TURUNAN
Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012
Topik Bahasan
1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan
4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan 5 Rumus-rumus Turunan
6 Turunan Fungsi Trigonometri 7 Aturan Rantai
8 Turunan Implisit
9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi 10 Laju Terkait
Pendahuluan
Mengapa Turunan Penting?
Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan:
Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri, dsb.)
Biaya marjinal suatu produk.
Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu. Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh.
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan
De…nisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)
Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f0(a), adalah
f0(a) = lim h!0
f(a+h) f(a)
h (1)
asalkan limit tersebut ada.
Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau ∞), maka fungsi f dikatakan
terturunkan (memiliki turunan, di¤erentiable) di a. Perhatikan Gambar (a) berikut.
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi
Alternatif Formula Turunan
Bila pada de…nisi (1)diambil x =a+h, akan diperoleh alternatif formula: f0(a) = lim x!a f(x) f(a) x a (2) (lihat Gambar (b)) ) f0(a) = lim h!0 f(a+h) f(a) h = lim x!a f(x) f(a) x a
Turunan Fungsi
Contoh (De…nisi Turunan pada Titik)
Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan:
1 f0(0) bila f(x) =2x+1. SOLUSI
Turunan Fungsi
Soal
Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan f0(1)bagi fungsi-fungsi berikut. 1 f(x) =1/x 2 f(x) =xjx 1j 3 f(x) = 8 > < > : x2+1 ; x 1 2x ; x >1
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
Garis singgung pada kurva y =f(x)di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a))yang kemiringan/gradiennya sama dengan f0(a), yakni turunan f di x =a.
Persamaan garis singgung pada kurva y =f(x)di titik (a, f(a))
adalah
y f(a) =f0(a) (x a) (3)
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) =3/x yang melalui
titik (3, 1).
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Fungsi
Ganti titik tetap a dengan variabel x pada de…nisi turunan (1)dan
(2), akan diperoleh fungsi f0 dengan
f0(x) = lim h!0 f(x+h) f(x) h = lim z!x f(z) f(x) z x (4)
f0 pada(4)merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama
fungsi f .
Daerah asal f0, Df0 = fx; f0(x) adag, Df0 Df.
Nilai f0(a)juga dapat dihitung dari(4)kemudian mengevaluasi f0(x)untuk x =a.
Turunan Fungsi
Contoh
Diketahui fungsi f dengan f (x) =px. Gunakan de…nisi turunan untuk
menentukan f0(x) dan f0(4). Tentukan Df dan Df0. SOLUSI
Turunan Fungsi
Soal
Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan f0(x), Df, dan Df0
fungsi-fungsi berikut:
1 f(x) =x2 2x 2 f (x) =x2/3
Turunan Fungsi
Notasi Lain Turunan
Misalkan y =f(x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :
y0 =f0(x) = dy dx = df dx = d dxf (x) =Df (x) =Dxf (x)
Catatan: notasi dy /dx, df /dx, d /dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi Turunan
Fisika: Kecepatan Sesaat
Nilai f0(a)merupakan laju perubahan sesaat dari y =f(x) terhadap
x di x =a.
Misalkan s =f(t)menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,
kecepatan sesaat objek pada saat t=a adalah v =f0(a) = lim ∆t!0 ∆s ∆t =∆t!0lim f(a+h) f(a) ∆t
laju objek pada saat t=a adalahjf0(a)j, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi Turunan
Ekonomi, Demogra…
Misalkan C =f(x)menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk
menghasilkan x barang (ton),
f0(x) =lim∆x !0 ∆C∆x bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f0(x)dikenal sebagai biaya marjinal.
Misalkan P =f(t)menyatakan banyaknya populasi penduduk
Indonesia pada waktu t (tahun),
f0(t) =lim∆t!0 ∆P∆t bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun).
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)
Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.
Makna H
Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukan syarat cukup.
Untuk memeriksa keberadaan f0(a), terlebih dahulu periksa kekontinuan f di a.
Jika f kontinu di a, maka f0(a)belum tentu ada. Jika f tak kontinu di a, maka f0(a)tidak ada.
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan)
Tunjukkan bahwa f(x) = jxjkontinu di x =0 tetapi f0(0)tidak ada.
SOLUSI
Contoh (Kontinu, Terturunkan)
Tentukan f0(1), bila f(x) = 8 > < > : x2+1 ; x <1 2x ; x 1 SOLUSI
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan) 1 Tentukan g0( 1)dan g0(1)bila
g(x) = 8 > > > > > < > > > > > : 1 2x ; x < 1 x2 ; 1 x 1 2x ; x >1
2 Fungsi f dide…nisikan sebagai f(x) =
8 > < > : x2 ; x a mx+b ; x >a
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de…nisi turunan
(4).
Teorema (Turunan Fungsi)
Misalkan u =f(x), v =g(x), dan c suatu konstanta
1. d dx (c) =0 4. d dx (u v) = du dx dv dx 2 ). d dx (x n) =nxn 1 5. d dx (uv) = du dxv+u dv dx 3. d dx (cu) =c du dx 6. d dx u v = du dxv u dv dx /v 2
Rumus-rumus Turunan Contoh Tunjukkan bahwa: 1 d dx (c) =0. SOLUSI 2 d dx (x
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Pangkat
Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)
Jika n sebarang bilangan real, maka
d dx (x
n) =nxn 1 (5)
Dari pembahasan sebelumnya, berlaku
d dx (x
n) =nxn 1, n : bilangan bulat (6)
Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa
(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).
Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkan bahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.
Rumus-rumus Turunan
Soal
1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:
a. y =2x3 x2+5 b. g(x) = x3 3x /(3x 1) c. u= (x2 x)(x5 2x3)/x4 2 Tunjukkan bahwa d dx x p x2 1 = 1 p (x2 1)3. 3 Tentukan g0(x)jika g(x) =x2f (x). 4 Nyatakan lim x!1 x2012 1
x 1 sebagai bentuk turunan, dan tentukan
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Sesepenggal
Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan de…nisi turunan.
Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)
Andaikan f kontinu di a serta lim x!a f
0(x)dan lim
x!a+f
0(x)ada. Fungsi f
terturunkan di a jika dan hanya jika lim x!a f 0(x) = lim x!a+f 0(x) dan f0(a) = lim x!a f 0(x) = lim x!a+f 0(x) (7)
Rumus-rumus Turunan
Contoh
1 Periksa apakah f terturunkan di x =1, jika
f (x) = 8 > < > : x2 , x <1 px , x 1 Tentukan f0(x). SOLUSI
2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x =1.
f (x) = 8 > < > : 3x2 , x 1 ax+b , x >1 SOLUSI
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Sinus, Cosinus
d
dx sin x = hlim!0(sin(x+h) sin x)/h
= lim
h!0(sin x cos h+cos x sin h sin x)/h
= lim
h!0cos x(sin h)/h sin x(1 cos h)/h
= cos x lim
h!0(sin h)/h sin x hlim!0(1 cos h)/h
= cos x 1 sin x 0
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
d dx sin x =cos x d dx cos x = sin x d dx tan x =sec 2x d dx cot x = csc 2x d
dx sec x =sec x tan x
d
dx csc x = csc x cot x
(8)
Turunan Fungsi Trigonometri
Soal
Dengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkan kebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8).
Aturan Rantai
Aturan Rantai
Misalkan ingin ditentukan dy /dx bagi y = (x2 3x)2.
Teknik O
i) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):
y = x4 6x3+9x2
dy /dx = 4x3 18x2+18x
ii) pemisalan variabel baru:
misalkan y =u2, u=x2 3x !dy /du=2u, du/dx =2x 3
dy dx = dy du du dx =2u(2x 3) = 2x 2 6x (2x 3) = 4x3 18x2+18x ( = cara i)
Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.
Misalkan y = (x2 3x)2012, dy /dx = ? Teknik i) amat rumit,
Aturan Rantai
Teorema (Aturan Rantai)
Misalkan f (u)terturunkan di u=g(x) dan g(x)terturunkan di x, maka fungsi komposisi (f g) (x)terturunkan di x dan
(f g)0(x) =f0(g(x))g0(x) (9)
Dengan notasi Leibniz, jika y =f (u)dan u=g(x), maka
dy dx = dy du du dx (10)
Aturan Rantai
Ilustrasi Aturan Rantai
Aturan Rantai
Perluasan Aturan Rantai
Aturan Rantai Contoh Tentukan d dx p 4x+10 SOLUSI
Aturan Rantai
Soal
1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:
a. y = x2+1 4 2x3 3x+5
b. y =tan(1 sin2(2t 1))
2 Tentukan dxd cos x berdasarkan kesamaan cos x =sin(π/2 x)dan
sin x =cos(π/2 x).
3 Diketahui
x f (x) g(x) f0(x) g0(x)
0 1 1 5 1/3
1 3 4 1/3 8/3
Turunan Implisit
Turunan Implisit
Fungsi eksplisit: y =f (x)
Contoh: y =2x+1, y =p1 x2
Fungsi implisit: F(x, y) =c (konstanta), dengan asumsi y fungsi terhadap x.
Contoh: y 2x 1=0, x2+y2 =1, sin(xy) +2x2=3
Menurunkan fungsi implisit
turunkan kedua ruas terhadap x, gunakan aturan rantai,
Turunan Implisit
Contoh
Tentukan dy /dx =y0 pada lingkaran x2+y2 =25, dan tentukan persamaan garis singgung di titik (4, 3)pada lingkaran.
Turunan Implisit
Turunan Fungsi Pangkat Rasional
Teorema
Misalkan p, q bilangan bulat,
d dxx p/q = p qx p/q 1, q6=0 (11) Soal
Turunan Implisit
Soal
Tentukan dy /dx bagi persamaan-persamaan berikut.
1 3x3+4y3+8=0 2 pxy+4=y
3 cos(x+y) =x2+y2
4 Tunjukkan bahwa kurva xy3+x3y =4 tidak memiliki garis singgung
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Turunan ke- Notasi f0 Notasi y0 Notasi Leibniz Notasi D
1 f0(x) y0 dy dx Dx y 2 f00(x) y00 d 2y dx2 D 2 xy 3 f000(x) y000 d 3y dx3 D 3 xy n, n 4 f(n)(x) y(n) d ny dxn D n xy dny dxn = d dx dn 1y dxn 1
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Aplikasi Turunan Kedua
Penentuan Percepatan
Jika s =f (t)menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka
v(t) = ds
dt =f0(t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.
a(t) = dv
dt =
d2s
dt2 =f00(t)menyatakan percepatan objek pada waktu t.
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Contoh
Tentukan turunan ke-n bagi y = 1
x.
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Soal
1 Tentukan turunan ke-n bagi:
a. f (x) =xn b. f (x) =x /(x+1) 2 Dide…nisikan f (x) = 8 > < > : x2 ; x 0 x2 ; x <0
Buat sketsa gra…k f . Tunjukkan bahwa f0(x) =2jxjdan simpulkan bahwa f00(0)tidak ada.
3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2+y2 =r2 memiliki turunan kedua
Laju Terkait
Laju Terkait
Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.
Makna tanda laju:
dx /dt>0 : t membesar (mengecil) )x membesar (mengecil) dx /dt<0 : t membesar (mengecil) )x mengecil (membesar) dx /dt=0 : x konstan
Laju Terkait
Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait
1 Pahami permasalahan.
2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang
merupakan fungsi terhadap waktu.
3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
5 Gunakanaturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.
6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.
Laju Terkait
Contoh
Seberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turun jika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.
Laju Terkait
Soal (Laju Terkait)
1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.
Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik, seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada 4 m dari lantai?
2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucut
terbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalir
dari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat air
menurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jari permukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?
3 Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengan
dengan luas permukaannya.
Laju Terkait
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
