ ♥✬❡st ♣❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ❡♥ ❣é♥ér❛❧ ❞✬❛♣♣❧✐q✉❡r ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✹✱ ❝❛r ✐❧ ❡st s♦✉✈❡♥t ♥é❝❡ss❛✐r❡ ❞❡ ❢❛✐r❡ ❛♣♣❡❧ à ✉♥ rés✉❧t❛t ❛♣♣❛r❡♠♠❡♥t ♣❧✉s t❡❝❤♥✐q✉❡✶_✿

❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✼✳ ❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❡t ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ

❡t λ❀ ❡t s♦✐t Y ✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ X ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r Zℓ✳ ❆❧♦rs✱ ♣♦✉r t♦✉t

❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧m ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts ❞é✜♥✐s ♣♦✉rn≥m ♣❛r ✿ Yn=X/(∇nX+_ωω_mnY)

❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ❧❡s ♠ê♠❡s ❝❛r❛❝tèr❡sρ✱µ ❡t λq✉❡ ❧❡s Xn=X/∇nX✳

❊♥✜♥✱ ✐❧ ❡st é✈✐❞❡♠♠❡♥t ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡ ❥♦✉❡r s✉r ❧❡s ❞❡✉① t❡r♠❡s q✉✐ ✐♥t❡r✲ ✈✐❡♥♥❡♥t ❞❛♥s ❧❛ ❣é♥ér❛t✐♦♥ ❞❡s ✐❞é❛✉① ∇n✳ ■❧ ✈✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✿

❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✽✳ ❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ρ✱ µ

❡t λ✳ ❙✐ ∇n,k = ℓn+kΛ +ωnΛ ❞és✐❣♥❡ ❧✬✐❞é❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ Λ = Zℓ[[γ−1]] ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧✬é❧é♠❡♥tℓn+k❡t ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ωn=γℓ

n

−1✱ ✐❧ ❡①✐st❡

✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ ν ❞✉ ❣r♦✉♣❡ ∆ t❡❧ q✉❡ ❧✬♦r❞r❡ ℓxϕn ❞❡

❧❛ ϕ✲❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞✉ q✉♦t✐❡♥t X/∇n,kX s♦✐t ❞♦♥♥é✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡

ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ❡t t♦✉t ❡♥t✐❡r n❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿ xϕn =< ρ, ϕ >(n+k)ℓn + < µ, ϕ > ℓn + < λ, ϕ > n + < ν, ϕ >✳

❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts X/∇n,kX

n∈N ❡st ♣❛r❛♠étré❡

♣❛r ✿

ρ, µ+ (k−1)ρ, et λ✳

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✸✼

❚♦✉t❡ ❧❛ ❞✐✣❝✉❧té ♣♦✉r ét❛❜❧✐r ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❡t s❡s ❝♦r♦❧✲ ❧❛✐r❡s ❡st ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❞❡ ✈ér✐✜❡r q✉❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❛♥♥♦♥❝é❡ ❡st ❡♥❝♦r❡ ✈❛❧✐❞❡ ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ♠♦❞✉❧❡X❡st s❡✉❧❡♠❡♥t ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ é❧é✲

♠❡♥t❛✐r❡✳

▲❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ rés✉❧t❛t ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❞❡ ❧❛ s❡❝t✐♦♥ q✉✐ ✈✐❡♥t✳

✶✳✸✳ ❋✐❧tr❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡ ❛✉① ✐❞é❛✉① ∇n ❡t ♣r❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡✳

▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s rés✉❧t❡ ❞✬✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ q✉❛tr❡ ❧❡♠♠❡s ❡t ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞é❥à ❡✛❡❝t✉é ❞❡ ❧✬✐♥❞✐❝❡(E :∇nE) ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ♠♦❞✉❧❡ E ❡st é❧é♠❡♥✲

t❛✐r❡✳

▲❡♠♠❡ ✶✳✾✳ ❙♦✐tE =T ⊕P ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡

❞❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λ✲t♦rs✐♦♥ T ❡t ❞✬✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ P✳ P♦✉r

❝❤❛q✉❡ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧n✱ ♣♦s♦♥s ∂nE=ℓn+1E∩ωnE✳ ❈❡❧❛ ét❛♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t

n≥n0 ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿

∂nE =∂nT⊕∂nP , avec ∂nT =ℓn−n0_∂n0_{T et ∂}n_{P =} ωn

ωn0

∂n0_P.

Pr❡✉✈❡✳ ❖❜s❡r✈♦♥s ❞✬❛❜♦r❞ q✉❡ t♦✉tΛ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❡t ♣r♦❥❡❝t✐❢P

ét❛♥t ❢❛❝t❡✉r ❞✐r❡❝t ❞✬✉♥ ♠♦❞✉❧❡ ❧✐❜r❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t ∂nP =

ℓn+1∩ωnP ♣❛r ❢❛❝t♦r✐❛❧✐té ❞❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ❧♦❝❛❧❡s Λϕ ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ Λ[∆]✳

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ✐❧ s✉✐t ❝♦♠♠❡ ❛♥♥♦♥❝é ✿

∂nP = ωn

ωn0

ℓn−n0 _∂n0_P.

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ t♦rs✐♦♥T✳ ❙❡s ❢❛❝t❡✉rs ✐♥❞é❝♦♠✲

♣♦s❛❜❧❡s✱ ❡♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐✱ s♦♥t ❞❡ ❞❡✉① t②♣❡s ✿ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡

Λϕ/ℓmΛϕ✱ ❞✬✉♥❡ ♣❛rt ❀ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡Λϕ/fϕΛϕ✱ ❛✈❡❝fϕ❞✐st✐♥❣✉é

❞❛♥sZϕ[γ−1]❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt✳ ❉és✐❣♥♦♥s ♣❛rT0❧❛ s♦♠♠❡ ❞✐r❡❝t❡ ❞❡s s❡❝♦♥❞s✳ P♦✉rn❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥sℓn_{T =ℓ}n_{T0✱ ❞♦♥❝∂}n_{T =∂}n_{T0✳ ❆♣♣❧✐q✉♦♥s}

♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❡ ▲❡♠♠❡ ✷✳✷ à ❝❤❛❝✉♥ ❞❡s ❢❛❝t❡✉rs ✐♥❞é❝♦♠♣♦s❛❜❧❡s ❞❡ T0✳

P♦✉r n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ❞✐s♦♥s ♣♦✉r n ≥ n0✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ωn+1

ωn T0 = ℓT0✱

❞✬♦ù ✿

∂nT0 =ℓn+1T0∩ωnT0 =ℓn−n0ℓn0+1T0∩

ωn

ωn0

ωn0T0=ℓ

n−n0_(ℓn0+1_T

0∩ωn0T0). ❋✐♥❛❧❡♠❡♥t ✐❧ ✈✐❡♥t ❜✐❡♥✱ ❝♦♠♠❡ ❛tt❡♥❞✉ ✿ ∂nT0 =ℓn−n0∂n0T0✳

▲❡♠♠❡ ✶✳✶✵✳ ❙♦✐t X ✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞✬✐♥❞✐❝❡ ✜♥✐ ❞✬✉♥ ♠♦❞✉❧❡ é❧é♠❡♥✲

t❛✐r❡ E✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ✱ ❧❛ s✉✐t❡ (∂nYϕ :

∂nXϕ)

n∈N ❞❡s ϕ✲♣❛rt✐❡s ❞❡s ✐♥❞✐❝❡s(∂

n_E

✺✸✽ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

Pr❡✉✈❡✳ ❉és✐❣♥♦♥s ♣❛rEtor ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ Λ✲t♦rs✐♦♥ ❞❡ E ❡t ♥♦t♦♥s p

❧❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ E→E/Etor_{✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❛❧♦rs ✿}

(∂nEϕ :∂nXϕ) =

(∂nEϕ:∂nEϕtor+∂nXϕ)

(∂n_Etor

ϕ +∂nXϕ :∂nXϕ)

= (p(∂

n_E

ϕ) :p(∂nXϕ))

(∂n_Etor

ϕ :∂nXϕtor)

.

❊t ✐❧ s✬❛❣✐t ❞❡ ✈♦✐r q✉❡ ♥✉♠ér❛t❡✉r ❡t ❞é♥♦♠✐♥❛t❡✉r s♦♥t t♦✉s ❞❡✉① st❛t✐♦♥✲ ♥❛✐r❡s✳ ❖r ❞✬✉♥ ❝ôté✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧✬é❣❛❧✐té é✈✐❞❡♥t❡

p(∂n+1Eϕ) =ℓ ωn+1

ωn

p(∂nEϕ)

❛✐♥s✐ q✉❡ ❧✬✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✐♠♠é❞✐❛t❡p(∂n+1_X

ϕ)⊂ℓ ω_ωn_n+1 p(∂nXϕ)❀ ❞✬♦ù ✐❧ rés✉❧t❡

q✉❡ ❧❡ ♥✉♠ér❛t❡✉r✱ q✉✐ ✈❛ ❞♦♥❝ ❞é❝r♦✐ss❛♥t ♣♦✉r n ❛ss❡③ ❣r❛♥❞✱ ❡st ❜✐❡♥

st❛t✐♦♥♥❛✐r❡✳

❊t ❞✬✉♥ ❛✉tr❡ ❝ôté✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ∂n+1Etor_ϕ = ℓ ∂nE_ϕtor ❡t ∂n+1X_ϕtor =

ℓ ∂nX_ϕtor ♣♦✉r n ≥ n0✱ ♣❛r ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❢❛❝✐❧❡ ❞✉ ▲❡♠♠❡ ✷✳✸✱ ♣✉✐sq✉❡ E_ϕtor ❡tX_ϕtor s♦♥t ❛♥♥✉❧és ♣❛r ✉♥ ♠ê♠❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❞✐st✐♥❣✉éfϕ∈Zϕ[γ−1]✳

❈❡❧❛ ét❛♥t✱ ❝♦♠♠❡ ♣♦✉r n0 ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣❛r ℓn0 ❛ t✉é ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡Zℓ✲t♦rs✐♦♥ ❞❡Eϕtor✱ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣❛rℓ❡st ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❞❛♥s

ℓn0_Etor

ϕ ❡t ❧❡ ❞é♥♦♠✐♥❛t❡✉r ❡st ❛✐♥s✐ st❛t✐♦♥♥❛✐r❡ ♣♦✉r n≥n0✳

▲❡♠♠❡ ✶✳✶✶✳ ❙♦✐t X ✉♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞✬✐♥❞✐❝❡ ✜♥✐ ❞✬✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ é❧é✲

♠❡♥t❛✐r❡E✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ϕ✱ ❧❛ s✉✐t❡ (∇nYϕ :

∇nXϕ)

n∈N ❞❡s ϕ✲♣❛rt✐❡s ❞❡s ✐♥❞✐❝❡s (∇nEϕ:∇nXϕ) ❡st st❛t✐♦♥♥❛✐r❡✳

Pr❡✉✈❡✳ ❉❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❡①❛❝t❡ ❝♦✉rt❡ ❞❡Zℓ[∆]✲♠♦❞✉❧❡s ✜♥✐s

0→∂nEϕ/∂nXϕ→(ℓnEϕ/ℓnXϕ)⊕(ωnEϕ/ωnXϕ)→ ∇nEϕ/∇nXϕ →0

❧❡s t❡r♠❡s ♠é❞✐❛♥s✱ q✉✐ ✈♦♥t ❞é❝r♦✐ss❛♥t✱ s♦♥t st❛t✐♦♥♥❛✐r❡s✳ ▲❡ rés✉❧t❛t ❛♥♥♦♥❝é ❞é❝♦✉❧❡ ❞♦♥❝ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❞✉ ▲❡♠♠❡ ✶✳✶✵ ❝✐✲❞❡ss✉s✳

▲❡♠♠❡ ✶✳✶✷✳ ❙♦✐t X ✉♥ Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥ ❡t E ❧✬✉♥✐q✉❡ Λ[∆]✲

♠♦❞✉❧❡ é❧é♠❡♥t❛✐r❡ ❛✉q✉❡❧ ✐❧ ❡st ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤❡✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡

ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ ϕ✱ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s q✉♦t✐❡♥ts Xϕ :∇nXϕ/ Eϕ : ∇nEϕ

❡st st❛t✐♦♥♥❛✐r❡✳

Pr❡✉✈❡✳ Pr❡♥♦♥s ✉♥ ♣s❡✉❞♦✲✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ t❞❡ X ✈❡rs E ❡t ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛

s✉✐t❡ ❡①❛❝t❡ ❝♦✉rt❡ ❛ss♦❝✐é❡ ✿

0 −−−−→ N −−−−→ X −−−−→t E −−−−→ C −−−−→ 0.

▲❡ ♥♦②❛✉ N ❡t ❧❡ ❝♦♥♦②❛✉ C ét❛♥t ✜♥✐s✱ ❝❤♦✐s✐ss♦♥s n0 ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ♣♦✉r ❛✈♦✐rN ∩ ∇n0X = 0❡t ∇n0C = 0✱ ✐✳❡✳∇n0E ⊂t(X)✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡n≥n0✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❛❧♦rs ❧❛ s✉✐t❡ ❡①❛❝t❡ ✿

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✸✾

♦ù✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡ϕ❞✉ ❣r♦✉♣❡∆✱ ❧✬♦r❞r❡ ❞❡ ❧❛ϕ✲♣❛rt✐❡

❞✉ t❡r♠❡ ❞❡ ❣❛✉❝❤❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ✿

(−1t(∇nEϕ) :∇nXϕ) =|Nϕ|(∇nEϕ) :∇nt(Xϕ)).

❊❧❧❡ ❡st ❞♦♥❝ ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥st❛♥t❡ ❡♥ ✈❡rt✉ ❞✉ ▲❡♠♠❡ ✶✳✶✶✳

◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❛❝❤❡✈❡r ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❞❡s rés✉❧t❛ts ❛♥♥♦♥✲ ❝és ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✷✳

Pr❡✉✈❡ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❡t ❞❡ s❡s ❝♦r♦❧❧❛✐r❡s✳ ❉✐st✐♥❣✉♦♥s ❧❡s ❝❛s ✿

✭✐✮ ▲❡ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✸ rés✉❧t❡ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞é❥à ❡✛❡❝t✉é ❞❡ ❧✬✐♥❞✐❝❡

Eϕ :∇nEϕ

❞❛♥s ❧❡ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡ ❡t ❞✉ ▲❡♠♠❡ ✶✳✶✷ ❝✐✲❞❡ss✉s✳

✭✐✐✮ ▲❡ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✼ s✬❡♥ ❞é❞✉✐t ❛✐sé♠❡♥t ✿ ❝♦♠♣t❡ t❡♥✉ ❞❡ ❧❛ s✉✐t❡ ❡①❛❝t❡ ❝♦✉rt❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ q✉✐ r❡❧✐❡ ❧❡sXn ❛✈❡❝ ❧❡sYn✿

1→ ωn ωm

Y /(ωn

ωm

Y∩∇nX)→Xn=X/∇nX→Yn=X/(∇nX+ωn

ωm

Y)→1,

t♦✉t r❡✈✐❡♥t à ✈ér✐✜❡r q✉❡ ❧❡s ♥♦②❛✉① à ❣❛✉❝❤❡ s♦♥t ✉❧t✐♠❡♠❡♥t ❝♦♥st❛♥ts✳ ❖r ❝❡❧❛ ❡st ❝❧❛✐r✱ ♣✉✐sq✉✬✐❧s ✈♦♥t ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❞é❝r♦✐ss❛♥t ❡t q✉✬✐❧s s♦♥t é✈✐❞❡♠♠❡♥t ✜♥✐s ❝❛r ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r Zℓ ♣❛r ❤②♣♦t❤ès❡ ❡t ❞✬❡①♣♦s❛♥t ✜♥✐

♣❛r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✳

✭✐✐✐✮ ❊♥✜♥✱ ❧❡ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✽ s✬♦❜t✐❡♥t ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ❢❛ç♦♥ q✉❡ ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❡♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥t ❧❡s ✐❞é❛✉①∇n ♣❛r ❧❡s ✐❞é❛✉①∇n,k ♣♦✉r ✉♥ k✜①é ✿ ❧❡s ❝❛❧❝✉❧s

ét❛♥t ✐❞❡♥t✐q✉❡s✱ ✐❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✬é❝r✐r❡ ❧❛ ♠ê♠❡ sér✐❡ ❞❡ ❧❡♠♠❡s q✉❡ ❝✐✲ ❞❡ss✉s✱ ❝❡ q✉✐ r❛♠è♥❡ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞✉ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ❛✉ ❝❛s é❧é♠❡♥t❛✐r❡✱ ❧❡q✉❡❧ ❡st ✐♠♠é❞✐❛t✳

✷✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s à ❧✬❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡s t♦✉rs ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡s ◆♦✉s s✉♣♣♦s♦♥s ❞és♦r♠❛✐s q✉❡ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ♣r❡♠✐❡rℓ❡st ✐♠♣❛✐r✳

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ❞és✐❣♥♦♥s ♣❛rF✉♥ ❝♦r♣s ❞❡ ♥♦♠❜r❡s t♦t❛❧❡♠❡♥t

ré❡❧ ❡t ♣❛r K ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ❞❡ F✱ ❞❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s ∆ = Gal(L/F)✱ ❞❡ ❞❡❣ré d étr❛♥❣❡r à ℓ✱ ❝♦♥t❡♥❛♥t ✉♥❡ r❛❝✐♥❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ℓ✲✐è♠❡

❞❡ ❧✬✉♥✐téζ✳

▲✬❤②♣♦t❤ès❡ ❞✬✐♠♣❛r✐téℓ6= 2 ♥♦✉s ❛ss✉r❡ q✉❡ ❧❡ ❝♦r♣s K ❡st t♦t❛❧❡♠❡♥t

✐♠❛❣✐♥❛✐r❡ ❡t q✉❡ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s∆ ❝♦♥t✐❡♥t ❧❛ ❝♦♥❥✉❣❛✐s♦♥ ❝♦♠♣❧❡①❡

τ✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝♦♥t❡①t❡✱ ✐❧ ❡st ♥❛t✉r❡❧ ❞✬❛♣♣❡❧❡r ré❡❧s ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s ϕ❞❡ ∆ q✉✐ ✈ér✐✜❡♥t ❧✬✐♥é❣❛❧✐té ϕ(τ) >0❀ ❡t ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡s ❝❡✉① q✉✐ ✈ér✐✜❡♥t

❧✬✐❞❡♥t✐té ♦♣♣♦sé❡ϕ(τ)<0✳ P❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ✿

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✳ ◆♦✉s ❞✐s♦♥s q✉✬✉♥ ❝❛r❛❝tèr❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ ❞✉ ❣r♦✉♣❡∆

❡st ✿

✺✹✵ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

✭✐✐✮ t♦t❛❧❡♠❡♥t ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡✱ ❧♦rsq✉❡ t♦✉s s❡s ❢❛❝t❡✉rs ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s s♦♥t ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡s✱ ✐✳❡✳ ❧♦rsq✉❡ t♦✉s s❡s ❢❛❝t❡✉rs ❛❜s♦❧✉♠❡♥t ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s ♣r❡♥♥❡♥t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ✲✶ s✉r ❧❛ ❝♦♥❥✉❣❛✐s♦♥ ❝♦♠♣❧❡①❡ τ✳

❙♦♠♠❛♥t s✉r t♦✉t❡s ❧❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ✐s♦t②♣✐q✉❡s ré❡❧❧❡s ❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡Zℓ[∆]✱

♦♥ ❞é✜♥✐t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r s❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ré❡❧❧❡✱ q✉✐ ♥✬❡st r✐❡♥ ❞✬❛✉tr❡ q✉❡ ❧✬✐♠❛❣❡ ❞❡Zℓ[∆]♣❛r ❧✬✐❞❡♠♣♦t❡♥t e⊕= 1₂(1 +τ) ✿

Zℓ[∆]⊕=Zℓ[∆]e⊕=⊕_ϕ(τ)>0Z_ℓ[∆]eϕ❀

❡t ♦♥ ❞é✜♥✐t é❣❛❧❡♠❡♥t s❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡ à ♣❛rt✐r ❝❡tt❡ ❢♦✐s ❞❡ ❧✬✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❝♦♠♣❧é♠❡♥t❛✐r❡e⊖ = 1₂(1−τ) ♣❛r ✿

Zℓ[∆]⊖=Zℓ[∆]e⊖=⊕_ϕ(τ)<0Z_ℓ[∆]e_ϕ❀

❧❡s ♠ê♠❡s ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ✈❛❧❛♥t✱ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t Zℓ[∆]✲

♠♦❞✉❧❡ M✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ✐❧ ❡st ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡ ❞é❝♦♠♣♦s❡r ❝❤❛q✉❡ ❝❛r❛❝✲

tèr❡ℓ✲❛❞✐q✉❡ ✈✐rt✉❡❧ χ❞✉ ❣r♦✉♣❡∆ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿

χ=χ⊕+χ⊖✱

❡♥ r❡❣r♦✉♣❛♥t sé♣❛ré♠❡♥t ❢❛❝t❡✉rs ré❡❧s ❡t ❢❛❝t❡✉rs ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡s✳

P❛r♠✐ ❧❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ❞❡ ∆ ✜❣✉r❡♥t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❧❡ ❝❛r❛❝tér❡ ✉♥✐té ✶✱

❞♦♥t ❧✬✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❛ss♦❝✐é ❡st ❞♦♥♥é à ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ ♥♦r♠❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ν∆ = P

δ∈_∆δ ♣❛r e1 = 1_d ν∆✱ ❡t ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ω✱ ❝❛r❛❝tér✐sé ♣❛r ❧✬✐❞❡♥t✐té ✿

ζσ _{= ζ}ω(σ) _{∀σ ∈∆✳}

❈✬❡st ❛✉ss✐ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❞✉ ♠♦❞✉❧❡ ❞❡ ❚❛t❡Tℓ = lim_←−µ(Kn)❝♦♥str✉✐t s✉r ❧❡s

ℓ✲❣r♦✉♣❡s ❞❡ r❛❝✐♥❡s ❞❡ ❧✬✉♥✐té✳

▲✬✐♥✈❡rs❡✷ _{ω¯ = ω}−1 _{❞❡ ω✱ ❝✬❡st à ❞✐r❡ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❞é✜♥✐ ♣❛r ω¯(σ) =}

ω(σ−1)✱ ❡st ❞✐t s♦✉✈❡♥tanticyclotomique✱ ❡t ❧✬✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ψ7→ψ∗ =ωψ−1_✱

❞❡ ❧✬❛❧❣è❜r❡ RZℓ(∆) ❞❡s ❝❛r❛❝tèr❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s ✈✐rt✉❡❧s ❞❡∆ ❡st ❝♦♥♥✉❡ tr❛✲

❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t s♦✉s ❧❡ ♥♦♠ ❞✬✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♠✐r♦✐r ❀ ♦♥ ❞✐t ❡♥❝♦r❡ q✉❡ ψ∗

❡st ❧❡ r❡✢❡t ❞❡ ψ✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ ω = 1∗ ét❛♥t

✐♠❛❣✐♥❛✐r❡✱ ✐❧ s✉✐t q✉❡ ❧❡ r❡✢❡t ❞✬✉♥ ❝❛r❛❝tèr❡ ré❡❧ ❡st ✐♠❛❣✐♥❛✐r❡ ❡t ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳

✷✳✶✳ ▲❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❚❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛✳

■♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❛ Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ F∞ = S_n∈NFn

❞✉ ❝♦r♣s t♦t❛❧❡♠❡♥t ré❡❧F✱ ❡♥ ❝♦♥✈❡♥❛♥t ❞❡ ❞és✐❣♥❡r ♣❛rFn❧✬✉♥✐q✉❡ s♦✉s✲

❡①t❡♥s✐♦♥ ❞❡ F∞ q✉✐ ❡st ❞❡ ❞❡❣ré ℓn s✉r F ✭❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ❛ F₀ = F✮ ❀ ♥♦t♦♥s Γ =γZℓ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ ●❛❧♦✐s _Gal(F∞/F) ✐❞❡♥t✐✜é à _Z

ℓ ♣❛r ❧❡ ❝❤♦✐①

❞✬✉♥ ❣é♥ér❛t❡✉r t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡γ❀ ❡t é❝r✐✈♦♥sΛ =Zℓ[[γ−1]] ❧✬❛❧❣è❜r❡ ❞✬■✇❛✲

s❛✇❛ ❛ss♦❝✐é❡✳

✷❉❡ ❢❛ç♦♥ ❣é♥ér❛❧❡✱ ✐❧ ❡st ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡ ♥♦t❡rψ−1 _{❧❡ ❝❛r❛❝tèr❡}

✺✹✷ ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❏❛✉❧❡♥t

❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛✈❡❝K∞❞✬✉♥❡ ♣r♦✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ❞❡Kn✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱

✉♥❡ t❡❧❧❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ét❛♥t ♥♦♥ r❛♠✐✜é❡ ❡♥ ❞❡❤♦rs ❞❡L❡t ❞❡T✱ ❧❡s q✉♦t✐❡♥ts X/∇nX s♦♥t ✜♥✐s✱ ❡♥ ✈❡rt✉ ❞✉ ❝♦r♣s ❞❡ ❝❧❛ss❡s✱ ❝❡ q✉✐ ♠♦♥tr❡✱ ❞✬❛♣rès ❧❛

♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✸✱ q✉❡X ❡st ❜✐❡♥ ✉♥Λ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♥♦❡t❤ér✐❡♥✳

P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ ✜①♦♥sm ❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ♣♦✉r q✉❡ ❧❡s ♣❧❛❝❡s ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ Ss♦✐❡♥t t♦t❛❧❡♠❡♥t ✐♥❡rt❡s ❡t ❝❡❧❧❡s ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡L\Tℓ_{t♦t❛❧❡♠❡♥t r❛♠✐✜é❡s}

❞❛♥s ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥K∞/Kn❀ ❡t ♥♦t♦♥sYm❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡X✱ ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r Zℓ✱ q✉✐ ❡st ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s s♦✉s✲❣r♦✉♣❡s ✭♣r♦❝②❝❧✐q✉❡s✮ ❞❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❞❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❡t ❧❡s s♦✉s✲❣r♦✉♣❡s ❞✬✐♥❡rt✐❡ ❞❡s s❡❝♦♥❞❡s✳ ■❧ ✈✐❡♥t ❛❧♦rs ✿

ℓm+1

Gal(H_ST(K∞/Km)/K∞) =X/(∇nX+Ym)❀

❡t ♣❛r ✉♥ ❛r❣✉♠❡♥t ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞❡ t❤é♦r✐❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✭❝❢✳ ❡✳❣✳ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✱ ♦✉ ❬✶✺❪ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞❡s ❣r♦✉♣❡s ❞❡ ❝❧❛ss❡s ♦r❞✐♥❛✐r❡s✮ ✿

ℓn+1

Gal(HT

S(K∞/Kn)/K∞) =X/(∇nX+ωωmnYm)✳

▲❡ rés✉❧t❛t ❛♥♥♦♥❝é ❡♥ rés✉❧t❡ ❡♥ ✈❡rt✉ ❞✉ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶✳✼✳ ♣✉✐sq✉✬❡♥ ❞❡❤♦rs ❞✉ ❝❛s s♣é❝✐❛❧ ♦♥ ❛ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ♣❛r ❧✬✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞✉ ❝♦r♣s ❞❡ ❝❧❛ss❡s ✿

ℓn+1

CℓT

S(Kn)≃ℓ n+1

Gal(H_ST(K∞/Kn)/K∞)❀ t❛♥❞✐s q✉❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s s♣é❝✐❛❧✱ ✐❧ ✈✐❡♥t ✿

ℓn+1

CℓT

S(Kn)≃ℓ n+1

Gal(H_ST(K∞/K_n)/K∞)⊕Γ/Γ_n❀

♣✉✐sq✉✬✐❧ ❝♦♥✈✐❡♥t ❛❧♦rs ❞❡ t❡♥✐r ❝♦♠♣t❡ ❡♥ ♦✉tr❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ t♦✉r ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡ K∞/Kn✱ ❧♦rsq✉❡ ❝❡❧❧❡✲❝✐ ❡st ❡❧❧❡✲♠ê♠❡ S✲❞é❝♦♠♣♦sé ❡t

T✲r❛♠✐✜é❡✱ ❝✬❡st à ❞✐r❡ ❧♦rsq✉✬♦♥ ❛S =∅❡tT =L✳

◆♦✉s ♥♦✉s ♣r♦♣♦s♦♥s ❞❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t ❞✬ét✉❞✐❡r ❧❡s tr♦✐s ❝❛r❛❝tèr❡s ❞é✜✲ ♥✐s ❝✐✲❞❡ss✉s à ❧❛ ❧✉♠✐èr❡ ❞❡s é❣❛❧✐tés ❞✉ ♠✐r♦✐r ♦❜t❡♥✉❡s ♣❛r ●❡♦r❣❡s ●r❛s ✭❝❢✳ ❬✶❪✮✳ ❉❛♥s ♥♦tr❡ ❝♦♥t❡①t❡✱ ❝❡s ✐❞❡♥t✐tés r❡❧✐❡♥t ❧❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✬■✇❛s❛✇❛ r❡❧❛t✐❢s à ✉♥ ❝♦✉♣❧❡ (S, T) ❛✉① ♠ê♠❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts r❡❧❛t✐❢s ❛✉ ❝♦✉♣❧❡ tr❛♥s✲

♣♦sé (T, S)✳ ❊❧❧❡s s✬♦❜t✐❡♥♥❡♥t ❡♥ ❝♦♠♣❛r❛♥t ❧❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s ❞♦♥♥é❡s ♣❛r

❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞✉ ❝♦r♣s ❞❡ ❝❧❛ss❡s ❞✬✉♥❡ ♣❛rt✱ ❡t ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡ ❑✉♠♠❡r ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt ❡♥ ♣rés❡♥❝❡ ❞❡s r❛❝✐♥❡s ❞❡ ❧✬✉♥✐té✳ ❈✬❡st ♣♦✉rq✉♦✐ ✱ ♥♦✉s ♥❡ ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ q✉❡ ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧❛Zℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❝②❝❧♦t♦♠✐q✉❡K∞=Kc ❞✬✉♥ ❝♦r♣s K s✉♣♣♦sé ❞é❥à ❝♦♥t❡♥✐r ❧❡s r❛❝✐♥❡s ℓ✲✐è♠❡s ❞❡ ❧✬✉♥✐té ✿ ❡♥ ❧✬❛❜s❡♥❝❡

❞❡ ❧✬✉♥❡ ♦✉ ❧✬❛✉tr❡ ❞❡ ❝❡s ❞❡✉① ❤②♣♦t❤ès❡s✱ ♥♦s ❛r❣✉♠❡♥ts ❞❡ ❞✉❛❧✐té ♥❡ ♣♦✉rr❛✐❡♥t s✬❛♣♣❧✐q✉❡r✳

❈❡❧❛ ❞✐t✱ ✜①♦♥sn❛ss❡③ ❣r❛♥❞ ♣♦✉r q✉❡ ❧❡s ♣❧❛❝❡s ❞❡S∪T ♥❡ s❡ ❞é❝♦♠✲

♣♦s❡♥t ♣❛s ❞❛♥s ❧✬❡①t❡♥s✐♦♥K∞/Kn ❡t ♣❧❛ç♦♥s ♥♦✉s ❛✉ ♥✐✈❡❛✉n❞❡ ❧❛ t♦✉r

❡♥ ♦♠❡tt❛♥t ♦❝❝❛s✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t ❧✬✐♥❞✐❝❡ Kn ❞❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t✳ ▲❡s rés✉❧t❛ts

❞❡ ❬✶✷❪ s❡ ❣é♥ér❛❧✐s❡♥t ❛❧♦rs ❝♦♠♠❡ s✉✐t ✿

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✸✳ ❆✈❡❝ ❧❡s ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s ♣ré❝é❞❡♥t❡s✱ ❧♦rsq✉❡ ❧❛ ré✉♥✐♦♥

S ∪ T ❝♦♥t✐❡♥t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ L ❞❡s ♣❧❛❝❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s✱ ❧❡ r❛❞✐❝❛❧ ❦✉♠♠ér✐❡♥

Rad(HTn

Sn/Kn) ❛tt❛❝❤é à ❧❛ℓ✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ♠❛①✐♠❛❧❡H Tn

●é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ t❤é♦rè♠❡ ❞✬■✇❛s❛✇❛ ✺✹✺

ℓn+1Emn

Sn ≃ ℓn+1

Emn Sn ≃

ℓn+1

(ESn/E tor Sn)❀

❡t ❧❡s ♠♦❞✉❧❡sℓn+1Emn

Sn s♦♥t ❛✐♥s✐ ♣❛r❛♠étrés ♣❛r ❧❡ tr✐♣❧❡t (χ∞,0, χS−1)✳

Pr❡✉✈❡✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞❡ r❡é❝r✐r❡ ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✺ ❞❡ ❬✶✷❪ ❡♥ t❡r♠❡s ❞❡ ❝❛r❛❝tèr❡s ✿ P♦✉r (i)✱ ✐❧ s✉✣t ❞✬♦❜s❡r✈❡r ❞✬✉♥❡ ♣❛rt q✉❡ ❧❡ q✉♦t✐❡♥t s❛♥s t♦rs✐♦♥ ❞❡

UTn ❡st ✉♥ Zℓ[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ ❞❡ ❝❛r❝tèr❡ [Fn : Q] χreg✱ ❝❡ q✉✐ ❞♦♥♥❡

❧✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞✉ ♣❛r❛♠ètr❡ρ❀ ❡t ❞✬♦❜s❡r✈❡r ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt q✉❡ s♦♥ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡

❞❡ ℓn+1✲t♦rs✐♦♥ ❡st ✉♥ Z/ℓn+1Z[∆]✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ ❝❛r❛❝tèr❡ ωχT =χ∗_T✱ ❝❡ q✉✐

❞♦♥♥❡ ❧✬✐♥✈❛r✐❛♥tλ✳

P♦✉r (ii)✱ ❝❡❧❛ r❡✈✐❡♥t à r❡♠♣❧❛❝❡r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t s✉r ❧❡ r❛♥❣

❞❡sS✲✉♥✐tés ♣❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ❍❡r❜r❛♥❞ ♣♦✉r ❝❡s ♠ê♠❡s

❣r♦✉♣❡s✳

❘❛ss❡♠❜❧❛♥t ❝❡s rés✉❧t❛ts✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❛❧♦rs ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞✉ ♠✐r♦✐r ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✻✳ ❙✐ S∪T ❝♦♥t✐❡♥t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ L ❞❡s ♣❧❛❝❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s✱ ❧❡s

♣❛r❛♠ètr❡s ❞✬■✇❛s❛✇❛ ❞❡s ℓ✲❣r♦✉♣❡s ℓn+1

ClT

S(Kn) ✈ér✐✜❡♥t ❧❡s ✐❞❡♥t✐tés ❞✉

♠✐r♦✐r ✿

✭✐✮ ρT_S +1₂(χ∞+δ_S) = [ρS_T +1₂(χ∞+δ_T)]∗❀ ✭✐✐✮ µT_S =µS_T∗❀

✭✐✐✐✮ λT_S+ (χS−1) = [λST + (χT −1)]∗✳

Pr❡✉✈❡✳ ▲❡s ✐❞❡♥t✐tés(ii)❡t(iii)s✬♦❜t✐❡♥♥❡♥t ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t ❡♥ ❡①♣r✐♠❛♥t

❞❡ ❞❡✉① ❢❛ç♦♥s ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡s ♣s❡✉❞♦✲r❛❞✐❝❛✉① ℓn+1Rmn

Sn à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❧❛

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✸ ❡t ❞✉ ▲❡♠♠❡ ✷✳✺✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ (i)✱ ❧❡ ♠ê♠❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞♦♥♥❡

❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ✿

ρT_S +χ∞=ρS_T∗+δ_T✱

❞✬♦ù ❧✬♦♥ ❞é❞✉✐t ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❛♥♥♦♥❝é❡ ❡♥ é❝r✐✈❛♥t ❧✬✐❞❡♥t✐té r❡✢❡t ❡t ❡♥ ♦❜✲ s❡r✈❛♥t q✉❡ ❧❡s ❞❡✉① ❝❛r❛❝tèr❡sδT ❡tδS s♦♥t ✐♥✈❛r✐❛♥ts ♣❛r ❧❡ ♠✐r♦✐r ❡t ❞❡

s♦♠♠❡ ✿

δT +δS = [F :Q]χreg =χ∞+χ∗∞✳

❚✐r♦♥s ✉♥❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❝♦♥séq✉❡♥❝❡ ✐♠♠é❞✐❛t❡ ❞❡ ❝❡ rés✉❧t❛t ❞❡ ❞✉❛❧✐té ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✼✳ ▲❡ ♣❛r❛♠ètr❡ρT

S ❡st ❞♦♥♥é ♣♦✉r S ❡tT ❛r❜✐tr❛✐r❡s ♣❛r ✿

ρT S =δ

⊖

T✳

Pr❡✉✈❡✳ ❖❜s❡r✈♦♥s ❞✬❛❜♦r❞ q✉❡ ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ρT_S ❡st ❜✐❡♥ ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t ❞❡

❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ S✱ ♣✉✐sq✉❡ ❧❡ s♦✉s✲♠♦❞✉❧❡ ❞❡ CT(K∞) q✉✐ ❡st ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s s♦✉s✲❣r♦✉♣❡s ❞❡ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ r❡s♣❡❝t✐❢s ❞❡s ♣❧❛❝❡s ❞❡ S ❡st ❞❡ r❛♥❣ ✜♥✐

s✉rZℓ✳ ◗✉✐tt❡ à ❣r♦ss✐rS✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❞♦♥❝ s✉♣♣♦s❡r✱ s❛♥s r❡str❡✐♥❞r❡ ❧❛

❣é♥ér❛❧✐té✱ q✉❡S∪T ❝♦♥t✐❡♥t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ L❞❡ t♦✉t❡s ❧❡s ♣❧❛❝❡s ℓ✲❛❞✐q✉❡s✳

▲❡ rés✉❧t❛t ❛♥♥♦♥❝é rés✉❧t❡ ❛❧♦rs t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t ❞✉ ❢❛✐t q✉❡ ❧❡ ♣❛r❛✲ ♠ètr❡ ρT